Lý thuyết xác suất thông kê và toán Giáo trình dành cho sinh viên ngành Tiểu học

Lý thuyết xác suất thông kê và toán Giáo trình dành cho sinh viên ngành Tiểu học là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

TR NGă IăH CăPH MăV Nă NG

L I NịI U

Líăthuy tăxácăsu tăvàăth ngăkêătoánăhi nălàăm tămônăh căc ăb n,ăngàyăcàngăđ căngăd ngăr ngărưiătrongăkhoaăh căk ăthu t,ăgiáoăd c… Vìăv yătàiăli u,ăgiáoătrìnhăđ ăthamăkh oăvàăh căt păb ămônănàyăkháăphongăphú.ăM tădùăv yăđ iăv iăh căph nă“Nh pămônălíăthuy tăxácăsu tăvàăth ng kê toán”ăc aăch ngătrìnhăCaoăđ ngăS ăph măđàoăt oăgiáo viên Ti uăh c ch aăcóăgiáoătrìnhăchínhăth ng

Soăv iăyêuăc uăchiăti tăn iădungămàăh căph nămôăt ,ăthìăh uăh tăcácătàiăli uăvàăgiáoătrìnhăhi năcó ch a đápă ngăđ căv năđ ăt ăh c,ăt ănghiênăc uăc aăsinh viênă ăb că

h cănày.ă ăgiúp sinhăviênăh căt păh căph nănàyătheo ph ngăth căđàoăt oătheoăh ă

th ngătínăch ănh ăhi nănay,ăchúngătôiăbiênăso năbàiăgi ngă“Nh pămônălíăthuy tăxácăsu tăvàăth ngăkêătoán”ătrênăc ăs ăđ ăc ngăchiăti t,ăthamăkh oănhi uătàiăli u,ănh mătíchăc căhóa ho tăđ ng,ăkíchăthíchăs ăsángăt oăvàăkh ăn ngăgi iăquy tăv năđ choăng iăh c

Bàiăgi ngănàyăt ngă ngăv iăth iăl ngă30ăti t.ă

N iădungăg măbaăch ng:

Ch ngă1:ăBi năc ăng uănhiênăvàăxácăsu t

Ch ngă2:ăBi năng uănhiên

Ch ngă3:ăTh ngăkê toán

Vìăth iăl ngăch ăg măhaiătínăch , yêuăc uăng iăh căch ăti păc nă ăm căđ ănh pămôn,ăh năn aăn iădungăđ căbiênăso năchoăsinhăviênăb căcaoăđ ngăngànhăgiáoăd căti uă

h c nênăchúngătôiăc ăg ngădi năđ tăcácăkháiăni măvàăcácăk tălu năd iăd ngăngônăng ă

gi năd ,ăthíchăh păv iăđ iăt ng.ă ăcóăth ăkhaiăthácăsâuăh năv ăki năth cămônăh cănày,ăng iăh căcóăth ăthamăkh oăthêmăcácătàiăli u [1], [2], [3] và [4]

âyălàăl năđ uătiênăbiênăso năbàiăgi ngănàyăv iăph ngăth căđàoăt oătheoăh ă

th ngăđàoăt oătínăch ,ăch căch năs ăkhôngătránhăkh iănh ngăsai sót, chúngătôiăr tămongă

nh năđ cănh ngăýăki năđóngăgópăc aăcácăth yăcôăgiáoăvàăsinhăviênătrongănhàătr ng.ă

Xinăchânăthànhăc mă n

TÁCăGI

Ch ng 1 BI N C NG U NHIÊN VÀ XÁC SU T

A M C TIÊU

KI N TH C:

Cungăc păchoăng iăh cănh ngăki năth căv :

- Nh ngăkháiăni măc ăb năv ăxácăsu t

- M tăs ăph ngăphápăđ nhăngh aăxácăsu tăth ngăs ăd ng

- M tăs ătínhăch tăc ăb năc aăxácăsu t

- Cácă côngă th că tínhă xácă su tă đ că l p,ă xácă su t đi uă ki n,ă dưyă phépă th ăBécnuli

K ăN NG:

Hìnhăthànhăvàărènăluy năchoăng iăh căk ăn ng:

- Gi iăcácăbàiătoánăv ăxácăsu tăc ăđi n,ăxácăsu tăhìnhăh c,ăxácăsu tăđi uăki n…

- V năd ngăđ ăx ălíăcácăbàiătoánăxácăsu tătrongăth căt ăvàănghiênăc uăkhoaă

nhăngh a:ăPhépăth ălàăs ăth căhi năm tănhómăcácăđi uăki năxácăđ nhă(cóăth ă

đ căl păl iăvôăs ăl n)

Trongăđ iăs ngăhàngăngày taăth ngăg păhaiălo iăs ăki n:ăs ăki năng uănhiênăvàă

s ăki năt tăy u

S ăki năt tăy uălàăs ăki nămàătaăhoànătoànăbi tăđ călàănóăx yăraăhayăkhôngăx yăra

S ăki năng uănhiênălàăs ăki nămàătaăkhôngăth ăxácăđ nhăm t cáchăch căch n là nóăx yăraăhayăkhôngăx yăra, taăcònăg iălàăbi năc ăng uănhiên.ăNg iătaăth ngăkíăhi uăcácăbi năc ăng uănhiênălàăA,ăBă,ă

S ăki năt tăy uămàătaăbi tăch căch nălàănóăx yăraătaăcònăg iălàăbi năc ăch căch n,ăkíăhi uălàă ăS ăki nă t tă y uă màătaă bi tăch călàănóă khôngăth ăx yăraăg iă làăbi năc ăkhôngăth ăhayăbi năc ăr ng,ăkíăăhi uălàă

1.1 3 Ví d

- Gieoăm tăl năconăxúcăx căđ căxemănh ăti năhànhăm tăphépăth ăK tăqu ăc aăphépăth ănàyălàăm tătrênăconăxúcăx căcóăth làăm tăch mă(taăkíăhi uălàăB1),ăhaiăch mă(B2),ăho căbaăch mă(B3),ăho căb năch mă(B4),ăho că n măch mă(B5),ăho că sáuăch mă(B6)

Cácăs ăki năB1 x yăraăhayăB2x yăra ălàăcácăbi năc ăng uănhiên

Taăg iăAălàăs ăki năs ăch mă ăm tătrênălàăch năho căl ăthìăAălàăbi năc ăch că

ch n

G iăCălàăs ăki nămàăm tătrênăc aăconăxúcăx căcóăs ăch mălàă7ăthìăCălàăbi năc ăkhôngăth

- Gieoăm tăđ ngăxuăcânăđ iăvàăđ ngăch t,ătaăg iăăAălàăs ăki năm tăng aă(m tăs )ă

xu tăhi n,ăBălàăs ăki năm tăs pă(m tăqu căhuy)ăxu tăhi n,ăthìăA,ăBălàăhaiăbi năc ăng uănhiên

Bi năc ăch căch n,ăbi năc ăkhôngăth ,ăbi năc ăng uănhiênăg iăchungălàăbi năc

- Taăth căhi nă1ăphépăth ăCácăk tăqu ăcóăth ăkhiăphépăth ăđ căth căhi năg iălàăcácăbi năc ăs c pă(ho căcácăbi năc ăc ăb n)

- T ngăhaiăbi năc ăAăvàăBălàăm tăbi năc ,ăkíăhi uălàăABăsaoăchoăbi năc ăt ngă

ABăx yăraăkhiăvàăch ăkhiăAăx yăraăho căBăx yăra

- Tíchăhaiăbi năc ăAăvàăBălàăm tăbi năc ,ăkíăhi uălàăABăho căABăsaoăchoăbi nă

c ătíchăABăx yăraăkhiăvàăch ăch ăAăx yăraăvàăBăx yăra

- Haiăbi năc ăAăvàăBăg iălàăxungăkh căn uăx yăraăbi năc ănàyăthìăkhôngăth ăx yăraăbi năc ăkiaă(AăvàăBăxungăkh căv iănhauăthìăABă=ă)

