BÀI TẬP TỐN 11 HÌNH HỌC ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH - HÌNH HỌC I - PhÐp dêi h×nh vµ phÐp ®ång d¹ng mỈt ph¼ng Bµi PhÐp biÕn h×nh _1_ Bµi PhÐp tÞnh tiÕn _1_ Bµi PhÐp ®èi xøng trơc _3_ Bµi PhÐp ®èi xøng t©m _4_ Bµi PhÐp quay _5_ Bµi Kh¸i niƯm vỊ phÐp dêi h×nh vµ hai h×nh b»ng _5_ Bµi PhÐp vÞ tù _5_ Bµi PhÐp ®ång d¹ng _5_ II - §-êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng kh«ng gian Quan hƯ song song Bµi §¹i c-¬ng vỊ ®-êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng _6_ Bµi Hai ®-êng th¼ng chÐo vµ hai ®-êng th¼ng song song _10_ Bµi §-êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng song song _13_ Bµi Hai mỈt ph¼ng song song _15_ Bµi PhÐp chiÕu song song H×nh biĨu diƠn cđa mét h×nh kh«ng gian _15_ III - Vect¬ kh«ng gian Quan hƯ vu«ng gãc kh«ng gian Bµi Vect¬ kh«ng gian _16_ Bµi Hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc _19_ Bµi §-êng th¼ng vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng _20_ Bµi Hai mỈt ph¼ng vu«ng gãc _24_ Bµi Kho¶ng c¸ch _28_ Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/VanLuc168 Hình học 11 CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG §1 PHÉP BIẾN HÌNH Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác đònh M' mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Nếu kí hiệu phép biến hình F taviết F(M) = M' hay M' = F(M) gọi điểm M' ảnh điểm M qua phép biến hình F Nếu H hình mặt phẳng ta kí hiệu H' = F(H) tập hợp điểm M' = F(M), với điểm M thuộc H Khi ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' ảnh hình H qua phép biến hình F Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng §2 PHÉP TỊNH TIẾN Câu Cho hai điểm M(3 ; 1), N(-3 ; 2) véctơ v 2; 3 a/ Hãy xác định tọa độ ảnh điểm M N qua phép tịnh tiến Tv b/ Tịnh tiến đường thẳng MN theo véctơ v , ta đường thẳng d Hãy viết phương trình đường thẳng d Câu Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d:2x–3y+1=0 qua phép tịnh tiến theo véctơ v 2;1 Câu Cho B(5 ; 3), C(-3 ; 4) d : 2x + y – = (d) a/ Viết phương trình d’ = T BC b/ Tìm m để Tv ,với v (2, m), biến d thành 2 Câu Phép tịnh tiến theo véctơ v 3;1 biến đường tròn C : x y thành đường tròn (C’) Hãy viết phương trình đường tròn (C’) Câu Phép tịnh tiến theo véctơ u 2; 1 biến đường tròn C : x y x thành đường tròn C ' Hãy viết phương trình C ' Câu Hãy xác định tọa độ điểm M trục hồnh cho phép tịnh tiến theo véctơ v 2;3 biến điểm M thành điểm trục tung www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Hình học 11 Câu Phép tịnh tiến theo véctơ v biến điểm M 3; 1 thành điểm đường thẳng : x y Hãy xác định tọa độ véctơ v , biết v Câu Cho hai đường thẳng song song d : x y d : x y Hãy xác định phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ biết a/ Véctơ tịnh tiến có giá trục Ox ; b/ Véctơ tịnh tiến véctơ pháp tuyến d Câu Cho hai điểm A(-1 ; 1), B(1 ; 3) đường tròn C : x y 10 Phép tịnh tiến theo véctơ v biến A, B thành A’, B’ Biết A’ B’ nằm C Viết phương trình đường thẳng A’B’ Câu 10 Phép tịnh tiến theo véctơ v 0; biến đường thẳng thành đường thẳng ' Biết ' : x y Hãy viết phương trình đường thẳng Câu 11 Cho hai véctơ u (1; 1) , v 2;3 đường thẳng : x y Gọi ' ảnh qua phép tịnh tiến Tu " ảnh ' qua phép tịnh tiến Tv Hãy viết phương trình " Câu 12 Hãy xác định tọa độ điểm M trục tung cho phép tịnh tiến theo véctơ u 4; biến điểm M thành điểm trục hồnh Câu 13 Phép tịnh tiến theo véctơ v biến điểm M 2;1 thành điểm đường thẳng d : x y Hãy xác định tọa độ véctơ v , biết v Câu 14 Cho d: 2x – 5y +4 = Hãy xác định véctơ v có giá song song với Ox biết phép tịnh tiến T v , đường thẳng d có ảnh đường thẳng qua gốc tọa độ O Câu 15 Cho đường tròn C1 : x y x y C đường tròn qua điểm A(-3;1), có tâm I 4; 4 Hãy xác định tọa độ điểm M (C) điểm N (C1) cho MN IA www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Hình học 11 §3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Câu Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng l : x y qua trục hồnh Câu Viết phương trình ảnh đối xứng đường tròn C : x y 3x qua trục tung Câu a/ Cho đường thẳng : x Hãy thiết lập biểu thức tọa độ cho phép đối xứng trục 2 b/ Cho đường tròn C : x y 1 đường thẳng : x Hãy viết phương trình ảnh đối xứng (C) qua Câu Hãy viết phương trình ảnh đối xứng đường thẳng d : y x qua đường thẳng x Câu Cho hai đường thẳng d : y đường thẳng : x y a/ Xác định tọa độ giao điểm d b/ Xác định tọa độ ảnh điểm M(0 ; -2) qua phép đối xứng trục c/ Hãy viết phương trình ảnh đối xứng đường thẳng d qua trục Câu Hãy viết phương trình ảnh C : x y qua phép đối xứng trục d:4x–y–2=0 Câu Cho hai điểm A(-2 ; 3) B(5 ; 2) Hãy xác định tọa độ điểm M trục hồnh cho MA MB nhỏ Câu a/ Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng d : x y thành đường thẳng d ' : x y Hãy viết phương trình đường thẳng a b/ Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng d : x y thành đường thẳng d ' : x y Hãy viết phương trình đường thẳng a Câu Thực liên tiếp phép biến hình sau đường thẳng d ta đường thẳng d’ : lấy đối xứng qua trục Ox, tịnh tiến theo véctơ v 5; 2 a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ biết d: 2x – y – = b/ Hãy cho biết phương trình đường thẳng d biết d’: y = Câu 10 Cho (d) : 5x – 12y + = A(3; 0) B(2 ; 6) a/ Viết phương trình d1 = ĐA(d) (d) b/ Viết phương trình d2 = T AB Câu 11 Viết phương trình (C’) ảnh (C): x2+y2–2x+4y-4=0 qua Đd với d:3x–4y–1=0 Câu 12 Cho A(-3 ; 2), B(0 ; -2), d: 5x + 12y – = (C): x2 + y2+ 8x–6y–11= a/ Tìm tọa độ A’ = Đ Ox(A) C b/ Tìm (C’) = T AB u c/ Biết (C2) ảnh (C’) qua T Tìm vectơ tịnh tiến biến (C2) thành (C) BO 2 Câu 13 Cho đường tròn C : x 3 y đường thẳng d : x y 16 Hãy xác định tọa độ điểm A C B d cho điểm A B đối xứng qua trục Oy www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Hình học 11 §4 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Câu Cho M(3; 3), N(2 ; -5) O gốc tọa độ a/ Hãy xác định tọa độ ảnh điểm M N qua phép đối xứng tâm ĐO b/ Hãy xác định tọa độ ảnh điểm N qua phép đối xứng tâm ĐN Câu Hãy viết phương trình ảnh đường thẳng d : x y qua phép đối xứng tâm I 4; 1 Câu Qua phép đối xứng tâm I(-3 ; 1), đường tròn C : x y x y biến thành đường tròn (C’) Hãy viết phương trình đường tròn (C’) Câu Cho v (-6 ; 1), A(3 ; -4), B(5 ; 0) d : x + 2y = a/ Xác định tọa độ A’ = Tv (A) b/ Chứng minh B = Đd(A) c/ Gọi (C) đường tròn có tâm B bán kính = Tìm phương trình (C’) = Đ’A(C) Câu Phép tịnh tiến theo véctơ u 2; 3 biến đường thẳng d: 3x – y – = thành đường thẳng d’ ; phép đối xứng tâm I(3 ; 0) biến đường thẳng d’ thành đường thẳng d” Hãy viết phương trình đường thẳng d” x t x 3t Câu Cho điểm I 3; 4 đường thẳng d1 : , d2 : Hãy xác định y 4t y 2t tọa độ điểm A B nằm đường thẳng d1 d2 cho phép đối xứng tâm ĐI biến điểm A thành điểm B Câu Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d : x y thành đường thẳng d ' : x y Biết tâm I nằm đường phân giác góc phần tư thứ thứ ba, xác định tọa độ tâm I Câu Cho điểm A(7 ; 7), đường thẳng d: x+ y–18=0 đường tròn (C): x2+y2–6x–6y+2=0 Tìm tọa độ M (C) N (d) cho A trung điểm MN www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Hình học 11 §5 PHÉP QUAY Câu Cho hình vuông ABCD tâm O a) Tìm ảnh điểm C qua phép quay tâm A góc 900 b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) đường thẳng d có phương trình x + y = Tìm ảnh A d qua phép quay tâm O góc 900 Câu Cho hình vuông ABCD tâm O M trung điểm AB, N trung điểm OA Tìm ảnh tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 900 Câu Cho lục giác ABCDEF, O tâm đối xứng nó, I trung điểm AB a) Tìm ảnh tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200 b) Tìm ảnh tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600 §6 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU §7 PHÉP VỊ TỰ Câu Phép vị tự tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ Hãy tính tỉ số diện tích hai tam giác Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, thiết lập biểu thức tọa độ phép vị tự tâm O tỉ số k Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x y x y Phép vị tự tâm O tỉ số -2 biến đường tròn C thành đường tròn C ' Hãy viết phương trình C ' Câu Cho (d) : 2x + 3y – = , u (-3 ; 7) a/ Viết phương trình d’ = Tu (d) b/ Cho A( 2; 9) Tìm tọa độ A’ = Đd(A) c/ Cho (C) : x2 + y2 – 4x + 6y +12 =0 Viết phương trình (C’) = V(A; -2) (C) Câu Cho A(-2; 1), B(5 ; 4) Tìm phép vị tự biến đường tròn (A ; R= 3) thành đường tròn (B ; R = 9) §8 PHÉP ĐỒNG DẠNG www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Hình học 11 CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Vấn đề : XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Câu Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng có hai cạnh AB CD khơng song song Gọi S điểm nằm ngồi mặt phẳng Hãy tìm giao tuyến