PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học: 2015 – 2016 Mơn Tốn – Lớp Hướng dẫn chung : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo cho điểm không vượt thang điểm ý - Câu hình học, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm - Tổng điểm toàn tổng điểm câu khơng làm trịn Đáp án thang điểm Câu Phần Thang điểm Nội dung x ≠ x ≠ 0,25 ĐK: a x2 − x 2x2 − 1− − ÷ Ta có A = 2 ÷ 2x + 8 − 4x + 2x − x x x x2 − x x − x − 2x2 = − ÷ ÷ 2 x2 2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x) x2 − 2x ( x + 1)( x − 2) x( x − 2) + x ( x + 1)( x − 2) 2x2 = − ÷ ÷ ÷= ÷ 2 x2 x2 2( x − 2)( x + 4) 2( x + 4) ( x + 4)(2 − x) = x − x + x + x x + x( x + 4)( x + 1) x + = = 2( x + 4) x x ( x + 4) 2x Nhận xét : A nguyên x+1 chia hết cho 2x => 2x +2 chia hết cho 2x => chia hết cho 2x => 2x ước 1 (loại) TH2: 2x = -1 => x =- (loại) 0,25 0,5 0,25 TH1: 2x = => x = b TH3: 2x = => x = (thỏa mãn) TH4: 2x = -2 => x =-1 (thỏa mãn) KL: Vậy x = ± A có giá trị ngun Ta có: x + y + z = => x + y = -z Do đó: xy + z = xy + z − z ( x + y ) = (z - x)(z - y) Tương tự : yz + x =(x - y)(x - z) zx + y =(y - z)(y - x) => Tử số B : - ( x − y ) ( y − z ) ( z − x) Hs cm : xy + yz + zx + 3xyz =(x-y)(y-z)(z-x) => mẫu số B : [ ( x − y )( y − z )( z − x )] Vậy B = -1 2 0,25 a x + xy − 2014 x − 2015 y − 2016 = ⇔ x + xy + x − 2015 x − 2015 y − 2015 = ⇔ x ( x + y + 1) − 2015( x + y + 1) = ⇔ ( x − 2015)( x + y + 1) = 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 x − 2015 = x = 2016 +) ⇔ ; x + y + = y = −2016 0,25 x − 2015 = −1 x = 2014 +) ⇔ x + y + = −1 y = −2016 0,25 x = 2016 x = 2014 ; y = −2016 y = −2016 KL : Vậy phương trình có nghiệm : -Vì số 2a+b, 2b+c, 2c+a số phương nên số chia dư - Chứng minh x+y+z=0 x3+y3+z3=3xyz b Vì số có số chia hết cho (2a+b)+(2b+c) +(2c+a)=3(a+b+c) M3 nên suy số chia hết cho Mặt khác : 2a+b=3a-(a-b) ⇒ a-b M3 Tương tự chứng minh b-c, c-a chia hết cho Suy ra: (a-b)(b-c)(c-a) M27 Vì: (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên P=(a-b)3+(b-c)3+(c-a)3 =3(a-b)(b-c)(c-a)M3.27 M81 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì a ≥ ⇒ (3a − 4)(a − 2) ≥ ⇔ 3a − 16a + 28a − 16 ≥ ⇔ 25a ≥ 16a + 16 − 3a − 3a ⇔ 25a ≥ (a + 1)(16 − 3a) (*) 0,5 a 16 − 3a ≥ a +1 25 b 16 − 3b c 16 − 3c Tương tự ta có : ≥ ; ≥ b +1 25 c +1 25 a b c 48 − 3(a + b + c) 30 = = Do : + + ≥ a +1 b +1 c +1 25 25 Dấu “=” xảy ⇔ a=b=c=2 a b c Vậy + + ≥ a +1 b +1 c +1 Chia hai vế (*) cho 25( a + ) ta 0,25 0,25 a Chứng minh: ΔOAC ∽ΔDBO (g - g) ⇒ OA AC = ⇒ OA.OB = AC.BD DB OB 0,5 0,25 ⇒ AB AB AB CA = AC.BD ⇒ = 2 4BD AB 0,25 (đpcm) Theo câu a ta có: ΔOAC ∽ΔDBO (g - g) ⇒ OC AC = OD OB OC AC OC OD = ⇒ = OD OA AC OA +) Chứng minh: ΔOAC ∽ΔDOC (c - g - c) ⇒ ∠ ACO = ∠ OCM Mà OA = OB ⇒ +) Chứng minh: ΔOAC = ΔOMC (ch - gn) ⇒ AC = MC Ta có ΔOAC = ΔOMC ⇒ OA = OM; CA = CM ⇒ OC trung trực AM b 0,25 0,25 ⇒OC ⊥ AM, Mặc khác OA = OM = OB ⇒∆AMB vng M ⇒OC // BM (vì vng góc AM) hay OC // BI +) Xét ∆ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI ⇒ IC = AC +) MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có: ⇒ 0,25 MK BK KH = = IC BC AC Mà IC = AC ⇒ MK = HK ⇒BC qua trung điểm MH (đpcm) Tứ giác ABDC hình thang vng 0,25 ⇒ SABDC = (AC + BD).AB Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cơ-si ta có c AB = AB ⇒ SABDC ≥ AB2 AB = OA Dấu “=” xảy ⇔ AC = BD = AC + BD ≥ AC.BD = 0,25 Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA diện tích tứ giác ABDC nhỏ Ta chia số 1; 2; 3; 4; thành hai nhóm cho nhóm hiệu hai số khơng trùng với số nhóm Ta có hai số khơng thể nhóm 4-2=2 Số khơng thể nhóm với số 2-1=1 Như số phải nhóm với số Số 4-1=3 phải nhóm với số Ta có hai số nhóm; hai số nhóm cịn lại Nhưng cịn lại số 5, số khơng thể nhóm 5-1=4 5-2=3(Mâu thuẫn).Từ suy điều phải chứng minh -Hết - 0,25 0,5 0,5 ... (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên P=(a-b)3+(b-c)3+(c-a)3 =3(a-b)(b-c)(c-a)M3.27 M81 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì a ≥ ⇒ (3a − 4)(a − 2) ≥ ⇔ 3a − 16a + 28a − 16 ≥ ⇔ 25a ≥ 16a + 16 − 3a − 3a ⇔ 25a ≥ (a + 1)(16 − 3a)... 3a) (*) 0,5 a 16 − 3a ≥ a +1 25 b 16 − 3b c 16 − 3c Tương tự ta có : ≥ ; ≥ b +1 25 c +1 25 a b c 48 − 3(a + b + c) 30 = = Do : + + ≥ a +1 b +1 c +1 25 25 Dấu “=” xảy ⇔ a=b=c=2 a b c Vậy + + ≥ a