Một số phương pháp cơ bản giải quy hoạch lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ANH TUẤN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ANH TUẤN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI QUY HOẠCH LỒI Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Trang phụ bìa Mục lục ii Lời cảm ơn Mở đầu 1 Kiến thức tập lồi hàm lồi 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Hàm lồi hàm lõm 1.2.2 Hàm lồi liên tục 11 1.2.3 Dưới vi phân 13 1.2.4 Hàm lồi mạnh 17 Các phương pháp giải quy hoạch lồi không ràng buộc 20 2.1 Bài toán quy hoạch lồi tính chất 20 2.2 Thuật toán hướng đạo hàm (dốc nhất) giải quy hoạch lồi 25 2.3 Phương pháp Newton 28 Phương pháp giải quy hoạch lồi có ràng buộc 3.1 31 Bài toán quy hoạch lồi có ràng buộc điều kiện tối ưu 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.2 3.3 3.1.1 Bài toán quy hoạch lồi có ràng buộc 31 3.1.2 Điều kiện tối ưu 33 3.1.3 Định lý (Karush-Kuhn-Tucker) 35 3.1.4 Định lý (Kuhn-Tucker) 39 Phương pháp hàm phạt giải quy hoạch lồi có ràng buộc 41 3.2.1 Phương pháp hàm phạt điểm 42 3.2.2 Phương pháp hàm phạt điểm 45 Phương pháp Frank – Wolfe 47 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Nghiên cứu khoa học chặng đường đầy khó khăn thử thách Sau năm làm luận văn, trải nghiệm nhiều điều, rút học bổ ích cho sống Công trình hoàn thành bên cạnh cố gắng cá nhân giúp đỡ tận tình thầy cô giáo, đồng nghiệp, bạn bè người thân Trước tiên, xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu – người thầy trực tiếp hướng dẫn, động viên giúp đỡ trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Kính chúc thầy gia đình mạnh khỏe, hạnh phúc ! Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo thuộc môn Toán - Tin, phòng Đào tạo quan hệ Quốc tế, cán khoa Sau đại học trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dạy dỗ, bảo suốt hai năm học vừa qua Tôi xin cảm ơn bạn học viên Cao học Toán khóa động viên, giúp đỡ trình học tập rèn luyện trường, trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ cảm ơn chân thành tới bạn bè đồng nghiệp, tới người thân gia đình động viên, giúp đỡ mặt để hoàn thành khóa học thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thiếu xót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn ! Thái Nguyên, 15 tháng 09 năm 2011 Người thực Nguyễn Anh Tuấn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Quy hoạch toán học môn quan trọng toán học ứng dụng Lớp toán quan trọng quy hoạch toán học quy hoạch tuyến tính Tuy nhiên tính chất tuyến tính nhiều không thỏa mãn trường hợp thực tế Một tính chất gần với tính chất tuyến tính tính lồi Trong quy hoạch lồi lớp toán tối ưu có cấu trúc lồi Một tính chất toán quy hoạch lồi cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục Điều cho phép công cụ địa phương giới hạn, đạo hàm sử dụng hiệu cho quy hoạch lồi Chính mà hình thành phát triển chưa lâu, quy hoạch lồi có nhiều kết quan trọng lý thuyết phương pháp giải Bản luận văn cao học nhằm mục đích chủ yếu giới thiệu phương pháp để giải quy hoạch lồi không ràng buộc Đó phương pháp hướng giảm, sử dụng đạo hàm cấp đạo hàm cấp hai hàm lồi khả vi Tuy nhiên luận văn trình bày thêm phương pháp hàm phạt, cho phép chuyển việc giải toán quy hoạch lồi có ràng buộc việc giải toán quy hoạch lồi không ràng buộc Để thấy rõ thêm vai trò phương pháp giải quy hoạch lồi không ràng buộc, luận văn có trình bày thuật toán giải trực tiếp quy hoạch lồi có ràng buộc tuyến tính, phương pháp Frank-Wolf Bản luận văn gồm có chương Chương nhằm mục đích giới thiệu kiến thức hàm lồi, tập lồi, sử dụng chương sau Chương giới thiệu toán quy hoạch lồi, số khái niệm, định Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lý quan trọng số phương pháp giải toán Chương giới thiệu toán quy hoạch lồi có ràng buộc số định lý, tính chất quan trọng từ đưa số phương pháp giải toán Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức tập lồi hàm lồi Trong chương nghiên cứu số kiến thức tập lồi hàm lồi Trong khái niệm kết lấy từ tài liệu [1], [3], [4] 1.1 Tập lồi Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với λ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Tức là, (1−λ)a+λb ∈ C với a, b ∈ C λ Định nghĩa 1.2 Điểm x ∈ Rn có dạng k k λi x = λ1 a + λ2 a + + λk a = i=1 với k i n a ∈ R , λi 0, λi = i=1 gọi tổ hợp lồi điểm a1 , a2 , , ak Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta dễ thấy tập C lồi chứa tổ hợp lồi phần tử thuộc Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dim C , thứ nguyên hay số chiều bao afin Một tập lồi C Rn gọi có thứ nguyên đầy dim C = n Định nghĩa 1.3 Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak k i n a ∈R , λi = i=1 gọi tổ hợp afin điểm a , a2 , , ak M tập afin M chứa tổ hợp afin phần tử thuộc Giao họ tập afin tập afin Cho E tập Rn , có tập afin chứa E, cụ thể Rn Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: C lồi ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k k k λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ j=1 λj xj ∈ C j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k - điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức k λj xj , λj > ∀j = 1, , k, x= j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... việc giải toán quy hoạch lồi có ràng buộc việc giải toán quy hoạch lồi không ràng buộc Để thấy rõ thêm vai trò phương pháp giải quy hoạch lồi không ràng buộc, luận văn có trình bày thuật toán giải. .. Hàm lồi mạnh 17 Các phương pháp giải quy hoạch lồi không ràng buộc 20 2.1 Bài toán quy hoạch lồi tính chất 20 2.2 Thuật toán hướng đạo hàm (dốc nhất) giải quy hoạch lồi. .. quy hoạch lồi 25 2.3 Phương pháp Newton 28 Phương pháp giải quy hoạch lồi có ràng buộc 3.1 31 Bài toán quy hoạch lồi có ràng buộc điều kiện tối ưu 31 Số hóa Trung tâm Học