Bài giảng Phat trien tu duy cua HS qua bai toan bdt

Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Phần 1. Mục lục: Mục lục …………………………… trang 1 Đặt vấn đề .…………………………… trang 2 Cơ sở khoa học …………………………… . trang 4 Nội dung giải quyết vấn đề ……………………………. trang 5 Kết quả thực nghiệm ……………………………… trang 23 Kết luận ……………………………… trang 23 Tài liệu tham khảo ………………………………. trang 24 Phần 2. Đặt vần đề: 1 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết. Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề này. Qua một bài toán có thể phát triển tư duy lô gíc, tư duy trừu tượng, tư duy lí luận . của học sinh. Điều quan trọng là giáo viên truyền thụ kiến thức như thế nào để phát triển tư duy của học sinh một cách tốt nhất. Trong thực tế học sinh thường thụ động tiếp thu kiến thức, thường làm bài tập một cách máy móc, không linh hoạt và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả bài toán. Với bài toán đó nếu được biến đổi thành bài toán khác thì đa số học sinh không nhận ra, lúng túng và không làm được. Đây là cách học hết sức nguy hiểm cho học sinh lười học và không phát triển được tư duy. Đối với môn Toán bài tập rất phức tạp và đa dạng, học sinh không thể làm hết được bài tập mà chỉ nắm được dạng bài tập nên học sinh cần hiểu được bản chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh, sau đó tạo ra bài toán mới, dạng toán mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát triển được tư duy. Bất đẳng thức là dạng bài tập khó trong các dạng bài tập ở THCS, bất đẳng thức yêu cầu tư duy rất cao, sự nhạy cảm toán học cũng như kĩ năng của môn Đại Số. Nếu học sinh biết cách giải một số bài tập bất đẳng thức cùng dạng thì đã thực sự trưởng thành về mặt tư duy toán học. Những bài tập bất 2 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP đẳng thức rất đa dạng học sinh không thể làm hết mà chỉ có thể nắm được một số dạng, chính vì vậy học sinh cần nắm được bản chất của bài tập và phân loại bài toán là việc vô cùng cần thiết. Vì vậy mà giáo viên cần đưa cho học sinh bài tập có hệ thống và liên hệ các bài tập cùng dạng với nhau giúp các em tự tin hơn. Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh. Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học toán. Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách dạy một bài bất đẳng thức quen thuộc trong 3 tiết, biến đổi thành các bài toán khác nhau hoặc vận dụng làm các bài bất đẳng thức khó hơn. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại. Phần 3. Cơ sở khoa học: 1. Cơ sở lí luận: 3 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. Các bài tập toán trong SGK chủ yếu hình thành kĩ năng cho học sinh, mục đích phát triển tư duy cho học sinh ở mức độ thấp nhằm đảm bảo tính giáo dục phù hợp với học sinh đại trà. Giải bài tập toán chứng minh bất đẳng thức trong quá trình ôn thi HSG là điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hình thành và phát triển tư duy ở mức độ cao hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn, trường có 8 lớp chia đều cho các khối. Phần lớn học sinh chăm học, ý thức tốt nhưng tác phong tư duy và tác phong học tập chưa đúng làm cho kết quả của học sinh chưa cao, đặc biệt là kết quả thi học sinh giỏi. Chính vì vậy vấn đề ôn thi HSG cần được đẩy mạnh. Năm học 2006-2007, tôi được phân công dạy đội tuyển Toán 9 và Giải toán trên máy tính, số lượng được dự thi là 4HS. Tôi lựa chọn 6 HS để ôn thi và nhằm phát triển tư duy cho nhóm HS đó. Mục “phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài chứng minh bất đẳng thức” nằm trong chuyên đề bất đẳng thức được thực hiện trong 3 đến 4 tiết gồm hệ thống bài tập trên lớp và hệ thống bài tập tương tự giao về nhà cho HS Phần 4. Nội dung: 4 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học cơ sở nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó. Bài toán xuất phát: Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a 3 +b 3 ≥ ab(a+b). (*) Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với : ⇔ (a+b)(a 2 –ab+b 2 ) – ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b)(a 2 -2ab +b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a+b)(a-b) 2 ≥ 0 đúng với mọi a,b dương. Đẳng thức xảy ra khi a = b. Học sinh có thể biến đổi theo hướng khác: Với a,b dương ta vẫn có thể biến đổi (*) thành : ba ba + + 33 ≥ ab ⇔ a 2 – ab + b 2 ≥ ab ⇔ ( a - b) 2 ≥ 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi a = b Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt không có gì mới lạ. Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập này. GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng: Bất đẳng thức (*) vẫn còn đúng khi a,b không âm. Nếu a,b là các số dương thì bất đẳng thức (*) có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng thức khác? Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức: ⇔ 3 a b + b 2 ≥ a(a+b) ( do b>0) ⇔ 3 a b + b 2 ≥ a 2 + ab Tương tự với a,b,c dương thì : 5 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP 3 b c + c 2 ≥ b 2 + bc 3 c a + a 2 ≥ c 2 + ac Từ đó ta có bài toán hay: Bài 2: Với 3 số a,b,c dương chứng minh rằng : 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ ab +bc+ca Đây là bài toán không hề đơn giản, nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật của bất đẳng thức CôSi thì rất khó. Học sinh có thể thử bằng cách như sau: 3 a b + b 2 ≥ 2a ab dấu “=” xảy ra khi a = b Tương tự 3 b c + c 2 ≥ 2b bc 3 c a + a 2 ≥ 2c ac Với cách thử này giáo viên sẽ dẫn học sinh đến một bài tập khác: 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ 2a ab +2b bc +2c ac - (a 2 +b 2 +c 2 ) Khi đó học sinh sẽ xuất hiện câu hỏi: Hai bất đẳng thức 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ ab +bc+ca và 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ 2a ab +2b bc +2c ac - (a 2 +b 2 +c 2 ) thì bất đẳng thức nào chặt hơn? Cách làm đơn giản nhất là GV cho học sinh thử một vài giá trị đặc biệt sẽ nhận thấy ab +bc+ca ≥ 2a ab +2b bc +2c ac - (a 2 +b 2 +c 2 ) GV yêu cầu học sinh về nhà tìm hướng chứng minh. 6 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số dương, ta có hướng biến đổi khác: Từ a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) (*) suy ra: 3 3 a ab b+ ≥ a+b tương tự 3 3 cb c b+ ≥ c+b 3 3 a ac c+ ≥ a+c Với a,b,c là các số dương. Từ đó ta có bài toán: Bài 3: Với a,b,c dương chứng minh rằng: 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2(a+b+c) Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh có thể biến đổi thành nhiều cách nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Cô si 3 3 a ab b+ ≥ ab abab2 = 2 ab Tương tự ta có: 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca Học sinh lại gặp vấn đề tương tự, trong hai bất đẳng thức: 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2(a+b+c) 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca thì bất đẳng thức nào chặt hơn? Yêu cầu này đơn giản hơn vì hầu hết học sinh đều quen thuộc với bất đẳng thức: 2(a+b+c) ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca (a,b là số dương) Như vậy bài tập 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca hay hơn bất đẳng thức trong bài tập 3. Ta có bài tập sau: 7 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca GV nhắc nhở học sinh luôn có ý thức tự đặt câu hỏi. Ví dụ: “hai vế bất đẳng thức a 3 +b 3 ≥ ab(a+b)(*) có gì quen thuộc?”. “Biến đổi như thế nào để có lập phương của một tổng?”. Khi đó HS biến đổi (*) ⇔ 3(a 3 +b 3 ) ≥ 3ab(a+b) ⇔ 4(a 3 +b 3 ) ≥ a 3 + b 3 + 3ab(a+b). ⇔ 4(a 3 +b 3 ) ≥ (a+b) 3 . Từ đó ta đề xuất được bài toán mới: Bài 5: Với a,b,c dương chứng minh rằng: 8(a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ (a+b) 3 +(c+b) 3 +(a+c) 3 Bài tập này học sinh có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương, hoặc sử dụng phương pháp tách để chứng minh. Ta đã có: 4(a 3 +b 3 ) ≥ (a+b) 3 Tương tự: 4(b 3 +c 3 ) ≥ (b+c) 3 4(a 3 +c 3 ) ≥ (a+c) 3 Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều này ta suy ra điều phải chứng minh. Ta áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương của vế phải bài 5 thì được điều gì? Học sinh thấy ngay (a+b) 3 ≥ (2 ab ) 3 = 8ab ab (b+c) 3 ≥ 8bc bc (a+c) 3 ≥ 8ac ca 8 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Khi đó tự học sinh sẽ thấy bài toán mới đẹp hơn bài 5. Bài 6: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 ≥ ab ab +bc bc +ac ca Bài toán sẽ trở nên khó hơn nếu bổ xung thêm giả thiết abc = 1.Khi đó: ab = c 1 ; bc = a 1 ; ac = b 1 Như vậy học sinh đã tạo ra được bài toán mới hay hơn bài 6. Bài 7: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 ≥ aa 1 + bb 1 + cc 1 Kĩ năng tách các hạng tử là một trong những kĩ năng quan trọng để chứng minh bất đẳng thức. GV biến đổi bất đẳng thức (*) cũng tạo ra được một số bài tập cho HS rèn luyện kĩ năng này. Bài 8: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 2(a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức (*) cho lần lượt cặp số a,b,c ta có: a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) b 3 +c 3 ≥ bc(b+c) a 3 +c 3 ≥ ca(c+a) Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được : 2(a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 9 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Ta thấy rằng khi sử dụng bất đẳng thức CôSi cho đôi một các số dương a,b,c thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c Ta có a + b ≥ 2 ab ; b + c ≥ 2 bc và c + a ≥ 2 ac Khi đó ta có một bài toán mới: Bài 9: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 ≥ ab ab + bc bc + ac ac GV đưa bài tập này ra không bình luận gì thêm. Nếu học sinh nào làm theo hướng làm của bài tập 8 thì thật máy móc. Bài tập đơn giản như vậy mà phải áp dụng cả bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức CôSi. Dùng kĩ thuật tách hạng tử và bất đẳng thức CôSi là đủ. Khi đó lời giải sẽ rất gọn gàng và thể hiện được tính sáng tạo của học sinh. Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương ta có: a 3 +b 3 ≥ 2ab ab b 3 +c 3 ≥ 2bc bc a 3 +c 3 ≥ 2 ac ac Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều trên ta được: a 3 +b 3 +c 3 ≥ ab ab + bc bc + ac ac Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Nếu học sinh biến đổi bất đẳng thức a 3 +b 3 ≥ ab(a+b)(*) theo hướng sau: ⇔ a 3 +b 3 +abc ≥ ab(a+b) +abc ⇔ a 3 + b 3 +abc ≥ ab(a+b+c) ⇔ abcba ++ 33 1 ≤ 1 ( )ab a b c+ + Tương tự ta có: 10 [...]... tự nhiên hơn và thấy bài toán “đơn giản” hơn Đặc biệt hoá bài toán này trong trường hợp abc = 1 Ta có bài toán mới (bài thi vào trường Đại học Thuỷ Lợi năm học 1999) Bài 11: Cho a,b,c dương và abc = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 + b3 + c3 + 1 + a 3 + c3 + 1 ≤ 3 a + b +1 3 1 Lời giải bài toán này giống như bài 8, khi sử dụng kết quả bài toán này ta sẽ chứng minh được bài toán sau đây: Bài 12: Cho a,b,c là... thức đã được chứng minh) Những bài toán tổng quát giúp HS phát triển tư duy trừu tượng ở mức độ cao hơn nhưng việc hình thành nên bài toán tổng quát là tương đối khó Thông thường tìm các bài toán tổng quát bằng cách dự đoán hoặc bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn Đối với HS trung học cơ sở thì không yêu cầu học sinh đi tìm các bài