SAC & SBD ; SAB & SCD Câu Cho bốn điểm khơng đồng phẳng A, B, C, D Gọi M N trung điểm đoạn thẳng AD BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (NAD) Câu Cho bốn điểm khơng đồng phẳng A, B, C, D Gọi M trung điểm đoạn thẳng AD Lần lượt lấy I, J cạnh AB, AC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (DIJ) Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm cạnh AB Lấy điểm N cạnh AC cho AN = 2CN Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (DMN) (BCD) Vấn đề : GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Câu Cho hình chop SABCD, đáy hình thang có cạnh đáy lớn AB Gọi I, J, K điểm thuộc SA, AB, BC a/ Tìm IK (SBD) b/ Tìm SD (IJK) c/ Tìm SC (IJK) Câu Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC K trung điểm cạnh AD Tìm giao điểm đường thẳng GK mặt phẳng (BCD) Câu Cho tứ diện ABCD Trên đoạn AB AC lấy hai điểm M N cho AM BM AN 2CN Hãy xác định giao điểm cặp đường thẳng mặt phẳng sau: AC & (DMN) ; MN & (BCD) ; BC & (DMN Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AC CB Trên cạnh BD, lấy điểm P cho BP = PD a/ Hãy xác định giao điểm đường thẳng CD mặt phẳng (MNP) ; AD (MNP) b/ Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) (ABD) Câu Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SC a/ Tìm I = AM (SBD) Chứng minh IA = 2IM b/ Tìm F = SD (ABM) www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Hình học 11 Câu 10 Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M nằm S C a/ Hãy xác định giao điểm đường thẳng AM mặt phẳng (SBD) b/ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (ABM) Câu 11 Cho tứ diện ABCD Trên đoạn thẳng AB, AC, AD lấy điểm B’, C’, D’ khơng trùng với đầu mút đoạn thẳng Lấy điểm M thuộc miền tam giác BCD a/ Hãy xác định giao điểm C’D’ mp(ABM) ; b/ Hãy xác định giao điểm AM với (B’C’D’) Câu 12 Cho hình chóp tam giác SABC Gọi I, H trung điểm SA AB Lấy K cạnh SC cho CK = 3KS a/ Xác định giao điểm đường thẳng BC mặt phẳng (IHK) b/ Gọi M trung điểm IH Xác định giao điểm đường thẳng KM mặt phẳng (ABC) Câu 13 Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M cạnh SC Hãy xác định giao điểm đường thẳng AM mặt phẳng (SBD) Câu 14 Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M cạnh SB, điểm N cạnh SD Hãy xác định giao điểm đường thẳng MN mặt phẳng (SAC) Câu 15 Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm đoạn thẳng SC a/ Hãy xác định giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD) Chứng minh IA = 2IM b/ Hãy xác định giao điểm F đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM) Chứng minh tứ giác ABMF hình thang Vấn đề 3: TỔNG HỢP GIAO TUYẾN VÀ GIAO ĐIỂM Câu 16 Cho tứ diện ABCD Gọi M N trọng tâm tam giác (ABD) (ACD) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: (AMN)&(BCD); (DMN)&(ACB) Câu 17 Cho Tứ diện ABCD Lấy M, N cạnh AB, AC cho MN BC khơng song song Gọi I điểm thuộc miền tam giác BCD Hãy xác định giao tuyến cặp mặt phẳng sau : (MNI) & (BCD) ; (MNI) & (ABD); (MNI) & (ACD) Câu 18 Cho hình chóp tứ giác SABCD Trên cạnh BC lấy điểm E cho AE CD cắt ; cạnh SC lấy điểm F Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (AEF) (SAD) Câu 19 Cho tứ diện ABCD điểm M nằm cạnh AD Gọi I, J tương ứng hai điểm BI BJ cạnh BC, BD cho Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) BC BD (ACD), suy giao điểm đường thẳng AC mặt phẳng (IJM) Câu 20 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD; cạnh AD, lấy điểm P khơng trùng với trung điểm AD Tìm giao điểm mặt phẳng (PMN) BC Câu 21 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD I trung điểm đoạn thẳng AD Xác định giao điểm đường thẳng IG mặt phẳng (ABC) Câu 22 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Lấy điểm M cạnh SC Hãy xác định giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (ABM) www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Hình học 11 CHƯƠNG III VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN §1 VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Đònh nghóa phép toán Đònh nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có : AB AC AD + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB AD AA ' AC ' + Hêï thức trung điểmđoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA IB ; OA OB 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giá c: Cho trọng tâmcủ tam G a giá c ABC, O tuỳ ý Ta có: GA GB GC 0; OA OB OC 