- Hi uăc aăăbi năc ăAăătr ăbi năc ăBălàăm tăbi năc ,ăkíăhi uălàăA\Băăsaoăchoăbi nă

c ăA\Băx yăraăkhiăvàăch ăkhiăAăx yăraănh ngăBăkhôngăx yăra

- Bi năc ăBăđ căg iălàăđ iăl păv iăbi năc ăAăn uăvàăch ăn uăAăvà B làăhaiăbi nă

c ăxungăkh căvàătrongăphépăth ăluônăxu tăhi năm tătrongătrongăhaiăbi năc ănày.ăBi năc ă

đ iăl păc aăbi năc ăAătaăkíăhi uălàăA, ta có A = \A

- Bi năc ăAăđ căg iălàăkéoătheoăbi năc ăB,ăkíăhi uăAăBăn uăbi năc ăAăx yăraăthìăbi năc ăBăph iăx yăra

Víăd :ăKhiăgieoăconăxúcăx c,ăg iă

Dă=ă{s ăch mă ăm tătrênăconăxúcăx călàăs ăl },ăkhiăđóătaăcó

th ăph năánhăchínhăxácătrongăm iătr ngăh p

Víăd : Haiăng iăcùngăb năvàoăm tăm cătiêu

G i Aă=ă“Anhăth ănh tăb nătrúngăbia”

Bă=ă“Anhăth ăhaiăb nătrúngăbia”

Haiăbi năc ănàyăkhôngăxungăkh căv iănhau,ănh ngăkhóămôăt ăhìnhăh căchoăbi năc ătíchăABă(tr ngăh păhaiăanhăcùngăb nătrúngăbia)

- H ănăbi năc ăA1, A2 , , An g iălàăm tănhómăđ yăđ ăcácăbi năc ăn u:

Chúngăxungăkh căv iănhauăt ngăđôiăm tăAiAj = ,ăiă≠ăjă

ăT ngăc aănăbi năc ănàyăt ngăđ ngăv iăbi năc ăch căch n

Nh ăv yăm iăl năthíănghi măph iăx yăraăm tăvàăch ăm tăbi năc ăthu cănhómăđ yă

đ ăcácăbi năc

Víăd : A , A làăm tănhómăđ yăđ ăcácăbi năc Khiăgieoăconăxúcăx căthìăB1, B2,ă…,ăB6

làăm tăh ăđ yăđ ăcácăbi năc

- Quyăt căđ iăng uăDeăMorgan: A  B C A B C ; ABC  A B C Quyăt cănàyăcóăth ăm ăr ngăchoănăbi năc ănh ăsau:

A A   A A A A ; A A A A A   A

- Phépăl yăt ngăvàătíchăcóătínhăch tăgiaoăhoán,ăk tăh păvàăphânăph i:

AB = BA ; AB = BA A( BC ) = AB  AC ; A  (B C) = (A B)(AC Víăd :ăHaiăng iăcùngăb n,ăm iăng iăb năăm tăviênăvàoăbia.ă

G iăAi = {ng iăth ăiăb nătrúngăbia},ăiă=ă1,ă2ă Taăcóăth ăxâyăd ngăcácăbi năc ăt ăhaiăbi năc ăA1, A2 nh ăsau:

a.ăCh ăcóăng iăth ă1ăb nătrúngăđíchă : A A1 2

b.ăCóăm tăng iăb nătrúngă : A A1 2A A1 2

c.ăCóăítănh tăm tăng iăb nătrúngă : A1A2

d.ăC ăhaiăcùngăb nătrúng : A A1 2

e.ăKhôngăaiăb nătrúng : A A1 2 ho căăăăA1A2

f.ăNhómăđ yăđ ăcácăbi năc ă : A A1, 1 ho căA A1 2, A A1 2 , A A1 2 , A A1 2

- Xácăsu tăđ ăm tăh căsinhăkhôngăđ căvéănàoălà:

S ătr ngăh păthu năl iăc aăA

S ătr ngăh păcóăth ăx yăra

p = 1 - 7 5

12 12 Víăd ă2:ăRútăng uănhiênăt ăc ăbàiăg mă52ăconăbàiăraăt ă8ăconăbài.ăTìm xác su tăsaoăcho trong 8 con bài có:

a 3 con At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J

G iăăăAă=ă“trong 8 con bài rút ra có 3 At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J”

T ngăt ăB,ăC,ăDălàăcácăbi năc ăt ngă ngăv iăcácăcâuăb/ă;ăc/ă;ăd/

a S ătr ngăh păthu năl iăchoăAătheoălu tătíchălà:

C C C C C = 4.6.4.4.4 Doăđóă P(A) = 48

8 52

8 52

n g iălàăt năsu tăc aăbi năc ăA

Khiănăthayăđ i,ăt năsu tăm/năc ngăthayăđ iănh ngănóăluônădaoăđ ngăquanhăm tă

s ăc ăđ nhănàoăđó,ănăcàngăl năthìăt ăs ăm/năcàngăg năs ăc ăđ nhăđó.ăS ăc ăđ nhă yăg iălàăxácăsu tăc aăbi năc ăAătheoăngh aăth ngăkê.ăTrênăth căt ăkhiănăđ ăl nătaăx păx ăP(A)ă

b iăm/n

P(A)  m

n Víăd :

- Buffonăđưăgieoăm tăđ ngăti năcânăđ i,ăđ ngăch tă4040ăl năth yăcóă2048ăl nă

xu tăhi năm tăs p

m

n = 0,5080

S ăc ăđ nhăc nătìmătrongătr ngăh pănàyălàă0,5.ăT călàăxácăsu tăxu tăhi năm tă

s păkhiăgieoăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch tălàăb ngă0,5

Nh năxét:ă nhăngh aăxácăsu tăd ngăth ngăkêăhay đ nhăngh aăxácăsu tătheoăt năsu tăch ăchoătaăgiáătr ăs păx ăvàăm căđ ăchínhăxácăc aăvi căx păx ătùyăthu căvàoăs ăl năth căhi năphépăth

Gi ăs ăXălàăm tăhìnhăn mătrongăhìnhă ă,ăl yăng uănhiênăm tăđi măMătrênăhìnhăăthìăcóăm tătrongăhaiăkh ăn ngăsauăcóăth ăx yăra:ăho căMăn mătrênăhìnhăX,ăho căMăkhôngăn mătrênăhìnhăX.ăTaăg iăt ăs :

P(M) =

làăxácăsu tăđ ăkhiă yăđi măMăr iăvàoăhìnhăX

Chú ý:ăKháiăni mă“đ ăđo”ăhìnhăXă ăđâyăđ căhi uănh ăsau:

- Làăđ ădàiăn uăcácăhìnhăXăđ căt o b iănh ngăđo năth ng,ăđ ngăcong

- Làădi nătíchătheoăngh aăthôngăth ng,ăn uăXălàăhìnhăph ngătrongăm tăph ng.ăTrongătr ngăh pănàyătaăquiă c:ădi nătíchăc aăđ ngăcongătrongăm tăph ngă

b ngă0

- Làăth ătíchătheoăngh aăthôngăth ng,ăn uăXălàăkh iăđaădi năho căkh iătrònăxoayătrongăkhôngăgian.ăTrongătr ngăh pănàyătaăquiă c:ăth ătíchăc aăm tăcongătrongăkhôngăgianăb ngă0

2

1 2 P(M)

BC AH S

R R R

2) Haiăng iăh năg pănhauăt iăm tăđ aăđi mătrongăkho ngăt ă1ăđ nă2ăgi chi u.ăH ă

th aăthu năv iănhauănh ăsau:ăM tăng iăđ năđi măh nămàăng iăkiaăch aăđ năthìăs ăch ăkhôngăquáă15ăphút.ăN uăng iăkiaăkhôngăđ năthìăng iăđóăraăđiătr că2ăgi ăchi u.ăTìmăxácăsu tăđ ăhaiăng iăg pănhau

“đ đo”ăhìnhăX

“đ đo”ăhìnhă

R

o

Gi i:ă15ăphútă=ă0,25ăgi ăG iăxăvàăyătheoăth ăt ălàăth iăđi măng iăth ănh tăvàă

ng iăth ăhaiăđ năđi măh n.ăV yăđi uăki năđ ăhaiăng iăg pănhauălà:

T păh pănh ngăđi măM(x,y)ăv iăă1ă≤ăx,ăyă≤ă2ăn mătrongăhìnhăvuôngăABCD.ăT pă

h pănh ngăđi măM(x,y)ăv iăăxă– 0,25ă≤ăyă≤ăxă+ă0,25ăn mătrongăph năg chăchéoătrongăhìnhăv ă

T ăphânătíchă trên,ătaă phátăbi uă l iăbàiă toánă d iăd ngăhìnhăh cănh ăsau:ăL yă

ng uănhiênăm tăđi măM(x,y)ătrongăhìnhăvuôngăABCD.ăTìmăxácăsu tăđ ăđi măđóă

r iăvàoăph năg chăchéoătrongăhìnhăv

Ápăd ngăcôngăth căxácăhìnhăh c,ătaăcóăxácăsu tăđ ăhaiăng iăg pănhauăt iăđi mă

x2– (m-1)x + m2 – 1 = 0

l yăng uănhiênătrongăđo nă[-2;ă2].ăTìmăxácăsu tăđ ăph ngătrênăcóănghi măth c

Gi i:ă i uăki năđ ăph ngătrìnhăđưăchoăcóănghi măth călà:

Bàiătoánăcóăth ăphátăbi uăd iăd ngăhìnhăh cănh ăsau:ăL yăng uănhiênăm tăđi măMătrongăđo nă[-2;ă2].ăTìmăxácăsu tăđ ăđi măđóăr iăvàoăđo nă[ 5; 1

3

 ].ăV yăxácăsu tăđ ă

ph ngătrìnhăcóănghi măth călà:

P(M) =

513

Quyăt c I:ăXácăsu tăc aăt ngăhaiăs ăki nă(bi năc )ăxungăkh căb ngăt ngăcácăxácă

su tăc aănh ngăs ăki nă y

N uăA,ăBălàăhaiăbi năc xungăkh căthì:ăP(AB) = P(A) + P(B)

T ngăquát:ăN uăA1, A2, , An là n bi n c xungăkh căv iănhauăt ngăđôiăm tăthìăăăăă

P(

1

n i i

A



) = 1

( )

n i i

P A





H ăqu ă1:ăN uăcácăs ăki năxungăkh căA1, A2, , An l păthành m tănhómăs ăki nă

đ yăđ ăthìăt ngăcácăxácăsu tăc aăchúngăb ngă1ă

1

( )

n i i

gi iănhì,ă100ăgi iăba.ăM tăng iăcóăm tăphi uăti tăki m.ăTính:

- Xácăsu tăđ ăng iăđóătrúngăgi iănhì

- Xácăsu tăđ ăng iăđóătrúngăth ng

- Xácăsu tăđ ăng iăđóăkhôngătrúngăth ng

Gi i:

G i A1 là bi năc ng iăđóătrúngăgi iănh t,ăA2 là bi năc ng iăđóătrúngăgi iănhì,ă

A3làăbi năc trúngăgi iăba,ăvàăAălàăbi năc ng iăđóătrúngăm tăgi iănàoăđóăthì:

su tăc aă2ăbi năc AăvàăBătr ăđiăxácăsu tăc aătíchă2ăs ăki nă y

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Tr ngăh păt ngăc aă3ăs ăki năA,ăB,ăCăătaăcó:

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

Tr ngăh păt ngăquátă:ăN uăA1, A2, , Anlàăcácăbi năc đ căl păv iănhauăthì

P(A1. A2 An) = P(A1).P(A2) P(An) Víăd 1:ăCóă12ăvéăxemăbóngăđáăqu căt ,ătrongăđóă3ăvéălo iăI,ă4ăvéălo iăII,ă5ăvéălo iăIII.ăTaăghiăvàoăcácăphi uăr iă"rútăth m"ăhaiăl n,ăm iăl năm tăphi u.ăSauăkhiă"rútăth m"ă

l năth ănh t,ătaăb ăphi uăvàoăl iăđ ăchoăs ăphi uăv nălàă12.ăTínhăxácăsu tăđ ărútăđ că2ăphi uălàă2ăvéălo iăI

G iăCălàăbi năc ă“Trúngă2ăphi uălo iăIăliênăti p”

Aălàăbi năc ă“Trúngăphi uălo iăIă ăl năth ănh t”

Bălàăbi năc ă“Trúngăphi uălo iăIă ăl năth ăhai”

Rõ ràng A, B là hai bi năc ăđ căl păv iănhau

C = AB ; P(C) = P(A).P(B)

Mà P(A) = P(B) = 3 1

12  4 nên P(C) = 1 1. 1

4 4 16  Víăd ă2:ăHaiăng iăcùngăb năvàoăm cătiêuăm tăcáchăđ căl păv i nhau Xácăxu tăb nătrúngăđíchăc aăchi năs ăAălàă0,8ăcònăc aăchi năs ăBălàă0,7.ăTìmăxácăsu t

a.ăChi năs ăAăb nătrúngăđíchăngayătrongă3ăphátăđ u

b.ăChi năs ăBăb nătrúngăđíchăngayăt ăphátăth ă3

c.ăHaiăng iăcùngăb nătrúngăđíchăkhiăm iăng iăb năm tăphát

d.ăÍtănh tăcóăm tăng iăb nătrúngăđíchăkhiăm iăng iăb năm tăphát

Gi i: G iăAilàăbi năc ă"chi năs ăAăb nătrúngăđíchă ăphát th ăi"ă;ăiă=ă1,ă2,ă3

G iăBi làăbi năc ă"chi năs ăBăb nătrúngăđíchă ăphátăth ăi"ă;ăiă=ă1,ă2,ă3

D1, D2, D3, D4 làă4ăbi năc ăt ngă ngăc nătìmăxácăsu tătrongă4ăcâuăa,ăb,ăc,ădă ătrên Ta có: D1 = A1 A2 A3 ; D2 = B B B1 2 3

P(D2) = P(B1).P(B2).P(B3) = (1 - 0,7).(1 - 0,7).0,7 = 0,063

P(D3) = P(A1).P(B1) = 0,8.0,7 = 0,56

P(D4) = P(A1) + P(B1) - P(A1B1) = 0,8 + 0,7 - 0,56 = 0,94

đưăx yăra.ăTaăg iălàăxácăsu tăcóăđi uăki n.ă

T ăđ nhăngh aătaăth yăn uăAăvàăBălàă2ăs ăki năđ căl păthì:

P(A/B) = P(A) Taăxétăvíăd ătrongăquy t căII.ăN uăg iăAălàăbi năc ă"đ tăyêuăc uăv ăn ngăkhi u",ă

g iăBălàăbi năc "trúngătuy n",ărõăràngăAăvàăBăkhôngăđ căl păv iănhau.ăP(B/A)ălàăxácă

su tăđ ăm tăh căsinhăthiătrúngătuy năv iăđi uăki năđưăđ tăyêuăc uăv ăthiăn ngăkhi u Quyăt căIV:ăXácăsu tăc aătíchă2ăs ăki năAăvàăBăb tăk ăb ngătíchăgi aăxácăsu tăc aăs ă

ki năAăv iăxácăsu tăc aăs ăki năBăv iăđi uăki năAăđưăx yăraăho căb ngătíchăgi aăxácă

su tăc aăs ăki năBăv iăxácăsu tăc aăs ăki năAăv iăđi uăki năBăđưăx yăra

P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) Víăd ă1:ăXétăvíăd ă ăquyăt căIIIăv iătr ngăh pă"rútăth m"ăkhôngăhoànăl i,ăkhiăđóăăă

