một số phương pháp cơ bản để giải cực trị trong không gian

SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai Phn I: M U I. Lý do chn ti Trong chng trình Toán THPT m c th l phn môn Hình hc không gian. Các em hc sinh ã c tip cn vi phn quan hệ song song, quan hệ vuông góc,hình chóp,hình lăng trụ,hình hộp v các bi toán liên quan. Tuy nhiên, phn cc tr hình hc không gian l mt vn khó i vi hc sinh ôn thi i hc v Cao ng. Hc sinh còn lúng túng v khó khn khi ng trc mt bi toán cc tr hình hc không gian. Ti sao nh vy? Lí do chính ây l trong chng trình hình hc không gian sách giáo khoa c ban nâng cao v c bn u rt ít cp n mc ny. Trong sách giáo khoa có mt s ví d a ra còn rt n gin, không mang tính h thng v khái quát nên hc sinh gp rt nhiu khó khn. II. Mc ích nghiên cu T lí do chn ti trên, t c s thc tin ging dy các lp 11, 12 cùng vi kinh nghim trong thi gian ging dy tôi ã tng hp, khai thác v h thng hoá các kin thc thnh mt chuyên Mt s phng pháp c bn gii bi toán cc tr hình hc không gian. Qua ni dung ca ti ny tôi mong mun s cung cp cho hc sinh mt s phng pháp tng quát v mt s k nng c bn v vận dụng các kiến thức của dại số và giải tích vào giải bài toán cực trị hình học. Hc sinh thông hiu v trình by bi toán úng trình t, úng logic, không mc sai lm khi trình by. Hi vng ti nh ny ra i s giúp các bn ng nghip cùng các em hc sinh có mt cái nhìn ton din cng nh phng pháp gii mt lp các bi toán cc tr hình hc không gian. III. i tng nghiên cu Các bi toán cc tr hình hc không gian. IV. Phm vi nghiên cu - Ni dung: Phn cc tr hình hc nm trong chng trình hình hc 11 v 12. - Mt s bi nm trong chng trình ôn thi i hc. 3 SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai V. Nhim v - yêu cu ca ti - Xut phát t lí do chn ti, sáng kin kinh nghim thc hin nhim v: Giúp cho giáo viên thc hin tt nhim v v nâng cao cht lng giáo dc, giúp hc sinh hình thnh t duy logic, k nng phân tích i n mt hng gii úng v thích hp khi gp bi toán cc tr hình hc phc tp a v dng n gin, c bn v gii c mt cách d dng. Mun vy ngi giáo viên phi hng cho hc sinh bit các dng toán. - Yêu cu ca sáng kin kinh nghim: Ni dung gii pháp rõ rng không rờm r, logic phù hp vi trng THPT, có sáng to i mi. Gii thiu c các dng t d n khó. - ti c s dng ging dy v bi dng ôn thi i hc và giảng dạy cho các lp cht lng cao. VI. Phng pháp nghiên cu Phng pháp - Nghiên cu lí lun chung. - Kho sát iu tra thc t dy v hc. - Tng hp so sánh, úc rút kinh nghim. Cách thc hin - Trao i vi ng nghip, tham kho ý kin giáo viên cùng b môn. - Liên h thc t trong nh trng, áp dng úc rút kinh nghim qua quá trình ging dy. - Thông qua vic ging dy trc tip ti các lp chất lợng cao và các lớp ôn thi i hc. VII. Thi gian nghiên cu Trong sut thi gian giảng dy t nm 2006 n nay. Phần II: NộI DUNG I. Sử dụng quan hệ giữa đờng vuông góc, đờng xiên v hình chiếu để tìm GTLN, GTNN 4 SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai - Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đờng thẳng ( hoặc một mặt phẳng ), đoạn thẳng vuông góc với đờng thẳng (mặt phẳng) có độ dài ngắn nhất. - Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đờng thẳng song song (hoặc thuộc một đờng thẳng song song với một mặt phẳng, hoặc thuộc hai mặt phẳng song song), đoạn thẳng vuông góc với hai đờng thẳng đó (hoặc với đờng thẳng và mặt phẳng song song, hoặc hai mặt phẳng song song) có độ dài ngắn nhất. - Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đờng thẳng ( hoặc một mặt phẳng ), đờng xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn. Ví dụ 1 Cho trên mặt phẳng (P) một đờng tròn đờng kính AB = 2R. Đoạn CA = 2R vuông góc với (P). Giả sử EF là đờng kính thay đổi của đờng tròn đã cho. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF. Tóm tắt lời giải : Vì AC (P), hạ AH EF CH EF. Có CHEFS CEF . 2 1 = Vì EF là đờng kính không đổi S CEF lớn nhất khi CH lớn nhất AH lớn nhất. Mặt khác AH AO S CEF lớn nhất khi H O AB EF. Vậy C A E H O F B 5)( 2 RSMax CEF = S CEF nhỏ nhất khi CH nhỏ nhất. Mà CH CA S CEF nhỏ nhất khi EF AB. Vậy 2 2)( RSMin CEF = Ví dụ 2 5 SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA' = 2a. Gọi D là trung điểm đoạn BB', M là một điểm di động trên cạnh AA'. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tam giác MC'D. Tóm tắt lời giải : Gọi I, I' là trung điểm cạnh BC và B'C'. Kẻ MN // AI, do AI (BB'C'C) nên MN (BB'C'C). Hạ NH C'D, suy ra MH C'D. Vì vậy diệ n tích tam giác C'MD là : MHDCS MDC = 2 1 Vì 2aDC = không đổi nên S C'MD lớn nhất (nhỏ nhất) khi đờng cao MH lớn nhất (nhỏ nhất). Mặt khác, vì và 222 NHMNMH += C' A' B' I' C A B I M N H 2 3a AIMN == không đổi, do đó MH lớn nhất (nhỏ nhất) khi NH lớn nhất (nhỏ nhất). Do N chạy trên II' cố định nên NH lớn nhất khi N I, và NH nhỏ nhất khi N là giao điểm của C'D với II'. Vậy : 4 30 )( 22 a MNNHMHMax =+= 4 15 )( 2 ' a SMax MDC = 2 3 )( a MNMHMin == 4 6 )( 2 ' a SMin MDC = 6 SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai II. Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng v đờng gấp khúc, các BĐT trong tam giác để tìm GTLN, GTNN - Với 3 điểm A, B, C bất kỳ, ta có AC + CB AB AC + CB = AB C AB. - Độ dài đoạn thảng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đờng gấp khúc có hai đầu A và B. - Trong tam giác ABC ta có : AC < AB + BC AC > |AB - BC| BC < AC CBACAB < 2AM < AB + AC, trong đó AM là đờng trung tuyến. Ví dụ 3 Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B cùng thuộc một miền không gian do (P) chia ra. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Tóm tắt lời giải : Lấy B' đối xứng với B qua (P), khi đó MB = MB', với M(P). Chu vi MAB = AB + MA + MB = AB + MA + MB' AB + AB' không đổi B B ' H A M Vậy chu vi MAB đạt giá trị nhỏ nhất khi A, M, B' thẳng hàng. Ví dụ 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc ASB nhỏ hơn 60 0 . Tìm điểm 7 SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai D thuộc cạnh SB và điểm E thuộc cạnh SC sao cho chu vi tam giác ADE nhỏ nhất. Tóm tắt lời giải : Trong mặt phẳng SBC, dựng ra ngoài tam giác SBC các tam giác SBA 1 = SBA, SCA 2 = SCA. Ta đợc AD = A 1 D, AE = A 2 E, với D SB, E SC. S A 1 A 2 C B A E D Chu vi ADE = A 1 D + DE + EA 2 A 1 A 2 không đổi. Vậy chu vi ADE đạt giá trị nhỏ nhất khi D, E là giao điểm của A 1 A 2 với SB và SC. III. Sử dụng các bất đẳng thức trong đờng tròn Các bất đẳng thức trong đờng tròn đợc thể hiện nh sau : - Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn. - Trong hai dây cung của một đờng tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi khoảng cách đến tâm nhỏ hơn. - Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn. - Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi dây trơng cung lớn hơn. Ví dụ 5 Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn đờng kính AE cố định. Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S cố định. Xét hình chóp đỉnh S, đáy là tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AE nói trên có các đờng chéo vuông góc với nhau. Biết AE = 2R, AS = h. a. Tìm tâm và bán kính cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. b. Phải chọn đáy hình chóp nh thế nào để thể tích của nó lớn nhất ? Hãy tính thể tích lớn nhất ấy. 8 SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai Tóm tắt lời giải a. Tìm tâm và bán kính cầu ngoại tiếp : Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Dựng tia Ot (P), suy ra Ot là trục của đờng tròn ngoại tiếp năm điểm A, B, C, D, E. Trong mặt phẳng (SAE), dựng đờng trung trực đoạn SA, cắt Ot tại I. Vậy I là tâm cầu ngoại tiếp S.ABCD. 22 hAB IO == . Bán kính S t D C A E O B 2 4 22 22 hR OAIO + =+= OAR = b. Đáy chóp nh thế nào để V S.ABCD lớn nhất : Vì AC BD nên BDAChBDAChSSAV ABCDABCDS === 6 1 2 1 3 1 3 1 . V S.ABCD lớn nhất AC.BD lớn nhất AC và BD lớn nhất khi nó là đờng kính của đờng tròn, suy ra ABCD là hình vuông. Vậy V S.ABCD lớn nhất khi ABCD là hình vuông có AC = BD = 2R, thể tích đó là : 2 3 2 22 6 1 hRRRhV == . Ví dụ 6 Cho đờng tròn (C) đờng kính AB trong mặt phẳng (P). Một điểm N di động trong không gian (ngoài P) sao cho hình chiếu của N trên (P) là điểm M trên đờng tròn (C). Gọi K là hình chiếu của M trên mặt phẳng NAB. Xác định vị trí của N để thể tích tứ diện KABM lớn nhất. Tóm tắt lời giải Gọi O là tâm đờng tròn (C). Hạ ME AB NE AB (ĐL ba đờng vuông góc) AB (MNE) (MNE) (NAB), nên MK (NAB), từ đó kéo theo K NE. Vì (MNE) (P), từ K dựng KH (P) nên H ME. 9 SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai Có KHMEABSKHV MABKMAB 6 1 . 3 1 == Do đó V KMAB lớn nhất ME . KH lớn nhất ME và KH lớn nhất M di động trên (C), ME là khoảng cách từ M đến AB, nên ME lớn nhất khi ME là bán kính của (C), tức là E O ME = 2 AB Vì MK NE nên K ở trên đờng tròn N K M B H E O A đờng kính ME = 2 AB . Do đó KH lớn nhất khi KH là bán kính đờng tròn đờng kính ME, tức là KH = 4 AB và H là trung điểm ME. Vậy V KMAB lớn nhất khi M là điểm giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB và N cách (P) một đoạn bằng B 2 AB . Chú ý : Có 2 vị trí của điểm N thỏa yêu cầu bài toán IV. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản a. Bất đẳng thức Cosi Bất đẳng thức Cosi và các hệ quả của nó đợc sử dụng trong các bài toán cực trị hình học bằng cách biểu thị các độ dài thay đổi bởi các biến x, y, z, Bất đẳng thức Cosi cho 2 số x, y 0 xy yx + 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y Bất đẳng thức Cosi cho n số x 1 , x 2 , , x n 0 n n n xxx n xxx 21 21 + + + L 10 SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = = x n Ngoài ra, bất đẳng thức Cosi còn thờng đợc sử dụng dới các dạng sau : Dạng 1 : ( ) xy yx yx 2 2 2 22 + + Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y Dạng 2 : (Hệ quả của BĐT Cosi) Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số ấy bằng nhau. Dạng 3 : (Hệ quả của BĐT Cosi) Nếu hai số có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số ấy bằng nhau. b. Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho (a, b) và (x, y) tùy ý : () ( ) ( ) 2222 2 yxbabyax +++ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b y a x = Cho (a 1 , a 2 , ,a n ) và (x 1 , x 2 , , x n ) tùy ý, ta có : ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn xxxaaaxaxaxa +++++++++ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi n n a x a x a x === 2 2 1 1 Trong bài toán cực trị, bất đẳng thức Bunhiacopski hay đợc sử dụng dới dạng : Dạng 1 : ( ) 2 2 22 yx yx + + Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y 11 SKKN nm hc 2010 - 2011 GV: Hong Mnh Thng - THPT s 3 TP Lo Cai Dạng 2 : (dạng tổng quát) ( ) n xxx xxx n n 2 21 22 2 2 1 +++ +++ K K Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = = x n Ngoài các bất đẳng thức cơ bản trên, một số bài toán có thể sử dụng thêm các bất đẳng thức sau : c. Bất đẳng thức Minkowski Cho (a 1 , a 2 , , a n ) ; (b 1 , b 2 , , b n ) ; ; (l 1 , l 2 , , l n ) là n bộ số thực bất kỳ, ta luôn có : ++++++++++++ 2222 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 nnn lbalbalba 2 1 2 1 2 1 ) ( ) () ( nnn llbbaa +++++++++ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi nnn lbalbalba ::::::::: 222111 KKKK = = = d. Bất đẳng thức Schwartz Cho (a 1 , a 2 , , a n ) và (b 1 , b 2 , , b n ) với b i > 0; i = 1, , n, ta luôn có : n n n n bb aa b a b a b a ++ ++ +++ ) ( 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi n n b a b a b a === 2 2 1 1 Ví dụ 7 Cho tứ diện vuông SABC có góc phẳng ở đỉnh S vuông. a. Chứng minh rằng SACSBCSABABC SSSS ++.3 b. Biết SA = a, SB + SC = k. Đặt SB = x. Tính thể tích tứ diện SABC theo a, k, x và xác định SB, SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất. c. Giả sử SA = a, SB = b, SC = c thay đổi nhng luôn thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = k 2 (với k > 0) cho trớc. Khi nào thì tam giác ABC có diện 12 [...]... khúc, các BĐT trong tam giác - Sử dụng các BĐT trong đ ờng tròn - Sử dụng các BĐT cơ bản - Sử dụng ph ơng pháp hàm số Thông qua hệ thống các bài toán và các ph ơng pháp giải bài toán cực trị, học sinh sẽ đ ợc hình thành những kỹ năng, kỹ xảo khi giải các bài toán cực trị Với ý nghĩa đó, việc đ a các hoạt động trí tuệ vào trong quá trình giải một hệ thống bài tập phù hợp và đa dạng sẽ tạo nên một cách nhìn... ph ơng pháp h m số a Ph ơng pháp khảo sát h m số Tính đại l ợng f đang xét chỉ theo một đại l ợng thay đổi x, đ a về dạng hàm số y = f(x) Tìm miền xác định D của x, và khảo sát cực trị của hàm f(x) trong miền đó ơ Sử dụng định nghĩa GTLN, GTNN của h m số Hàm số y = f(x) xác định trên D Số M đ ợc gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên tập D nếu : x D : f(x) M x0 D : f(x0) = M Ký hiệu M Max f x D Số m đ... biết áp dụng khéo léo, nhuần nhuyễn các ph ơng pháp tìm giá trị cực trị, còn phải hiểu rõ mối liên hệ khăng khít giữa bài toán cực trị với các bài toán khác Đó là : - Các bài toán về thiết diện - Các bài toán về chứng minh - Các bài toán về quỹ tích - Các bài toán về tính toán và nắm vững những ph ơng pháp cơ bản để giải các bài toán cực trị là : - Sử dụng quan hệ giữa đ ờng vuông góc, đ ờng xiên và... GTLN, GTNN của hàm số trên (a; b) ơ GTLN, GTNN của h m số trên một đoạn Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng [a; b] và chỉ có một số hữu 18 SKKN n m h c 2010 - 2011 GV: Hong M nh Th ng - THPT s 3 TP Lo Cai hạn điểm tới hạn trên đoạn đó Có thể áp dụng cách giải trên Hoặc có thể thực hiện theo các b ớc sau : - Tính đạo hàm của hàm số f(x) trên [a; b] - Giải ph ơng trình f'(x) = 0 để tìm các nghiệm... m đ ợc gọi là GTNN của hàm số y = f(x) trên tập D nếu : x D : f(x) m x0 D : f(x0) = m Ký hiệu m Min f x D ơ GTLN, GTNN của h m số trên một khoảng Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là - , b có thể là + ) - Tính đạo hàm của hàm số f(x) trên (a; b) - Giải ph ơng trình f'(x) = 0 để tìm các nghiệm x1, x2, , xn trên (a; b) - Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a; b) - Rút ra kết... Giá trị t 2 2 1 x 1 1 hoặc x 2 y y 1 2 Giá trị t 2 3 4 2 khi AM và Min( S tp ) 27 9 2 1 Max(V ADMN ) và Max( S tp ) 2 3 2 khi AM 1 24 4 1 hoặc AM , AN 1 N C 2 Vậy Min(V ADMN ) AN 2 3 M B, AN 1 2 23 SKKN n m h c 2010 - 2011 GV: Hong M nh Th ng - THPT s 3 TP Lo Cai Phần III: Kết luận Trong quá trình tìm giá trị cực trị, học sinh ngoài việc biết áp dụng khéo léo, nhuần nhuyễn các ph ơng pháp tìm giá trị. .. trong quá trình giải một hệ thống bài tập phù hợp và đa dạng sẽ tạo nên một cách nhìn mới cho học sinh, giúp cho học sinh có thêm kỹ năng trong việc giải toán Thời gian v kết quả áp dụng của đề t i Thời gian: Trong các năm học từ 2006 đến nay tôi đã sử dụng đề tài này trong việc giảng dạy các lớp ôn thi đại học Kết quả: Học sinh các lớp ôn thi đại học nắm bắt đ ợc 80% của nội dung đề tài này 24 ... hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là điểm giữa của cạnh SC Một mặt phẳng di động qua AK nh ng luôn cắt các cạnh SB, SD lần l ợt tại M và N a Chứng minh SB SM SD SN 3 b Gọi V là thể tích hình chóp S.ABCD và V1 là thể tích hình chóp S.AMKN Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số S Tóm tắt lời giải : a Chứng minh : Gọi O = AC G = SK SB SM SD SN 3 BD, K là trung điểm SC N,... b2 a x a2 2 b2 y a2 2 Ví dụ 10 Trong các hình chóp tam giác có đ ờng cao h, đáy là tam giác đều có cạnh bằng a cho tr ớc Tìm chóp có tổng các cạnh bên nhỏ nhất S Tóm tắt lời giải : Kẻ SH (ABC) Nhận xét : Nếu H nằm ngoài ABC, chỉ cần nối H với đỉnh thích hợp của tam giác C A H SA + SB + SC không thể nhỏ nhất vì các hình chiếu của SA, SB, SC đều có thể làm nhỏ hơn Xét H trong ABC : Ta dễ dàng chứng minh... S 2 0 thì x1 < x2< < x1 < x2 Hệ quả : Cho hai số thực x1 và ( < ) x2 x1 f ( ) f ( ) x2 0 Ví dụ 13 ABCD là tứ diện đều cạnh bằng 1 Các điểm M, N di động lần l ợt trên AB và AC sao cho mặt (DMN) (ABC) Đặt AM = x, AN = y a Chứng minh hệ thức x y 3xy b Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích và diện tích toàn phần tứ diện ADMN S Tóm tắt lời giải : a Chứng minh hệ thức x+y=3xy: Hạ DO DO . dụng phơng pháp hm số a. Phơng pháp khảo sát hm số Tính đại lợng f đang xét chỉ theo một đại lợng thay đổi x, đa về dạng hàm số y = f(x). Tìm miền xác định D của x, và khảo sát cực trị của hàm. phng pháp tng quát v mt s k nng c bn v vận dụng các kiến thức của dại số và giải tích vào giải bài toán cực trị hình học. Hc sinh thông hiu v trình by bi toán úng trình t, úng logic, không. cng nh phng pháp gii mt lp các bi toán cc tr hình hc không gian. III. i tng nghiên cu Các bi toán cc tr hình hc không gian. IV. Phm vi nghiên cu - Ni dung: Phn cc tr hình hc nm trong chng