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện : Cho G là trọng tâm tứ diệ có: n ABCD, O tuỳ ý Ta GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4OG + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a 0) ! k R : b ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O tuỳ ý Ta có: OA kOB MA k MB; OM 1 k Sự đồng phẳng ba vectơ Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , a b không phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng ! m, n R: c ma nb Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ! m, n, p R: x ma nb pc Tích vô hướng hai vectơ Góc hai vectơ không gian: (00 BAC 1800 ) AB u, AC v (u, v ) BAC Tích vô hướng hai vectơ không gian: u.v u v cos(u , v ) + Cho u, v Khi đó: + Với u v Qui ước: u.v + u v u.v www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 16 Hình học 11 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Dựa vào qui tắc phép toán vectơ hệ thức vectơ Câu Cho tứ diện ABCD Gọi E, F trung điểm AB CD, I trung điểm EF a) Chứng minh: IA IC ID IB b) Chứng minh: MA MB MC MD MI , với M tuỳ ý c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố đònh (P) cho: MA MB MC MD nhỏ Câu Chứng minh tứ diện bất kì, đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối đồng qui trung điểm chúng (Điểm đồng qui gọi trọng tâm tứ diện) Câu Cho tứ diện ABCD Gọi A, B, C, D điểm chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k 1) Chứng minh hai tứ diện ABCD ABCD có trọng tâm VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: + Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n R: c ma nb a, b , c đồng phẳng Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho: x ma nb pc Câu Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho MS 2 MA đoạn BC lấy điểm N cho NB NC Chứng minh ba vectơ AB, MN , SC đồng phẳng HD: Chứng minh MN AB SC 3 Câu Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L trung điểm cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượ t trung điểm NG JH a) Chứng minh ba vectơ MN , FH , PQ đồng phẳng b) Chứng minh ba vectơ IL , JK , AH đồng phẳng HD: a) MN , FH , PQ có giá song song với (ABCD) b) IL , JK , AH có giá song song với (BDG) Câu Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K trung điểm AE, EC, CD, BC, BE a) Chứng minh ba vectơ AJ , GI , HK đồng phẳng FM CN b) Gọi M, N hai điểm AF CE cho Các đường thẳng FA CE vẽ M từ N song song với CF cắt DF EF P Q Chứng minh ba vectơ MN , PQ, CF đồng phẳng www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 17 Hình học 11 Câu Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi M N trung điểm CD DD; G G trọng tâm tứ diện ADMN BCCD Chứng minh đường thẳng GG mặt phẳng (ABBA) song song với HD: Chứng minh GG ' AB AA ' AB, AA ', GG ' đồng phẳng Câu Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng vectơ d a) Cho d ma nb với m n Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: i) b , c , d ii) a, c , d b) Cho d ma nb pc với m, n p Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: i) a, b , d ii) b , c , d iii) a, c , d HD: Sử dụng phương pháp phản chứng Câu Cho ba vectơ a, b , c khác ba số thực m, n, p Chứng minh ba vectơ x ma nb , y pb mc , z nc pa đồng phẳng HD: Chứng minh px ny mz Câu 10 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AA ' a, AB b , AC c Hãy phân tích vectơ B ' C , BC ' theo vectơ a, b , c HD: a) B ' C c a b b) BC ' a c b Câu 11 Cho tứ diện OABC ng tâ m củ a tam giác ABC Gọi G trọ a) Phân tích vectơ OG theo ba OA, OB, OC b) Gọi D trọng tâm tứ diện OABC Phân tích vectơ OD theo ba vectơ OA, OB, OC D: a) OG OA OB OC b) OD OA OB OC Câu 12 Cho hình hộp OABC.DEFG a hình p hộ Gọi I tâm củ a) Phân tích hai vectơ OI AG theo ba vectơ OA, OC , OD b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE , FG, FI HD: a) OI OA OC OD , AG OA OC OD b) BI FE FG FI Câu 13 Cho hình lập phương ABCD.EFGH a) Phân tích vectơ AE theo ba vectơ AC , AF , AH HD: a) AE AF AH AC b) Phân tích vectơ AG theo ba vectơ AC , AF , AH HD: b) AG AF AH AC VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng hai vectơ không gian Câu 14 Cho hình lập phương ABCD.ABCD a) Xác đònh góc cặp vectơ: AB A ' C ' , AB A ' D ' , AC ' BD b) Tính tích vô hướng cặp vectơ: AB A ' C ' , AB A ' D ' , AC ' BD Câu 15 Cho hình tứ diện ABCD, AB BD Gọi P Q điểmlầ n lượ t thuộc đường thẳng AB CD cho PA kPB, QC kQD (k 1) Chứng minh AB PQ www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 18 Hình học 11 §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Vectơ phương đường thẳng: a VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng: a//a, b//b a ,b a ',b ' Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u , v ) a,b Khi đó: 180 00 1800 900 1800 Nếu a//b a b a,b 00 Chú ý: 00 a,b 900 Hai đường thẳng vuông góc: a b a,b 900 Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a b u.v Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau: Chứng minh góc hai đường thẳng 900 Chứng minh vectơ phương đường thẳng vuông góc với Sử dụng tính chất hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …) BSC CSA Chứng minh Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC ASB SA BC, SB AC, SC AB HD: Chứng minh SA.BC = Câu Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD a) Chứng minh AO vuông góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM Câu Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c a) CMR đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối diện vuông góc với cạnh b) Tính góc hợp cạnh đối tứ diện HD: b) cos(AC , BM ) HD: b) arccos a2 c2 b2 c a2 b2 b2 a2 c2 Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB tam giác vuông cân A, M điểm cạnh AD (M A D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a) Chứng minh MNPQ hình thang vuông www.facebook.com/VanLuc168 ; arccos ; arccos VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 19 Hình học 11 b) Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a x Câu Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cạnh Chứng minh AC BD, AB CD, AD CB §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Đònh nghóa d (P) d a, a (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b ( P ), a b O d (P) d a, d b Tính chất Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a b a b (P) b a b ( P ) a a (P ), b ( P ) ( P ) (Q) ( P ) (Q) a (Q) ( P ) Q) a (P ) ( P ) a,(Q) a a ( P ) a ( P ) ba a P ) b ( P ) a b,(P ) b Đònh lí ba đường vuông góc Cho a ( P ), b ( P ) , a hình chiếu a (P) Khi b a b a Góc đường thẳng mặt phẳng Nếu d (P) d ,(P ) = 900 Nếu d (P ) d ,(P ) = d , d ' với d hình chiếu d (P) Chú ý: 00 d ,(P ) 900 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d (P), ta chứng minh cách sau: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) Chứng minh d // a a (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d a, ta chứng minh cách sau: Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc Sử dụng cách chứng minh biết phần trước www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 20 Hình học 11 Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông tâm O SA (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) CMR: BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC) b) CMR: AH, AK vuông góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK (SAC) Từ suy HK AI Câu Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA (ABC) a) Chứng minh: BC (SAB) b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh: AH SC Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO (ABCD) b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ (SBD) Câu Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC (AID) b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH (BCD) Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC (OAH) b) H trực tâm tam giác ABC 1 1 c) 2 OH OA OB OC d) Các góc tam giác ABC nhọn Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh SIJ chứng minh SI (SCD), SJ (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BMSA Tính AM theo a a a a , c) 2 Câu Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác HD: a) a, SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a) CMR: SH (ABCD) b) Chứng minh: AC SK CK SD Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác đònh giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK (SBC), AL (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL 8a2 HD: a) a c) 15 Câu Gọi I điểm đường tròn (O;R) CD dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 21 Hình học 11 b) SD CE c) Tam giác SCD vuông Câu 10 Cho MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC a) Chứng minh: CC (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD Câu 11 Cho hình tứ diện ABCD a) Chứng minh rằng: AB CD AC2 – AD2 = BC2 – BD2 b) Từ suy tứ diện có cặp cạnh đối vuông góc với cặp cạnh đối lại vuông góc với VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua điểm vuông góc với đường thẳng Phương pháp: Tìm đường thẳng cắt vuông góc với đường thẳng cho, mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với đường thẳng Câu 12 Cho hình chóp SABCD, có đáy hình thang vuông A B với AB BC a, AD 2a; SA (ABCD) SA = 2a Gọi M điểm cạnh AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB Đặt AM = x (0 < x < a) a) Tìm thiết diện hình chóp với (P) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x) Câu 13 Cho tứ diện SABC, có đáy tam giác cạnh a; SA (ABC) SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với SC Tìm thiết diện tứ diện với (P) tính diện tích thiết a2 15 20 Câu 14 Cho tứ diện SABC với ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB=a SA(ABC) diện HD: S= SA=a M điểm tuỳ ý cạnh AB, đặt AM=x (0 < x < a) Gọi (P) mặt phẳng qua M vuông góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện với (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trò lớn a HD: b) S = x(a – x); S lớn x = Câu 15 Cho hình tứ diện SABC với ABC tam giác cạnh a, SA (ABC) SA = a Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P) tính diện tích thiết diện trường hợp sau: a) (P) qua S vuông góc với BC b) (P) qua A vuông góc với trung tuyến SI tam giác SBC c) (P) qua trung điểm M SC vuông góc với AB HD: a) a2 b) 2a2 21 49 c) 5a2 32 Câu 16 Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a, SA (ABCD) SA = a Vẽ đường cao AH tam giác SAB SH a) CMR: SB www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 22 Hình học 11 b) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện HD: hình gì? Tính diện tích thiết diện b) S = 5a2 18 VẤN ĐỀ 3: Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: Xác đònh góc đường thẳng a mặt phẳng (P) Tìm giao điểm O a với (P) (a Chon điểm A a dựng AH (P) Khi AOH ,(P )) Câu 17 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O; SO (ABCD) ,(ABCD )) 600 Gọi M, N trung điểm cạnh SA BC Biết (MN a) Tính MN SO b) Tính góc MN (SBD) a 10 a 30 ; SO = b) sin (MN ,(SBD )) 2 Câu 18 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA (ABCD) HD: a) MN = SA a Tính góc giữa: a) SC (ABCD) b) SC (SAB) c) SB (SAC) HD: a) 600 b) arctan d) AC (SBC) c) arcsin d) arcsin 21 7 14 Câu 19 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật; SA (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc hợp với mặt bên SAB góc a) Tính SA b) CMR: AB = a cos( ).cos( ) HD: a) a.sin Biết SA, SB, Câu 20 Cho hình chóp SABC, có ABC tam giác cân, AB = AC = a, BAC SC hợp với mặt phẳng (ABC) góc a) CMR: hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn ngoại tiếp ABC a.sin cos Câu 21 Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy tam giác cạnh a, AA (ABC) Đường chéo BC mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300 a) Tính AA b) Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến (BAC) c) Gọi N trung điểm cạnh BB Tính góc MN (BAC) b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC) HD: b) a 66 54 c) arcsin 11 55 Câu 22 Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC tam giác vuông cân A; AA (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB trung điểm N BC có độ dài a, MN hợp với đáy góc mặt bên BCCB góc a) Tính cạnh đáy cạnh bên lăng trụ theo a HD: a) a b) Chứng minh rằng: cos = AA = a.sin www.facebook.com/VanLuc168 b) sin HD: a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a cos; VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 23 Hình học 11 §4 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Góc hai mặt phẳng a ( P ) (P ),(Q ) a,b b (Q) a ( P ), a c Giả sử (P) (Q) = c Từ I c, dựng ( P ),(Q ) a ,b b ( Q ), b c Chú ý: 00 ( P ),(Q ) 900 Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q), = ( P ),(Q ) Khi đó: S = S.cos Hai mặt phẳng vuông góc (P) (Q) ( P ),(Q ) 900 ( P ) a Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( P ) (Q) a (Q) Tính chất (P ) (Q) (P ) (Q),(P ) (Q) c A (P) a (P) a (Q) a (P ), a c a A, a (Q) (P ) (Q) a (P ) ( R) a ( R) (Q) ( R) VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau: Tìm hai đường thẳng a, b: a (P), b (Q) Khi đó: ( P ),(Q ) a ,b a ( P ), a c Giả sử (P) (Q) = c Từ I c, dựng ( P ),(Q ) a ,b b ( Q ), b c Câu Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA=BC=a; SA (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) (SBC) HD: a) (SAC ),(SBC ) = 600 b) cos ((SEF ),(SBC )) 10 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 24 Hình học 11 Câu Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA (ABCD) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SCB) (SCD) 600 HD: SA = a Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA (ABCD) SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) HD: a) tan (( SAD ),(SBC )) 10 b) cos (( SBC ),(SCD )) Câu Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA (ABCD) SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) HD: a) 600 c) 300 b) arctan Câu Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB= a a ; SA(ABCD) SO= 3 vuông a) Chứng minh ASC b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) HD: c) 600 Câu Cho hình chóp SABCD có SA (ABCD) SA = a , đáy ABCD hình thang vuông A D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc cặp mặt phẳng: a) (SBC) (ABC) b) (SAB) (SBC) c) (SBC) (SCD) HD: a) 450 b) 600 c) arccos VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) (Q), ta chứng minh cách sau: Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a (Q) Chứng minh ( P ),(Q ) 900 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d (P), ta chứng minh cách sau: Chứng minh d(Q) với (Q)(P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) Chứng minh d = (Q) (R) với (Q) (P) (R) (P) Sử dụng cách chứng minh biết phần trước www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 25 Hình học 11 Câu Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Câu Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vuông góc với đáy DBC Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH (ADC) Câu Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA (ABCD) a) Chứng minh (SAC) (SBD) b) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) c) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF) (SBC), (AEF) (SAC) HD: b) 900 Câu 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA (ABCD) Gọi M, N a 3a điểm cạnh BC, DC cho BM= , DN= Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB CC vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB) (ACC) b) Gọi AH, AK đường cao ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) (ABC) vuông góc với mặt phẳng (AHK) Câu 12 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh SI (ABCD), AD (SAB) b) Tính góc BD mp(SAD) c) Tính góc SD mp(SCI) 10 HD: b) arcsin c) arcsin Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua BC vuông góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp có mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo Gọi H, I, J hình chiếu vuông góc S BC, AB, AC a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ b) Tìm giá trò lớn SH tìm giá trò HD: b) SHmax = c bc ; arctan b Câu 14 Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC) (BCD) b) Mặt phẳng (ABC) (ACD) HD: a) x2 – y2 + b2 =0 b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = Câu 15 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA (ABCD) ; M N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 26 Hình học 11 a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với MN (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có số đo 300 a(x + y) + xy = a2 HD: a) a2 – a(x + y) + x2 = Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600, a SC (ABCD) a) Chứng minh (SBD) (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK SA K Tính độ dài IK 900 từ suy (SAB) (SAD) c) Chứng minh BKD cạnh SC = HD: b) IK a VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q), = ( P ),(Q ) Khi đó: S = S.cos Câu 17 Cho hình thoi ABCD có đỉnh A mặt phẳng (P), đỉnh khác không (P), BD = a, AC = a Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta hình vuông ABCD a) Tính diện tích ABCD ABCD Suy góc (ABCD) (P) b) Gọi E F giao điểm CB, CD với (P) Tính diện tích tứ giác EFDB EFDB HD: a) 450 b) SEFDB = 3a2 3a2 ; SEFDB = 4 Câu 18 Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a , đáy BC = 3a; BC (P) Gọi A hình chiếu A (P) Khi ABC vuông A, tính góc (P) (ABC) HD: 300 Câu 19 Cho tam giác ABC cạnh a, nằm mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông a , CE = a nằm bên (P) a) Chứng minh tam giác ADE vuông Tính diện tích tam giác ADE b) Tính góc hai mặt phẳng (ADE) (P) góc với (P) vẽ từ B C lấy đoạn BD = HD: a) 3a2 b) arccos 3 Câu 20 Cho hình chóp SABC có mặt bên hợp với đáy góc a) Chứng minh hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn nội tiếp ABC S b) Chứng minh: SSAB + SSBC + SSCA = ABC cos Câu 21 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi vuông góc Gọi H trực tâm ABC Chứng minh rằng: www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 27 Hình học 11 a) SH (ABC) b) (SSBC)2 = SABC.SHBC Từ suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2 Câu 22 Trong mặt phẳng (P) cho OAB vuông O, AB = 2a, OB = a Trên tia vuông góc với (P) vẽ từ A B bên (P), lấy AA = a, BB = x a) Đònh x để tam giác OAB vuông O b) Tính AB, OA, OB theo a x Chứng tỏ tam giác OAB vuông B Đònh x để tam giác vuông A HD: a) x = b) x = 4a §5 KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a) MH H hình chiếu M a (P) d ( M ,( P )) MH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Đường thẳng cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b Nếu cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a b: Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A Dựng AB b B AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a Chọn M a, dựng MH (P) H Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc Dựng mặt phẳng (P) a O Dựng hình chiếu b b (P) www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 28 Hình học 11 Dựng OH b H Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH Câu Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC=a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI OC HD: a) a 2 b) a 5 Câu Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, SA(ABCD) SA=a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD HD: a) a 6 b) a 3 Câu Cho tứ diện SABC có SA (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC (BHK), HK (SBC) c) Xác đònh đường vuông góc chung BC SA HD: c) Gọi E = AH BC Đường vuông góc chung BC SA AE Câu a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vuông góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD, AD = BC HD: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b Chứng minh a = a, b = b Câu Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS (ABCD) a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) NP AC b) MN AP IS= HD: a) a b) a VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác đònh đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) Câu Cho hình chóp SABCD, có SA (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 29 Hình học 11 a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) cách (SAD) khoảng a a a a2 HD: a) d(A,(SCD)) = a ; d(B,(SCD)) = b) c) Câu Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) AA = a, đáy ABC tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) HD: a) a b) a 21 c) a 2 Câu Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA(ABCD) SA=2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) khoảng a , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE HD: a) a ; a 2 b) a c) a2 Câu Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 600, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC BD HD: a) AD = a ; d(C,(ABD)) = a b) a 93 31 600 Gọi O Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD 3a giao điểm AC BD Đường thẳng SO (ABCD) SO = Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh (SOF) (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) 3a 3a HD: b) d(O,(SBC)) = , d(A,(SBC)) = Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng Thảo luận tập tham khảo tài liệu trên: www.facebook.com/VanLuc168 Facebook www.TOANTUYENSINH.com Website www.facebook.com/toantuyensinh FB-Page www.facebook.com/groups/ toantuyensinh FB-Groups www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 30 ... 13 Hình học 11 Câu 11 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AD Lấy M điểm A B Goi mặt phẳng qua M, song song với AD SB a/ Mặt phẳng cắt hình chóp SABCD theo thiết diện hình. .. ABCD Thiết diện hình ? c/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (EFG) (ACD) www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 11 Hình học 11 Câu 19 Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi... www.facebook.com/VanLuc168 Hình học 11 CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG §1 PHÉP BIẾN HÌNH Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác đònh M' mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng