Cực tiểu hóa một hàm hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ QUYÊN CỰC TIỂU HÓA MỘT HÀM HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ QUYÊN CỰC TIỂU HÓA MỘT HÀM HỢP Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Cực tiểu hợp hàm lồi hàmC 1,1 1.1 Đạo hàm cấp suy rộng 1.2 Cực tiểu hàm hợp hàm lồi hàm C 1,1 1.3 Cực tiểu hợp hàm lồi giá trị thực mở rộng áp dụng 19 Tối ưu đa mục tiêu với hàm hợp hàm lồi Lipschitz địa phương 26 2.1 Phát biểu toán 26 2.2 Vô hướng hóa tối ưu đa mục tiêu với hàm hợp 28 2.3 Điều kiện tối ưu cấp 32 2.4 Điều kiện tối ưu cấp 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 48 i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lớp toán tối ưu với hàm mục tiêu hàm hợp, có ràng buộc tập phận quan trọng lớp toán cực trị Nhiều mô hình toán tối ưu nảy sinh từ lí thuyết toán xấp xỉ Phương pháp hàm phạt cho phép ta quy toán tối ưu xét toán ràng buộc với hàm mục tiêu hợp hàm lồi hàm Lipschitz địa phương C 1,1 -hàm Nhiều tác giả nghiên cứu đề tài này, thu nhiều kết phong phú Jeyakumar-Yang [13] chứng minh điều kiện tối ưu cấp cho toán cực tiểu hóa hợp hàm lồi vô hướng nửa liên tục hàm khả vi Gâteaux với gradient Lipschitz địa phương (C 1,1 -hàm) Yang-Jeyakumar [15] thiết lập điều kiện tối ưu cấp cấp cho nghiệm hữu hiệu yếu toán đa mục tiêu cực tiểu hóa hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa phương phương pháp vô hướng hóa Đề tài "Về cực tiểu hóa hàm hợp" đề tài có tính thời nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính em chọn đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp cấp cho toán cực tiểu hóa hàm lồi nửa liên tục C 1,1 -hàm, toán cực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tiểu hóa hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa phương Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Cực tiểu hợp hàm lồi hàm C 1,1 Chương trình bày điều kiện tối ưu cấp Jeyakumar-Yang [13] cho toán cực tiểu hóa hợp hàm lồi vô hướng, nửa liên tục hàm C 1,1 ngôn ngữ đạo hàm suy rộng cấp theo nghĩa Clarke Chương 2: Tối ưu đa mục tiêu với hàm hợp hàm lồi hàm Lipschitz địa phương Chương trình bày điều kiện tối ưu cấp cấp YangJeyakumar [15] cho nghiệm hữu hiệu yếu toán đa mục tiêu cực tiểu hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa phương phương pháp vô hướng hóa Chú ý điều kiện tối ưu cấp trình bày cho không gian hữu hạn chiều Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đỗ Văn Lưu hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại Học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K4B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Tác giả Hoàng Thị Quyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Cực tiểu hợp hàm lồi hàmC 1,1 Chương trình bày điều kiện tối ưu cấp Jeyakumar-Yang [13] cho toán cực tiểu hóa hợp hàm lồi vô hướng, nửa liên tục hàm C 1,1 ngôn ngữ đạo hàm suy rộng cấp theo nghĩa Clarke 1.1 Đạo hàm cấp suy rộng Xét toán tối ưu : (P ) g(F (x)), x∈X X không gian Banach, g hàm lồi nửa liên tục dưới, F C 1,1 hàm, tức hàm khả vi Gâteaux có đạo hàm Lipschitz địa phương Trong mục ta đưa định nghĩa vài kết đạo hàm theo phương cấp hai suy rộng C 1,1 hàm Giả sử X không gian Banach thực với chuẩn || || Cặp tắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X không gian đối ngẫu X ∗ kí hiệu , Bây ta đưa vào đạo hàm theo phương cấp hai suy rộng Định nghĩa 1.1 Cho f : X → R C 1,1 hàm đạo hàm theo phương cấp hai suy rộng f x theo phương (u, v) thuộc X × X xác định bởi: f 00 (x, u, v) = lim sup y→x [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] s s→0 Hessian suy rộng f x theo phương u xác định bởi: ∂ 00 f (x)(u) = x∗ ∈ X ∗ : f 00 (x, u, v ≥ x∗ , v ∀v ∈ X Chú ý ánh xạ (u, v) → f 00 (x, u, v) hữu hạn tuyến tính, ∂ 00 f (x)(u) tập khác rỗng lồi, compac yếu∗ X ∗ với x, u, v ∈ X , f 00 (x; u, v) = max x∗ , v : x∗ ∈ ∂ 00 f (x)(u) (1.1) Trong [5] f 00 (x; u, v) = lim sup y→x [f (y + su + tv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] st s,t→0 (1.2) f khả vi liên tục lần x Hessian suy rộng ∂ 00 f (x)(u) tập điểm với u thuộc X Định nghĩa 1.2 Cho f : X → R hàm C 1,1 Ta nói hàm f khả vi chặt hai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lần x tồn toán tử tuyến tính D2 f (x) : X → X ∗ cho: [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] D2 f (x)u, v = lim (1.3) y→x s s→0 Mệnh đề sau cho phép ta nhận đặc trưng tính khả vi chặt hai lần C 1,1 hàm Mệnh đề 1.1 Cho f : X → R C 1,1 hàm Khi f khả vi chặt hai lần x giới hạn [f (y + su + tv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] lim y→x st (1.4) s,t→0 tồn Chú ý trường hợp này, hai giới hạn (1.3) (1.4) Chứng minh Giả sử f khả vi chặt lần x từ (1.2) ta có lim sup y→x [f (y + su + tv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] st s,t→0 = lim sup y→x [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] s s→0 [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] y→x s = lim s→0 Như từ (1.3) ta có [f (y + su + tv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] lim sup st y→x s,t→0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = D2 f (x)u, v = − D2 f (x)(−u), v [f (y + s(−u) + tv) − f (y + s(−u)) − f (y + tv) + f (y)] = − lim sup st y→x s,t→0 = lim inf y→x s,t→0 [f (y + (−s)u + tv) − f (y + (−s)u) − f (y + tv) + f (y)] (−s)t Từ suy giới hạn (1.4) tồn Giả sử (1.4) tồn Khi đó, lim sup y→x [f (y + su + sv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] st s,t→0 ≥ lim sup y→x [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] s s→0 ≥ lim inf y→x s→0 ≥ lim inf y→x s,t→0 [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] s [f (y + su + sv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] st Do tồn giới hạn (1.4), ta suy giới han (1.3) tồn Dễ dàng thấy từ định nghĩa 1.2 ta suy f1 f2 hai lần khả vi chặt x λ, µ ∈ R λf1 + µf2 hai lần khả vi chặt x Một C 1,1 -hàm khả vi chặt hai lần x ∂ 00 f (x)(u) tập điểm với u thuộc X Trong trường hợp ∂ 00 f (x)(u) = {D2 f (x)u} (xem [5]) Như vậy, hàm khả vi liên tục Fréchet hai lần khả vi chặt hai lần Mệnh đề 1.2 ([5]) Giả sử f : X → R C 1,1 hàm Khi đó, ánh xạ x → f 00 (x; u, v) (x, u) → f 00 (x; u, v) nửa liên tục x (x, u) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... i Mở đầu Nội dung Cực tiểu hợp hàm lồi hàmC 1,1 1.1 Đạo hàm cấp suy rộng 1.2 Cực tiểu hàm hợp hàm lồi hàm C 1,1 1.3 Cực tiểu hợp hàm lồi giá trị thực mở rộng... cho nghiệm hữu hiệu yếu toán đa mục tiêu cực tiểu hóa hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa phương phương pháp vô hướng hóa Đề tài "Về cực tiểu hóa hàm hợp" đề tài có tính thời nhiều tác giả quan... cấp cấp cho toán cực tiểu hóa hàm lồi nửa liên tục C 1,1 -hàm, toán cực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tiểu hóa hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa