Phương pháp điểm trong giải quy hoạch tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG LÊ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG GIẢI QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG LÊ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG GIẢI QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i LỜI NÓI ĐẦU Nội dung KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Qui hoạch tuyến tính qui hoạch đối ngẫu 1.2 Phương pháp đơn hình đơn hình đối ngẫu 1.3 Độ phức tạp thuật toán 12 1.4 Ví dụ Klee-Minty độ phức tạp mũ 15 PHƯƠNG PHÁP ELLIPSOID 19 2.1 Về hệ bất phương trình đại số tuyến tính 20 2.2 Kỹ thuật ellipsoid 23 2.3 Thuật toán Khachian 26 2.4 Áp dụng vào giải qui hoạch tuyến tính 29 PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG 30 3.1 Tâm giải tích 30 3.2 Đường trung tâm 34 3.3 3.2.1 Đường trung tâm đối ngẫu 37 3.2.2 Đường trung tâm gốc-đối ngẫu 40 Chiến thuật giải 41 3.3.1 Phương pháp hàm chắn gốc 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 3.4 3.3.2 Phương pháp bám đường gốc- đối ngẫu 45 3.3.3 Phương pháp hàm gốc- đối ngẫu 48 3.3.4 Độ phức tạp vòng lặp 51 Vấn đề khởi kết thúc thuật toán 52 3.4.1 Khởi thuật toán 53 3.4.2 Kết thúc thuật toán 3.4.3 Thuật toán HSD 54 56 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Nhiều toán thực tế kinh tế, tài chính, công nghiệp kỹ thuật diễn đạt toán qui hoạch tuyến tính, tức dạng toán tìm cực đại (hay cực tiểu) hàm tuyến tính với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Phương pháp đơn hình Dantzig đề xuất từ năm 1947, đến sử dụng rộng rãi để giải toán qui hoạch tuyến tính Cách tiếp cần xét đỉnh tập đa diện ràng buộc lần lặp từ đỉnh tới đỉnh kề với nó, thường tốt đỉnh trước (cải tiến giá trị hàm mục tiêu) Cuối cùng, đạt tới đỉnh mà từ cải tiến hàm mục tiêu nữa, đỉnh lời giải cần tìm toán Mặc dầu hiệu thực tiễn (số lần lặp thường nhỏ m + n, m số ràng buộc tuyến tính n số biến toán) Tuy nhiên, V.Klee G.Minty(1972) đưa toán qui hoạch tuyến tính đặc biệt mà để giải cần thời gian tỉ lệ với hàm mũ n Điều chứng tỏ mặt lý thuyết thuật toán đơn hình thuật toán thời gian đa thức Vào năm 1950, người ta đề cao tới phương pháp điểm (đi từ phía miền ràng buộc) Tuy nhiên, chúng chưa thành đạt phương pháp đơn hình Năm 1979 [4] Khachian người chứng minh giải toán qui hoạch tuyến tính thời gian đa thức, cách sử dụng thuật toán điểm thích hợp Mặc dầu thuật toán Khachian chưa đủ hiệu thực tiễn, thành Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tựu Khachian làm khởi sắc quan tâm trở lại tới phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Tiếp đó, năm 1984 [3] Karmarkar đề xuất phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Phương pháp có độ phức tạp đa thức có hiệu thực tiễn cao, đặc biệt toán tuyến tính cỡ lớn Các công trình nghiên cứu Khachian Karmarkar điểm khởi đầu cho nhiều nghiên cứu phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Đó chủ đề luận văn Cách tiếp cận khác với phương pháp đơn hình Thay cho cạnh tập ràng buộc từ đỉnh tới đỉnh khác, điểm lặp (xấp xỉ) men theo “ đường trung tâm” để tới tập lời giải Có nhiều dạng phương pháp điểm , tiêu biểu phương pháp chắn gốc, phương pháp bám đường gốc-đối ngẫu tạo lời giải cho hai toán gốc đối ngẫu qui hoạch tuyến tính, phương pháp hàm , Trong nhiều năm kể từ 1984, thuật toán phần mềm giải qui hoạch tuyến tính trở nên hoàn toàn tinh xảo nói đến phương pháp điểm thực chiếm ưu Cũng có nhiều mở rộng phương pháp điểm để giải toán tối ưu phi tuyến; qui hoạch lồi toàn phương, qui hoạch nón Chẳng hạn, Nesterov Nemirovsky (1994) [6] xây dựng sở lý thuyết phương pháp điểm cho tối ưu hóa lồi Luận văn đề cập tới phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Khachian Karmarkar đề xuất Việc tìm hiểu nghiên cứu chủ đề cần thiết hữu ích giúp hiểu mở rộng ứng dụng phương pháp điểm vào toán tối ưu khác Nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương 1“ Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại tóm tắt số kiến thức cần thiết toán qui hoạch tuyến tính lý thuyết đối ngẫu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn qui hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình đơn hình đối ngẫu giải toán qui hoạch tuyến tính Tiếp nêu khái niệm độ phức tạp thuật toán, thuật toán thời gian đa thức nêu ví dụ Klee- Minty phương pháp đơn hình có độ phức tạp mũ Các kiến thức cần đến chương sau Chương “Phương pháp Khachian” giới thiệu thuật toán ellipsoid Khachian đề xuất Về thực chất, thuật toán Khachian qui việc tìm nghiệm tối ưu cặp toán đối ngẫu qui hoạch tuyến tính việc tìm nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính.Nhiều khái niệm kiện trình bày chương minh họa qua ví dụ hình vẽ cụ thể Chương “ Phương pháp điểm ” trình bày khái niệm tâm giải tích, đường trung tâm gốc đối ngẫu; nội dung phương pháp gốc-đối ngẫu, từ ý tưởng phương pháp (đi men theo đường trung tâm) đến thuật toán cụ thể (thuật toán bám đường) Phương pháp đánh giá phương pháp điểm hiệu giải qui hoạch tuyến tính Tiếp đó, giới thiệu hai thuật toán bám đường tiêu biểu: thuật toán dự báo thuật toán hiệu chỉnh Vấn đề khởi kết thúc thuật toán đề cập tới Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn đề cập tới nội dung phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính, chưa sâu vào chi tiết thực thi thuật toán Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học-Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ toán –tin Trường THPT Ngô Quyền –Thái Nguyên tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011 Người thực Nguyễn Thị Hồng Lê Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kết lý thuyết qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính, đồng thời nêu khái niệm độ phức tạp thuật toán dẫn ví dụ V Klee G Minty cho thấy thuật toán đơn hình thuật toán thời gian mũ (chứ thuật toán thời gian đa thức!) Nội dung chương chủ yếu dựa tài liệu [1], [2], [5] [7] 1.1 Qui hoạch tuyến tính qui hoạch đối ngẫu Qui hoạch tuyến tính toán tìm cực tiểu (cực đại) hàm tuyến tính f (x) tập lồi đa diện D ⊂ Rn Bài toán thường viết hai dạng: • Dạng chuẩn (standard form): min{f (x) = cT x : Ax ≥ 0, x ≥ 0} với A ∈ Rm×n (ma trận m hàng, n cột),b ∈ Rm , c, x ∈ Rn , x ≥ 0, tức x ∈ Rn+ T ký hiệu chuyển vị véctơ, D = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} tập lồi đa diện • Dạng tắc (canonical form): Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ , ký hiệu A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c, x ∈ Rn Trong toán này, tập D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} tập lồi đa diện Trong hai dạng trên, f gọi hàm mục tiêu, D gọi tập ràng buộc hay miền chấp nhận Điểm x = (x1 , , xn )T ∈ D gọi lời giải (điểm, nghiệm)chấp nhận hay phương án toán Một phương án đạt cực tiểu (cực đại) hàm mục tiêu gọi lời giải (điểm, nghiệm) tối ưu hay phương án tối ưu Bài toán max cT x : x ∈ D = − −cT x : x ∈ D Với toán qui hoạch tuyến tính, xảy ba khả năng: a) Bài toán lời giải chấp nhận (tập ràng buộc D rỗng) b) Bài toán có lời giải chấp nhận được, lời giải tối ưu c) Bài toán có lời giải tối ưu (hữu hạn) Định lý sau nêu điều kiện để qui hoạch tuyến tính có lời giải tối ưu Định lý 1.1 Nếu qui hoạch tuyến tính có lời giải chấp nhận hàm mục tiêu bị chặn miền chấp nhận (đối với toán min) qui hoạch chắn có lời giải tối ưu Định nghĩa 1.1 Một lời giải chấp nhận x ∈ D mà đồng thời đỉnh D gọi lời giải sở, nghĩa x biểu diễn dạng tổ hợp lồi hai lời giải chấp nhận khác D Nói cách khác, x = λx1 + (1 − λ) x2 với < λ < x1 , x2 ∈ D phải có x = x1 = x2 Định lý sau nêu tính chất đặc trưng cho lời giải sở qui hoạch tuyến tính tắc với giả thiết m ≤ n rank(A) = m Định lý 1.2 Để lời giải chấp nhận x = {x1 , x2 , , xn } qui hoạch tuyến tính tắc lời giải sở, cần đủ véctơ cột Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... khởi sắc quan tâm trở lại tới phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Tiếp đó, năm 1984 [3] Karmarkar đề xuất phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Phương pháp có độ phức tạp đa thức có... gốc đối ngẫu qui hoạch tuyến tính, phương pháp hàm , Trong nhiều năm kể từ 1984, thuật toán phần mềm giải qui hoạch tuyến tính trở nên hoàn toàn tinh xảo nói đến phương pháp điểm thực chiếm ưu... tuyến tính cỡ lớn Các công trình nghiên cứu Khachian Karmarkar điểm khởi đầu cho nhiều nghiên cứu phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Đó chủ đề luận văn Cách tiếp cận khác với phương pháp