P(A) = 1

4; P(B/A) = 2

11 ; P(AB) = P(A).P(B/A) Víăd ă2:ăCóă3ăb căth ăvàă3ăbìăth ăcóăghiăđ aăch ăs n.ăChoăl n l tăng uănhiênă3ăb că

th ăvàoă3ăbìăth ăđó.ăTìmăxácăsu tăđ ăcóăítănh tăm tăb căth ăg iăđúngăđ aăch

Gi i: G iăAălàăs ăki nă“trongă3ăb căth ăcóăítănh tăm tăb căth ăg iăđúngăđ aăch ”

Ailàăbi năc ă“b căth ăth ăiăg iăđúngăđ aăch ”,ăv iăiă=ă1,ă2, 3 Ta có

A = A1 A2 A3 P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3)

Mà P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1

3 P(A1A2) = P(A1A3) = P(A2A3) = P(A1).P(A2/A1) = 1

3.1

2 = 1

6 P(A1A2A3) = P(A1A2).P(A3/A1A2) = 1

b n.ăTìmăxácăxu tăsaoăchoăph iăb năđ năviênăth ă4,ăbi tăr ngăxácăsu tătrúngăm cătiêuă

c aăm iăl năb nălàănh ănhauăvàăb ngă0,3

G iăă Ai làăs ăki nă“viên th ăiătrúngăm cătiêu”, i = 1, 2,

Aălàăs ăki nă“b năđ năviênăth ă4ăm iăng ng”

A = A A A A1 2 3 4

Cácă bi nă c ă ă A1, A2, A3, A4 khôngă đ că l pă vìă vi că x yă raă bi nă c ă Aiă s ă nhă

h ngăx yăraăbi năc ăAi+1:

P(Ai+1/Ai)= 0 (vì Ai+1/Ai = ) ; P(A i1/A i ) = 0,3 Doăđó:

P(A) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A A1 2).P(A4/A A A1 2 3)

= (1 - P(A1 )).(1 - P(A2/A1)).(1 - P(A3/A A1 2 )).P(A4/A A A1 2 3)

H năn a A2 A A1 , 3  A2  A1

Nên P(A) = (1 -0,3)(1 - 0,3)(1 - 0,3).0,3 = 0,1029

1.4.2 Công th c xác su t đ y đ (toàn ph n), công th c Bayes (Bây-ét)

Gi ăs ăB1, B2, , Bn làăm tăh ăđ yăđ ăcácăbi năc ăc aăm tăphépăth ăvàăAălàăm tă

bi năc ătrongăphépăth ăđó,ăkhiăđó:

   / 1   1  / 2   2  / n  . n

P A  P B A P A  P B A P A   P B A P A (1)

  ( )

k

k k

A

P B P

B B

l i.ăTìmăxácăsu tăđ ăchaiăl yăraălàăchaiăth t

Gi i.ăG iă B1 = "Chaiăr uăb ăm tălàăchaiăgi "

B2 = "Chaiăr uăb ăm tălàăchaiăth t"

A = "Chaiăr uăl yăraăsauăcùngălàăchaiăth t"

Ta có B1, B2làăm tăh ăđ yăđ ăcácăbi năc ,ătheoăcôngăth căxácăsu tăđ yăđ ătaăcó

P(A) = P(B1).P(A/B1) + P(B2).P(A/B2)

Gi i: G iă B1 = "Ọătôăch y ngangăquaătr măd uălàăôătôăt i"

B2 = "Ọătôăch y ngangăquaătr măd uălàăôătôăcon"

B1, B2làăm tăh ăđ yăđ ăcácăbi năc

A = "Ô tôăđiăngangăquaăđ ngăghéăvàoătr mănh năd u"

P(A) = P(B1).P(A/B1) + P(B2).P(A/B2) = 3

5.0,3 +2

5 0,2 = 0,26 Ọătôăđ nănh năd u,ătínhăxácăsu tăđ ăôătôănàyălàăôătôăt i,ătheoăcôngăth căBayesătaăcó:

P(B1/A) = P(B )P(A/B )1 1

3.0,350,26 = 0,6923 Víăd ă3:ăCóăhaiăh p,ăh păIăcóă8ăbiăđen,ă5ăbiăđ ,ăh păIIăcóă7ăbiăđen,ă5ăb ăđ ăL yăng uă nhiênă1ăbiăt ăh păIăb ăvàoăh păII,ăt ăh păIIăl yăng uănhiênă2ăb

a.ăTínhăxácăsu tăđ ă2ăbiăl yăt ăh păhaiălàă2ăbiăđ

b.ăGi ăs ă2ăbiăl yăt ăh păIIălàăhaiăbiăđ ,ătínhăxácăsu tăđ ăbiăl yăt ăh păIăb ăvàoăh păIIă

là biăđ

Gi i:

a B1 =ăă“L yătrúngăbiăđenăt ăh păIăb ăvàoăh păII”

B2=ăă“L yătrúngăbiăđ ăt ăh păIăb ăvàoăh păII”

Aăă=ăă“L yăđ că2ăbiăđ ăt ăh păII”

Ta có B1, B2làăh ăđ yăđ ăcácăbi năc ăvà

C

C + 5

13 622 13

C

C = 155

1014 b.ăTheoăcôngăth căBayesătaăcó

P(B2/A) =   2 2

5 15

13 78 155

1014

p B p A p

B

1.5 Công th c Bernoulli

Ti năhànhăn phépăth ăđ căl pă(t călàăcác k tăqu ăc aăphépăth ăn ăkhôngă nh đ n

h ngăk tăqu ăc aăphépăth ăkia)ăđ căg iălàăm tăphépăth ăBernoulliă(ho căm tăl căđ ăBernoulli)ăn uănóătho ăm năhaiăđi uăki năsau:

1.ăM iăphépăth ăch ăcóăm tătrongăhaiăk tăqu :ăAăho căă 2.ăP(A)ă=ăpă;ăăP(A)ănh ănhauăđ iăv iăm iăphépăth ă Víăd :

+ăGieoăm tăđ ngăti nă10ăl n,ăđóălàă10ăphépăth ăBernoulli

+ăM tăng iăb nă5ăviênăđ n,ăb năt ngăviênăm tăvàoăm cătiêu.ă óălàă5ăphépăth ăBernoulli.(Nh ngăn uă5ăng iăb n,ăm iăng iăb năm tăviênăthìănóiăchungăđóăl iăkhông

ph iălàă5ăphépăth ăBernoulli)

+ăGieoăm tăconăxúcăs că100ăl n,ăAă=ă{xu tăhi năăm tăl c}.ă óălàă100ăphépăth ăBernoulli

1.5.2 Công th c Bernoulli

Xácăsu tăđ ăbi năc ăAăxu tăhi nămăl nătrongănăphépăth ăBernoulli kýăhi uălàă

Pn(m,p)ăvàăđ căxácăđ nhătheo côngăth căsau:

2)ăs ăt năt iăs ăl nănh t,ă

trongătr ngăh pănàyămă=ă2ăvàăm=ă3,ăt călàă5ăl năgieoăđ ngăti n,ăm tăs păcóăth ăxu tă

hi nă0ăl n,ă1ăl n,ă ,ă5ăl n,ănh ngăxu tăhi nă2ăl n,ă3ăl nălàăcóăkh ăn ngănh t

S ăm0 màă ngăv iănóăPn(m0 ,p)ăl nănh t,ăđ căg iălàăs ăcóăkh ăn ngănh t

* Quyăt cătìmăs ăcóăkh ăn ngănh t:

- N uăănpă+ăpă- 1ălàăm tăs ănguyênăthìăăm0 chính là np + p - 1 và np + p

- N uăănpă+ăpă- 1ăălàăm tăs ăth păphânăthìăm0 chínhălàăs ănguyênăbéănh tăl nă

h năănpă+ăpă-1

m0 =[np + p - 1]ă+ă1ă;ă([x]ălàăph nănguyênăc aăăx) Víăd 1:ăM tăc uăth ăbóngăđáăsútăluânăl uă11ăm.ăXác su tăđáăthànhăcôngăm iăqu ălàă0,5.ăN uăc uăth ănàyăđáă5ăqu ,ăthìăkh ăn ngăđáăthànhăcôngăănh tăc aăc uăth ălà:

m0 =[np + p - 1] + 1 = [5 4

5 + 4

5 - 1] + 1 =[4 + 0,8 - 1] + 1 =[3,8] + 1 = 4

Víăd ă2: Khiăgieoăđ ngăti n cânăđ iăvàăđ ngăch t 10ăl n.ăG iăAă={m tăs păxu tăhi n},ă

BÀI T P CH NG 1

1 Gieoăđ ngăth iăhaiăđ ngăti năcânăđ iăvà đ ngăch t.ăTìmăxácăsu tăđ :

a C ăhaiăđ ngăti năđ uăxu tăhi năm tăs p

b Ch ăcóăm tăđ ngăti năxu tăhi năm tăs p

c Ítănh tăm tăđ ngăti năxu tăhi năm tăs p

2 Trongăphépăth ăhaiăconăxúcăx căcânăđ iăvàăđ ngăch t,ătìmăxácăsu tăc aăcácăbi nă

Môn Toán: 8; 9; 12; 15; 15; 17; 18; 19; 19; 19

Môn Ti ngăVi t:ă 7; 10; 15; 16; 18; 18; 18; 19; 19; 20

Rútăm iătúiăm tăbàiăthi.ăTìmăxácăsu tăđ :

a C ăhaiăbàiăđ ăđ tă19ăđi m

b Ítănh tăm tăbàiăđ tă19ăđi m

c T ngăs ăđi măc aăhaiăbàiăb ngă35

4 M tăkh iăg ăcóăhìnhăh păch ănh tăcóăkíchăth că5cm×10cm×15cm.ăHaiăm tăđáy

đ căs nămàuăxanhăvàăcácăm tăxungăquanhăđ căs nămàuăvàng.ăNg iătaăc aă

kh iăđóăraăthànhă750ăkh iăl păph ngănh ănh ănhau.ăL yăng uănhiênăhaiăkh iă

nh ăTìmăxácăsu tăđ :

a M tăkh iăkhôngăcóăm tănàoăđ căs năvàăkh iăkiaăcóăhaiăm tăđ căs n

b C ăhaiăkh iăch ăcó m tăm tăđ căs nămàuăvàngăcònăn măm tăkiaăkhôngă

s n

5 Gieoăbaăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch t.ăTìmăxácăsu tăđ :

a C ăbaăđ ngăti năxu tăhi năm tăng a

b Ítănh tăm tătrongăbaăđ ngăxu tăhi năm tăng a

6 M tăh păcóă9ăviênăbiămàuăxanhăvàă6ăviênăbiămàuătr ngăkíchăth cănh ănhau.ăL yă

ng uănhiênăhaiăviênăt ăh păđó.ăTìmăxácăsu tăđ :

a Hai viên khác màu

b Haiăviênăđ uămàuătr ng

c Ítănh tăm tăviênămàuăxanh

7 Nhómă“Chimăs năca”ăc aăm tătr ngăti uăh căcóă15ăem,ătrongăđóă5ăemăkh iăBa,ă5ăemăkh iăB năvà 5ăemăkh iăN m.ăG păng uănhiênă3ăem trong nhóm Tìm xác

su tăđ :

a Ba emălàăh căsinhăbaăkh iăkhácănhau

b Trongăđóăcóăđúngă2ăemăkh iăN m

c Cóăítănh tăm tăemăkh iăBa

8 M tăb ăbàiăcóă52ăcon.ăRútăng uănhiênă4ăconăt ăc ăbàiăđó.ăTìmăxácăsu tăđ ătrongă

4 con rút ra có:

a Haiăconă“Át”ăvàăm tăconă“K”

b M tăconămàuăđ ăvàăbaăconămàuăđen

c M tăconăC ,ăm tăconăRô,ăm tăconăPíchăvàăm tăcon Nhépă(Chu n)

9 Trongăt păhôăs ăđ ngăkíăgiáoăviênăd yăgi iăc aăt nhăXăcóă25ăgiáoăviênăd yăkh iăBa,ă25ăgiáoăviênăd yăkh iăB năvàă22ăgiáoăviênăd yăkh iăN m.ăRútăng uănhiênă2ă

h ăs ătrongăt păh ăs ăđó.ăTìmăxácăsu tăđ :

a Haiăh ăs ăđóălàăc aăhaiăgiáoăviênăd yăcùngăkh i;

b Trongăhaiăh ăs ăđóăcóăítănh tăm tăh ăs ăc aăgiáoăviênăd yă kh iăN m Trongăm tăkìăthi,ăcácăthíăsinhăđ căđánhăs ăbáoădanhăt ă1ăđ nă500.ăG pă

ng uănhiênăbaăth ăsinhăv ăd ăthi.ăTìmăxácăsu tăđ :

c S ăbáoădanhăc aăbaăthíăsinhăđ uălàăs ăch n;

d S ăbáoădanhăc aăbaăthíăsinhăđóăđ uălàănh ngăs ăcóăbaăch ăs ăchiaăh tăchoă

3

10 Trongăđ iăh iăthiăđ uăth ăthao,ăcácăv năđ ngăviênăc aăt nhăAăđ căđánhăs ăbáoădanhăt ă1ăđ nă350,ăt nhăBăt ă351ăđ nă750ăvaăt nhăCăt ă751ăđ nă1000.ăG păng uănhiênăbaăthíăsinhăv ăd ăthi.ăTìmăxácăsu tăđ :

a Baăv năđ ngăviênălàăng iăbaăt nhăkhácănhau

b S ăbáoădanhăc aăbaăv năđ ngăviênăđóăđ uălàănh ngăs ăcóăbaăch ăs ăkhácănhau

c S ăbáoădanhăc aăbaăv năđ ngăviênăđóăđ uălàănh ngăs ăcóăba ch ăs ăchiaăchoă4ăd ă3

11 Trênăbànăcóă7ăt măbìa,ăm tăd iăc aăm iăt măđ căghiăm tătrongă7ăch :ăC,ăE,ăH,ăI,ăO,ăT,ăU.ăTìmăxácăsu tăđ ăkhiăl tă7ăt măbìaălênătaăđ căhàngăch ăTIEUăHOC

12 Trongăh păđ ăch iăcóă10ăch ăs :ă0,ă1,ă2,ă3,ă4,ă5,ă6,ă7,ă8,ă8.ăM tăcháuăm uăgiáo

l yăng uănhiênă5ăs ăt ătrongăh păr iăx păthànhăhàng.ăTìmăxácăsu tăđ ăs ăx păraălà:

a S ăcóă5ăch ăs

b S ăcóă5ăch ăs ăchiaăh tăchoă5

c S ăch năcóă5ăch ăs

13 Cu năsáchăgiáomăkhoaăToánă4ădàyă220ătrang.ăBaăb năHung,ăLanăvàăvinhăl nă

l tăm ăng uănhiên,ăm iăng iăm tătrangă(r iăg păl iăđ aăchoănmg iăsauăm ă

ti p).ăTìmăxácăsu tăđ :

a s ăth ăt ăc aăbaătrangăđ uălàănh ngăs ăcóăhaiăch ăs ăkhácănhau

b S ăth ăt ăc ăbaătrangăđ uălàănh ngăs ăchiaăchoă5ăd ă3

c S ăth ăt ăc aăc ăbaătrangăđ uălàănh ngăs ăch năch c

14 S đi nătho iă ăt nhăn ăg mă7ăch ăs ,ătrongăđóăhaiăch ăs ăđ uălàă38.ăCh năng uănhiênăm tăs ăđi nătho iăc aăt nhăđó.ăTìmăxácăsu tăđ :

a S ăđi nătho iăđóălàăs ăcóă7ăch ăs ăkhácănhauăv iăhaiăch ăs ăt năcùngălàă

01

b S ăđóăchiaăh tăchoă25

15 T ngăk tăn măh căl pă4Aăc aăm tătr ngăti uăh cănàoăđóăcóă15ăemălo i gi i,ă20ăemălo iăkhá,ă4ăemălo iătrungăbìnhăvàă1ăemăy u.ăNhàătr ngăch năng uănhiênăbaăemăl pă4Aăd ăkìăthiăki mătraăch tăl ngăc aătoànăkh i.ăTìmăxácăsu tăđ :

a C ă3ăemăđ uălàăh căsinhăgi i

b Baăemăx păh căl căkhácănhau

16 Trongăh păkínăcóă7ăqu ăc u màuăxanhăvàă5ăqu ăc uămàuăđ ăL yăng uănhiênăt ătrongăh păm iăl nă1ăqu ăc uă(khôngăhoànăl i)ăchoăđ năkhiăđ căqu ămàuăxanhăthìăd ngăl i.ăTìmăxácăsu tăđ ăng iăđóăd ngăl iăsauăl năl yăth ăt

17 M tăx ăth ăb năliênăti păvàoăm tăm cătiêuăchoăđ năkhiătrúngăđíchăthìăd ngăl i.ăTìmăxácăsu tăđ ăb năđ năviênăth ăbaăm iătrúngăđích,ăbi tăr ngăxácăsu tăb nătrúngăđíchăm iăl năb nălàă0,85

18 Trongăm tăphânăx ngăcóă3ămáyălàmăvi căđ căl păv iănhau.ăTrongăm tăcaăs nă

xu tăđ ămáyăIăph iăs aălàă0,12,ămáyăIIăph iăs aălàă0,18ăvàămáyăIIIăph iăs aălàă0,1.ăGi ăs ăc ă3ămáyăkhôngăđ ngăth iăph i s a.ăTìmăxácăsu tăđ ătrongăcaăphân

x ngăđóăph iăs aămáy

19 Baăx ăth ăb năvàoăm cătiêuăđ căl păv iănhau.ăXácăsu tăb nătrúngăđíchăc aăx ă

th ăth ănh tălàă0,9,ăx ăth ăth ăhaiălàă0,85,ăx ăth ăth ăbaălàă0,75.ăTìmăxácăsu tăđ :

a M tăng iăb nătrúngăđích

b Ítănh tăm tăng iăb nătrúngăđích

c Ítănh tăhaiăng iăb nătrúngăđích

20 Trongăm tătr măc păc uăb ngăcóă68%ăb nhănhânăb ăb ngădoănóngăvàă32%ăb ngădoăhóaăch t.ăLo iăb ăb ngădoănóngăcóă25%ăb ăbi năch ng,ăb ngădoăhóaăch tăcóă40%ăb ăbi năch ng.ăL yăng uănhiênăm tăb nhăánăc aăc aăb nhănhânăc aătr m

a Tìmăxácăsu tăđ ăb nhăánăđóălàăb nhăán c aăb nhănhânăb ăbi năch ng

b Gi ăs ăb nhăánăl yăraălàăb nhăánăc aăb nhănhânăb ăbi năch ng.ăH iăb nhăánăđóăc aăb nhănhânăb ăb ngădoănguyênănhânănàoănhi uăh n?

21 M tăxíănghi păs năxu tăbóngăđènăcóă4ăphânăx ng.ăKhiăxu tăx ng,ăt ăl ăchínhă

ph măc aăm iăphânăx ngănh ăsau:ăPhânăx ngăIăđ tă99,7%,ăphânăx ngăIIăđ tă99,85%,ăphânăx ngăIIIăđ tă97,65%ăvàăphânăx ngăIVăđ tă99,9%.ăCánăb ăOTKă

l yăng uănhiênăm iăphânăx ngăm tăs năph m.ăTìmăxácăsu tăđ ătrongăs ăl yăr:

a C ă2ăs năph măđ uălàăph ăph m

b Cóăđúngă2ăchínhăph m

22 T ăl ăthí sinhătrúngătuy nătrongăkìăthiătuy năsinhăvàoăm tătr ngăđ iăh călàă20%.ăRútăng uănhiênăm tăh ăs ătrongăs ăcácăăhôăs ăc aăthíăsinhăvêăd ăthiătuy năvàoă

tr ngăchoăđ năkhiăđ căhô s ătrúngătuy năthìăd ngăl i.ăTìmăxácăsu tăđ ăph iărútă

đ năl năth ăt

23 Haiăx ăth ăb năvàoăm tăm cătiêuăđ căl păv iănhau.ăXácăsu tăb nătrúngăđíchăc aă

x ăth ăth ănh tălàă0,85,ăx ăth ăth ăhaiălàă0,75.ăTìmăxácăsu tăđ :

a Ng iăth ănh tăb nă3ăphátăđ uăcóă1ăphátătrúngăđích

b Ng iăth ăhaiăb nă3ăphátăđ uăcóă2ăphátătrúngăđích

c C ăhaiăng iăb nătrúngăngayăt ăphátăđ uătiên

24 K tăqu ăki mătraăh căkìăIăc aăkh iăB nătr ngăTi uăh cănàoăđó,ăt ăl ăkháăgi iă

đ tăđ c nh ăsau:ăL pă4Aăđ tăd că92%%,ăl pă4Băăđ tă80%,ă4Căđ tă85%,ă4Dă

đ tă78%ăvàă4Eăđ tă65%.ăCôăhi uătr ngărútăng uănhiênămm iăl păm tăbàiăki mătra.ăTìmăxácăsu tăđ ătrongă5ăbàiăđó:

a uăđ tăđi măkháătr ălên

b Cóăbaăbàiăđ tăđi măkháătr ălên

c Khôngăcóăbàiănàoăđ uăđi măkháăgi i

25 T ngăk tăn măh c,ăt ă l ăh căsinhăgi iăc aăkh iăN mătr ngă ti uăh căNguy năNghiêmănh ăsau:ăl pă5A đ tă35%,ă5Băđ tă18%,ă5Căđ tă25%,ă5Dăđ tă12%.ăCh nă

ng uănhiênăm iăl păm tăh căsinh.ăTìmăxácăsu tăđ :

a C ă4ăemăđ uăđ tăh căsinhăgi i

b Ch ăcóă2ăemăđ tăđ tăh căsinhăgi i

26 T ăl ăh căsinhăgi iăl pă5Aăđ tă80%.ăTimăxácăsu tăđ ăkhiăg păng uănhiên 8 em có 5ăemălàăh căsinhăgi i

27 Gieoă6ăl năm tăconăxúcăx c.ăTìmăxácăsu tăđ :

a M tă6ăch măxu tăhi nă4ăl n

b M tăcóăs ăch mălàăs ănguyênăt ăxu tăhi nă3ăl n

c M tăcóăs ăch mălà b iăc aă3ăxu tăhi năv i xácăsu tăl nănh tălàăbaoănhiêu?

28 T ăl ăn yăm măc aăthócăgi ngăđ tă90%.ăTìmăxácăsu tăđ ăkhiăgieoă10ăh tăn yă

b Cóă5ăemăng iăng iădânăt c

c C ă10ăemăđ uălàăn ădânăt c

Ch ng 2 BI N NG U NHIÊN

KI N TH C:

Cungăc păchoăng iăh cănh ngăki năth căv :

- Kháiăni măv ăđ iăl ngăng uănhiên

- Phânăph iăvàăhàmăphânăph i c aăbi năng uănhiênăr iăr c,ăbi năng uănhiênăliênăt c

- Cácăs ăđ cătr ngăc aăbiênăng uănhiêu:ăkìăv ng,ăph ngăsai,

K ăN NG:

Hìnhăthànhăvàărènăluy năchoăng iăh căcácăk ăn ng:

- Thi tăl păphânăph iăxácăsu t,ăhàmăphânăph iăc aăcácăbi năng uănhiênăth ngăg p

- Tínhăcácăs ăli uăđ cătr ngăc aăbi năng uănhiên

THÁIă :

Ch ăđ ngătìmătòiăphátăhi năvàăkhámăpháăcácă ngăd ngăc aăbi năng uănhiên

B N I DUNG

nhăngh a 1: iăl ngăng uănhiênălàăm tăđ iăl ngămàăgiáătr ăc aănóăbi năthiênă

bi năthiênăm tăcáchăng uănhiênăvàăm iăgiáătr ăng uănhiênă yă ngăv iăm tăxácăsu tănh tă

đ nh

Víăd :ăChi uăcao,ăcânăn ng,ăhuy tăápăc aăm tăh căsinhăđ uălàăcácăđ iăl ngăng uănhiên

iăl ngăng uănhiênăcóăhaiălo iăbi uăth ăb iăhaiăđ cătínhăđóălàăđ cătínhăđ nhătínhăvàă

đ cătínhăđ nhăl ng.ă iăl ngăng uănhiênăcóăđ cătínhăđ nhătínhăph năánhănh ngătr ngătháiăkhácănhauăc aăđ cătính,ăvíăd ăn uăAălàăđ iăl ngăng uănhiênăbi uăth ăk tăqu ăh că

t păc aăh căsinhăthìănh ngăgiáătr ăng uănhiênăc aănóăcóăth ălàăa1 -gi i, a2 -khá, a3 -trung bình, a4 -y uăkém

nhăngh aă2: iăl ngăng uănhiênăcóăđ cătínhăđ nhăl ngăg iălàăbi năng uănhiên, taăth ngăkíăhi uălàăX,ăY, ăho că, , ăvàăkíăhi uăxi làănh ngăgiáătr ăng uănhiênăc aă

nó

N uăt păcácăăgiáătr ămàăbi năng uănhiênăănh nălàă1ăt păs ăh uăh năho căvôăh nă

nh ngăđ măđ c,ăkhiăđóăbi năng uănhiênănàyăg iălàăbi năng uănhiênăr iăr c

Gi ăs ăbi năng uănhiênăX nh năgiáătr ăăx1 , x2 , , xn , và P({X = xi}) = pi ; iă=ă1,ă2,ă ă ămôăt ă(ho căxác đ nh)ăbi năng uănhiênăr iăr că taădùngăb ngăsau

X x1 x2 x3 xn

P({X=xi}) p1 p2 p3 pn

Trongăđóăă i

i P

 = 1 , pi > 0 ; i = 1, 2,

B ngăv iăcácăthôngătinătrênăg iălàăphânăph iăxácăsu t

Víăd ă1:ăGieoăđ ngăth iă2ăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch t.ăG iăY làăbi năng uănhiênă

ch ăs ăl năxu tăhi năm tăs p.ăTaăcóăb ngăphânăph iăxácăsu tăsau

Y 0 1 2 P({Y=xi}) ¼ 2/4 1/4

G iăăăAi = “ăđ ngăth ăiăxu tăhi năm tăs p” , i = 1, 2 A1, A2 đ căl p

Bi năc ăăăă{Y = 0} = A A1 2 nên P({Y = 0}) = P(A1)P(A2) = 1 1

Víăd ă2:ăGieoăm tăconăxúcăx căcânăđ iăđ ngăch tă100ăl n.ăG iăXălàăbi năng uănhiênă

ch ăs ăl năxu tăhi năm tăl cătrongă100ăl năgieoătrên.ăKhiăđóătaăcóăphânăph iăxácăsu tă

a)ăN uăcóă3ăviênăliênăti pătrúngătâmăthìăthôiăkhôngăb năn a

b)ăN uăcóă3ăviênătrúngătâmăthìăthôiăkhôngăb năn a

G iăX,ăYălàăs ăđ nămàăanhătaăđưădùngăđ ăth ăsúngăt ngă ngătheoăhaiănguyênă

t cătrên.ăB ngăphânăph iăxácăsu tăc aăXăvàăYănh ăsau:

P({X =i }) 0,3 0,4 0,3 P({Y=j}) 0,4 0,6 Taăl păb ngăphânăph iăc aăcácăbi năX2 , X + Y , XY

XăvàăYăg iălàăđ căl păv iănhauăn uăm iăbi năc ăliênăquanăđ năXăđ căl păv i bi năc ă

b tăk ăliênăquanăđ năY

Ta có P(X2 = k2)ă=ăP(Xă=k),ăvìăkh ăn ngăXănh năgiáătr ăkăc ngăchínhălàăkh ăn ngăX2

P({X + Y = 0}) = P({X = 1})  P({Y = -1}) = 0,40,4 = 0,16 {X + Y = 1} = ({X = 0}  {Y = 1})  ({X = 2}  {Y = -1}) doăđó

P({X + Y = 1}) = P({X = 0})  P({Y = 1}) + P({X = 2})  P({Y = -1})

= 0,3.0,6 + 0,3.0,4 = 0,3 {X + Y = 2}=({X = 1}{Y = 1}) doăđó

2.3 HƠm phơn ph i c a bi n ng u nhiên

l ngăng uănhiênăX

Víăd ă1: Hàm phânăph iăăF(x)ăc aăđ iăl ngăng uănhiênăch ăs ăl năxu tăhi năm tăs pătrongăm tăl năgieoăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch tălà:

F(x) = P({X < x}) =

( ) 0 , 0 1

( ) , 0 1 2

Víăd ă2:ăTrongăvíăd ă1ăc aăm că2.2ătaăcóăhàmăphânăb ăc aăbi năng uănhiênăXăch ăs ă

l năxu tăhi năm tăs pănh ăsau:

F(x) =

0 , 0 1

, 0 1 4

Víăd ă3:ăGi ăs ăXălàăbi năng uănhiênăch ăs ăl năxu tăhi năm tăs păkhiătaăgieoăliênăti pă5ă

l năm tăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch t.ăTìmăhàmăphânăph iăc aăc aăX

ki năxácăđ nh.ăXácăsu tăđ ăm iăviênăđ nătrúngăăm cătiêuălàă0,4.ăG iăXălàăs ăviênăđ nătrúngăm cătiêu.ăL pădưyăphânăph iăc aăđ iăl ngăng uănhiênăX

X 0 1 2 3

P 0.216 0,432 0,288 0,064

luônănh năcácăgiáătr ăr iăr c.ăTrongănhi uătr ngăh pătaăs ăg păbi năng uănhiênănh năcácăgiáătr ăliênăt cătrongăm tăkho ngănàoăđó,ăcácăbi năng uănhiênănàyăg iălàăbi năng uănhiênăliênăt c

ămôăt ă(ho căxácăđ nh)ăbi năng uănhiênăliênăt cătaădùngăkháiăni măhàmăm tăđ Hàm p(x)ăđ căg iălàăhàmăm tăđ ăc aăbi năng uănhiênănàoăđóăn uănóătho ămưnăhaiăki năki năsau:

( )

x x

ăđâyătíchăphânăv iăcácăc nă-, + đ căxácăđ nhănh ăsau:

p(x)ălàăhàmăm tăđ ăc aăbi năng uănhiênănh năm iăgiáătr ătrênă[a,ăb]ăv iăkh ăn ngă

đ uănh ănhau,ăg iăt tălàăm tăđ ăđ uătrênă[a,ăb]

Víăd ă2: p(x) =

2 2

1 ( )2

1 2

p(x)ălàăhàmăm tăđ ăc aăbi năng uănhiênănh năgiáătr ătrênătoànătr căs ăHàmăm tă

đ ănàyăg iălàăhàmăm tăđ ăc aăbi năng uănhiênăcóăphânăph iăchu n d ngăN(,2)

Víăd ă3:ăăChoăhàmăăp(x)ă=ăaăsin2xă.ăXácăđ nhăh ngăs ăaăđ ăăp(x)ătr ăthànhăhàmăm tă

đ ăc aăbi năng uănhiênănh năgiáătr ăt pătrungătrongăđo nă[0,ă/2]

a x

*ăTínhăch tăc aăbi năng uănhiênăliênăt c:ă

Ngoàiănh ngătínhăch tăđưăđ cănêuă ăm că2.3.2,ăbi năng uănhiênăliênăt căcònăcóă

nh ngătínhăch tăsau

- N uăhàmăm tăđ ăliênăt căt iăxăthìăt iăđóătaăcóăF'(x)ă=ăp(x)

- N uăhàmăphânăph iăc aăbi năng uănhiênă liênăt căt iăăx0 thì

P({= x0}) = 0

2.5 Phơn ph i ti m c n chu n

Trong ví d ă2ăc aăm că2.1.3ătaăđưăbi tăbi năng uănhiênăXăcóăphânăph iăchu nă

d ngăN(,2)ăthìăhàmăm tăđ ăcóăd ngă p(x) = 2 2

1 ( ) 2

1 2

Khi  = 0,  =ă1ăphânăph iăc aăXăcóăd ngăN(0;ă1)ăv iăhàmăm tăđ ăkíăhi uălàă

(x),ăxácăđ nhănh ăsau:

(x) = 1 12 2

2

x e

1 ( )2

1 2

Ýăngh a:ăK ăv ngăc aăbi năng uănhiênălàăgiáătr ătrungăbìnhămàăbi năng uănhiênă

nh n,ăho căk ăv ngăc aăbi năng uănhiênălàătr ngătâmăc aăphânăph iăxácăsu tăv iăkh iă

l ngă1.ăChínhăvìăv yămàăng iătaăluônădùngăk ăv ngăđ ăxácăđ nhăv ătríăc aăphânăb

X -1 1

P ¼ ¾

2.6.2.1 nhăngh aă1:ăTaăg i E(X - EX)2 làăph ngăsaiăc aăbi năng uănhiênăX, kí

hi uălà DXă(đ călàăxíchămaăbìnhăph ngăX)

DX = E(X - EX)2

T ăđ nhăngh aătaăth y:

- N uăXălàăbi năng uănhiênăr iăr căthì:

1 V iăb ngăphânăph iăxácăsu tă ăvíăd ă1ăc aăm că2.6.1,ăph ngăsaiăc aă

bi năng u nhiênăXăđ cnăxácăđ nhănh ăsau:

EX2 = 1.(1/4) + 1.(3/4) = 1

DX = EX2 – (EX)2 = 1 – ½ = 1/2 2.ăBi năng uănhiênăXă cóăphânăph iăchu năd ngăN(,2) ph ngăsaiălà

DX =

2 2

X = DX

Ýăngh aăc aăph ngăsai:ăPh ngăsaiăc aăbi năng uănhiênălàăm tăs ăkhôngăâm dùng

đ ăđoăm căđ ăphânătánă(m căđ ăt nămát)ăc aăcácăgiáătr ăc aăbi năng uănhiênăXăxungăquanhătâmăă(k ăv ng)ăEXăc aănó.ăDXănh ăthìăm căđ ăphânătánănh ,ăđ ăt pătrungăl n.ă

X -1 1

X2 1 1

P ¼ ¾

EX :ăTâmăc aăphânăph i

X - EX :ăKho ngăcáchăt ăgiáătr ăc aăbi năng uănhiênăXăđ nătâm (X - EX)2 :ăBìnhăph ngăkho ngăcáchătrên

E(X - EX)2 :ăTrungăbìnhăc aăbìnhăph ngăkho ngăcáchătrên

2.6.2.3 Tínhăch tăc aăph ngăsai:

a Dc = 0 , ( c = const )

b DcX = c2DX

c.ăN uăXăvàăYălàăhaiăbi n ng uănhiênăđ căl păthì

D(X  Y) = DX  DY

BÀI T P CH NG 2

1 G iăXălàăs ăch măxu tăhi nă ăm tătrênăc aăconăxúcăx căkhiăgieoă1ăl năconăxúcă

x căcânăđ iăvàăđ ngăch t

a Tìmăphânăph iăxácăsu t c aăX.ăVi tăhàmăphânăph iăF(x)

b Tínhăkìăv ngăEXăvàăph ngăsaiăDX

c Tínhăxácăsu tăP[1ă≤ăXă<ă3]

2 Kíăhi uăXălàăbi năng uănhiênăch ăs ăh căsinhăthu căbàiăkhiăki mătraăhaiăemăh căsinh.ăBi tăr ngăxácăsu tăđ ăm iăh căsinhăthu căbàiălàăpă=ă1

2

a Tìmăphânăph iăxácăsu tăc aăX, hàmăphânăph iăc aăX

b Tínhăkìăv ngăEXăvàăph ngăsaiăDX

c Tínhăxácăsu tăăP[0ă≤ăXă<ă1]

3 M tăđ tăx ăs ăphátăhànhă10.000ăvé,ătrongăđóăcóă100ăvéătrúngăth ng.ăM tăng iămuaăng uănhiênă3ăvé.ăG iăXălaăbi năng uănhiênăch ăs ăvéătrúngăth ngătrongă3ă

vé Tìm phân xác su tăc aăX.ăTínhăkìăv ngăc aăX

4 Choăphânăph iăxácăsu tăc aăbi năng uănhiênăXălà:

1 4

a Tìmăhàmăphânăph iăăF(x)ă;ăTínhăxácăsu tăP[-1ă≤ăXă<ă1]

b Tính E(X), E(X3), DX

c TínhăMod,ătrungăv

5 B năkhôngăh năch ăvàoăm tăm cătiêuăchoăt iăkhiănàoătrúngăđíchăthìăd ngăl i.ă

G iăXălàăs ăviênăđ năđưăb n

a Tìmăphânăph iăxác su tăc aăX.ăVi tăhàmăphânăph i

b Tínhăkìăv ngăvàăph ngăsaiăc aăX.ăBi tăr ngăxácăsu tăb nătrúngăđíchăc aă

m iăviênăđ nălàăpă=ă0,4

6 Gieoăhaiăconăxúcăx c:ăM tăconămàuăxanh,ăm tăconămàuăđ ăG iăXălàăs ăch mă

xu tăhi nă ăm tătrênăconăxúcăx cămàuăxanh,ăYălàăs ăch măxu tăhi nă ăm tăconăxúcăx cămàuăđ

a Tìm phânăph iăxácăsu tăc aăX,ăc aăY

b Tínhăxácăsu tăP[Xă+ăYă=ă3].ăTínhăkíăv ngăE(X+Y)

c.ăCh ngăminhăhaiăbi năng uănhiênăX,ăYălàăđ căl p

7.ăGieoăm tăconăxúcăx căcânăđ iăvàăđônhgfăch tăth yăm tătrênăc aănóăxu tăhi nănăch mă(nă=ă1,ă2,ă3,ă4,ă5,ă6).ăSauăđóăgieoăliênăti pănăl năm tăđ ngăti năcân đ iăvàăđ ngăch t.ăG iăXălàăs ăl năxu tăhi năm tăs pătrongănăl năgieo.ăTínhăE(X)

8.ăGiáoăviênăc aăm tăttr ngăti unh căcóă15%ănam.ăG păng uănhiênă6ăgiáoăviênăc aă

tr ng.ăG iăXălàăs ăgiáoăviênăn măgi iătrongă6ăgiáoăviênătrên