BÀI TẬP TỐN 11 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH- HÌNH HỌC I - Hµm sè l-ỵng gi¸c vµ Ph-¬ng tr×nh l-ỵng gi¸c Bµi Hµm sè l-ỵng gi¸c _1_ Bµi Ph-¬ng tr×nh l-ỵng gi¸c c¬ b¶n _2_ Bµi Mét sè ph-¬ng tr×nh l-ỵng gi¸c th-êng gỈp _4_ II - Tỉ hỵp X¸c st Bµi Quy t¾c ®Õm _8_ Bµi Ho¸n vÞ, ChØnh hỵp, Tỉ hỵp _10_ Bµi NhÞ thøc Niu-t¬n _12_ Bµi PhÐp thư vµ biÕn cè _13_ Bµi X¸c st cđa biÕn cè _14_ III - D·y sè CÊp sè céng CÊp sè nh©n Bµi Ph-¬ng ph¸p qui n¹p to¸n häc _16_ Bµi D·y sè _17_ Bµi CÊp sè céng _18_ Bµi CÊp sè nh©n _19_ ƠN TẬP CHƯƠNG III _20_ IV - Giíi h¹n Bµi Giíi h¹n cđa d·y sè _22_ Bµi Giíi h¹n cđa hµm sè _25_ Bµi Hµm sè liªn tơc _28_ ƠN TẬP CHƯƠNG IV _30_ V - §¹o hµm Bµi §Þnh nghÜa vµ ý nghÜa cđa ®¹o hµm _32_ Bµi Quy t¾c tÝnh ®¹o hµm _32_ Bµi §¹o hµm cđa hµm sè l-ỵng gi¸c _33_ Bµi Vi ph©n _34_ Bµi §¹o hµm cÊp hai _34_ Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/VanLuc168 Đại số & Giải tích 11 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Tìm tập xác định của hàm sớ sau đây: sin x tan x a/ f x ; b/ f x ; sin x cos x cot x c/ f x ; d/ y tan x sin x 3 Câu Tìm tập xác định của hàm sớ sau : a/ y cos x ; b/ y sin x ; c/ y cos x ; sin x d/ y Câu Tìm GTLN GTNN hàm số a/ y 3cos x ; c/ y cos x ; 5 e/ f x cos x sin x ; cos x sin x b/ y 5sin x ; d/ f x sin x cos x ; f/ y sin x cos x ; Câu Xét tính chẵn – lẻ hàm số sin x a/ f x ; b/ f x sin x cos x ; cos x c/ y 3cos x 5sin x d/ y x cos x Câu Cho hàm số y 3cos x a/ Chứng minh hàm số cho hàm số chẵn b/ Chứng minh hàm số cho có chu kỳ T c/ vẽ đồ thị hàm số cho Câu Tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a/ f ( x) sin11 x cos11 x ; b/ f ( x) sin x cos x ; c/ f ( x) sin x cos6 x ; d/ f ( x) sin n x cos n x , với n * www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số & Giải tích 11 §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Câu Giải phương trình : a/ sin x sin ; b/ 2sin x ; d/ sin x 20o sin 60o ; g/ cos x 15o ; j/ tan x 10o tan 60o ; e/ cos x cos ; h/ t an3x ; k/ cot x ; c/ sin x ; f/ cos x ; i/ tan x ; l/ cot x Câu Giải phương trình : a/ sin x sin x ; b/ cos x 1 cos x 1 ; 5 5 2x 1 tan ; c/ tan d/ sin x cos x Câu Giải phương trình lượng giác sau : a/ sin x ; b/ cos x ; c/ tan x ; d/ cos x Câu Giải phương trình a/ sin x cos x ; b/ sin x cos x ; 2 x 0; c/ tan x cot d/ cot 20o 4 Câu Giải phương trình a/ cos x 600 ; b/ cot x 400 ; c/ cos(2 x 45o ) cos x ; d/ sin x 240 cos x 1440 cos 200 Câu Giải phương trình a/ sin x cos x ; b/ cos3 x cos x 4 4 3 3 Câu a/ Chứng minh sin x cos x cos x sin 3x 3sin 4x b/ Giải phương trình sin x cos x cos3 x sin x sin 4x Câu Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho : 2 x ; a/ sin x với b/ cos x 1 với x ; ; 2 12 c/ tan 3x với x ; ; d/ tan x với x ; 2 Câu Giải phương trình a/ sin x cos x cos x sin x ; b/ sin x 2sin x cos x cos x ; c/ sin x sin x sin x ; Câu 10 Giải phương trình : www.facebook.com/VanLuc168 d/ 3sin x cos x 3sin x 16 cos x VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số & Giải tích 11 a/ tan x tan x ; b/ sin x cot x ; Câu 11 Giải phương trình : a/ sin x cos x cos x sin x ; c/ 1 tan x 1 sin x tan x ; c/ tan x tan x ; d/ cos x tan x b/ sin x cos3 x cos x ; d/ tan x cot x ; cos x cos x sin x ; f/ ; sin x cos x cos x g/ cos x cos x cos x ; h/ tan x sin x sin x tan x 3 Câu 12 Tìm x [0;14] nghiệm phương trình cos x cos x 3cos x Câu 13 a/ Hãy biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sin x m , x [0;3 ] b/ Hãy xác định tất giá trị tham số m để phương trình 2m cos x sin x có nghiệm đoạn 0;3 e/ sin x cos x Câu 14 Giải phương trình sau : a/ cos 2 x ; b/ cos 2 x ; c/ cos x sin x ; d/ cos x sin 2 x 4 Câu 15 Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho : a/ sin x với x ; b/ cot x 5 với x Câu 16 Giải phương trình sau : a/ sin x cos x ; b/ sin x cos x ; c/ sin x cos x ; d/ sin x cos x cos3 x sin x / Câu 17 Giải phương trình sau : a/ cos x sin x cos x ; b/ cos x sin x ; c/ 8sin x.cos x.cos x cos8 x ; d/ sin x sin x sin x 2 16 Câu 18 Giải phương trình : a/ cos x.cos x cos x.cos x ; b/ cos x sin x.cos x sin x.cos x ; c/ cos x cos x cos x ; d/ sin x sin 2 x sin x sin x Câu 19 Giải phương trình sau : a/ sin x sin x sin x sin x ; b/ sin x sin x sin x sin x ; 2 c/ sin x sin x 2sin x ; d/ sin x sin x sin x cos x cos x cos x Câu 20 Tìm tập xác định mỡi hàm số sau : cos x a/ y tan x ; b/ y cot x ; c/ y ; cos x sin x tan x d/ y ; e/ y ; f/ y tan x cos x cos x cot x Câu 21 Giải phương trình : cos x tan x 0; 0; a/ b/ c/ sin x cot x ; d/ tan x tan x sin x cos x Câu 22 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; ) phương trình cos x cos x cos x www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số & Giải tích 11 §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Giải phương trình : a/ cos x 3cos x ; c/ sin x 5sin x ; Câu Giải phương trình : a/ cos x cos x ; c/ cos x 5sin x ; Câu Giải phương trình lượng giác sau : x x a/ sin cos ; 2 c/ cos x sin x 1 ; Câu Giải phương trình : a/ tan x b/ cos x sin x ; d/ cot x cot x ; b/ cos x cos x ; d/ tan x cot x x 3 0; d/ cos x 3cos x b/ cos x 5sin tan x ; b/ d/ c/ cos x cos x ; tan x tan x ; tan x cos x Câu Giải phương trình sau : a/ cos x cos x cos x.cos x 3cos x ; b/ cos6 x sin x cos x ; 4sin 2 x 6sin x 3cos x c/ 0; cos x x 5 d/ cos x cos 10 cos x cos x 2 Câu Giải phương trình : 1 1 ; cos x a/ tan x b/ cos x ; cos x cos x cos x c/ 5sin x sin x cos x ; d/ tan x cot x tan x cot x Câu Giải phương trình tan x sin x cot x cos x Câu Giải phương trình : x 0; c/ sin x sin x ; d/ sin x cos x sin x ; e/ sin x cos x 4sin x cos x ; f/ sin x cos6 x sin x ; x g/ cos x cos x ; h/ cos x sin 10 cos x cos x 3 6 2 2 Câu Giải phương trình sau : a/ sin x cos x 5sin x cos x ; b/ sin x cos x ; a/ sin x 3sin x sin x ; www.facebook.com/VanLuc168 b/ sin x cos VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số & Giải tích 11 c/ tan x ; cos x d/ sin x tan x cos x sin x Câu 10 Tìm nghiệm x 0; 2 phương trình sin x cos x sin x Câu 11 Giải phương trình sau: a/ cot x tan x 4sin x ; b/ tan x tan x ; sin x 4 cos x 3cot x sin x 2; c/ d/ cos x 3cos x 2(1 cos x) cot x cos x II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x Câu 12 Giải phương trình : a/ sin x cos x ; c/ 3cos x sin x 5 ; e/ 2sin x 2cos x ; Câu 13 Giải phương trình : a/ sin x sin x ; c/ sin x cos x cos x ; Câu 14 Giải phương trình sau : a/ sin 3x cos 3x cos x ; b/ cos 3x sin 3x ; d/ sin x cos x ; f/ sin x cos x b/ cos x sin x ; d/ sin x 3 sin x cos x b/ cos x sin x cos x ; 3 d/ sin x cos x sin x cos8 x c/ sin x cos x cos x sin x ; Câu 15 Giải phương trình sau : a/ 3sin x sin x 5sin x ; 3 6 6 b/ sin x sin x 4 4 Câu 16 Giải phương trình sau : a/ 3sin x cos 3x 4sin x ; b/ cos x 2sin x cos x sin x ; x x c/ sin cos cos x ; d/ cos x sin x cos x 2 2 6 Câu 17 Tìm x , thỏa phương trình cos x sin x 2 Câu 18 Cho phương trình sin x sin x cos x cos x m a/ Tìm m để phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình với m 1 Câu 19 Cho phương trình sin x 2m cos x sin x m Tìm m để phương trình có hai 3 nghiệm thuộc đoạn 0; Câu 20 Giải phương trình 3 tan x a/ 8sin x ; b/ sin x cos x sin x sin x www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số & Giải tích 11 Câu 21 phương trình sau : a/ sin x cos x ; c/ cos x sin x ; 6 6 Câu 22 Giải phương trình sau : b/ sin17 x cos x sin x ; d/ cos x sin x 4 4 a/ cos x sin x ; b/ cos x sin x cos x ; 3 c/ sin x cos x sin x cos x ; d/ sin x cos x sin x Câu 23 Giải phương trình sau : a/ cos x sin x ; 4 b/ sin x cos3 x sin x cos x ; cos x sin x 2sin x 2 ; d/ tan x 3cot x 4(sin x cos x) ; 6 3; e/ 3cos x 4sin x 3cos x sin x f/ 8sin x sin x 6sin x cos x cos x 4 4 Câu 24 Với giá trị tham số m phương trình sau có nghiệm : a/ m sin x m 1 cos x ; b/ m sin x sin x cos x 4 sin x Câu 25 Tìm x cho biểu thức y nhận giá trị ngun cos x Câu 26 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : a/ a sin x b cos x (a, b số a b ); b/ sin x sin x cos x 3cos x Câu 27 Giải phương trình sau : a/ 3sin x 8sin x cos x cos x ; b/ sin x 3 sin x cos x ; c/ sin x 2sin x.cos x 3cos3 x ; d/ 6sin x cos3 x 5sin x cos x Câu 28 Giải phương trình sau : a/ tan x 2sin x ; b/ 1 cos x cos x sin ; c/ c/ sin x cos x sin 2 x sin x 0; sin x cos x 0; sin x cos x 17 g/ sin x cos8 x cos 2 x ; 16 i/ (1 sin x cos x) cos x sin x ; e/ d/ sin x sin x cos x sin x cos x ; 4 f/ tan x cot x ; sin x x x h/ cos tan x.sin ; 2 4 2 j/ cos x cos 3x sin x 0; ; k/ cos x cos x cos x ; l/ sin x 5sin x ; m/ 1 sin x cos x 1 cos x sin x sin x Câu 29 Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2 phương trình sin x cos x sin x cos x 2sin x www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số & Giải tích 11 III PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x Câu 30 Giải phương trình : ; d/ cos 2 x sin x 3sin 2 x b/ sin x sin x cos x a/ 3sin x sin x cos x cos x ; c/ sin x 3 sin x cos x cos x ; Câu 31 Giải phương trình : a/ sin x sin x cos x cos x ; b/ sin x sin x cos x cos x ; 2 c/ sin x sin x cos x ; Câu 32 Giải phương trình : d/ cos x 3sin x 3 ; cos x ; a/ sin x sin x cos x cos x b/ sin x sin x x x 3 sin x cos ; 2 2 d/ 3cos x 5sin x sin x Câu 33 Giải phương trình sau : a/ sin x cos x ; cos x c/ sin x cos3 x sin x cos x ; c/ sin www.facebook.com/VanLuc168 b/ sin x sin x cos x ; 4 d/ sin x sin x sin x cos3 x VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số & Giải tích 11 Câu 12 Chứng minh số 2 , , lập thành cấp số cộng số x, y, z yx y yz lập thành cấp số nhân BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III Câu Tính tổng : S 1.2 2.3 n(n 1) u1 Câu Dãy số (un ) xác định cơng thức: với n un 1 3un Chứng minh dãy số tăng phương pháp quy nạp u 1 Câu Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u1 u n 1 n với n a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với n ta có u n n 1 b) Chứng minh dãy số (u n ) dãy giảm bị chặn Câu Xét tính tăng, giảm dãy số (un ) với: 3n n 4n Câu Cho dãy số (un) xác định u1=2 un 1 un với n Chứng minh un=2 a) un 2 n b) un với n Có nhận xét dãy số ? Câu Cấp số cộng: a) Tìm nghiệm phương trình: x –15 x 71x –105 Biết nghiệm tạo thành cấp số cộng b) Cho cấp số cộng biết tổng ba số hạng –6 tổng bình phương chúng 30 Hãy tìm cấp số cộng c) Cho phương trình x –(3m 4) x (m 1)2 Định m dể phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 1 , , d) Cho số a, b, c thoả mãn tạo thành cấp số cộng Chứng ab ac bc minh a2 , b2 , c2 tạo thành cấp số cộng e) Nếu số thứ p, thứ q thứ r cấp số cộng a, b, c Chứng minh rằng: (q – r )a (r – p)b (p – q)c f) Cho biết tổng n số hạng cấp số cộng Sn n(5n –3) Tìm số hạng thứ p cấp số cộng g) Cho hai cấp số cộng có tổng n số hạng Sn 7n Tn 4n Tìm tỉ số u11 số hạng thứ 11 hai cấp số v11 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 20 Đại số & Giải tích 11 Câu Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số nhân, biết số hạng thứ hai 16 tổng ba số hạng đầu 56 b) Một cấp số nhân (un ) có số hạng, biết cơng bội q u1 u4 24 Tìm số hạng cấp số nhân Câu Cấp số cộng – Cấp số nhân: a) Các số x y, x y, x y , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Đồng thời x 1, y 2, x y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x y b) Cho số có tổng 28 lập thành cấp số nhân Tìm cấp số nhân biết số thứ giảm ta số lập thành cấp số cộng c) Tìm hai số a b biết ba số: , a , b theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số 1, a, b theo thứ tự lập thành cấp số nhân d) Ba số có tổng 217 coi ba số hạng liên tiếp CSN, số hạng thứ 2, thứ thứ 44 CSC Hỏi phải lấy số hạng đầu CSC để tổng chúng 280? e) Một CSC CSN có số hạng thứ 5, số hạng thứ hai CSC lớn số hạng thứ CSN 10, số hạng thứ Tìm cấp số ấy? 1 n 5n Câu Cho dãy số (un) với un n n Tính S10 u 1 u2 u10 5 Câu 10 Cho dãy số (un), kí hiệu tổng n số hạng Sn, xác n 3n định S n a) Tính u1, u2, u3 b) Chứng minh dãy số cấp số cộng xác định số hạng tổng qt www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 21 Đại số & Giải tích 11 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1 lim ; lim (k Z ) k n n n n lim q n ( q 1) ; n lim nk (k Z ) lim n lim qn (q 1) lim C C n Định lí: Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b u a lim n (nếu b 0) b a) Nếu lim un lim 0 un b) Nếu lim un = a, lim = lim un =0 c) Nếu lim un = a 0, lim = u a.vn lim n = a.vn b) Nếu un 0, n lim un= a a lim Giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt: un a d) Nếu lim un = +, lim = a a lim(un.vn) = a c) Nếu un ,n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un a Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = q 1 1 q * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: , , – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức a b a b a b; a b a2 ab b2 a b Dùng định lí kẹp: Nếu un ,n lim = lim un = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 22 Đại số & Giải tích 11 Câu Tính giới hạn sau: a) lim d) lim 2n n 3n2 2n n4 (n 1)(2 n)(n2 1) Câu Tính giới hạn sau: a) lim d) lim 3n 3n 2n 5n1 5n Câu Tính giới hạn sau: a) lim d) lim 4n2 2n n 4n n 4n2 2n b) lim e) lim b) lim e) lim 2n f) lim 2n n 4.3n 7n1 n3 2n4 n2 3n3 2n2 c) lim 2.5n 7n 2.3n 7n f) lim 5n 2.7n 4n 1 6n2 5n 8n 2.3n 6n 2n (3n1 5) n2 n b) lim e) lim c) lim n3 n n2 3n3 2n2 n c) lim n2 n (2n n 1)( n 3) (n 1)(n 2) f) lim n2 n n n2 n2 4n 4n2 n2 4n n 3n2 n Câu Tính giới hạn sau: 1 1 a) lim b) lim (2n 1)(2n 1) n(n 2) 1.3 3.5 1.3 2.4 1 1 c) lim d) lim n(n 1) 22 32 n2 1.2 2.3 e) lim n f) lim n2 3n 22 n 32 3n Câu Tính giới hạn sau: n2 2n n 1 d) lim 1 n2 n4 3n a) lim g) lim 4n2 2n n 4n n e) lim b) lim n2 n n2 n2 n n c) lim f) lim h) lim n2 n n n2 i) lim 2n n3 n 1 n n2 n2 4n 4n2 3n2 n Câu Tính giới hạn sau: a) lim d) lim cos n2 n 1 3sin6 n cos2 (n 1) n2 b) lim e) lim (1)n sin(3n n2 ) 3n 3sin2 (n3 2) n2 c) lim 2n cos n 3n f) lim 3n2 2n n(3 cos n 2) 3n2 Câu Cho dãy số (un) với un = , với n 2 n2 a) Rút gọn un b) Tìm lim un www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 23 Đại số & Giải tích 11 Câu a) Chứng minh: (n N*) n n (n 1) n n n 1 1 b) Rút gọn: un = 2 3 n n (n 1) n c) Tìm lim un u1 Câu Cho dãy số (un) xác định bởi: un 1 un n (n 1) a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un u 0; u2 Câu 10 Cho dãy số (un) xác định bởi: 2un2 un1 un , (n 1) a) Chứng minh rằng: un+1 = un , n 2 b) Đặt = un – Tính theo n Từ tìm lim un www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 24 Đại số & Giải tích 11 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; x x0 Giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt: k chẵn lim x k ; lim x k x x k lẻ c lim 0 lim c c ; lim ; k x x x x 0 x lim c c (c: số) x x0 lim x 0 Định lí: a) Nếu lim f ( x ) L lim g( x ) M x x0 x x0 thì: lim f ( x ) g( x ) L M lim f ( x ) g( x ) L M x x0 lim f ( x ).g( x ) L.M x x0 f (x) L (nếu M 0) x x0 g( x ) M b) Nếu f(x) lim f ( x ) L lim x x0 f (x) L c) Nếu lim f ( x ) L lim f ( x ) L x x0 lim x 0 1 lim x x 0 x x x0 L lim g( x ) dấu x x0 lim f ( x )g( x ) g( x ) trái dấu x x0 L xlim x0 0 lim g( x ) x x0 f ( x ) lim lim g( x ) L.g( x ) x x0 g( x ) x x0 g( x ) L.g( x ) xlim x0 * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: , , – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định x x0 x x0 x Định lí: Nếu lim f ( x ) L lim g( x ) thì: x x0 L lim x x0 Giới hạn bên: lim f ( x ) L lim f ( x ) lim f ( x ) L x x0 x x0 x x0 Một số phương pháp khử dạng vơ định: Dạng P( x ) a) L = lim với P(x), Q(x) đa thức P(x0)= Q(x0) = x x Q( x ) Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn P( x ) với P(x0)=Q(x0)=0 P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc x x Q( x ) Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu b) L = lim www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 25 Đại số & Giải tích 11 P( x ) với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức chứa khơng đồng bậc x x Q( x ) c) L = lim Giả sử: P(x) = m u( x ) n Ta phân tích P(x) = v( x ) với m u( x 0) n v( x0 ) a m u( x) a a n v( x) P( x ) : L = lim với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa x Q( x ) – Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp Dạng – : Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu Dạng 0.: Ta thường sử dụng phương pháp dạng Dạng Câu Tìm giới hạn sau: 1 x x x x 0 1 x a) lim 3x x x 1 b) lim x 1 sin x 4 c) lim x x d) lim x 1 x 1 x4 x x 8 3 g) lim x 1 x2 Câu Tìm giới hạn sau: a) lim x 1 d) lim x 3 x3 x2 x x 3x x 5x x x 8x (1 x )(1 x )(1 x ) x 0 x Câu Tìm giới hạn sau: g) lim a) lim x 2 d) lim x 2 g) lim 4x x2 x 2 2 x 3 1 x 1 x 0 x 1 Câu Tìm giới hạn sau: a) lim x 0 1 x 1 x x www.facebook.com/VanLuc168 x2 x x 1 e) lim x 2 f) lim x 1 3x x h) lim x 2 x 1 b) lim x 1 e) lim x4 1 x3 2x2 x 5x5 x (1 x )2 x 1 x x x n n x 1 x 1 x 1 x 1 4x x 3x e) lim x 1 x 1 h) lim x 2x x 3 b) lim x 2 x 3x x 11 x x 3x VanLucNN i) lim x sin x 0 c) lim x5 x3 xm 1 x 1 f) lim xn 1 x 1 h) lim b) lim x2 2x x 1 i) lim x 16 x 2 c) lim x 0 f) lim x 0 x3 x2 x2 x x2 1 x 16 i) lim x x 16 x 0 x 1 x x x 0 x c) lim www.TOANTUYENSINH.com 26 Đại số & Giải tích 11 4x 6x d) lim x2 1 4x 1 6x 1 g) lim x 0 x Câu Tìm giới hạn sau: x 0 x2 a) lim 2x2 x x d) lim x2 2x 4x x g) lim x 4x2 x (2 x 1) x x 5x e) lim x 5x x x h) lim x 0 x b) lim x x 2 c) lim x f) lim x x x 3x x x2 1 x 1 1 x x x2 x3 3x x x 1 x2 x x 5x x x i) lim 4x2 x b) lim x x x x d) lim x x x x x x x 1 x 15 x 2 x 0 x2 3x x h) lim f) lim x g) lim x 1 x x Câu Tìm giới hạn sau: a) lim i) lim 2x2 x x2 x x3 x2 x 1 4x2 2x x e) lim c) lim x x x x f) lim x 2 Câu Tìm giới hạn sau: a) lim x x x x e) lim x 11 x 3x x2 1 h) lim x 2 x x x x b) lim x 2 x 15 x 2 c) lim x 3 3x x x 3 2x 2 x x2 d) lim e) lim f) lim 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x x Câu Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: 1 x 1 x2 x x a) f ( x ) x b) f ( x ) x x x 3 1 x x x x2 2x x 3x x x x c) f ( x ) x x d) f ( x ) x x x 16 x x x Câu Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:: x3 x x a) f ( x ) x b) f ( x) x x x x mx x m2 x2 3mx x x m x c) f ( x ) x 100 x x x x 3 www.facebook.com/VanLuc168 x 3m x 1 x 1 d) f (x) x x m x 1 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 27 Đại số & Giải tích 11 §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 lim f ( x ) f ( x0 ) x x0 Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f ( x ) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f ( x ) , lim f ( x ) ) x x0 x x0 x x0 B3: So sánh lim f ( x ) với f(x0) rút kết luận x x0 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim f ( x ) f (a), lim f ( x ) f (b) x a x b Hàm số đa thức liên tục R Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f ( x) Hàm số y = liên tục x0 g(x0) g( x ) Nếu y = f(x) liên tục [a;b] f(a).f(b)< tồn số c(a;b): f(c)=0 Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = f ( x ) , M = max f ( x ) Khi với T a;b a;b (m; M) ln tồn số c (a; b): f(c) = T Câu Xét tính liên tục hàm số điểm ra: x 3 2 x x 1 b) f ( x ) x 1 x x5 2 7x 5x2 x3 x c) f (x) x2 3x x d) f ( x ) x 1 ( x 5)2 x x 1 1 cos x x e) f ( x ) x f) f ( x ) x x x 1 2 x Câu Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra: x x a) f ( x ) x mx x x 3 a) f ( x ) x 1 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN x x x x x x x x x www.TOANTUYENSINH.com 28 Đại số & Giải tích 11 x3 x2 2x x b) f (x) x x 1 3x m x m x x x 6 c) f ( x ) x 0, x x x x ( x 3) x n x2 x x d) f ( x ) x x m x Câu Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng: x3 x x 3x khi x 1 a) f ( x ) x b) f ( x ) 5 2 x 4 khi x 1 x2 x2 x 2 c) f ( x ) x d) f ( x ) x 4 x 2 2 x2 x2 x2 x x Câu Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: x2 x x2 x x x a) f ( x ) x b) f ( x ) 2 x m x x mx x3 x x x2 x x f ( x ) c) f ( x ) d) x 1 mx x 3 x m x Câu Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x x b) x x x c) x x Câu Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x x b) x x c) x x x x Câu Chứng minh phương trình: x x x có nghiệm (–2; 2) Câu Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số: a) m( x 1)3 ( x 2) x b) x mx 2mx c) a( x b)( x c) b( x c)( x a) c( x a)( x b) d) (1 m )( x 1)3 x x e) cos x m cos x f) m(2 cos x 2) sin x Câu Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) ax bx c với 2a + 3b + 6c = b) ax bx c với a + 2b + 5c = c) x ax bx c 1 Câu 10 Chứng minh phương trình: ax bx c ln có nghiệm x 0; với 3 a 2a + 6b + 19c = www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 29 Đại số & Giải tích 11 BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Câu Tìm giới hạn sau: n a) lim 3n3 n2 2n d) lim g) lim i) lim n2 3n n2 25n1 e) lim 2n2 3n n sin n b) lim n 2n cos n2 g) lim n 1 (1)n 4.3n f) lim 35n 2 n3 3n2 n n k) lim n 2n 3n n c) lim 3n2 n2 (1)n1 2.3n l) lim n2 n3 2n h) lim 1 n2 n n Câu Tìm giới hạn sau: x 5x a) lim x 3 x d) lim x 15 x 5x x x 1 x g) lim 8x3 x2 x3 x x 1 x 2x 1 8x2 b) lim x x 5x 1 x3 3x e) lim x 1 x h) lim x 3x x 3 x3 2x2 x f) lim x x 16 ( x 2)2 x 2 4x x2 x 2 x x3 x2 x c) lim 5x i) lim x2 1 x 1 Câu Tìm giới hạn sau: x 2 a) lim x 2 x 0 x7 1 2x d) lim x 4 x x2 x 1 x 1 k) lim x 1 x 1 Câu Tìm giới hạn sau: x 2 x 3x x 2 d) lim x 5x 2 ( x 2) x 2 g) lim x 2 2x h) lim x 0 x2 www.facebook.com/VanLuc168 l) lim 1 x 1 x x x2 x 0 b) lim x2 x 1 2 x 5x ( x 3) VanLucNN 2x x2 1 f) lim x 16 4x x 2 i) lim x 2 x 2 x 7 5 x 2 x 2 x 3x 3x e) lim x 3 x x 3 x 1 x m) lim x 1 h) lim x 8 3 c) lim x 0 x32 x 0 a) lim 2x e) lim x 1 x 2 g) lim x2 x b) lim c) lim x 1 f) lim x 0 3x3 x x 1 x x x x i) lim x x 2 x x 4 www.TOANTUYENSINH.com 30 Đại số & Giải tích 11 Câu Tìm giới hạn sau: a) lim x x 3x x x 5x3 x2 x d) lim x g) lim x k) lim x 2x x3 x 3x x x2 x 2x x x 3x b) lim x x x2 x h) lim x2 x x x l) lim x x R x 5x x x 1 x i) lim x x 2 x2 2x x 1 cos x x b) f ( x ) sin x x = 1 x x x d) f ( x ) x = 1 x x x2 b) f ( x ) x x a x x x2 x d) f ( x ) x ax x 2 1)(10 x 9) f) lim ( x x x 1) x x x m) lim x (2 x 3)2 (4 x 7)3 x (3 x x 12 x x c) f ( x ) x x 10 R 2 x Câu Tìm a để hàm số liên tục R: 2a x a) f ( x) x3 x x x x 1 x2 x c) f ( x ) x a c) lim x 1 e) lim 4x x Câu Xét tính liên tục hàm số: 1 x a) f ( x ) x x x x2 x x x Câu Chứng minh phương trình: a) x x x có nghiệm phân biệt b) m( x 1)3 ( x 4) x ln có nghiệm với giá trị m c) (m 1) x – x –1 ln có nghiệm nằm khoảng 1; với m d) x mx ln có nghiệm dương e) x x x – có nghiệm khoảng (1; 2) a b c Câu Cho m > a, b, c số thực thoả mãn: Chứng minh m m 1 m phương trình: f ( x ) ax bx c có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) m 1 c2 0 HD: Xét trường hợp c = 0; c Với c f (0) f m(m 2) m2 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 31 Đại số & Giải tích 11 CHƯƠNG V ĐẠO HÀM §1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: B1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) y B2: Tính lim x 0 x Câu Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y f ( x ) x x x0 c) y f ( x ) b) y f ( x ) x x0 = –3 2x x0 = x 1 d) y f ( x ) sin x x0 = x x 1 x0 = x 1 Câu Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: e) y f ( x ) a) f ( x ) x x d) f ( x ) f) y f ( x ) x x0 = 1 2x b) f ( x ) x x c) f ( x ) e) f ( x ) sin x f) f ( x ) x 1, ( x 1) cos x §2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Tính đạo hàm cơng thức Câu Tính đạo hàm hàm số sau: x x x a) y x x x b) y 3 x2 d) y ( x 1)( x 4)( x 9) g) y 2x www.facebook.com/VanLuc168 e) y ( x x )(2 x ) h) y 2x 1 3x VanLucNN c) y ( x 2)(1 x ) 1 f) y x 1 x i) y x x2 x x2 www.TOANTUYENSINH.com 32 Đại số & Giải tích 11 x 3x x2 x l) y x 1 x 3 Câu Tính đạo hàm hàm số sau: k) y a) y ( x x 1)4 b) y (1 x )5 d) y ( x x)5 e) y x ( x 1)2 b) y d) y ( x 2) x e) y ( x 2)3 g) y x3 x 1 h) y 2x2 x2 2x c) y ( x3 x 1)11 2x g) y h) y ( x 1)3 x 1 Câu Tính đạo hàm hàm số sau: a) y x 5x m) y f) y ( x x 5)2 3 i) y x x3 x c) y x x f) y 1 x 4x 1 i) y x2 x2 x §3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Tính đạo hàm hàm số sau: sin x a) y cos x d) y cot x g) y (2 sin2 x )3 b) y x.cos x c) y sin3 (2 x 1) e) y sin x f) y sin x x h) y sin cos2 x tan2 x i) y sin2 x cos3 x x 1 k) y cos2 l) y tan x tan3 x tan x x 1 Câu Cho n số ngun dương Chứng minh rằng: a) (sin n x.cos nx )' n sin n 1 x.cos(n 1) x b) (sin n x.sin nx )' n.sin n1 x.sin(n 1) x c) (cosn x.sin nx )' n.cosn1 x.cos(n 1) x www.facebook.com/VanLuc168 d) (cosn x.cos nx )' n.cosn 1 x.sin(n 1) x VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 33 Đại số & Giải tích 11 §4 VI PHÂN §5 ĐẠO HÀM CẤP HAI Câu Cho hàm số f ( x ) 3( x 1) cos x b) Tính f ''( ), f '' , f ''(1) 2 Câu Tính đạo hàm hàm số đến cấp ra: a) Tính f '( x ), f ''( x ) a) y cos x , y ''' b) y x x x x 7, y '' x 3 , y '' x4 e) y x sin x , y '' d) y x x , y '' g) y ( x 1)3 , y '' h) y x x 4, y(4) c) y f) y x tan x , y '' i) y , y(5) 1 x Câu Cho n số ngun dương Chứng minh rằng: (n ) (1)n n! n. n. ( n) a) b) (sin x )( n) sin x c) (cos x ) cos x n (1 x ) 1 x Câu Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: x a) y b) y c) y x2 x 3x x2 1 1 x e) y sin2 x f) y sin x cos4 x 1 x Câu Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: y x sin x a) b) y x x xy '' 2( y ' sin x ) xy y y '' d) y y x tan x c) 2 x y '' 2( x y )(1 y ) www.facebook.com/VanLuc168 x 3 y d) x4 2 y2 ( y 1)y '' VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 34 ... 15 Cho A tập hợp có phần tử Hỏi A có tập hợp ? www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số & Giải tích 11 §2 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Câu a/ Hãy liệt kê hốn vị tập hợp... số hạng Sn 7n Tn 4n Tìm tỉ số u11 số hạng thứ 11 hai cấp số v11 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 20 Đại số & Giải tích 11 Câu Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu... khác ? Câu Trong mặt phẳng cho tập hợp gồm điểm phân biệt a/ Có véctơ khác véctơ có điểm đầu điểm cuối thuộc tập hợp điểm cho ? b/ Có đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc tập hợp điểm cho ? Câu a/ Một