TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC 11 HK2

GV TRN QUC NGHA Ch VECT TRONG KHễNG GIAN QUAN H VUễNG GểC Vn VECT TRONG KHễNG GIAN I Vect khụng gian Vect, giỏ v di ca vect Vect khụng gian l mt on thng cú hng Kớ hiu AB ch vect cú im u A , im cui B Vect cũn c kớ hiu a , b , c , Giỏ ca vect l ng thng i qua im u v im cui ca vect ú Hai vect c gi l cựng phng nu giỏ ca chỳng song song hoc trựng Ngc li, hai vect cú giỏ ct c gi l hai vect khụng cựng phng Hai vect cựng phng thỡ cú th cựng hng hoc ngc hng di ca vect l di ca on thng cú hai u mỳt l im u v im cui ca vect Vect cú di bng gi l vect n v Kớ hiu di vect AB l AB Nh vy : AB AB BA Hai vect bng nhau, i Cho hai vect a , b ( ) Hai vect a v b c gi l bng nu chỳng cú cựng hng v cựng di a cuứng hửụựng b Kớ hiu a b v a b | a | | b | Hai vect a v c gi l i nu chỳng ngc hng v cựng di a cuứng hửụựng b Kớ hiu a b v a b | a | | b | Vect khụng Vect khụng l vect cú im u v im cui trựng Kớ hiu: , AA BB CC Vect khụng cú phng, hng tựy ý, cú di bng khụng Vect khụng cựng phng, cựng hng vi mi vect II Phộp cng v phộp tr vect nh ngha Cho a v b Trong khụng gian ly mt im A tựy ý, dng AB a , BC b Vect AC c gi l tng ca hai vect a v b v c kớ hiu AC AB BC a b a b a b b a Tớnh cht Tớnh cht giao hoỏn: a b b a Tớnh cht kt hp: ab c a b c a Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com A B a b b C Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC Cng vi : Cng vi vect i: a0 0a a a a a a a Cỏc qui tc Qui tc ba im: Vi ba im A , B , C bt kỡ ta cú: AC AB BC M rng: Qui tc a giỏc khộp kớn Cho n im bt kỡ A1 , A2 , A3 , , An , An Ta cú: A1 A2 A2 A3 An1 An A1 An A3 An A2 An-1 A1 A4 A5 B A10 A9 A7 A C A8 Qui tc tr (ba im cho phộp tr): B C Vi ba im A , B , C bt kỡ ta cú: AC BC BA A Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Vi hỡnh bỡnh hnh ABCD ta cú: AC AB AD v DB AB AD Qui tc hỡnh hp D Cho hỡnh hp ABCD.A B C D vi AB , AD , AA l ba cnh cú chung nh A v AC l ng chộo, ta cú: A AC AB AD AA D' III Phộp nhõn mt s vi mt vect nh ngha Cho k v vect a Tớch k a l mt vect: - Cựng hng vi a nu k - Ngc hng vi a nu k Tớnh cht Vi a , b bt kỡ; m, n R , ta cú: m a b ma mb m n a ma na m na mn a 1.a a , a a C B C' A' B' 0.a ; k iu kin hai vect cựng phng Cho hai vect a v b ( ), k : a cựng phng b a kb H qu: iu kin ba im A , B , C thng hng l AB k AC Mt s tớnh cht D M A I B Tớnh cht trung im Cho on thng AB cú I l trung im, ta cú: IA IB ; IA IB ; AI IB AB A MA MB MI ( M bt kỡ) Tớnh cht trng tõm G Cho ABC , G l trng tõm, ta cú: G A G B G C B C M A M B M C M G ( M bt kỡ) B Tớnh cht hỡnh bỡnh hnh O Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD tõm O , ta cú: A D OA OB OC OD MA MB MC MD 4MO C IV iu kin ba vect ng phng Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA Khỏi nin v s ng phng ca ba vect khụng gian Cho ba vect a, b , c ( ) khụng gian T mt im O bt kỡ ta dng OA a , OB b , OC c Khi ú xy hai trng hp: Cỏc ng thng OA , OB , OC khụng cựng nm mt mt phng thỡ ta núi ba vect a, b , c khụng ng phng Cỏc ng thng OA , OB , OC cựng nm mt mt phng thỡ ta núi ba vect a, b , c ng phng nh ngha a Ba vect gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi b mt mt phng c Trờn hỡnh bờn, giỏ ca cỏc vect a, b , c cựng song song vi mt B phng () nờn ba vect a, b , c ng phng A iu kin ba vect ng phng O C nh lớ Cho ba vect a, b , c ú a v b khụng cựng phng iu kin cn v ba vect a , b , c ng phng l cú nht cỏc s m , n cho c ma nb A b c c m.a a O B n.b Phõn tớch mt vect theo ba vect khụng ng phng b c D nh lớ pc a Nu ba vect a, b , c khụng ng phng thỡ vi mi vect d nb O ma d , ta tỡm c nht cỏc s m , n , p cho A d ma nb pc D' Dng Tớnh toỏn vect A PHNG PHP GII Quy tc ba im: AB AC CB (quy tc cng) AB CB CA (quy tc tr) Quy tc hỡnh bỡnh hnh: Vi hỡnh bỡnh hnh ABCD ta luụn cú: AC AB AD Quy tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD ABC D , ta c: AC ' AB AD AA ' Quy tc trung im: Cho I l trung im AB , M l in bt k: IA IB MA MB MI Tớnh cht trng tõm ca tam giỏc: G l trng tõm ABC , M ta cú: GA GB GC v MA MB MC 3MG v Tớnh cht trng tõm ca t din: G l trng tõm t din ABCD: GA GB GC GD v M ta cú: MA MB MC MD 4MG Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC Ba vect gi l ng phng cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng Nu ba vect a , b , c khụng ng phng thỡ mi vect d u cú th vit di dng d ma nb pc , vi m , n , p nht Chỳ ý: biu din mt vect h c s ta thng a v gc tớnh, chng hn vect MN v gc O cho trc OM , ON theo h c s thun li, t ú ta cú: MN ON OM tớnh on AB ta cú th bỡnh phng vụ hng AB AB h c s gm vect ng phng u v tớnh gúc gia hai vect u v v ta cú th tớnh u , v v u.v cos(u , v ) u.v B BI TP MU , BD , B D , DB , BC v AD theo ba vect a , b , c VD 3.1 Cho hỡnh hp ABCD ABC D t AB a , AD b , AA c Hóy phõn tớch cỏc vect AC a) Hóy phõn tớch cỏc vect B C , BC theo ba vect a , b , c b) Gi G l trng tõm tam giỏc ABC Biu th vect AG qua ba vect a , b , c VD 3.2 Cho hỡnh lng tr ABC ABC t AA ' a , AB b , AC c Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA VD 3.3 Cho hỡnh t din ABCD Gi A , B , C , D ln lt l trng tõm ca cỏc tam giỏc BCD , CDA , DAB , ABC t AA a , BB b , CC c Hóy phõn tớch cỏc vect DD , AB , BC , CD , DA theo ba vect a , b , c VD 3.4 Cho hỡnh t din ABCD cú AB c , CD c , AC b , BD b , BC a , AD a Tớnh cosin gúc gia cỏc vect BC v DA VD 3.5 Cho hỡnh chúp tam giỏc S ABC cú cnh BC a v cỏc cnh cũn li u bng a Tớnh cosin gúc gia cỏc vect AB v SC Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC VD 3.6 Cho hỡnh chúp tam giỏc S ABC cú SA SB SC b v ụi mt hp vi mt gúc 300 Tớnh khong cỏch t S n trng tõm G ca chỳng VD 3.7 Cho hỡnh t din u ABCD cú tt c cỏc cnh bng m Cỏc im M v N ln lt l trung im AB v CD a) Tớnh di MN b) Tớnh gúc gia hai vect MN v BC Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA Dng Chng minh ng thc vect A PHNG PHP GII S dng cỏc phộp toỏn cng, tr, nhõn vect vi mt s, tớch vụ hng S dng cỏc quy tc trung im, trng tõm tam giỏc, trng tõm t din, quy tc hỡnh bỡnh hnh, hỡnh hp, Chỳ ý: Hai tam giỏc ABC v ABC cú cựng trng tõm v ch AA BB CC B BI TP MU VD 3.8 Cho t din ABCD Gi M v N ln lt l trung im ca AB v CD Chng minh: a) MN AD BC AC BD b) im G l trng tõm ca t din ABCD v ch GA GB GC GD VD 3.9 Cho t din ABCD vi G l trng tõm a) Chng minh AB AC AD AG b) Gi A l trng tõm tam giỏc BCD Chng minh: AB AA AC AA AD AA VD 3.10 Cho hỡnh hp ABCD ABC D Gi D1 , D2 , D3 ln lt l im i xng ca im D qua A, B, C Chng t rng B l trng tõm ca t din D1D2 D3 D Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC VD 3.11 Cho hỡnh chúp S ABCD a) Chng minh rng nu ABCD l hỡnh bỡnh hnh thỡ SB SD SA SC b) Gi O l giao im ca AC v BD Chng t rng ABCD l hỡnh bỡnh hnh v ch SA SB SC SD 4SO Dng Quan h ng phng A PHNG PHP GII c/m ba vect a , b , c ng phng, ta chng minh tn ti cp s thc m, n cho: c ma nb chng minh ba vect a , b , c khụng ng phng, ta i chng minh: ma nb pc m n p Bn im A, B , C , D ng phng vect AB , AC , AD ng phng B BI TP MU VD 3.12 Chng minh: a) Nu cú ma nb pc v mt s m, n, p khỏc thỡ vect a , b , c ng phng b) Nu a , b , c l ba vect khụng ng phng v ma nb pc thỡ m n p Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA ly im N cho NB 3NC Chng minh rng ba vect AB , DC v MN ng phng VD 3.13 Cho hỡnh t din ABCD Trờn cnh AD ly im M cho AM 3MD v trờn cnh BC Dng Cựng phng v song song A PHNG PHP GII chng minh ba im A, B, C phõn bit thng hng, ta chng minh hai vect AB , AC cựng phng, ngha l AB k AC ; hoc cú th chn im O no ú chng minh OC kOA tOB , vi t k chng minh hai ng thng AB v CD song song trựng nhau, ta cn chng minh hai vect AB , CD cựng phng Khi AB , CD cựng phng v cú mt im thuc ng thng AB m khụng thuc ng thng CD hoc ngc li thỡ AB v CD l hai ng thng song song chng minh ng thng AB song song hoc nm mt mt phng P ta chn im C , D thuc P ri chng minh AB k CD hoc ta ly P hai vect a v b khụng cựng phng, sau ú chng minh AB , a v b ng phng v cú mt im thuc ng thng AB m khụng thuc P thỡ ng thng AB song song vi P ng thng AB qua M A, M , B thng hng ng thng AB ct CD ti I thỡ IA k.IB , IC t.ID ng thng AB ct mp MNP ti I thỡ A, I , B thng hng v M , N , P , I ng phng Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA 87 B CễNG THC C BN Tam giỏc a Tam giỏc thng: 1 abc pr S ABC BC AH AB AC.sin A 2 4R S ABM S ACM SABC 2 AG AM (G l trng tõm) p ( p a)( p b)( p c) A G AB AC BC di trung tuyn: AM B H M C nh lớ hm s cosin: BC AB AC AB AC cos A nh lớ hm s sin: a b c 2R sin A sin B sin C b Tam giỏc u ABC cnh a: S ABC AH AG canh A a2 a canh a B C H a AH 3 A c Tam giỏc ABC vuụng ti a: 1 S ABC AB.AC AH BC 2 BC AB AC 2 B H C BA BH BC CA CH CB HA HB.HC HA2 HB.HC AH BC AB AC 1 1 HB AB AM BC 2 2 AH AB AC HC AC AC AB AC AB sin B cos B tan B cot B BC BC AB AC C d Tam giỏc ABC vuụng cõn ti A BC AB AC AB AC BC A T giỏc D a Hỡnh bỡnh hnh: Din tớch: S ABCD BC AH AB AD.sin A B H b Hỡnh thoi: C A B A B Din tớch: S ABCD AC.BD AB AD.sin A C 0 c bit: ABC 60 hoc BAC 120 thỡ cỏc tam giỏc ABC, ACD u Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com D Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC c Hỡnh ch nht: S ABCD AB AD d Hỡnh vuụng: Din tớch: S ABCD AB 88 A D A D B C B C A ng chộo: AC AB e Hỡnh thang: S ABCD ( AD BC ) AH B D H C C MT S HèNH THNG GP HèNH Hỡnh chúp S.ABCD, cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht (hoc hỡnh vuụng) v SA vuụng gúc vi ỏy H1.1 - ỏy, ng cao, cnh ỏy, cnh bờn, mt bờn ca hỡnh chúp ỏy: l hỡnh vuụng hoc hỡnh ch nht S ng cao: SA Cnh bờn: SA , SB , SC , SD Cnh ỏy: AB , BC , CD , DA Mt bờn: SAB l tam giỏc vuụng ti A D A SBC l tam giỏc vuụng ti B SCD l tam giỏc vuụng ti D B C SAD l tam giỏc vuụng ti A S H1.2 - Gúc gia cnh bờn v ỏy Gúc gia cnh bờn SB v mt ỏy ABCD bng : Ta cú: SA ABCD (gt) Hỡnh chiu ca SB lờn ABCD l AB D A B C SB , ( ABCD ) SB , AB SBA Gúc gia cnh bờn SD v mt ỏy ABCD bng : S Ta cú: SA ABCD (gt) Hỡnh chiu ca SD lờn ABCD l AD SD , ( ABCD ) SD , AD SDA D A B Gúc gia cnh bờn SC v mt ỏy ABCD bng : C S Ta cú: SA ABCD (gt) D Hỡnh chiu ca SC lờn ABCD l AC SC , ( ABCD ) SC , AC SCA Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com A B C Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA 89 S H1.3 - Gúc gia cnh bờn v mt bờn: Gúc gia cnh bờn SB v mt bờn SAD bng : Ta cú: AB SAD Hỡnh chiu ca SB lờn SAD l SA D A SB , ( SAD ) SB , SA BSA B Gúc gia cnh bờn SD v mt bờn SAB bng : C S Ta cú: AD SAB Hỡnh chiu ca SD lờn SAB l SA D A SD , ( SAB ) SD , SA DSA B Gúc gia cnh bờn SC v mt bờn SAB bng : C S Ta cú: BC SAB Hỡnh chiu ca SC lờn SAB l SB D SC , ( SAB ) SC , SB BSC A B Gúc gia cnh bờn SC v mt bờn SAD bng : C S Ta cú: DC SAD Hỡnh chiu ca SC lờn SAD l SD SC , ( SAD ) SC , SD DSC D A H1.4 - Gúc gia mt bờn v mt ỏy: B Gúc gia mt bờn SBC v mt ỏy ABCD bng : Ta cú: BC AB ti B (?), BC SB ti B (?) SBC ABCD BC B Gúc gia mt bờn SCD v mt ỏy ABCD bng : Ta cú: CD AD ti D (?), CD SD ti D (?) SCD ABCD CD A C S ( SCD ), ( ABCD ) AD , SD SDA D ( SBC ), ( ABCD ) AB , SB SBA C S D A B Gúc gia mt phng SBD v mt ỏy ABCD bng : C S ỏy ABCD l hỡnh ch nht: Trong ABCD , v AH BD ti H BD SH (?) ( SBD ), ( ABCD ) AH , SH SHA A H Chỳ ý: Nu AB AD thỡ im H gn B hn Nu AB AD thỡ im H gn D hn D B C S ỏy ABCD l hỡnh vuụng: Gi O AC BD AO BD (?) A BD SO (?) ( SBD ), ( ABCD ) SO , AO SOA Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com D O B C Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC 90 H1.5 Khong cỏch im mt S Khong cỏch t A n mt phng SCD H Trong mp SAD , v AH SD ti H D AH SCD (?) A d A, SCD AH B C Khong cỏch t B n mt phng SCD Vỡ AB // SCD (?) nờn d B, SCD d A, SCD (xem dng 1) Khong cỏch t A n mt phng SBC S Trong mp SAB , v AH SB ti H H AH SBC (?) D A d A, SBC AH B C Khong cỏch t D n mt phng SBC Vỡ AD // SBC (?) nờn d D, SBC d A, SBC (xem dng 3) Khong cỏch t A n mt phng SBD S ỏy ABCD l hỡnh ch nht: Trong ABCD , v AI BD ti I BD SAI (?) H A Trong SAI , v AH SI ti H AH SBD (?) D I B C d A, SBD AH Chỳ ý: Nu AB AD thỡ im I gn B hn Nu AB AD thỡ im I gn D hn ỏy ABCD l hỡnh vuụng: Gi O AC BD AO BD (?) S BD SAO (?) Trong SAO , v AH SO ti H H A AH SBD (?) d A, SBD AH D O B C Khong cỏch t C n mt phng SBD Vỡ O l trung im ca AC nờn d C , SBD d A, SBD Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA 91 HèNH Hỡnh chúp S.ABCD, cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B v SA vuụng gúc vi ỏy H2.1 - ỏy, ng cao, cnh ỏy, cnh bờn, mt bờn ca hỡnh chúp ỏy: Hỡnh thang ABCD vuụng ti A v B ng cao: SA Cnh bờn: SA , SB , SC , SD Cnh ỏy: AB , BC , CD , DA Mt bờn: SAB l tam giỏc vuụng ti A SBC l tam giỏc vuụng ti B SAD l tam giỏc vuụng ti A Chỳ ý: Nu AB BC v AD BC thỡ AC CD CD SAC SCD vuụng ti C S A D B C A D H2.2 - Gúc gia cnh bờn SB v ỏy Gúc gia cnh bờn SB v mt ỏy ABCD : B C Ta cú : SA ABCD (gt) Hỡnh chiu ca SB lờn ABCD l AB SB , ( ABCD ) SB , AB SBA Gúc gia cnh bờn SD v mt ỏy ABCD : Ta cú: SA ABCD (gt) Hỡnh chiu ca SD lờn ABCD l AD SD , ( ABCD ) SD , AD SDA S A D Gúc gia cnh bờn SC v mt ỏy ABCD : Ta cú: SA ABCD (gt) Hỡnh chiu ca SC lờn ABCD l AC B C SC , ( ABCD ) SC , AC SCA H2.3 - Gúc gia mt bờn v mt ỏy: S Gúc gia mt bờn SBC v mt ỏy ABCD : Ta cú: BC AB ti B (?) BC SB ti B (?) A D SBC ABCD BC ( SBC ), ( ABCD ) AB, SB SBA Gúc gia mt bờn SCD v mt ỏy ABCD : B C S Trong ABCD , v AM CD ti M SM CD ti M (?) M SCD ABCD CD A D ( SCD ), ( ABCD ) AM , SM SMA Chỳ ý: Nu AB BC v AD BC thỡ AC CD Do ú M C Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com M B C Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC 92 S H2.4 Khong cỏch im mt Khong cỏch t A n mt phng SBC H Trong mp SAB , v AH SB ti H A AH SBC (?) D d A, SBC AH B C Khong cỏch t D n mt phng SBC Vỡ AD // SBC (?) nờn d D, SBC d A, SBC (xem dng 3) S Khong cỏch t A n mt phng SCD Trong ABCD , v AM CD ti M H CD SAM (?) A D Trong SAM , v AH SM ti H M AH SCD (?) B C d A, SCD AH Chỳ ý: Nu AB BC v AD BC thỡ AC CD Do ú M C HèNH Hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD S H3.1 - ỏy, ng cao, cnh ỏy, cnh bờn, mt bờn ca hỡnh chúp ỏy: ng cao: Cnh bờn: Cnh ỏy: Mt bờn: ABCD l hỡnh vuụng SO SA SB SC SD AB BC CD DA SAB , SBC , SCD , SAD l cỏc tam giỏc cõn ti S v bng A D O B C Gi O l tõm hỡnh vuụng ABCD SO ABCD H3.2 - Gúc gia cnh bờn v ỏy Gúc gia cnh bờn SA v mt ỏy ABCD : Ta cú: SO ABCD (?) Hỡnh chiu ca SA lờn ABCD l AO S SA , ( ABCD ) SA , AO SAO Gúc gia cnh bờn SB v mt ỏy ABCD : Tng t SB , ( ABCD ) SB , BO SBO A Gúc gia cnh bờn SC v mt ỏy (ABCD): Tng t SC , ( ABCD ) SC , CO SCO Gúc gia cnh bờn SD v mt ỏy ABCD : D O B C Tng t SD , ( ABCD ) SD , DO SDO Chỳ ý: SBO SCO SDO Gúc gia cỏc cnh bờn vi mt ỏy bng SAO Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA 93 S H3.3 - Gúc gia mt bờn v mt ỏy: Gúc gia mt bờn SAB v mt ỏy ABCD : Ta cú: OM AB ti M (?) AB SM ti M (?) A O ( SAB ), ( ABCD ) OM , SM SMO D M SAB ABCD AB M B C S Gúc gia mt bờn SBC v mt ỏy ABCD : Ta cú: ON BC ti N (?) BC SN ti N (?) M SBC ABCD BC A ( SBC ), ( ABCD ) ON , SN SNO D O B N C S Gúc gia mt bờn SCD v mt ỏy ABCD : Ta cú: OP CD ti P (?) CD SP ti P (?) M SCD ABCD CD A ( SCD ), ( ABCD ) OP , SP SPO D P O S B C Gúc gia mt bờn SAD v mt ỏy ABCD : Ta cú: OQ AD ti Q (?) AD SQ ti Q (?) M ( SAD ), ( ABCD ) OQ , SQ SQO Chỳ ý: Q A SAD ABCD AD D O B C SMO SNO SPO SQO Gúc gia cỏc mt bờn vi mt ỏy bng H3.4 Khong cỏch im mt Khong cỏch t O n mt phng SCD S Trong ABCD , v OM CD ti M CD SOM (?) H A Trong SOM , v OH SM ti H d O, SCD OH D M O B C Khong cỏch t A n mt phng SCD Vỡ O l trung im ca AC nờn d A, SCD 2d O, SCD Khong cỏch t B n mt phng SCD Vỡ O l trung im ca BD nờn d B, SCD 2d O, SCD Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC 94 HèNH Hỡnh chúp S.ABC, SA vuụng gúc vi ỏy H4.1 - ỏy, ng cao, cnh ỏy, cnh bờn, mt bờn ca hỡnh chúp tam giỏc ABC SA SA , SB , SC AB , BC , CA SAB l tam giỏc vuụng ti A SAC l tam giỏc vuụng ti A Chỳ ý: Nu ABC vuụng ti B thỡ SBC vuụng ti B Nu ABC vuụng ti C thỡ SBC vuụng ti C ỏy: ng cao: Cnh bờn: Cnh ỏy: Mt bờn: S C A B H4.2 - Gúc gia cnh bờn v ỏy Gúc gia cnh bờn SB v mt ỏy ABC : S Ta cú: SA ABC (gt) Hỡnh chiu ca SB lờn ABC l AB SB , ( ABC ) SB , AB SBA C A Gúc gia cnh bờn SC v mt ỏy ABC : B Ta cú: SA ABC (gt) Hỡnh chiu ca SC lờn ABC l AC S SC , ( ABC ) SC , AC SCA H4.3 - Gúc gia mt bờn (SBC) v mt ỏy (ABC): Tam giỏc ABC vuụng ti B Ta cú: BC AB ti B (?) BC SB ti B (?) SBC ABC BC ( SBC ), ( ABC ) AB, SB SBA Tam giỏc ABC vuụng ti C Ta cú: BC AC ti C (?) BC SC ti C (?) SBC ABC BC C A ( SBC ), ( ABC ) AC , SC SCA S B C A B Tam giỏc ABC vuụng ti A Trong ABC , v AM BC ti M (?) S BC SM ti M (?) SBC ABC BC Chỳ ý: ( SBC ), ( ABC ) AM , SM SMA M khụng l trung im BC A Nu ABC ACB thỡ M trờn on BC v gn B hn Nu ABC ACB thỡ M trờn on BC v gn C hn Nu AB AC thỡ M trờn on BC v gn C hn Nu AB AC thỡ M trờn on BC v gn B hn Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com C M B Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA 95 Tam giỏc ABC cõn ti A (hoc u) Gi M l trung im BC BC AM ti M (?) BC SM ti M (?) M SBC ABC SM ( SBC ), ( ABC ) AM , SM SMA S C A M Tam giỏc ABC cú ABC 900 B S Trong ABC , v AM BC ti M (?) BC SM ti M (?) SBC ABC BC ( SBC ), ( ABC ) AM , SM SMA C A Chỳ ý: M nm ngoi on BC v v phớa B B Tam giỏc ABC cú ACB 900 M S Trong ABC , v AM BC ti M (?) BC SM ti M (?) SBC ABC BC ( SBC ), ( ABC ) AM , SM SMA M A C Chỳ ý: M nm ngoi on BC v v phớa C S B H4.4 Khong cỏch im mt Khong cỏch t B n mt phng SAC Trong ABC , v BH AC ti H H A C BH SAC (?) d B, SAC BH Chỳ ý: B S Nu ABC vuụng ti A thỡ H A v ú AB d B, SAC Nu ABC vuụng ti C thỡ H C v ú BC d B, SAC Khong cỏch t C n mt phng SAB Trong ABC , v CH AB ti H C A H CH SAB (?) d C , SAB CH B Chỳ ý: S Nu ABC vuụng ti ABC thỡ H A v ú CA d C , SAB Nu ABC vuụng ti B thỡ H C v ú CB d B, SAB Khong cỏch t A n mt phng SBC H C A Trong ABC , v AM BC ti M (?) BC SM ti M (?) Trong SAM , v AH SM ti H d A, SBC AH M B Chỳ ý: Tựy c im ca ABC cỏc nh ỳng v trớ ca im M trờn ng thng BC Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC 96 HèNH Hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC S H5.1 - ỏy, ng cao, cnh ỏy, cnh bờn, mt bờn ca hỡnh chúp Tam giỏc ABC u SO SA SB SC AB BC CA SAB , SBC , SCA l cỏc tam giỏc cõn ti S v bng ỏy: ng cao: Cnh bờn: Cnh ỏy: Mt bờn: A C O B Gi O l trng tõm ca tam giỏc ABC SO ABC Chỳ ý: T din u S ABC l hỡnh chúp cú ỏy v cỏc mt bờn l nhng tam giỏc u bng H5.2 - Gúc gia cnh bờn v ỏy Gúc gia cnh bờn SA v mt ỏy ABC : S Ta cú: SO ABC (?) Hỡnh chiu ca SA lờn ABC l AO SA , ( ABC ) SA , AO SAO Gúc gia cnh bờn SB v mt ỏy ABC : C A Tng t SB , ( ABC ) SB , BO SBO O Gúc gia cnh bờn SC v mt ỏy ABC : B Tng t SC , ( ABC ) SC , CO SCO Chỳ ý: SBO SCO Gúc gia cỏc cnh bờn vi mt ỏy bng SAO H5.3 - Gúc gia mt bờn v mt ỏy: Gúc gia mt bờn SAB v mt ỏy ABC : Ta cú: OM AB ti M (?) AB SM ti M (?) M SAB),( ABC) OM , SM SMO SAB ABC AB ( S Gúc gia mt bờn SBC v mt ỏy ABC : Ta cú: ON BC ti N (?) BC SN ti N (?) M SBC ABC BC SBC),( ABCD) ON , SN SNO ( Ta cú: OP AC ti P (?) AC SP ti P (?) M SAC ABC AC O M Gúc gia mt bờn SAC v mt ỏy ABC : Chỳ ý: P A C N B SAC),( ABC) OP , SP SPO ( SNO SPO Gúc gia cỏc mt bờn vi mt ỏy bng SMO Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA 97 H5.4 Khong cỏch im mt Khong cỏch t O n mt phng SAB S Trong ABC , v OM AB ti M AB SOM (?) Trong SOM , v OH SM ti H d O, SAB OH Khong cỏch t C n mt phng SAB MC Vỡ O l trng tõm ca ABC nờn MO MC d C , SAB d O , SAB d O , SAB MO H C A O M B HèNH 6a Hỡnh chúp S.ABC cú mt mt bờn (SAB) vuụng gúc vi ỏy (ABCD) Luụn luụn v SH vuụng gúc vi giao tuyn S H6a.1 - Gúc gia cnh bờn v mt ỏy V SH AB ti H Vỡ SAB ABC nờn SH ABC A Chỳ ý: Tựy c im ca tam giỏc SAB xỏc nh ỳng v trớ ca im H trờn ng thng AB Gúc gia cnh bờn SA v mt ỏy ABC : C H S B Ta cú: SH ABC (?) Hỡnh chiu ca SA lờn ABC l AH ,( ABC) SA , AH SAH SA A C H Gúc gia cnh bờn SB v mt ỏy ABC : B Ta cú: SH ABC (?) Hỡnh chiu ca SB lờn ABC l BH S ,( ABC) SB , BH SBH SB Gúc gia cnh bờn SC v mt ỏy ABC : Ta cú: SH ABC (?) A Hỡnh chiu ca SC lờn ABC l CH C H ,( ABC) SC , CH SCH SC B S H6a.2 - Gúc gia mt bờn v mt ỏy: V SH AB ti H Vỡ SAB ABC nờn SH ABC Chỳ ý: Tựy c im ca tam giỏc SAB xỏc nh ỳng v trớ ca A im H trờn ng thng AB Gúc gia mt bờn (SAB) v mt ỏy ABC : SAB),( ABC) 900 Vỡ SAB ABC nờn ( M C H B Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC 98 Gúc gia mt bờn SAC v mt ỏy ABC : V HM AC ti M HM AC Ta cú: AC ( SHM ) , m SM SHM SM AC SH AC S SBC),( ABC) HM , SM SMH ( Gúc gia mt bờn SBC v mt ỏy ABC : A C V HN BC ti N HN BC Ta cú: BC ( SHN ) , SH BC H N B SBC),( ABC) HN , SN SNH m SN SHN SN AB ( HèNH 6b Hỡnh chúp S.ABCD cú mt mt bờn (SAB) vuụng gúc vi ỏy (ABCD) v ABCD l hỡnh ch nht hoc hỡnh vuụng Luụn luụn v SH vuụng gúc vi giao tuyn H6b.1 - Gúc gia cnh bờn v mt ỏy V SH AB ti H S Vỡ SAB ABCD ) nờn SH ABCD Chỳ ý: Tựy c im ca tam giỏc SAB xỏc nh ỳng v trớ ca im H trờn ng thng AB Gúc gia cnh bờn SA v mt ỏy ABCD : A D H B Ta cú: SH ABCD (?) C ,( ABCD) SA , AH SAH Hỡnh chiu ca SA lờn ABCD l AH SA S Gúc gia cnh bờn SB v mt ỏy ABCD : ,( ABCD) SB , BH SBH Tng t SB A Gúc gia cnh bờn SC v mt ỏy ABCD : H ,( ABCD) SC , CH SCH Tng t SC D B C Gúc gia cnh bờn SD v mt ỏy ABCD : ,( ABCD) SD , DH SDH Tng t SC S H6b.2 - Gúc gia mt bờn v mt ỏy: Gúc gia mt bờn SAD v mt ỏy ABCD : A Ta cú: HA AD (?) SH AD (?) D H B AD SHA AD SA C SAD),( ABCD) SA , AH SAH M SAD ABCD AD ( Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 GV TRN QUC NGHA 99 S Gúc gia mt bờn SBC v mt ỏy ABCD : Ta cú: BA BC (?) SH BC (?) BC SHB BC SB A M SBC ABCD BC H SBC),( ABCD) SB , AH SBH ( D B C S Gúc gia mt bờn SCD v mt ỏy ABCD : Trong ABCD , v HM CD ti M A HM CD Ta cú: CD SHM CD SM SH CD H M B SCD),( ABCD) HM , SM SMH M SCD ABCD CD ( D C HèNH Hỡnh lng tr Lng tr cú: Hai ỏy song song v l a giỏc bng Cỏc cnh bờn song song v bng Cỏc mt bờn l cỏc hỡnh bỡnh hnh Lng tr xiờn Cnh bờn vuụng gúc ỏy Lng tr ng l lng tr cú cỏc cnh bờn vuụng gúc vi ỏy Lng tr tam giỏ u l lng tr ng, cú ỏy l tam giỏc u Lng tr ng Lng tr cú ỏy l tam giỏc u l lng tr xiờn, cú ỏy l tam giỏc u Lng tr t giỏc u l lng tr ng, cú ỏy l hỡnh vuụng ỏy l a giỏc u Lng tr cú ỏy l t giỏc u l lng tr xiờn, cú ỏy l hỡnh vuụng Hỡnh hp l hỡnh lng tr xiờn, cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh Lng tr u Hỡnh hp ng l lng tr ng, cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh Hỡnh hp ch nht l lng tr ng, cú ỏy l hỡnh ch nht A' Hỡnh lp phng l lng tr ng, cú ỏy v cỏc mt bờn l hỡnh vuụng C' B' Lng tr ng ABC.ABC Gúc gia ( ABC ) v ABC : A V AM BC ti M C M ABC),( ABC) AMA AM BC (?) ( B Chỳ ý: Tựy c im ca tam giỏc ABC xỏc nh ỳng v trớ ca im M trờn ng thng A' BC D' C' B' Hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD Gúc gia ABCD v ABCD : ABCD),( ABCD) BCB Ta cú: BC CD CD BC (?) ( B Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com D A C Mó s ti liu: HH11-HK2 TI LIU HC TP TON 11 HK2 HèNH HC 100 MC LC Ch VẫCT TRONG KHễNG GIAN QUAN H VUễNG GểC Vn VECT TRONG KHễNG GIAN Dng Tớnh toỏn vect Dng Chng minh ng thc vect Dng Quan h ng phng Dng Cựng phng v song song Bi c bn nõng cao 10 Bi trc nghim 12 Vn HAI NG THNG VUễNG GểC 13 Dng Chng minh vuụng gúc 14 Dng Gúc gia hai ng thng 15 Bi c bn nõng cao 19 Bi trc nghim 20 Vn NG THNG VUễNG GểC MT PHNG 21 Dng Chng minh ng thng vuụng gúc vi mt phng 22 Dng Gúc gia ng thng v mt phng 27 Dng Thit din qua im cho trc v vuụng gúc vi ng thng cho trc 30 Dng im c nh - Tỡm hp im 32 Bi c bn nõng cao 34 Bi trc nghim 35 Vn HAI MT PHNG VUễNG GểC 38 Dng Gúc gia hai mt phng 40 Dng Chng minh hai mt phng vuụng gúc 44 Dng Thit din cha ng thng a v vuụng gúc vi () 48 Dng Hỡnh lng tr Hỡnh lp phng Hỡnh hp 50 Bi trc nghim 52 Vn KHONG CCH 56 Dng Khong cỏch t mt im n ng thng, mt phng 57 Dng Khong cỏch gia hai ng thng chộo 60 Bi trc nghim 65 Bi tng hp ch 68 Bi trc nghim tng hp ch 74 Ti liu tham kho 84 P N TRC NGHIM 85 PH LC: TểM TT KIN TRNG TM HKG 86 A Kin thc c bn 86 B Cụng thc c bn 87 C Mt s hỡnh thng gp 88 MC LC 100 Cn file Word vui lũng liờn h: toanhocbactrungnam@gmail.com Mó s ti liu: HH11-HK2 [...]