Cực tiểu hóa một hàm hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG THỊ QUN CỰC TIỂU HĨA MỘT HÀM HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG THỊ QUN CỰC TIỂU HĨA MỘT HÀM HỢP Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Cực tiểu hợp hàm lồi hàmC 1,1 1.1 Đạo hàm cấp suy rộng 1.2 Cực tiểu hàm hợp hàm lồi hàm C 1,1 1.3 Cực tiểu hợp hàm lồi giá trị thực mở rộng áp dụng 19 Tối ưu đa mục tiêu với hàm hợp hàm lồi Lipschitz địa phương 26 2.1 Phát biểu toán 26 2.2 Vô hướng hóa tối ưu đa mục tiêu với hàm hợp 28 2.3 Điều kiện tối ưu cấp 32 2.4 Điều kiện tối ưu cấp 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 48 i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lớp toán tối ưu với hàm mục tiêu hàm hợp, có khơng có ràng buộc tập phận quan trọng lớp toán cực trị Nhiều mơ hình tốn tối ưu nảy sinh từ lí thuyết tốn xấp xỉ Phương pháp hàm phạt cho phép ta quy tốn tối ưu xét tốn khơng có ràng buộc với hàm mục tiêu hợp hàm lồi hàm Lipschitz địa phương C 1,1 -hàm Nhiều tác giả nghiên cứu đề tài này, thu nhiều kết phong phú Jeyakumar-Yang [13] chứng minh điều kiện tối ưu cấp cho tốn cực tiểu hóa hợp hàm lồi vô hướng nửa liên tục hàm khả vi Gâteaux với gradient Lipschitz địa phương (C 1,1 -hàm) Yang-Jeyakumar [15] thiết lập điều kiện tối ưu cấp cấp cho nghiệm hữu hiệu yếu toán đa mục tiêu cực tiểu hóa hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa phương phương pháp vô hướng hóa Đề tài "Về cực tiểu hóa hàm hợp" đề tài có tính thời nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính em chọn đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp cấp cho tốn cực tiểu hóa hàm lồi nửa liên tục C 1,1 -hàm, toán cực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tiểu hóa hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa phương Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Cực tiểu hợp hàm lồi hàm C 1,1 Chương trình bày điều kiện tối ưu cấp Jeyakumar-Yang [13] cho toán cực tiểu hóa hợp hàm lồi vơ hướng, nửa liên tục hàm C 1,1 ngôn ngữ đạo hàm suy rộng cấp theo nghĩa Clarke Chương 2: Tối ưu đa mục tiêu với hàm hợp hàm lồi hàm Lipschitz địa phương Chương trình bày điều kiện tối ưu cấp cấp YangJeyakumar [15] cho nghiệm hữu hiệu yếu toán đa mục tiêu cực tiểu hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa phương phương pháp vơ hướng hóa Chú ý điều kiện tối ưu cấp trình bày cho không gian hữu hạn chiều Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đỗ Văn Lưu hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường Đại Học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K4B ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập q trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đóng góp ý kiến thầy toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Tác giả Hồng Thị Qun Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Cực tiểu hợp hàm lồi hàmC 1,1 Chương trình bày điều kiện tối ưu cấp Jeyakumar-Yang [13] cho toán cực tiểu hóa hợp hàm lồi vơ hướng, nửa liên tục hàm C 1,1 ngôn ngữ đạo hàm suy rộng cấp theo nghĩa Clarke 1.1 Đạo hàm cấp suy rộng Xét toán tối ưu : (P ) g(F (x)), x∈X X không gian Banach, g hàm lồi nửa liên tục dưới, F C 1,1 hàm, tức hàm khả vi Gâteaux có đạo hàm Lipschitz địa phương Trong mục ta đưa định nghĩa vài kết đạo hàm theo phương cấp hai suy rộng C 1,1 hàm Giả sử X không gian Banach thực với chuẩn || || Cặp tắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X không gian đối ngẫu X ∗ kí hiệu , Bây ta đưa vào đạo hàm theo phương cấp hai suy rộng Định nghĩa 1.1 Cho f : X → R C 1,1 hàm đạo hàm theo phương cấp hai suy rộng f x theo phương (u, v) thuộc X × X xác định bởi: f 00 (x, u, v) = lim sup y→x [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] s s→0 Hessian suy rộng f x theo phương u xác định bởi: ∂ 00 f (x)(u) = x∗ ∈ X ∗ : f 00 (x, u, v ≥ x∗ , v ∀v ∈ X Chú ý ánh xạ (u, v) → f 00 (x, u, v) hữu hạn tuyến tính, ∂ 00 f (x)(u) tập khác rỗng lồi, compac yếu∗ X ∗ với x, u, v ∈ X , f 00 (x; u, v) = max x∗ , v : x∗ ∈ ∂ 00 f (x)(u) (1.1) Trong [5] f 00 (x; u, v) = lim sup y→x [f (y + su + tv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] st s,t→0 (1.2) f khả vi liên tục lần x Hessian suy rộng ∂ 00 f (x)(u) tập điểm với u thuộc X Định nghĩa 1.2 Cho f : X → R hàm C 1,1 Ta nói hàm f khả vi chặt hai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lần x tồn toán tử tuyến tính D2 f (x) : X → X ∗ cho: [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] D2 f (x)u, v = lim (1.3) y→x s s→0 Mệnh đề sau cho phép ta nhận đặc trưng tính khả vi chặt hai lần C 1,1 hàm Mệnh đề 1.1 Cho f : X → R C 1,1 hàm Khi f khả vi chặt hai lần x giới hạn [f (y + su + tv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] lim y→x st (1.4) s,t→0 tồn Chú ý trường hợp này, hai giới hạn (1.3) (1.4) Chứng minh Giả sử f khả vi chặt lần x từ (1.2) ta có lim sup y→x [f (y + su + tv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] st s,t→0 = lim sup y→x [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] s s→0 [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] y→x s = lim s→0 Như từ (1.3) ta có [f (y + su + tv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] lim sup st y→x s,t→0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = D2 f (x)u, v = − D2 f (x)(−u), v [f (y + s(−u) + tv) − f (y + s(−u)) − f (y + tv) + f (y)] = − lim sup st y→x s,t→0 = lim inf y→x s,t→0 [f (y + (−s)u + tv) − f (y + (−s)u) − f (y + tv) + f (y)] (−s)t Từ suy giới hạn (1.4) tồn Giả sử (1.4) tồn Khi đó, lim sup y→x [f (y + su + sv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] st s,t→0 ≥ lim sup y→x [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] s s→0 ≥ lim inf y→x s→0 ≥ lim inf y→x s,t→0 [ ∇f (y + su), v − ∇f (y), v ] s [f (y + su + sv) − f (y + su) − f (y + tv) + f (y)] st Do tồn giới hạn (1.4), ta suy giới han (1.3) tồn Dễ dàng thấy từ định nghĩa 1.2 ta suy f1 f2 hai lần khả vi chặt x λ, µ ∈ R λf1 + µf2 hai lần khả vi chặt x Một C 1,1 -hàm khả vi chặt hai lần x ∂ 00 f (x)(u) tập điểm với u thuộc X Trong trường hợp ∂ 00 f (x)(u) = {D2 f (x)u} (xem [5]) Như vậy, hàm khả vi liên tục Fréchet hai lần khả vi chặt hai lần Mệnh đề 1.2 ([5]) Giả sử f : X → R C 1,1 hàm Khi đó, ánh xạ x → f 00 (x; u, v) (x, u) → f 00 (x; u, v) nửa liên tục x (x, u) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử (2.2) thỏa mãn p (i) (ii) Fi, (a)(C − a) = ∅; int i=1 T vi (Fj (x) − Fj (a)) (2.4) ≤ 0, ∀x ∈ C, vi ∈ ∂fi (Fi (a)), i = j Khi đó, a nghiệm hữu hiệu yếu toán (P1 ) Chứng minh Giả sử x ∈ C Khi đó, p p λi fi (Fi (a)) λi fi (Fi (x))− i=1 i=1 p λi viT (Fi (x)−Fi (a)) ≥ i=1 Bởi p Fi, (a)(C − a) = ∅, int i=1 ta chọn p Fi, (a)(C − a), ξ∈ α > 0, i=1 cho p p Fi, (a)(C − a), (Fi (x)−Fi (a)) ∈ ξ+α i=1 i=1 p ξT ( λi vi ) = i=1 Tồn y ∈ C cho p (Fi (x)−Fi (a)) = Fi, (a)(y − a), ξ+α i = 1, p i=1 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.5) Khi đó, p p λi viT (ξ +α i=1 (Fi (x)−Fi (a))) i=1 p λi viT Fi, (a)(y − a) = i=1 Do đó, p λi viT Fi, (a)(y − a) 0≤ i=1  p  p λi viT ξ + α = i=1 p (Fj (x)−Fj (a)) j=1 p λi viT (ξ + α ≤ i=1 p (Fi (x)−Fi (a))) i=1 λi viT (Fi (x)−Fi (a)); =α i=1 vậy, p p λi fi (Fi (x)) ≥ i=1 λi fi (Fi (a)), ∀x ∈ C i=1 Vì thế, a nghiệm tối ưu P1 (λ) Vì a nghiệm hữu hiệu yếu toán (P1 ) Khi Fi = F , Định lý 2.4 2.5 qui điều kiện đủ sau Hệ 2.1 Giả sử Fi = F với i, intF , (a)(C − a)=∅ Giả sử p (∃λ ∈ R+ \{0})(∀i = 1, , p)(∃vi ∈ ∂fi (Fi (a)))(∀x ∈ C), 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn p λi viT Fi, (a)(x − a) ≥ i=1 Khi đó, a nghiệm hữu hiệu yếu (P1 ) Chứng minh Vì Fi = F , giả thiết intF , (a)(C − a)=∅ kéo theo (2.3), (2.4) (2.5) Do đó, a nghiệm hữu hiệu yếu tốn (P1 ) Ví dụ sau (2.3) (2.4) khác Ví dụ 2.1 Cho C = (x1 , x2 ) : (x1 − 1)2 + x22 ≤ , a = (0, 0) Cho F1 (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ), F2 (x1 , x2 ) = (−x1 , −x2 ) Khi đó, F1, (0, 0) = (1, 1), F2, (0, 0) = (−1, −1) Ta có int F1, (0, 0)(C − (0, 0)) ∩ F2, (0, 0)(C − (0, 0)) = int {(0, 0)} = ∅; 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn int (F1, (0, 0), F2, (0, 0))(C − (0, 0)) = (x1 , x2 ) : (x1 − 1)2 + x22 < × (−x1 , −x2 ) : (x1 − 1)2 + x22 < = ∅ 2.4 Điều kiện tối ưu cấp Trong suốt mục ta giả sử rằng: (i) Fi = F ,i = 1, · · · , p; (ii) F (x) = (F (x), · · · , F m (x))T , F j : Rn → R, j = 1, · · · , m hàm giá trị thực khả vi chặt lần, tức với x tồn n×n-ma trân D2 F j (x) cho [F j (y + su + tv) − F j (y + su) − F j (y + tv) − F j (y)] lim y→x st s,t↓0 = uT D2 F j (x)v; D2 F j (x) gọi đạo hàm chặt cấp F j x p Với λ cố định λ ∈ R+ , ta xét toán tối ưu vô hướng P1 (λ) (P1 ) Giả sử p g(y0 , y1 , , yp ) = δc (y0 ) + λi fi (yi ) i=1 : Rn × Πp Rm → R ∪ {+∞}, G(x) = (x, F (x), , F (x)) : Rn → Rn × Πp Rm , 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn δc (y0 ) hàm Rõ ràng g hàm lồi nửa liên tục G khả vi chặt hai lần tức thành phần G khả vi chặt lần Khi đó, P1 (λ) phát biểu toán cực tiểu hóa hàm hợp lồi thuộc loại nghiên cứu [13] (CP ) Min g(G(x)), x ∈ Rn , G(x) ∈ dom(g) Giả sử hàm Lagrange, nón tới hạn tập nhân tử (CP) xác định L(x, v) = v, G(x) − g ∗ (v), K(x) = u ∈ Rn : g(G(x) + t v ∈ dom(g ∗ ), G(x)u) ≤ g(G(x)), với t t > , L0 (x) = v ∈ Rn × Πp Rm : v ∈ ∂g(G(x)), G(x)T v = Hàm L(x, v) tập K(x) L0 (x) phụ thuộc vào tham số λ Bổ đề 2.1 Cho λ ∈ Rp+ x ∈ C Ta có K(x) = cone(C − x) ∩ K1 (x), K1 (x) tập nhân tử toán hàm hợp lồi sau: p M in λi fi (F (x)), i=1 x ∈ X Chứng minh 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử u ∈ K(x) Khi đó, g(G(x) + t G(x)u) ≤ g(G(x)), với t t > 0, tức là, p δc (x + tu) + λi fi (F (x) + t F (x)u) i=1 p ≤ δc (x) + λi fi (F (x)) i=1 Như vậy, u ∈ cone(C − x) p p λi fi (F (x) + t F (x)u) ≤ i=1 λi fi (F (x)), với t t > 0, i=1 tức u ∈ K1 (x) Bổ đề chứng minh đầy đủ Bổ đề 2.2 Ta có L0 (x) = {(v0 , λ1 v1 , , λp vp ) : v0 ∈ N (x|C), vi ∈ ∂fi (F (x)), p λi F (x)T vi = 0} v0 + i=1 Chứng minh Dễ thấy ∂g(G(x)) = N (x|C) × Πp λi ∂fi (F (a)) Như vậy, v ∈ L0 (a) v = (v0 , v1, , · · · , vp, ), 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v0 ∈ N (a|C), vi, ∈ λi ∂fi (F (a)), cho p F (a)T vi, = v0 + i=1 Khi đó, vi, = λi vi , vi ∈ ∂fi (F (a)), cho p λi F (a)T vi = v0 + i=1 Giả sử   uT D2 F (a)u  uT D2 F (a)u =   , uT D2 F m (a)u n × n ma trận D2 F j (x) đạo hàm chặt cấp F j x Định lý 2.6 Giả sử (2.1) Nếu a nghiệm hữu hiệu yếu tốn (P1 ), ∃λ ∈ Rp+ \ {0} , cho L0 (a) = ∅ với u ∈ cl(cone(C − a)) ∩ cl(K1 (a)), p λi viT uT D2 F (a)u} ≥ max v , i=1 p v0 ∈ N (a|C), vi ∈ ∂fi (F (a)), λi ∇F (a)T vi = v0 + i=1 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Theo định lý 2.1, ∃λ ∈ Rp+ \ {0} cho a nghiệm P1 (λ) Khi đó, a nghiệm toán tối ưu với hàm hợp lồi (CP) Với v ∈ L0 (a) u ∈ Rn , ta có p 00 λi viT uT D2 F (a)u, L (a, v; u, u) = i=1 L00 (a, v; u, u) đạo hàm theo phương suy rộng cấp Clarke Sử dụng định lý 4.1 [13], ta có L0 (a) = ∅ p λi viT uT D2 F (a)u : v ∈ L0 (a) max ≥ 0, i=1 ∀u ∈ cl(cone(C − a)) ∩ cl(K1 (a)) Khi đó, kết suy từ bổ đề 2.1 2.2 Giả sử K(a)T D2 F (a)K(a) := q ∈ Rm : q = uT D2 F (a)u, với u ∈ K(a Bây ta nhận điều kiện đủ cấp cho toán (P1 ) cách giả thiết phần tậpK(a)T D2 F (a)K(a) khác rỗng Định lý 2.7 Giả sử phần tập K(a)T D2 F (a)K(a) = ∅, tức intK(a)T D2 F (a)K(a) = ∅, ∃λ ∈ Rp+ \{0} cho L0 (a) = ∅ với u ∈ cl(cone(C − a)) ∩ cl(K1 (a)), p λi viT uT D2 F (a)u max v ≥ 0, i=1 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn p v0 ∈ N (a|C), vi ∈ ∂fi (F (a)), λi ∇F (a)T vi = v0 + i=1 Khi đó, a nghiệm hữu hiệu yếu tốn (P1 ) Chứng minh Ta a nghiệm P1 (λ) Giả sử x ∈ C Khi đó, p p λi viT (F (x) − F (a)) λi fi (F (a)) ≥ λi fi (F (x))− i=1 p i=1 i=1 Bởi intK(a)T D2 F (a)K(a) = ∅, ta chọn w ∈ intK(a)T D2 F (a)K(a), α > 0, cho w + α[F (x) − F (a) − ∇F (a)(x − a)] ∈ K(a)T D2 F (a)K(a), p T w ( λi vi ) = i=1 Tồn u ∈ K(a) cho w + α[F (x) − F (a) − ∇F (a)(x − a)] = uT D2 F (a)u Khi đó, p λi viT (w + α(F (x) − F (a)) − ∇F (a)(x − a)) i=1 p λi viT uT D2 F (a)u = i=1 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do đó, p λi viT uT D2 F (a)u 0≤ i=1 p λi viT (w + α[F (x) − F (a) − ∇F (a)(x − a)]) = i=1 p = v0T (x − a) + α λi viT (F (x) − F (a)) i=1 p λi viT (F (x) − F (a)) ≤α i=1 Vì vậy, p p λi fi (F (x)) ≥ i=1 λi fi (F (a)), ∀x ∈ C i=1 Như vậy, a nghiệm P1 (λ) Do λ ∈ Rp+ \{0}, a nghiệm hữu hiệu yếu tốn (P1 ) 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp cấp hai cho toán tối ưu đơn mục tiêu đa mục tiêu Jeyakumar-Yang [13,15] với hàm mục tiêu hợp hàm lồi nửa liên tục hàm C 1,1 , cho toán đa mục tiêu cực tiểu hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa phương Nội dung luận văn bao gồm: - Các đạo hàm suy rộng cấp theo nghĩa Clarke, Michel-Penot đạo hàm chặt cấp - Các điều kiện cần tối ưu cấp ngôn ngữ đạo hàm suy rộng cấp Clarke đạo hàm chặt cấp cho toán (P) - Các điều kiện tối ưu cấp cho cực tiểu địa phương chặt cấp với điều kiện quy - Mối quan hệ nghiệm hữu nghiệm hữu hiệu yếu toán (P1 ) nghiệm toán vơ hướng hóa - Các điều kiện cần cấp cấp cho nghiệm hữu hiệu yếu toán (P1 ) - Các điều kiện đủ cấp cấp cho nghiệm hữu hiệu toán (P1 ) 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Các điều kiện tối ưu cho toán tối ưu với hàm mục tiêu hàm hợp có ràng buộc khơng có ràng buộc tập đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, (2000), Giải tích lồi , NXB Khoa học kỹ thuật Hà nội [2] Đỗ Văn Lưu, (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học kỹ thuật Hà nội Tài liệu tiếng Anh [3] Burke, J V (1987), Second-order necessary and sufficient conditions for convex composite NDO, Math Programming, vol 38, 287-302 [4] Burke, J V., and Poliquin, R A (1992), Optimality conditions for nonfinite-valued convex composite functions, Math Programming, vol 57B, 103-120 [5] Cominetti, R., and Correa, R (1990), A generalized second-order derivative in nonsmooth optimization, SIAM J Control Optim., vol 28, 789-809 [6] Clarke, F H (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, John Wiley, New York 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [7] Ioffe, A D (1979), Necessary and sufficient conditions for a local minimum, Part 3: Second-order conditions and augmented duality, SIAM J Contr Optim., vol 17, 266-288 [8] Ioffe, A D (1979), Necessary and sufficient conditions for a local minimum, Part 2: Conditions of Levitin-Miljutin-Osmolovskii tye, SIAM J Contr Optim., vol 17, 251-265 [9] Jeyakumar, V (1991), Composite nonsmooth programming with Gâteaux differentiability, SIAM J Optim., vol 1, 30-41 [10] Jeyakumar, V (1987), On optimality conditions in nonsmooth inequality constrained minimization, Numer Funct Anal Optim., vol 2, 535-546 [11] Jeyakumar, V (1990), Duality and infinite-dimensional optimization, Nonlinear Analysis: Theory, Methods, and Applications, vol 15, 1111-1122 [12] Jeyakumar, V., and Yang, X Q (1993), Convex composite multiobjective nonsmooth programming, vol 59, 325-343 [13] Jeyakumar, V., and Yang, X Q (1995), Convex composite minimization with C 1,1 , functions, J.Optim Theory Appl., vol 86, 631648 [14] Sengupta, S S., Podrebarac, M L., and Fernando, T D H (1973), Probabilities of Optima in Multiobjective Linear Programs, Multiple-Criteria decision making, Edited by J L Cochrane and M Zeleny, South Carolina University press, Columbia, South Carolina, 217-235 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [15] Yang, X Q., and Jeyakumar, V (1997), First and second-order optimality conditions for convex composite multiobjective optimization, J Optim Theory., vol 95, 209-224 [16] Yang, X Q., and Jeyakumar, V., (1992), Generalized second-order directional derivatives and optimization with C 1,1 functions, Optimization, vol 26, 165-185 [17] Yang, X Q., (1994), Generalized second-order directional derivatives and optimality conditions, Nonlinear Analysis: Theory, Methods, and Applications, vol 23, 767-784 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... i Mở đầu Nội dung Cực tiểu hợp hàm lồi hàmC 1,1 1.1 Đạo hàm cấp suy rộng 1.2 Cực tiểu hàm hợp hàm lồi hàm C 1,1 1.3 Cực tiểu hợp hàm lồi giá trị thực mở rộng... cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn đa mục tiêu cực tiểu hóa hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa phương phương pháp vơ hướng hóa Đề tài "Về cực tiểu hóa hàm hợp" đề tài có tính thời nhiều tác giả quan... cấp cấp cho toán cực tiểu hóa hàm lồi nửa liên tục C 1,1 -hàm, tốn cực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tiểu hóa hợp hàm véc tơ lồi hàm Lipschitz địa