PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi gồm 01 trang Câu ( 2,0 điểm) Thực phép tính: 1 1 + + + + 2012 a) Tính P = 2011 2010 2009 + + + + 2011 A biết: B A= + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 Câu (2,0 điểm) b) Tính tỷ số a) Chứng tỏ H = B= 11 + + + 19.31 19.43 23.43 23.57 11 + + + + 12 < 5 5 16 b) Tìm tất số tự nhiên m cho m2 + 2014 số phương Câu (2,0 điểm) a) Cho ba chữ số a, b, c với < a < b < c Viết tập hợp A số có ba chữ số, số gồm ba chữ số Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 499 Tìm tổng a + b + c b) Cho S = 9999 × × ××× So sánh S với 0,01 10000 Câu (2,0 điểm) · Cho xAy , tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm a) Tính BD · · · b) Lấy C điểm tia Ay Biết BCD = 800, BCA = 450 Tính ACD c) Trên đường thẳng BD lấy điểm K cho AK = cm Tính BK Câu (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a3 – b3 – c3 = 3abc a2 = 2(b+c) b) Cho m, n ∈ N* p số nguyên tố thoả mãn: m+n p = p m −1 Chứng tỏ rằng: p2 = n + HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (HDC gồm 03 trang) Câu 1: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày Xét mẫu số: 2011 2010 2009 + + + + 2011 a 2010 2009 + 1÷+ + 1÷ + + 1÷+ 1 điểm = 2011 Điểm 0,25 0,25 2012 2012 2012 2012 + + + + 2012 1 1 ) = 2012( + + + + 2012 1 1 + + + + 2012 P= = 1 1 2012( + + + + ) 2012 2012 1 A= + + + = − 35.31 35.41 50.41 50.57 31 57 11 1 b B= + + + = − 38.31 38.43 46.43 46.57 31 57 điểm 1 Suy A = B A Suy = B Câu 2: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày = H= 0,25 02,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 11 + + + + 12 < 5 5 16 1 11 10 11 4H= + + + ììì+ 11 ữ + + + ×××+ 11 + 12 ÷ 5 5 5 5 5 1 1 + ×××+ 10 + 11 − 12 5 5 4H= = + a điểm Đặt M = 1 1 + + ×××+ 10 + 11 , 4H = M − 12 5 5 1 1 + ×××+ 10 , 4M= − 11 (*) 5 5 5M= + + Từ 4H = M − 16H = 4M − 12 , thay (*) vào ta có: 12 suy 5 0,25 0,25 0,25 16H = − − 12 a b phải chẵn lẻ(2) Từ (1) (2) suy a b số chẵn Suy a = 2k , b= 2l ( với k, l số nguyên) Theo ta có a.b = 2014 hay 2k.2l = 2014 hay 4.k.l = 2014 Vì k,l số nguyên nên suy 2014 phải chia hết cho ( điều vơ lý, 2014 khơng chia hết cho 4) Vậy không tồn số nguyên n thỏa mãn đề cho.(đpcm) Câu 3: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày *) Tập hợp A = abc , acb , bac, bca, cab, cba a điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 *) Hai số nhỏ tập hợp A abc acb Ta có abc + acb = 499 Suy : 200a + 11b + 11c = 499 (*) Nếu a ≥ vế trái (*) lớn 499, vơ lí 0,25 Do a ∈ 1; 2 - Với a = c + b = 299:11, không số tự nhiên 0,25 - Với a = c +b = 99: 11 = 9.Vậy a + b + c = 11 0,25 10000 10001 Đặt A = × ××× Vì b điểm 9999 10000 < ; < ; ×××; < nên S < A, mà S, A > suy S2 nên a - b - c3 > suy a > b, a > c điểm Do a > b, a > c suy 2a > b+c => 4a > 2(b + c) 0,25 0,5 0,5 Điểm 0,25 Mà a = 2.(b+c) suy 4a > a 4a > a2 a dương suy > a hay a < (1) Mà a2 = 2(b + c) nên a2 số chẵn => a chẵn (2) Từ (1) (2) suy a = b + c = Mà b + c nguyên dương b + c = nên b = c = Vậy a = 2, b = c = b điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có p2 = (m + n)(m - 1) *) Nếu m + n chia hết cho p suy p chia hết cho (m - 1), p số nguyên tố 0,25 m, n ∈ N* nên m – = m – = p ⇒ m = m = p +1 từ (1) ta có: + Nếu m = suy p2 = n + 2; + Nếu m = p+1 suy n = -1 (vô lý) 0,25 *) Nếu m + n không chia hết cho p: Từ (1) ⇒ (m + n)(m – 1) = p ; m, n ∈ N* nên m + n > m – 1, mà p số nguyên tố suy m – = p2 m + n =1 Suy m = p2 +1 n = - p2 < (loại) Vậy p2 = n + 0,25 0,25 Giám khảo ý: - HDC cách giải HS giải theo cách khác, giám khảo vào làm cụ thể HS điểm - Điểm phần, câu khơng làm trịn Điểm tồn tổng điểm câu thành phần ... + + = − 38.31 38.43 46. 43 46. 57 31 57 điểm 1 Suy A = B A Suy = B Câu 2: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày = H= 0,25 02,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 11 + + + + 12 < 5 5 16 1 11 10 11 4H=... 10 , 4M= − 11 (*) 5 5 5M= + + Từ 4H = M − 16H = 4M − 12 , thay (*) vào ta có: 12 suy 5 0,25 0,25 0,25 16H = − − 12