Một số sai lầm khi tính tích phân

một số sai lầm khi tính tích phân

Tên đề tài :

“PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VÀ NHỮNG SAI LẦM

THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN”

PHẦN A : ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong đề thi tốt nghiệp Bổ túc trung học phổ thổng (BTTHPT),Trung học phổ thông (THPT) , Đại học , cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh

THPT , BTTHPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự linh hoạt của định nghĩa,tính chất và các phương pháp tính tích phân.Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc

đó là : tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định

nghĩa của tích phân hoặc các phương pháp tính tích phân như đổi biến hoặc từng phần

Khi học sinh dùng phương pháp từng phần gặp nhiều khó khăn trong quá

trình tính như Đặt u bằng đại lượng nào? dv bằng đại lượng nào học sinh rất

mơ hồ trong cách đặt và dạng bài tập nào là phải dùng tích phân từng phần Hoặc là trong quá trình tính tích phân học sinh cứ việc tính mà không để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không?phép đổi biến đã đổi cận hay chưa?phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?phép biến đổi hàm số có tương đương không?

Vì vậy trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rõ điều này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Phương pháp tính tích phân từng phần

và một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân.Nhằm giúp học sinh khắc phục được những điểm yếu nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong học tập nói chung

Qua đề tài này tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này , tự phân loại được một số dạnh toán tích phân , nêu lên một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập.từ đó giúp cho học sinh có thể dể dành hơn trong quá trình tính tích phân.Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy được khả năng phân tích , tổng hợp , khái quát hóa các bài tập nhỏ , phân dạnh bài tập.Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy sánh tạo trong học tập

II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Các phương pháp tính tích phân : phương pháp đổi biến , phương pháp tính tích phân từng phần , tích phân hàm lượng giác , …

- Kỹ năng tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Học sinh BTTHPT

- Các phương pháp tính tích phân trong chương trình lớp 12

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu,đúc rút kinh nghiệm,tổng kết kinh

nghiệm,kiểm tra kết quả.dự giờ,kiểm tra chất lượng học sinh,nghiên cứu hồ sơ giảng dạy,điều tra trực tiếp thông qua các giờ dạy học, thể hiện ở nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh khá,giỏi,trung bình,yếu về môn toán

- Cho học sinh phân dạng bài tập nào thì dùng tích phân từng phần để giải và cách đặt như thế nào?cho các ví dụ cụ thể để học sinh áp dụng cách đặt trên

- Lựa chọn các ví dụ cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỷ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng

V PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Giới hạn ở vấn đề giảng dạy Nguyên hàm – Tích phân trong chương trình lớp

12 ở BTTHPT,THPT

PHẦN B: NỘI DUNG

I CƠ SỞ KHOA HỌC

Dưa trên nguyên tắc nhận thức của con người đi từ “cái tổng quát đến cái cụ thể,

từ cái sai đến cái gần đứng rồi mới đến cái đúng”,các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh

II NỘI DUNG CỤ THỂ

1 Tích phân bằng phương pháp từng phần

Công thức từng phần : ∫ = −∫b

a

b a b

a

vdu v

u

Phương pháp :

B1/ Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du Phần còn lại là dv , tìm v

B2/ Dùng công thức tính tích phân từng phần

B3/ Tính và suy ra kết quả

Chú ý Lý thuyết là vậy,nhưng trong thực tế học sinh gặp rất nhiều khó khăn

trong việc tính toán,học sinh rất mỏ hồ về cách đặt u và dv.học sinh chưa phân biệt được trong bài toán cụ thể nên đặt u bằng biểu thức nào, dv bằng biểu thức nào.Vì lẻ đó tôi manh dạn đưa ra hai loại bài tập về tích phân từng phần mà học sinh thường gặp phải,mà trong chương trình phổ thông không đua ra công thức

Loại 1: ∫b

a

dx x g x

f( ) ( ).

Trong đó : - f (x) là một hàm đa thức

- g (x) là một trong các hàm số :

) ( cos

1

; ) ( sin

1 );

sin(

);

cos(

b ax b

ax b

ax b

ax

e ãx b

+ +

+ +

+

- Đặt







=

=

dx x g

dv

x f

u

).

(

) (

Nếu bậc của f (x) là 2;3;4 thì ta tính từng phần 2;3;4 lần theo cách đặt trên

Loại 2 : ∫b

a

dx x g x

f( ) ln ( ).

Trong đó : - f (x) là một hàm đa thức

Đặt :







=

=

dx x f

dv

x g u

).

(

) ( ln

Ví dụ : tính các tích phân sau:

a/ I = ∫2

0

cos

.

π

xdx

x b/ J =2(2x 1)sinx.dx

0

2

π

c/ K = ∫1

0

3 e dx

a/ Đặt :







=

=

dx x dv

x u

.



=

=

⇔

x v

dx du

sin

2

cos 2 sin sin

0 2

0

2

0 −∫ =π + π =π −

π π

x dx

x x

x

b/ Đặt :







−

=

=

⇔







=

−

=

x v

dx x du dx

x dv

x u

cos

4

sin

1

2 2

2 ( 4 1

cos 4 cos

1 2

2

0

2 0

2 − + = − + − = −

π π

dx x x x

x

c/ Đặt :









=

=

⇔







=

=

x

dx du dx

e dv

x u

3 3

3

1

9

1 9

1 9

1 3

1

9

1 3

1 3

1

3

0 3 3 1

0

3 1

0

3 − ∫e dx= e − e = e − e + = e +

e

Ví dụ 2 ; tính các tích phân sau

a/ I = ∫e x x dx

1

ln

0

2 1 ).

ln(

x

giải

a/ Đặt :













=

=

⇔







=

=

2

1

ln

2

x v

dx x du dx

x dv

x u

4

1 4

1 4 2

4

1 2

2

1 ln

2

2 2

2 1 2 2

1 1

2

+

= +

−

=

−

=

x

e

b/ Đặt :













=

+

=

⇔







=

+

=

2

1 2

.

) 1 ln(

2

2 2

x v

dx x

x du

dx x dv

x u

x

x x dx

x

x x

x

).

1 ( 2 ln 2

1 1 ) 1 ln(

2

1

0

2 1

0 2

3 1

0 2 2

∫

+

− +

=

2

1 2 ln )]

1 ln(

2

1 2

1 [ 2 ln

2

0 2

2 − + = −

Một số bài tập tương tự

Bài 1.tính các tích phân

a/ I = (x 1 ) e x.dx

1

0

2 2

4

2

sin π

dx x

c/ K = 2(3x 1.)cosx.dx

0

∫ +

π

Bài 2: tính các tích phân sau

a/ I = ∫e x dx

1

.

1

3

e

.) 1 ln(

.

1

2

2 Một số sai lầm khi tính tích phân:

Ví dụ 1: Tính tích phân : I = ∫

− +

1

3x 2

dx

• Sai lầm thường gặp : I = ln 2 ln 3

2

1 3 1

3

= +

=

x dx

• Nguyên nhân sai lầm: hàm số

2

1

+

=

x

y không xác định tại x= − 2 ∈ [ − 3 ; 1 ] suy ra không liên tục trên [-3;1] nên không sử dụng được công thức newton – leibnitz như cách giải trên

• Lời giải đúng : hàm số

2

1

+

=

x

y không xác định tại x= − 2 ∈ [ − 3 ; 1 ] suy ra không liên tục trên [-3;1] do đó không tồn tại tích phân trên

Chú ý : Khi tính tích phân ∫b

a dx x

f( ). , cần chú ý xem hàm số y= f (x) có liên tục trên đoạn [a;b] không?

- Nếu có thì ta áp dụng phương pháp đã họcđể tính tích phân đó

- Nếu không thì kết luận ngay hàm số này không tồn tại

• Một số bài tập tương tự

Tính các tích phân sau

1./ I = ∫2( − )

0

3

1

x

dx

2./ J = 3 x x2 1 dx

2

−

∫

−

3./ K = ∫2

0 6

sin

π

x dx

Ví dụ 2 Tính tích phân : I = ∫2 −

0 2 cos sin π

x xdx

• Sai lầm thường gặp : Đặt : u= 2 − cosx

x

du dx dx x du

sin

=

⇔

2

; 1

sin

.

1 2

1

2

1

=

=

=∫

u

du x

u du x

• Nguyên nhân sai lầm : vì khi đổi cận về 1 và 2 thì trong biểu thức vẫn còn chứa x

• Lời giải đúng : u= 2 − cosx ⇔du = sinx.dx

2

; 1

Vậy : I = ln 2 ln 2

1 2

1

=

=

u du

Chú ý : Khi làm bài tập về tích phân đổi biến cần chú ý

- Đổi cận

- sau khi đổi cận ta làm hoàn toàn trên biến mới và cận mới mà không còn biến cũ suất hiện trong phép tính tích phân khi ta đã đổi cận

Ví dụ 3 : Tính tích phân sau : I = π∫ +

0 1 sinx dx

x dx

x dt

x

2

(tan 2

1 2 cos

2 2

2

+

=

=

⇒

=

1

2

t

dt dx

+

=

2

) 1 (

1 sin

1

1

t

t

+

= +

dt t

dt t

t x

+

−

= + +

= +

= + +

+

=

1

2 )

1 ( ) 1 ( 2 1

2 1

2 1

1 sin

1

2 2

2 2 2

2 tan 1

2 2

tan 1

2 sin

−

= +

−

= +

π

x x

dx

Do tan

2

π

không tồn tại nên tích phân trên không xác định

• Nguyên nhân sai lầm :

Đặt :

2 tan x

t = , vì x∈ [ 0 ; π ] tại x= π thì

2

tanx không có nghĩa

• Lời giải đúng

−

−

=

−

=

− +

=

− +

= +

π π

π π

π

π

π π

π

0

4 2 ( cos

) 4 2 ( )

4 2 ( cos 2 ) 4 2 ( 2 cos 1 ) 2 cos(

1 sin

x d x

dx x

dx x

dx x

dx

4

tan 4

tan 4

2









−

−

=











• Chú ý : Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là

một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a;b]

• Bài tập tương tự

Tính tích phân : J = ∫π +

0 1 cosx dx

Ví dụ 4 : Tính tích phân sau

a.) I = 1 sinx dx

2

0

2

0

2

Sai lầm thường gặp :

I = 1 sinx dx

2

0

∫π + =

2

2

cos 2 sin 2 2

cos 2 sin

2

0

2

0

2

x d x x

dx x x

∫









=











π

2

sin 2

0 = − + − − + =











Nguyên nhân sai lầm :

2

2

cos 2 sin 2 2

cos 2 sin

2

0

2

0

2

x d x x

dx x x

∫









=











π

Nhớ lại rằng : A2 = A do đó

2

cos 2

sin 2

cos 2 sin

2

x x

x









Lời giải đúng :

I = 1 sinx dx

2

0

2

cos 2 sin

) 2

cos 2 (sin

2

0

2

0

2

∫









 +











 +

=











4 2 sin 2 2 4 2 sin

2

2

0

2

0

π π

d

x dx

x









 +











 +

−











 +











4 2 sin 2 2 4 2

4 2 sin

2

2

2

2 3

2

3

0

π π

π

π

π

x d x

x d x

4 2 cos 2 2 4

2 cos

2

2 3 2

3









 + +











 +

π

x

b Sai lầm thường gặp :

2

1 )

1 ( 1

1

1

1

0

2 2

0

2

0

2

0

2 2

0

2 − + =∫ − =∫ − =∫ − − = − =

* Nguyên nhân sai lầm :

Phép biến đổi (x− 1)2 =x− 1 , với x∈ [ 0 ; 2 ] là không tương đương

Lời giải đúng :

J = x 2x 1 dx (x 1) .dx x 1 dx (x 1).dx (x 1).dx

2

1

1

0

2

0

2

0

2 2

0

2

∫

∫

∫

∫

2

1 2

1 2

1 2

1

2 1

0

2

= +

=

− +

−

Chú ý : + đối với giá trị tuyệt đối 2n(f(x))2n = f(x) , với n≥ 1 ,n∈N

+ (f x ) dx f x dx

b a

b a

rồi dùng tính chất tích phân tách I thàh tổng các phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối

Một số bài tập tương tự: tính các tích phân sau

1.) I = 1 sin 2x dx

0

∫ −

π

2.) J = 3 x2 4x 4 dx

0

+

−

∫

3.) 3 tan x cot x 2 dx

6

2 2

π

π

Ví dụ 5.Tính tích phân : I = dx

x

x

1

1

1

1 4

2

∫

− +

−

• Sai lầm thường gặp :

x x

x x

x

2 1

1 1 1

1

1

2

2 1

1 2

2

2

∫

∫

−









 +











 −

= +

−

x

dt x









 −

=

⇒ +

Đổi cận : x= − 1 ⇒t = − 2 ; x= 1 ⇒t= 2

2 2

2

2

2

2 2

1

2

1 2

1 2

2

1

−

−

− +

−

=













−

− +

−

=

t t

t dt

2

2

2 ln 2 2

1

−

−

+

−

t t

= -2 2

1 ln

2 2

2 2 ln 2 2

1 2 2

2 2

−

−

+

− +

− +

=

2 2 3

2 2 3 ln 2 2

1

+

−

• Nguyên nhân sai lầm :

Khi ta chia cả tử và mẫu của biểu thức : 2 4

1

1

x

x

+

− cho 2

x là sai vì trong [-1;1] chứa 0

=

x nên ta không thể chia cả tử và mẫu cho x2 được

• Lời giải đúng :

Ta thấy

1 2

1 2 ln

2 2

1 ) (

2

2

+ +

+

−

=

x x

x x x

,

2

2 ,

1

1 1

2

1 2 ln

2 2

1 ) (

x

x x

x

x x x

F

+

−

=









+ +

+

−

=

Do đó : I =

2 2 3

2 2 3 ln 2 2

1 1

2

1 2 ln

2 2

1

1

1 2

2 1

1 4

2

+

−

= + +

+

−

= +

−

−

x x

• Chú ý : Khi tính tích phân mà ta cần chia cả tử và mẫu của hàm số dưới dấu tích phân cho x ta cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0

III HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGIỆM

1 Kết quả thực tế:

Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân,lựu chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra cách đặt u,dv(đối với những bài toán sử dụng phương pháp từng phần), đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích phân.Từ đó các em có nhưng lời giải đúng

Sau khi hướng dẫn học sinh và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 , một số bài tập tích phân trong sách bài tập Giải tích lớp 12 cơ bản , nâng cao và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học , cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã làm tốt khi trình bày cách giải,biết phân loại bài tâp, đặt u , dv rất thành thạo , không mắc phải các sai lầm đáng tiếc

2 Kết quả thực nghiệm

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2011 – 2012

Kiểm tra trên lớp 12B(41 học sinh) không áp dụng sáng kiến cho kết quả

Xếp loại

Kiểm tra trên lớp 12B(41 học sinh) áp dụng sáng kiến.Cho kết quả như sau:

Đối tượng

Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm học sinh học tập rất tích cực và hứng thú,đặc biệt là các bài toán về tích phân từng phần các em rất thành thạo phân loại bài tập, cách đặt u,dv Và các em cũng rất thận trọng trong quá trình tính tích phân,các em hiểu rỏ bản chất của vấn đề chứ không rập khuôn một cách máy móc như trước,đó là việc phát huy tính tích cụa,chủ động,sáng tạo của học sinh

PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Nguyên cứu , phân tích phương pháp tính tích phân từng phần và những sai lầm khi tính tích phân của học sinh có ý nghĩa rất quan trọng trong quá trình dạy và học vì khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập , năng lực suy luận , tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức về tích phân

từ đó làm chủ được kiến thức , đạy được kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học , cao đẳng

Hiện nay Trung Tâm GDTX Tĩnh Gia đã có một số cuốn sách tham khảo, nhưng chưa phong phú đặc biệt chưa có một cuốn sách nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán.vì vậy Trung Tâm cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh được tìm tòi về các cách tính tích phân từng phần và những sai lầm khi tính tích phân

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích cơ bản 12 TRần Văn Hạo – Vũ Tuấn ( Nhà Suất bản : Giáo Dục )

2 Bài tập Giải tích cơ bản 12 Vũ Tuấn – Lê Thị Thiên Hương ( Nhà Suất Bản Giáo Dục )

3 Bài tập giải tích nâng cao 12 Nguyễn Huy Đoan – Đoàn Quỳnh ( Nhà Suất Bản Giáo Dục )

4 Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp môn toán lớp 12 Phạm Vĩnh Phúc ( Nhà Suất Bản Giáo Dục )

5 Phương pháp tính tích phân Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc ( Nhà suất Bản

Hà Nội)

6 Giải Tích Nâng Cao 12 Nguyễn Huy Đoan – Đoàn Quỳnh ( Nhà Suất Bản Giáo Dục )

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ……… 1

I Lý do chọn đề tài……… 1

II Nhiệm vụ nghiên cứu……… …1

III Đối tượng nghiên cứu……… …… 2

IV Phương pháp nghiên cứu……… … 2

V Phạm vi nghiên cứu 2

PHẦN B: NỘI DUNG… 3

I Cở sở khoa học 3

II Nội dung cụ thể 3

1.Tính tích phân bằng phương pháp từng phần 3

2.Một số sai lầm khi tính tích phân 5

III Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiêm 9

1 Kết quả thực tế 9

2 Kết quả thực nghiệm 9

PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾNNGHỊ 11

I Kết luận 11

II Kiến nghị 11

Tài liệu tham khảo 12