Nội suy bởi hàm cơ sở, bán kính RBF

MC LC 1.3 Tớnh gn ỳng o hm bng a thc ni suy 13 1.4.1 Hm hm c s bỏn kớnh (Radial Basis Function networks) 16 M U Ngy vi s phỏt trin mnh m ca cụng ngh thụng tin, ngi ó ng dng nhng thnh tu ca nú rt nhiu lnh vc khỏc Mỏy tớnh ó tr thnh mt cụng c h tr c lc cho ngi vic x lý d liu mt cỏch nhanh chúng v chớnh xỏc T khong hai chc nm ngi ta ó v ang phỏt trin mt k thut ni suy mi cú chớnh xỏc cao ú l ni suy bi hm c s bỏn kớnh (Radial Basis Functions) vit tt l RBF Phng phỏp ni suy ny ó c s dng nhiu lnh vc ca CNTT nh x lý tớn hiu, x lý nh, mỏy tớnh v lý thuyt iu khin Mt s phn mm v hm RBF v cỏc ng dng cng ó c phỏt trin Ngoi ra, mt lnh vc ng dng khỏc rt hiu qu ca ni suy RBF l tớnh toỏn khoa hc Cỏc k thut RBF c s dng ngy cng nhiu vic gii s phng trỡnh o hm riờng, c bit l cỏc bi toỏn phi tuyn v/hoc cỏc bi toỏn cỏc hỡnh hc phc Lnh vc ny c phỏt trin da trờn nn tng ca hỡnh hc hỡnh, hỡnh hc tớnh toỏn, hỡnh hc vi phõn cựng nhiu kin thc toỏn hc ca i s v gii tớch, cng nh cỏc thnh tu ca phn cng mỏy tớnh Lun gm cú ba chng: Chng Ni suy hm nhiu bin bi hm RBF Khỏi nim c bn v ni suy v xp x hm s Mt s phng phỏp ni suy hm mt bin Ni suy hm nhiu bin Hm c s bỏn kớnh v cỏc tớnh cht Ni suy bi hm RBF Chng Phng trỡnh khuych tỏn - truyn ti Gii thiu bi toỏn Phng phỏp sai phõn gii phng trỡnh khuych tỏn - truyn ti Mt s thớ d tớnh toỏn Chng Gii phng trỡnh khuch tỏn - truyn ti bng phng phỏp khụng li Chng trỡnh MATLAB gii bi toỏn bng phng phỏp sai phõn v phng phỏp RBF Em xin c by t lũng bit n n thy giỏo PGS.TS ng Quang ó tn tỡnh hng dn em hon thnh lun ny Em cng xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo, bn bố, ng nghip, Khoa Cụng ngh Thụng tin i hc Thỏi Nguyờn ó ng viờn, giỳp em quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Thỏi Nguyờn, ngy 30 thỏng 10 nm 2010 CHNG : NI SUY HM NHIU BIN BI HM RBF 1.1 XP X HM BNG NI SUY 1.1 1Bi toỏn ni suy Gi s chỳng ta cú hm s y=f(x), v bit giỏ tr ca nú ti cỏc im x0 =a < x1 (3.2.5) Với điều kiện biên: c1u(X,t)+c2u(X,t)=f(X,t) u(X,t) = u0(X) t=0 (3.2.6) 31 u(X,t) hàm biểu diễn nhiệt độ vị trí X thời điểm t, toán từ gradient, R3 biên , , v=[vx, vy, vz]T hệ số thích hợp, c1c2 số thực f(X,t) u0(X) hàm cho Đầu tiên ta đa trọng số vào phơng trình (3.2.4) ta có u ( X, t + ) u ( X , t ) = { u ( X, t + ) + u ( X, t ) + } + (1 ) { u ( X, t ) + u ( X, t )} (3.2.7 Trong < < bớc thời gian Từ (3.2.7) ta suy u(X,t+)-u(X,t)={2u(X,t+)+u(X,t+) + (1-) {2u(X,t)+u(X,t)} =2u(X,t+)+u(X,t+)+(1-)2u(X,t+(1-)u(X,t+) (3.2.8) u(X,t+)-u(X,t+) - v2(X,t+)+(1-)vu(X,t+) Đặt =-, ={x; y; z}T = -; =(1-) = {x; y; z}T=(1-) Và đặt un = u (X, tn), tn=tn-1+ thời gian bớc thứ n thu đợc: un+1+2un+1+un+1=un+2un + un (3.2.9) Giả thiết có N-4 điểm cho trớc XR3 nên ta biểu diễn X dới dạng X = (x,y,z) u (X,t) = u(x,y,z,t n), ta xấp xỉ (X) hàm xuyên tâm sở un(X) = ( r ) + n j n N j x + nN2 y + nN1z + nN (3.2.10) Để xác định hệ số (1, 2, N-1, N) ta sử dụng (3.2.10) điểm i=1 N-4 cho Ta có ( r ) + N j1 u (xi, yizi) = n j=1 n j ij Trong rij = X i X j = n N x i + nN y i + nN 1z i + nN (x x j ) + ( yi y j ) + ( zi z j ) i từ (3.2.3) ta có: 32 (3.2.11) N4 N N4 N j=1 j =1 j=1 j =1 nj = nj x j = nj y j = nj z j = (3.2.12) từ (3.2.11) (3.2.12) ta viết gộp lại dới ma trận: u1n 1,1 u nN4 N1,1 = x1 y1 z1 1,N4 N , N4 x N4 y N4 z N x1 x N y1 y N z1 z N n1 nN4 n N3 n N hay ta viết gọn lại là: [U ] n = A n Trong đó: (3.2.13) [U ] n {u1n , u2n , u Nn ,0 A = {aij : ij N } [ ] n = {1n , , nN Micchelli chứng tỏ ma trận A không đặc biệt hàm xuyên tâm xác định lời giản hệ phơng trình (3.2.13) tồn Bây giả sử tập hợp N-4 điểm có p điểm (p (3.2.17) với điều kiện biên: u ( a , t ) = f (t ) u (b, t ) = f1 (t ) (3.2.18) u (c , t ) = u ( x ) dựa vào toán tổng quát ta xây dựng chơng trình tính Sử dụng (3.2.7) ta có: u ( x, t + ) u ( x, t ) 2u = x + (1 + ) t + bớc thời gian 34 2u x t + (1 ) 2u x t + u ( x, t ) + (1 ) u x t u ( x, t + ) u ( x, t ) = u ( x, t + ) u x 2 2u x t + t + đặt u(x,t+)=un+1 ta viết lại phơng trình nh sau: u n +1 u n +1 2u n n = u + ( ) x x đặt = , = (1 ) , ta có u n +1 u u +1 2u n n + = u + x x (3.2.19) xấp xỉ un(x) phơng pháp dùng hàm xuyên tâm sở: N ( ) u n ( x) = nj x x j + nN + nN j =1 xi(i = 1, , N-2) điểm cho trớc, điểm ta lấy hai điểm x1 = a, xN-2 = b hai điểm biên, điểm khác tự chọn Tại điểm xi ta có N ( ) u n ( x) = nj x x j + nN i + nN j =1 (3.2.20) đồng thời: N N j =1 j =1 nj = nj x j = (3.2.21) từ (3.20.20) (3.2.21) ta có đợc hệ: với kí hiệu: ( ij = xi x j ( ij'' = '' xi x j ) ) ta đợc: 35 u1n 1,1 1, n 2, u 2,1 = u Nn N 2,1 N 2, x x2 1 1, N 2, N N 2, N x N x1 x2 x N 0 n 1 n n N n N n N (3.2.22) áp dụng (3.2.22) vào (3.2.19) với ý x1, xN-2 điểm biên không tuân theo phơng trình (3.2.19) ta có hệ phơng trình sau: 1,1 + '' ,1 2,1 '' N 3,1 + N 3,1 N 2,1 x1 1,1 + '' ,1 2,1 = N 3,1 + N'' 3,1 N 2,1 x1 1, N 2, N + 2'' , N N 3, N + N'' 3, N N 2, N x N n+1 x1 1 n+1 x2 n+1 x N N x N nN+12 0 n+1 N 0 n+1 N 1, N 2, N + 2'' , N N 3, N + N'' 3, N N , N x N n n +1 n x1 1 f f n x2 n x N N + n n+1 n x N N f f1 0 n N 0 n N (3.2.23) hay viết gọn lại A1 n+1 = A2n từ phơng trình ta tìm 1, , N bớc thời gian thứ n + theo 1, ,N bớc thời gian thứ n với n = 0, J, J số bớc thời gian J = (t2 - t1) Bây sử dụng điều kiện biên ta thiết lập phơng trình tính 1, , N bớc n = 0, áp dụng nội suy hàm xuyên tâm cho hàm u0(x): N ( ) u ( xi ) = 0j xi x j + 0N xi + 0N = u0 ( x1 ) j =0 36 N N = x j =1 j j =1 j j =0 ta thiết lập đợc: 1, 1,1 2, 2,1 N 2,1 N 2, x2 x1 1, N , N N , N x N x1 x2 x N 0 1 u0 ( x1 ) u0 ( x2 ) = N u0 ( x N ) 0 N 0 N (3.2.24) hay A00 = u0 giải hệ ta tìm đợc số 1, ,N bớc từ theo (3.2.23) ta tìm đợc 1, ,N bớc J điểm thời gian cần tìm Và cuối sử dụng (3.2.22) ta thu đợc nghiệm toán điểm chọn làm tâm Từ thực theo sơ đồ thuật toán sau: 37 MT S KT QU TNH TON i vi phng trỡnh cho dng sau: u 2u = k (0