Phương pháp cực tiểu hoá

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Khuất Văn Ninh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Khuất Văn Ninh, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2011 Lê Thị Hậu LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Khuất Văn Ninh Hà Nội, tháng năm 2011 Lê Thị Hậu MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU…………………………………………………………… NỘI DUNG………………………………………………………… Chương 1: Kiến thức bổ trợ……………………………………… 1.1 Không gian R n ………………………………………………… 1.2 Đạo hàm vi phân Frechet…………………… 1.2.1 Khái niệm đạo hàm vi phân Frechet………………… 1.2.2 Các tính chất đạo hàm vi phân Frechet ………… 1.2.3 Một số ví dụ……………………………………………… 1.3 Đạo hàm vi phân Gateaux………………………………… 1.3.1 Khái niệm đạo hàm vi phân Gateaux………………… 1.3.2 Các định lý mối liên hệ vi phân mạnh vi phân yếu …………………………… 10 1.4 Các định nghĩa định lý cực tiểu, điểm tới hạn ánh xạ gradient…………………………………………………… 11 1.5 Các định lý tính ………………………………… 15 1.6 Các định lý tồn tại……………………………………… 18 Chương 2: Phương pháp cực tiểu hoá…………………………… 23 2.1 Phương pháp paraboloid……………………………………… 23 2.2 Phương pháp gốc ……………………………………………… 26 2.3 Thuật toán bước dài…………………………………………… 32 2.3.1 Nguyên lý cực tiểu hoá…………………………………… 32 2.3.2 Nguyên lý Curry Altman ……………… 33 2.3.3 Cực tiểu hoá gần tìm kiếm gốc ………………… 35 2.3.4 Nguyên lý Majorization……………………… 37 2.3.5 Nguyên lý bước dài Goldstein…………………………… 40 2.4 Các phương pháp hướng liên hợp …………………………… 43 2.5 Phương pháp Gauss – Newton phương pháp liên quan 48 2.6 Phụ lục 1……………………………………………… 52 2.7 Phụ lục 2…………………………… 56 Chương 3: ứng dụng phương pháp cực tiểu hoá …………… 61 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 BẢNG KÍ HIỆU R1 không gian số thực chiều Rn không gian số thực n chiều L( R n , R m ), L( R n ) không gian tuyến tính toán tử tuyến tính từ R n vào R m , từ R n vào R n e1 , , e n vectơ đơn vị R n x = ( x1 , , x n ) T vectơ cột với thành phần xi {x } dãy vectơ k chuẩn R n ( x, y ) tích vô hướng R n S ( x, r ) cầu mở {y ∈ R n S ( x, r ) cầu đóng {y ∈ R n int(D) phần tập hợp D [x, y ] tập {z ∈ R n z = tx + (1 − t ) y, t ∈ [0,1]} A −1 ma trận nghịch đảo ma trận A AT ma trận chuyển vị ma trận A A+ ma trận nghịch đảo suy rộng ma trận A H g (x) ma trận Hessian g F : D ⊂ Rn → Rm ánh xạ F có tập xác định D R n tập giá trị R m F ' ( x), F ' ' ( x) đạo hàm cấp đạo hàm cấp hai F x F −1 hàm ngược hàm F ∈, ⊂ phần tử bao gồm, tập hợp bao gồm ∪, ∩ , ∀ hợp, giao, với ∑, ∏ tổng, tích } y−x 0) (∃n0 ∈ N * ) (∀k , l ≥ n0 ) d ( x ( k ) , x (l ) ) < ε Hay n ∑ (x j =1 (k ) j − x (jl ) ) < ε ⇒ x (jk ) − x (jl ) < ε , ∀k , l ≥ n0 , ∀j = 1,2, , n (1.1.3) Các bất đẳng thức (1.1.3) chứng tỏ, với j = 1,2, , n dãy {x (kj ) } dãy số thực bản, nên phải tồn giới hạn: lim x (jk ) = x j , ( j = 1,2, , n) k →∞ Đặt x = ( x1 , x , , x n ) , ta nhận dãy {x ( k ) } ⊂ R n cho hội tụ theo toạ độ tới x Nhưng hội tụ không gian Euclid R n tương đương với hội tụ theo toạ độ, nên dãy {x (k ) } cho hội tụ tới x không gian R n Vậy không gian Euclid R n không gian đầy Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian metric M = ( X , d ) Tập K ⊂ X gọi tập compact không gian M , dãy phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc K Định lý 1.1.2 Cho f ánh xạ từ không gian metric M = ( X , d ) vào không gian metric R Nếu ánh xạ f liên tục tập compact K ⊂ X f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ K Định lý 1.1.3 Trong không gian Euclid R n tập đóng bị chặn tập compact 1.1.4 R n không gian định chuẩn Với chuẩn: n x = ∑ xi , x i =1 = n ∑x i =1 i , x ∞ = max xi i =1, n 1.1.5 R n không gian định chuẩn đủ (không gian Banach) 1.1.6 R n không gian Hilbert Thật vậy, ∀x, y ∈ R n , x = ( x1 , x2 , , xn ), y = ( y1 , y2 , , yn ) ta đặt n ( x, y ) = ∑ x j y j (1.1.4) j =1 Dễ thấy hệ thức (1.1.4) thoả mãn tiên đề tích vô hướng Chuẩn sinh tích vô hướng (1.1.4) x = ( x, x ) = n ∑x j =1 j , x = ( x1 , x , , x n ) ∈ R n Không gian vectơ thực R n với tích vô hướng (1.1.4) không gian Hilbert 52 + Nếu F : R n → R m , m > n F ' ( x k ) có hạng nhỏ n, F ' ( x k ) T F ' ( x k ) suy biến bước lặp Gaus-Newton (2.5.5) không xác định Trong trường hợp này, Ben-Israel đề xuất thay (2.5.5) x k +1 = x k − F ' ( x k ) + Fx k (2.5.13) Ở A ∈ L( R n , R m ) , kí hiệu A+ ma trận nghịch đảo suy rộng A, xác định toán tử tuyến tính L( R n , R m ) , thoả mãn AA + A = A, A + AA + = A + , ( A + A) T = A + A, ( AA + ) T AA + Đặc biệt AT A không suy biến A+ = ( AT A) −1 AT với F' (x k ) có hạng n (2.5.13) quy (2.5.5) 2.6 Phụ lục Sự hội tụ thuật toán Gradient liên hợp thuật toán DavidonFletcher-Powell hàm bậc hai 2.6.1 Cho hàm bậc hai g ( x) = x T Ax − b T x + C , A ∈ L( R n ) đối xứng, xác định dương, lặp gradient liên hợp (2.4.5)-(2.4.6) thảo mãn x m = A −1b, m ≤ n Hơn nữa, ( Ap i ) T p j = 0, i ≠ j, ≤ i, j ≤m (2.6.1) Chứng minh: Ta ý tới α k β k , x k +1 , p k +1 xác định, chứng tỏ p k ≠ Nếu p = Ax − b = , x nghiệm (2.6.1) hiển nhiên Giả sử, p k ≠ 0, k = 0,1, , m − , với m ≤ n Thiết lập r k = A x k − b, k = 0, , m , suy r k ≠ Và α k ≠ 0, k = 0, , m − , r j = β j −1 = (mâu thuẫn với p j = r j = ) Chú ý, x j +1 = x j − α j p j , j = 0, , m − tương đương với r j +1 = r j − α j Ap j , Bằng cách định nghĩa α j : j = 0, , m − (2.6.2) 53 (r ) ( ) j +1 T T pj = rj (r ) j T pj − (Ap ) (Ap ) pj j T p j T j p j = 0, j = 0, , m − (2.6.3) Và cách định nghĩa β j : (Ap ) j +1 T ( p j = Ap j+1 ) ( T p j − β j Ap j ) T p j = 0, (2.6.4) j = 0, , m − Bây ta đưa vào giả thiết quy nạp (Ap ) p = 0⎫⎪⎬ (r ) r = ⎪⎭ k T j k T (2.6.5) j = 0, , k − j (2.6.6) Với k ≤ m Rõ ràng (2.6.3) (2.6.4) (2.6.5) (2.6.6) liên quan, với k = Từ (2.5.5) (2.5.6) ta có (r ) k +1 T ( = (r ) )r − α (Ap ) ( p T r j = r k − α k Ap k k T rj j k T j k ) + β j −1 p j −1 = 0, (2.6.7) j = 0, , k − Ở đó, β −1 = từ (2.6.3)-(2.6.5) (r ) k +1 T ( ) ( p + β p ) = β (r ) = β (r − α Ap ) p = r k = r k +1 T k −1 k k −1 k −1 k T k k −1 k +1 T p k −1 k −1 k Do đó, (2.6.6) với k + Để (2.6.5) với k + ta có, từ α j ≠ (Ap ) k +1 T ( p j = r k +1 − β k p k ) ( ) T Ap j = r k +1 T ⎤ T ⎡ = r k +1 ⎢ r j − r j +1 ⎥ = 0, ⎥⎦ ⎣⎢α j ( ) ( ) Ap j j = 0, , k − (2.6.4) (Ap k +1 ) p k = (2.6.1) T Để hoàn thành chứng minh, giả sử m < n p m = Từ (2.6.3): ( ) = pm T ( ) T ( ) p m = r m r m − β m −1 r m T ( p m −1 + β m2 −1 p m −1 ) T ( ) T p m−1 ≥ r m r m Do x m = A −1b Mặt khác, m = n p , , p n−1 tạo thành sở liên hợp A kết suy từ (2.4.2) □ 54 2.6.2 Cách tính β k cho (2.4.6) tương đương với βk (Ax =− (Ax ) (Ax − b ) (Ax k +1 −b k T k +1 T k −b −b ) ) Chứng minh: Từ (2.6.3) ta có (r ) k +1 T ( ) (r k +1 ( k T p k +1 = r k +1 ) ( ) T − β k p k = r k +1 r k +1 từ (2.6.5) (2.6.6) ta có (p ) k +1 T r k +1 = p k +1 ( ) (r T ) ( ) (p ) T − α k Ap k = p k +1 r k = r k +1 − β k p k ) T r k = −β k k T rk kết βk = − (p ) (p ) k +1 T r k +1 k T rk =− (r ) r (r ) r k +1 T k T k k □ Ta hoàn thành phụ lục cách lặp DavidonFletcher-Powell hội tụ hầu hết n bước, g : R n → R hàm bậc hai g ( x) = T x Ax − b T x + C (2.6.8) Trong trường hợp lặp (2.2.9)-(2.2.11) có dạng ( x k +1 = x k − α k H k Ax k − b H k +1 = H k ( ) + (r ) q rk rk k T T ) (2.6.9) (H q )(H q ) − (q ) H q k T k k k k k T k (2.6.10) k Ở đó, r k = x k +1 − x k , q k = Ar k (2.6.11) Hơn nữa, ta giả sử α k xác định nguyên lý cực tiểu, nghĩa αk = (Ax (Ax k k ) T ( − b H k Ax k − b ) T ( ) − b H k AH k Ax − b k ) (2.6.12) 55 2.6.3 Giả sử A, H ∈ L( R n ) đối xứng, xác định dương, x ∈ R n , lặp (2.6.9)-(2.6.10) xác định x m = A −1b với m ≤ n Hơn nữa, x k ≠ A −1b với k=0,…,n-1 H n = A −1 Chứng minh: Giả sử H k đối xứng, xác định dương x k ≠ A −1b , α k > cho (r k ) q k > Do (2.2.3) H k +1 đối xứng, xác định dương Do T đó, với x k xác định chứng tỏ x k =1 ≠ A −1b Giả sử, x k ≠ A −1b, k = 0, , n − , kết chứng minh Ta ý α k cực tiểu ϕ (α ) = g ( x k − αH k ( Ax k − b)) , gốc ϕ ' (α ) = Do đó, (Ax k +1 − b ) r k = 0, T k = 0, , n − (2.6.13) Hơn nữa, từ (2.6.10) (2.6.11) ta có: k = 0,1, , n − H k +1 Ar k = H k q k + r k − H k q k = r k , (2.6.14) Đặc biệt H Ar = r từ (2.6.13) (r ) T [ ] Ar = −α H ( Ax1 − b ) Ar = −α (Ax1 − b ) r = T T Ta chứng minh quy nạp H k Ar j = r j , (r ) i T Ar j = 0, (2.6.15) j = 0,1, , k − i ≠ j, k = 1, , n ≤ i, j ≤ k , (2.6.16) Khi k = ta có (2.6.15) (2.6.16) Giả sử chúng với k < n với ≤ j ≤ k − ta có (2.6.10) H k +1 Ar = H k j (r ) Ar r − (H q )(q ) H Ar Ar + (r ) q (q ) H q (H q )(q ) r = r − (H q )(r ) Ar − (q ) H q (q ) H q k T j k T k T k j k k k T k j k k k =r k j k T j k j k k T k k k T k k T k k j =rj 56 (2.6.14) với k = j , (2.6.15) thay k k + Tiếp theo, ý rằng, j ϕ (t ) ⎨ * ⎩ t ≤ t1 ⇒ ϕ (t ) > ϕ (t1 ) (2.7.1) Rõ ràng, hàm mốt nghiêm ngặt [a, b] có cực tiểu toàn cục [a, b] Một mốt nghiêm ngặt tương đương với khái niệm tựa lồi ngặt 57 2.7.2 Giả sử hàm ϕ : [a, b] ⊂ R → R1 có số t * ∈ [a, b] với ϕ (t * ) = min{ϕ (t ) t ∈ [a, b]} ϕ mốt ngặt [a, b] ϕ tựa lồi ngặt Chứng minh: Giả sử ϕ tựa lồi ngặt a ≤ t1 < t ≤ b { ⇒ ϕ (t ) < max{ϕ (t } )} = ϕ (t t1 < t ≤ t * ⇒ ϕ (t ) < max ϕ (t1 ), ϕ (t * ) = ϕ (t1 ) t * ≤ t1 < t 2 ), ϕ (t * ) Chứng tỏ ϕ mốt ngặt [a, b] Ngược lại, ϕ mốt ngặt [a, b] , thiết lập tα = (1 − α )t1 + αt ,0 < α < t * ≥ tα > t1 ⇒ ϕ (tα ) < ϕ (t1 ) ≤ max{ϕ (t1 ), ϕ (t )} t * ≤ tα < t ⇒ ϕ (tα ) < ϕ (t ) ≤ max{ϕ (t1 ), ϕ (t )} Chứng tỏ ϕ tựa lồi ngặt □ Bây giả sử ϕ mốt ngặt [a, b] với cực tiểu t * t1 , t2 hai điểm cho a ≤ t1 < t ≤ b , ta có: ⎧ ϕ (t1 ) > ϕ (t ) ⇒ t * ∈ (t1 , b) ⎪ * ⎨ϕ (t1 ) = ϕ (t ) ⇒ t ∈ (t1 , t ) ⎪ϕ (t ) < ϕ (t ) ⇒ t * ∈ (a, t ) 2 ⎩ (2.7.2) Do cách ước lượng ϕ t1 , t2 so sánh giá trị hàm (2.7.2) cho phép ta quy cỡ đoạn biết chứa t * Ý tưởng sử dụng cách dễ dàng để xây dựng dãy hội tụ tới t * Cách xấp xỉ đơn giản bắt đầu trung điểm t0 = (a + b) ϕ giảm với t>0, ta kiểm tra ϕ t + jh0 , j = 1,2, , ta tìm thấy điểm t1 từ chỗ ϕ bắt đầu tăng lại (hoặc ta đạt b) Sau ta lặp lại phương pháp điểm t1 dùng bước dài nhỏ h1 Thuật toán xác sơ đồ hình 2.7.1 58 NhËp ϕ,a,b q, ε x:=(a+b)/2 y:= ϕ (x) h:=(b-a)/2 h sai số làm tròn cực đại ước lượng ϕ Thiết lập M −1 (a + b M −1 ) − ε M −1 = (a + b M −1 ) + ε t1M = t 2M Dễ chứng minh với k = 1,2, , M − t1k +1 = a k + (t 2k − t1k ), t 2k +1 = t1k , ϕ (t1k ) < ϕ (t 2k ) (2.7.6) 60 t1k +1 = t 2k , t 2k +1 = b k − (t 2k − t1k ) , ϕ (t1k ) ≥ ϕ (t 2k ) (2.7.7) Chứng tỏ phương pháp thực đòi hỏi ước lượng hàm trừ k = Thử lại, b k +1 − a k +1 ⎧ τ M −k (b k − a k ), k ≤ M − ⎪⎪ τ = ⎨ M +1− k ⎪ (b M −1 − a M −1 ) + ε , k = M − ⎩⎪ Kéo theo, b M − a M = (2τ M +1 ) (b − a ) + ε −1 Điều cho phép xác định M lần giới hạn độ dài mong muốn biết Overholt chứng tỏ việc tính toán dãy Fibonacci theo nghĩa (2.7.7) dẫn tới số không ổn định Do ta nên sử dụng công thức (2.7.4) Ta so sánh thuật toán Berman với phương pháp tìm kiếm Fibonacci Nếu trường hợp ta dùng q = , số “kỳ vọng” dãy “perstep” 3, đoạn bất biến giảm lượng − = 0,63 Trong so sánh, phương pháp tìm kiếm Fibonaccian có yếu tố quy 1+ = 0,62 Tất nhiên, trường hợp phương pháp Berman, yếu tố 0,63 đại diện ước lượng trung bình, xem xét thấp cao − = 0,87 61 Chương III ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CỰC TIỂU HOÁ Ví dụ 3.1 Tìm cực tiểu hàm 2 g ( x) = g ( x1 , x ) = + x1 + x + x1 + x1 x + x Bài làm: Dễ thấy g (x) hàm bậc hai dạng g ( x) = C + b T x + x T Ax ⎛1⎞ ⎛x ⎞ ⎛2 1⎞ ⎟⎟ với C = 1, b = ⎜⎜ ⎟⎟, x = ⎜⎜ ⎟⎟, A = ⎜⎜ ⎝1 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ x2 ⎠ A ∈ L( R ) ma trận xác định dương, đối xứng nên g có cực tiểu nghiệm hệ phương trình Ax = b Hay ⎧ x1 + x = ⎧x = ⇔⎨ ⎨ ⎩ x1 + x = ⎩ x2 = Vậy cực tiểu g x * = (0;1) g = Ví dụ 3.2 Tìm cực tiểu hàm 2 g ( x) = g ( x1 , x ) = x1 + x − x1 x − x1 + x Bài làm: g có điểm tới hạn nghiệm hệ phương trình g ' ( x) T = Hay ⎧ x1 − x − = ⎧x =1 ⇔⎨ ⎨ ⎩− x1 + x + = ⎩ x2 = Ma trận Hessian g ⎛2 0⎞ ⎟⎟ H g (x) = ⎜⎜ ⎝ 2⎠ Ta thấy H g (x) đối xứng, xác định dương Vậy cực tiểu g x * = (1,0) , g = g (1,0) = −1 Ví dụ 3.3 Tìm cực tiểu hàm 2 g ( x) = g ( x1 , x ) = x1 + x + x3 − x1 x + x1 − x3 Bài làm: g có điểm tới hạn nghiệm hệ phương trình g ' ( x) T = 62 Hay ⎧ ⎪ x1 = − +1 = ⎧ x1 − x ⎪− x + x = ⇔ ⎪⎨ ⎨ x2 = − ⎪⎩ ⎪ x3 − = ⎪x = ⎩ Ma trận Hessian g ⎛ −1 0⎞ ⎜ ⎟ H g (x) = ⎜ − ⎟ ⎜0 ⎟⎠ ⎝ Ta thấy H g (x) đối xứng, xác định dương 3 3 Vậy cực tiểu g x * = (− ,− ,1) , g = g (− ,− ,1) = − Ví dụ 3.4 Tìm cực tiểu hàm 3 2 g ( x) = g ( x1 , x ) = x1 + x + x1 + x − Bài làm: g có điểm tới hạn nghiệm hệ phương trình g ' ( x) T = Hay ⎧ x1 + x1 = ⎧ x ( x + 2) = ⇔⎨ 1 ⎨ ⎩6 x ( x + 2) = ⎩6 x + 12 x = ⎧ x = ⎧ x1 = ⎧ x = −2 ⎧ x1 = −2 ⇔⎨ , ⎨ , ⎨ , ⎨ ⎩ x = ⎩ x = −2 ⎩ x = ⎩ x = −2 Ma trận Hessian g ⎞ ⎛ 6x + ⎟ H g ( x) = ⎜⎜ x + 12 ⎟⎠ ⎝ Ta thấy điểm (0,0) ta có: ⎛6 ⎞ ⎟⎟ H g (0,0) = ⎜⎜ ⎝ 12 ⎠ H g (0,0) đối xứng, xác định dương Tại điểm (0,-2), (-2,0), (-2,-2) ta có: 63 ⎛ 0⎞ ⎛− ⎞ ⎛ − 0⎞ ⎟⎟, H g (−2,0) = ⎜⎜ ⎟⎟, H g (−2,−2) = ⎜⎜ ⎟⎟ H g (0,−2) = ⎜⎜ ⎝ 0⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 0⎠ Là ma trận đối xứng, không xác định dương Vậy cực tiểu g x * = (0,0) , g = g (0,0) = −4 Ví dụ 3.5 Tìm cực tiểu hàm g : D ⊂ R → R1 , g ( x) = x1 + x1 x + x2 Với ⎧ ⎫ 2 D = ⎨ x = ( x1 , x ) ∈ R x1 + x − < 0, x1 > , x < 0⎬ ⎩ ⎭ Bài làm: g có điểm tới hạn nghiệm hệ phương trình g ' ( x) T = Hay ⎧ ⎧8 x13 + x = ⎪ x1 = ⇔ ⎨ ⎨ ⎩ x1 + x = ⎪ x2 = − ⎩ Ma trận Hessian g ⎛ 24 x1 H g ( x) = ⎜⎜ ⎝ 1⎞ ⎟ ⎟⎠ 1 ⎛ H g ( ,− ) = ⎜ ⎜1 ⎝ ⎞ 1⎟ ⎟ 2⎠ Ta có: Là ma trận đối xứng, xác định dương 4 Vậy cực tiểu g x * = ( ,− ) , g = g ( ,− ) = − 128 Ví dụ 3.6 Tìm cực tiểu hàm 4 g ( x) = g ( x1 , x ) = x1 + x − 2( x1 − x ) , x1 x ≠ Bài làm: g có điểm tới hạn nghiệm hệ phương trình g ' ( x) T = Hay ⎧ x13 − 4( x1 − x2 ) = ⎧ x + x2 = ⇔⎨ ⎨ ⎩ x1 − ( x1 − x2 ) = ⎩4 x2 + 4( x1 − x2 ) = 64 ⎧x = − ⎧x = ⇔ ⎨ , ⎨ ⎩ x2 = − ⎩ x = Ma trận Hessian g ⎛12 x1 − ⎞ ⎟ H g ( x) = ⎜⎜ ⎟ x 12 − ⎝ ⎠ Ta có: ⎛ 20 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎟⎟, H g (− , ) = ⎜⎜ ⎟⎟ H g ( ,− ) = ⎜⎜ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ Là ma trận đối xứng, xác định dương Vậy cực tiểu g hai điểm x * = ( ,− ), x * = (− , ) , g = −8 Ví dụ 3.7 Tìm cực tiểu hàm g ( x) = g ( x1 , x ) = ( x1 + 1)( x + 1) + 50 20 + , x1 > 0, x > x1 + x + Bài làm: g có điểm tới hạn nghiệm hệ phương trình g ' ( x) T = Hay 50 ⎧ ⎪⎪( x + 1) − ( x + 1) = ⎧x = ⇔⎨ ⎨ 20 ⎩ x2 = ⎪( x1 + 1) − =0 ⎪⎩ ( x + 1) Ma trận Hessian g ⎛ 100 ⎜ ( x + 1) H g ( x) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎞ Ta có: H g (4,1) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1 5⎠ Là ma trận đối xứng, xác định dương Vậy cực tiểu g x * = (4,1) , g = 30 ⎞ ⎟ ⎟ 40 ⎟ ( x + 1) ⎟⎠ 65 KẾT LUẬN Bản luận văn trình bày phương pháp tìm cực tiểu hàm n biến Cụ thể: Chương 1: Trình bày khái niệm, định lý, tính chất hàm n biến đạt cực trị Chương 2: Trình bày lý thuyết số phương pháp tìm cực tiểu hàm n biến Chương 3: Một số ví dụ tìm cực tiểu hàm n biến Với khả có hạn chắn luận văn nhiều thiếu sót, mong quý thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện tốt 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (1966), Giải thích số, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [ 4] Hoàng Tuỵ (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [5] James M.Ortega and Werner C.Rheinboldt(1970), Iterative solution of nonlinear equations in several variables, University of Maryland college Park, Maryland, New York and London