... đó a , b , c là các số thay đổi Chứng minh rằng mặt phẳng  ABC   đi qua trọng tâm của ABC khi và chỉ khi a  b  c  3 Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 12 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN3.1 TN3.2 TN3.3 TN3.4       Cho hình lăng trụ ABC ABC , M là trung điểm của BB ' Đặt CA  a, CB  b, AA...     Nếu u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì a  b  u v  0  Nếu a // b và c  a  c  b Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 14 Dạng 1 Chứng minh vng góc A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Cách 2 Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong khơng gian ② Cách 3 Muốn chứng minh... Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 16 VD 3.21 Cho tứ diện ABCD có AB  c , CD  c , AC  b , BD  b , BC  a , AD  a Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và AD ... Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 18   600 , BAA '  DAA '  1200 VD 3.27 Cho hình hộp ABCD ABC D có các cjanh đều bằng a , BAD a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với AD... cùng song song với một mặt phẳng 3.32 Gọi S là diện tích ABC Chứng minh rằng: S  1  2  2   AB AC  AB AC 2 Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com   2 Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 20 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN3.10 Trong khơng gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định nào sau đây sai ? A Nếu a và b cùng nằm trong một...  ) ( )  (  )   ⓑ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau ③ Tính chất 7: Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 22 ⓐ Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( ) song song với nhau Đường thẳng nào vng góc với ( ) thì cũng vng góc với a a //( )  b a b  ( )  a... Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 24 VD 3.29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD  a) Chứng minh: BC   SAB  và CD   SAD  b) Kẻ đường cao AH trong tam... Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 26 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.33 Cho tứ diện ABCD có hai mặt  ABC  và  BCD  là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I là trung điểm của BC a) Chứng... Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 28 VD 3.35 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD  2a , AB  BC  CD  a hình chiếu vng góc của S trên  ABCD  là trung điểm I... hình chiếu của A trên  SBC  a Tính SA 2 b) Tính tan góc giữa SA với mp  ABCD  a) Chứng minh SO  AH và khi HB  Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com ĐS: a) a/2 b) 6 /2 Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 30 3.49 Cho hình lập phương ABCD ABC D a) Tính góc của AB và BC  ; AC  và CD b) IK với ( ABC D) , trong đó I , K là trung điểm ... Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC VD 3 .11 Cho hình chóp S ABCD     a) Chứng...  MB  MC  MD  4MG Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC ⑦ Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song... Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: HH11 -HK2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC VD 3.6 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA