Nhóm ii Sử dụng kiến thức về tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng Bài 1 : Cho điêm A nằm trong góc nhọn xOy.. a, Chứng minh rằng: các đờng trung trực cua các đoạn thẳng OA và OB cắt
Trang 1Nhãm c¸c bµi to¸n cã hä hµng víi nhau
Nhãm i
(Sö dông kiÕn thøc vÒ tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña mét gãc)
Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 0 0 90 0 Hai tia ph©n gi¸c cña 2 gãc trong
B vµ C c¾t nhau ë I cßn hai tia ph©n gi¸c cña 2 gãc ngoµi B vµ C c¾t nhau ë K a) TÝnh gãc BIC vµ gãc BKC
b) Gäi D lµ giao ®iÓm cña hai tia BI vµ KC T×m gãc BDC
c) cho gãc B = 2C TÝnh gãc B vµ gãc C
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC Hai tia ph©n gi¸c cña 2 gãc trong B vµ C c¾t nhau ë I cßn hai
tia ph©n gi¸c cña 2 gãc ngoµi B vµ C c¾t nhau ë E Gäi K lµ giao ®iÓm cña BI vµ CE
a, KÓ tªn c¸c cÆp gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc trong h×nh vÏ
b, Cho biªt gãc BEC = 55 0,tÝnh gãc BAC?
c, Cho gãc BAC = TÝnh sè ®o c¸c gãc BIC, BKC, BEC theo
Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC BiÕt r»ng gãc nhän t¹o bëi c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ gãc
C cã sã ®o b»ng 60 0
a, TÝnh gãc A cña tam gi¸c?
b, Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t c¹nh AC ë D vµ tia ph©n gi¸c cña gãc C c¾t c¹nh
AB ë E.Chøng minh r»ng : hai gãc BEC vµ BDC bï nhau
Trang 2Bài 4: Cho tam giác ABC, các phân giác BD và CE Tính góc A biết:BC = BE + CD
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A = 60 0, các phân giác BD và CE
Chứng minh rằng: BC = BE + CD
Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A = 60 0, các phân giác BD và CE cắt nhau ở I Chứng
minh rằng : ID = IE
Bài 7: Cho tam giác ABC có góc A = 60 0, các phân giác BD và CE Biết rằng BC = 4m
Tính tổng BE + CD?
Bài 8: Cho tam giác ABC có góc B = 50 0, các phân giác BD và CE cắt nhau ở I.Tính các
góc A và C biết rằng ID = IE
Bài 9: Cho tam giác ABC , các phân giác BD và CE cắt nhau ở I, mà ID = IE thì :
Góc B bằng góc C hoặc tổng góc B vàgóc C bằng 120 0
(Chú ý: bài toán 9 là bổ đề dùng để giải bài toán 8 )
Bài 10: Cho tam giac ABC Các đờng thẳng chứa tia phân giác của các góc ngoài ở đỉnh
B và ở đỉnh C cắt nhau tại K Tính góc A biết góc BKC = 50 0
Trang 3Bài 11: Cho tam giác ABC , đờng cao AH, phân giác AD, góc BAC , góc ABC
a, Tính số đo góc HAD
b, Gọi I là giao điểm các phân giác Δ ACB Tính góc BIC theo
c, Gọi O là giao điểm các phân giác ngoài góc B, Phân giác ngoài góc C Tính góc BOC theo
Bài 12: Tìm mối liên hệ giữa hai góc B và C của tam giác ABC biết rằng góc tạo bởi tia
phân giác của góc B với cạnh đối diện bằng góc tạo bởi tia phân giác củan góc C với cạnh đối diện
Nhóm ii
(Sử dụng kiến thức về tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng)
Bài 1 : Cho điêm A nằm trong góc nhọn xOy Vẽ AH vuông góc với Ox ( H thuộc Ox),
trên tia đối của HA lấy HB = HA Vẽ AK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ), trên tia đối của tia KA lấy KC = KA Chứng minh rằng:
a, OB = OC
b, Biết góc xOy = ( 0 90 0),tính góc BOC
Bài 2: cho góc xOy ( khác góc bẹt ), lấy các điểm A và B trên các tia Ox và Oy
a, Chứng minh rằng: các đờng trung trực cua các đoạn thẳng OA và OB cắt nhau tại một điểm G
b, Chứng minh rằng : Điểm G cách đều ba điểm O, A, và B
Bài 3: Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy = Vẽ các điểm B và C sao cho Ox là
đờng trung trực của AB , Oy là đờng trung trực của AC Gọi giao điểm của BC
Trang 4Bài 4: Cho điểm M nằm trong góc vuông xOy Vẽ các điểm A , B sao cho Ox là đờng
trung trực của MA, Oy là đờng trung trực của MB.Chứng minh rằng O là trung
điểm của AB
Bài 5: Cho tam giác ABC Các đờng trung trực của AB và AC cắt nhau tại I
a, Chứng minh rằng điểm I thuộc đờng trung trực của BC
b, Tính góc BIC biết góc A = 110 o
Bài 6: Cho tam giác ABC , đờng cao AH Hãy vẽ điểm M thuộc đờng thẳng AH sao
cho MA = MC
Bài 7: Chứng minh rằng các đờng trung trực của các cạnh góc vuông của một tam giác
vuông cắt nhau tại trung điểm của cạnh huyền
Bài 8 : Cho tam giác ABC có góc A 90 0 Các đờng trung trực của AB và của AC cắt
nhau ở O và cắt BC thứ tự ở M và N Chứng minh rằng :
a, OB = OC
b, AO là tia phân giác của góc MAN
Bài 9: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn Các đờng trung trực của AB và của AC
cắt nhau tại O Chứng minh rằng:
a, OA = OB = OC
b, Góc BOC gấp 2 lần góc BAC
Bài 10: Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cạnh CA lấy điểm E sao cho CE = AB
Gọi O là giao điểm của hai đờng trung trực của BE và AC.Ch ứng minh rằng:
a, AOB COE
b, AO là tia phân giác của góc A
Bài 11: Cho tâm giác ABC Các đờng trung trực của AB và của AC cắt nhau tại I
a, Chứng minh rằng điểm I thuộc đờng trung trực của BC
b, Tính góc BIC biết góc A 110 0
c, Hãy tìm mối quan hệ giữa số đo của các góc BAC và BIC?
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là một điểm thuộc cạnh huyền BC Vẽ
các điểm E và K sao cho AB là đờng trung trực của các đoạn thẳng CE và DK Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng
Trang 5Bài 13: Cho điểm A nằn trong góc nhọn xOy Vẽ điểm B sao cho Ox là đờng trung trực
của AB, vẽ điểm C sao cho Oy là đờng trung trực của AC Gọi D là một điểm bất
kỳ trong góc xOy sao cho góc DOy bằng góc Aox Chứng minh rằng DB = DC
Bài 14: Tam giác ABC cân tại A có góc A 40 0.Đờng trung trực của AB cắt BC ở D
a, Tính gócCAD
b, trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = CD Chứng minh rằng tam giác BMD là tam giác cân
Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và đờng cao AH Dựng điểm D sao cho
AB là đờng trung trực của đoạn HD rồi dựng điểm E sao cho AC là đờng trung trực của đoạn HE Nối DE cắt AB ở I và cắt AC ở K Chứng minh rằng:
a, AD = AE
b, Tia HA là tia phân giác của góc IHK
Bài 16 : Cho tam giác ABC ( AB <AC) Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho BD = CE Các đờng trung trực của BC và DE cắt nhau tại O
Chứng minhrằng : BOD COE
Bài 17: Cho hai đoạn thẳng AB, AC vuông góc với nhau Các đờng trung trực của AB
và của AC cắt nhau ở M Chứng minh rằng M là trung điểm của BC
Bài 18: Cho tam giác ABC , đờng cao AH Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB,
AC Chứng minh rằng DE là đờng trung trực AH
Bài 19: Cho tam giác ABC ( AB AC), đờng trung trực của BC cắt tia phân giác góc A
tại I Kể ID vuông góc với AB tại D, kẻ IE vuông góc với AC tại E
a, Chứng minh rằng : ID = IE
b,Tính tổng của 2 góc ABI và ACI?
Bài 20: Cho tam giác ABC, đờng cao AH Kẻ HE vuông góc với AB tại E Trên tia đối
của tia EH xác định điểm M sao cho EM = EH Nối MA, MB Chứng minh:
a, AM = AH
b, Góc AMB 90 0
Bài 21: Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB Các
đờng trung trực của AD và của BC cắt nhau ở I Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A
Bài 22: Cho tam giác ABC có góc A ˆ 45 0, B và C là các góc nhọn.Kẻ đờng cao AH
Vẽ điểm D sao cho AB là đờng trung trực của HD Kẻ CK vuông góc với DB (K thuộc đờng thẳng DB) Chứng minh rằng: AD = DK
Bài 23: Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy Tìm điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc
tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất
Bài 24: Cho tam giác ABC Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E
trong đó AB là đờng trung trực của MD, AC là đờng trung trực của ME thì DE
có độ dài nhỏ nhất
Nhóm iii
(Vận dụng các thức về tam giác bằng nhau, các tính chất của tam giác đặc biệt,tính chất tia phân giác, tính chất đờng trung trực)
Trang 6a, Góc B 70 0và góc C 30 0
b, Hiệu của góc B và góc C bằng
Bài 2: Tam giác ABC có góc A 60 0, phân giác AD Cho biết góc ADC ADB40 0
.Tính góc B và góc C?
Bài 3 : Tam giác ABC có góc A 110 0,các đờng cao BD, CE Gọi H là giao điểm của
các đờng thẳng BD và CE.Tính các góc BHC, HBE , HCD
Bài 4:Tính góc A của tam giác ABC cân tại A, đờng cao CH, biết góc A BCH 20 0
Bài 5: Tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất Trên cạnh BC có các điểm M, N sao cho N
ở giữa B và M, M ở giữa N và C, BM = BA và CN = CA.Tính góc BAC biết:
a, Góc MAN 40 0
b, Góc MAN
Bài 6: Tam giác ABC cân tại A (Góc A 20 0) Trên cạnh AB lấy D sao cho AD = BC
Tính góc ACD ?
Bài 7: Tính góc A của tam giác ABC cân tại A, đờng cao CH, biết A BCH 20 O
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH biết góc B 60 0 Tính góc BAH
Bài 9: Tam giác ABC có góc B C 20 0 Kẻ phân giác AD Tính góc ABC?
Bài 10: Tam giác ABC có góc B 50 0; góc C 30 0,đờng cao AH Trên cạnh AC lấy
điểm D sao cho AD = AB Chứng minh rằng : BD = 2.AH
Bài 11: Tam giác ABC có góc B 50 0, góc C 30 o, AC = a Trên cạnh AC lấy điểm D
sao cho AD = AB Tính BD theo a
Bài 12: Tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Biết HB – HC = AB Tính góc C? Bài 13: Tính các góc của tam giác ABC biết góc B 2 C và AB = 2.BC
Bài 14: Tam giác ABC có góc B 75 0, góc C 45 0 Trên tia đối của tia AB lấy điểm D
2
1
AD Tính góc ADC ? Nhóm iV
(Sử dụng kiến thức về tính chất tia phân giác, các trờng hợp bằng nhau của tam giác) Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), gọi M là một điểm thuộc cạnh AC
Kẻ MH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) Biết MH = HB Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho DB = BA
Đ-ờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E
a, So sánh độ dài AE và DE
b, Đờng phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt đờng thẳng BE ở K Tính B A ˆ K ?
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho
BE = BA Kẻ EK vuông góc với AC ( K thuộc AC ) Chứng minh rằng : AK = AH
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB ), tia phân giác của góc A cắt BC ở D
Đờng thẳng vuông góc với BC tại D cắt cạnh AC ở E Chứng minh : DB = DE
Trang 7Bài 5: Cho tam giác ABC ( AC AB), tia phân giác của góc A cắt BC ở D Trên nửa mặt
phẳng chứa A bờ là BC, vẽ tia Dx sao cho C D ˆ x B A ˆ C, tia này cắt CA ở E Chứng minh rằng: DE = DB
Bài 6:Cho tam giác ABC ( AB > AC) Vẽ phân giác AD Chứng minh rằng: DB > DC Bài 7: Cho tam giác ABC Từ điểm E trên cạnh AC, kẻ các đờng thẳng song song với
AB, và với BC , nó lần lợt cắt BC tại D và cắt AB tại F
a, Chứng minh rằng điểm D cách đều hai cạnh AB và AC
b, Hãy dựng đoạn thẳng EF song song với canh BC của tam giác ABC sao cho
BF = AE
Bài 8:Cho tam giác ABC Dựng ở nửa mặt phẳng bờ BC, không chứa điểm A tam giác
vuông cân CBD tại D
a, chứng minh rằng: AD là phân giác của góc BAC
b, Vẽ tam giác BED vuông cân tại E Giả sử E và A ở cùng nửa mặt phẳng bờ BC Chứng minh rằng : AE là tia phân giác ngoài của góc BAC
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A Các đờng cao BH và CK cắt nhau tại I Chứng minh
rằng: AI là tia phân giác của góc BAC
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Kéo dài trung tuyến AM, lấy điểm D trên đó
sao cho MD = MA Từ D hạ đờng thẳng xDy vuông góc với BC Tren tia Dx lấy
điểm P, trên tia Dy lấy điểmQ sao cho DP = DQ = BC
Chứng minh rằng : AQ, AP là các phân giác trong và ngoài của góc BAC
Bài 11: Cho góc xOy Trên cạnh Ox, ta lấy đoạn thẳng AB, trên cạnh Oy ta lấy đoạn
thẳng CD sao cho AB = CD Gọi M , N lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng
AC và BD Chứng minh rằng : MN song song với phân giác ( trong hoặc ngoài ) của góc xOy
Bài 12: Cho góc xOy cố định Trên cạnh Ox lấy điểm A, trên cạnh Oy lấy điểm B sao
cho OA = OB Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi độ dài OA, OB cùng thay đổi nhng vẫn có OA = OB
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại B, phân giác AD.
a,Trong các góc ADB và ADC, góc nào nhọn, góc nào tù?
b, Trên tia AC lấy điểm H sao cho AH = AB Chứng minh rằng: DH AC
Bài 14: Tam giác ABC có AB = AC, phân giác AD.
a, Chứng minh: AD BC
b, Lấy điểm E thuộc cạnh AB , điểm F thuộc cạnh AC sao cho BE = CF Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc EDF
c, Đoạn thẳng DE có vị trí gì đối với ADB thì DE DF?
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD Qua C kẻ đờng thẳng vuông góc
với BC, cắt đờng thẳng BD ở E Kẻ CH DE ( HDE ) Chứng minh rằng:
H
Cˆ
E
H
Cˆ
Bài 16: Cho tam giác ABC Các đờng phân giác ngoài của các góc B và C cắt nhau tại I
Chứng minh rằng: AI là tia là tia phân giác của góc A
Bài 17: Để dựng tia phân giác của góc xOy, một học sinh dùng êke kẻ các đ ờng vuông
Trang 8b, Gọi I là điểm bất kỳ thuộc tia OC Gọi M, N theo thứ tự là chân các đơng vuông góc kẻ từ I đến Ox, Oy Chứng minh: IM = IN
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Kẻ các tia Bx, Cy vuông góc với BC ( Bx và
Cy nằm cùng phía với A đói với BC ) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh huyền BC Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AM, cắt Bx và Cy theo thứ tự ở D và E Xác
định dạng của tam giác DME
Bài 19: Cho tam giác ABC ( ABAC ), đờng trung trực của BC cắt tia phân giác của
góc A tại I Kẻ ID vuông góc với AB tại D, kẻ IE vuông góc với AC tại E
a, Chứng minh rằng: ID = IE
b, Tính A B ˆ I A C ˆ I
Bài 20: Tính các góc của tam giác ABC biết B ˆ 2 A ˆ , AB 2 BC
Bài 21: Chứng minh rằng nếu một điểm thuộc tia phân giác của một góc thì khoảng cách
từ điểm đó đến hai cạnh của góc là bằng nhau
Bài 22: Tam giác ABC có AB4 cm , AC 5 cm , BC 6 cm Các phân giác góc B và góc C
cắt nhau ở I Kẻ ID AC ( DAC ),kẻ IE AB ( EAB ) Tính các độ dài AD và AE
Bài 23: Cho tam giác ABC có I là giao điểm các phân giác Gọi D, E, F, theo thứ tự là
chân các đờng vuông góc kẻ từ I đến BC, AC, AB
a, Tính E D ˆ F theo A ˆ
b, Chứng minh rằng DEF có ba góc nhọn
Bài 24: Cho tam giác ABC Gọi I là giao điểm các phân giác các góc B và C Gọi K là
giao điểm các phân giác các góc ngoài B và C
a, Chứng minh rằng ba điẻm A, I, K thẳng hàng
b, Cho A ˆ Tính B Iˆ C , B Iˆ K theo ?
Bài 25: Tam giác ABC có Bˆ 70 0, các tia phân giác của các góc B và C gặp nhau ở I AI
cắt BC ở K TínhC Iˆ K ?
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm D thuộc cạnh AC sao cho A B ˆ C
3
1 D
B ˆ
A
Điểm E thuộc cạnh AB sao cho A Cˆ B
3
1 E Cˆ
A Gọi K là giao điểm của BD và CE Chứng minh rằng: KD = KE
Bài 27: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC Điểm D thuộc cạnh AB
sao cho A D ˆ M 90 0 Lấy điểm E thuộc canh AC sao cho M D ˆ E Chứng minh rằng EM là tia phân giác của góc DEC
Bài 28: Cho tam giác ABC, các phân giác BD và CE Biết DE là tia phân giác của góc
ADB Tính A B ˆ C ?
Bài 29: Tam giác ABC có đờng cao AH và đờng trung tuyến AM chia góc A thành ba
góc bằng nhau Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho AE = AH
a, Tính các góc của tam giác EMC
b, Chứng minh rằng: BC
2 1
AM
Trang 9Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Trên cạnh BC lấy diểm E sao
cho BE = BA Kẻ EK vuông góc với AC ( K thuộc BC ) Chứng minh rằng AK = AH
Bài 31: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA
Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E
a, So sánh độ dài AE và DE
b, Đờng phân giác ngoài tại đỉnh C cắt đờng thẳng BE ở K Tính B A ˆ K ?
Bài 32: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi AH là đờng cao lớn nhất trong ba đờng
cao BE là trung tuyến kẻ từ đỉnh B Cho biết AH = BE
a, Chứng minh : C B ˆ E 30 0 b, Chứng minh : A B ˆ C 60 0
Bài 33: Cho tam giác ABC cân tại A Qua A kẻ đờng thẳng d song song với đáy B Các
đờng phân giác của góc B và của góc C lần lợt cắt d tại E và F Chứng minh :
a, d là phân giác ngoài của góc A
b, AE = AF
c, CE là phân giác ngoài của góc C