toán tổng quát Tuy nhiên những bài toán tổng quát có ý nghĩa rất... cách gọn gàng Rất nhiều bài trong số các bài tập trên 22 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học nhưng tất cả các bài tập đó đều xuất phát từ bài tập cơ bản Qua hệ thống bài tập này tôi muốn giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về một bài bất đẳng thức và giúp các em có ý thức hơn khi học các bài toán cơ bản Trong thực tế giảng dạy, tôi chỉ áp dụng... ta có bài toán tiếp theo: Bài 15: Cho các số a,b,c dương Chứng minh rằng: 15 ) Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP a4 b +c b4 + a +c c4 a 3 + b3 + c 3 ≥ + b +a 2 Chỉ qua một số kĩ thuật biến đổi cơ bản ta đã có một bất đẳng thức đẹp Mặc dù biết được cách biến đổi để tạo ra bài 15 nhưng nếu HS không sâu sắc khi yêu cầu chứng minh bài 15 cũng là một việc hết sức khó khăn đối với HS Khi đến bài tập... ôn thi HSG lớp 9 năm học 2006-2007 tôi nhận thấy: Sau khi làm các bài tập chứng minh bất đẳng thức trong chuyên đề “Phát triển tư duy của học sinh qua một bài toán bất đẳng thức” kĩ năng 21 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP trình bày một bài toán chứng minh bất đẳng thức của học sinh của học sinh tiến bộ đáng kể đặc biệt là phương pháp tách hạng tử Học sinh tự tin hơn, không còn sợ những bài bất... bất đẳng thức (*) ta có một số bài tập tương tự Yêu cầu học sinh về nhà làm bài tập Bài 20: Cho 3 số a,b,c dương Chứng minh rằng: 2(a5 +b5 +c5) ≥ a2b2(a+b) +b2c2(b+c) +c2a2(c+a) Bài 21: Cho 3 số a,b,c dương Chứng minh rằng: a5 +b5 +c5 ≥ a2b2 ab +b2c2 bc +c2a2 ca Bài 22: Cho 3 số a,b,c dương Chứng minh rằng: a3 b2 b3 c3 + c2 + a2 ≥ a+b+c Ba bài tập này giống hệt như các bài tập khi biến đổi từ bất đẳng... chứng minh bài 15 cũng là một việc hết sức khó khăn đối với HS Khi đến bài tập này, GV cần cho HS thời gian để tư duy, nhớ lại một số bước khi biến đổi Sau khi thực hiện được bài tập này thì HS trưởng thành rất nhiều kể cả tư duy và kĩ năng trình bày Nếu biến a3 +b3 thì (*) ≥ ab(a+b) (*) theo cách giống như tạo ra bài 5 ⇔ 4(a3 +b3) ≥ (a+b)3 3 ⇔ a 3 + b3 a +b  ≥    2  2  ⇔ 2  2    ≥ 3 a + b3 ... ra khi a = b Như vậy hướng làm đầu tiên vẫn thực hiện được nhưng phức tạp, lời giải không đẹp Tuy nhiên, điều đáng mừng là chúng ta đã tìm ra bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh trong bài 13 Kết quả khi tìm tòi lời giải bài 13 ta có bài toán mới: 14 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Bài 14: Cho a,b,c dương Chứng minh rằng: 2a 3 a2 + b2 2b 3 2c 3 + b2 + c2 + c2 + a2 Từ bất đẳng... từ bất đẳng thức (*) nên yêu cầu học sinh về nhà làm các bài tập tương tự này để rèn kĩ năng Quay trở lại bài tập 8, chứng minh bất đẳng thức sau: 2(a3 +b3 +c3) ≥ ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) Nếu thêm vào điều kiện abc = 2 suy ra ab = Tương tự ta có: bc(b+c) = 2(c + b) a 2 c nên ab(a+b) = ; ac(a+c) = 2( a + b) c 2(c + a) b Từ đó ta có bài toán sau: Bài 23: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn: abc = 2 Chứng minh... 1 1 1 1 a+b+c + b 3 + c 3 + abc + a 3 + c 3 + abc ≤ a + b + c abc = 1 3 a + b + abc 3 Ta có bài toán sau: Bài 10: Cho a,b,c dương Chứng minh rằng : 1 1 1 1 + b 3 + c 3 + abc + a 3 + c 3 + abc ≤ abc 3 a + b + abc 3 Đây là một bài toán khó nếu học sinh lần đầu gặp thì không biết sẽ bắt đầu từ đâu Tuy nhiên bài toán này có trong hầu hết các quyển sách viết về bất đẳng thức Các lời giải đều gọn gàng nhưng . phát triển tư duy rất tốt. Lứa tu i THCS đang phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề này. Qua một bài toán có thể. triển tư duy lô gíc, tư duy trừu tượng, tư duy lí luận . của học sinh. Điều quan trọng là giáo viên truyền thụ kiến thức như thế nào để phát triển tư duy