PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: Tốn HDC gồm 03 trang Câu 1: (2,5 điểm) Phần Nội dung trình bày Ta có x +3 + 5.2 x + = 224 ⇔ 7.2 x + = 224 a 0,75 điểm Điểm 0,25 0,25 ⇔ x + = 32 = 25 ⇔ x+2=5⇔ x =3 Vậy x = 0,25 Ta có xy yz zx = = =k ⇒ xy = 6k ; yz = 4k ; zx = 3k xy = yz = zx ⇒ b điểm 0,25 0,25 ⇒ ( xyz ) = 72k 3 Do 72k = ⇔ k = 1 ⇔k= Suy xy = 3; yz = 2; zx = 0,25 3 ⇒ x = ; y = 2; z = 2 0,25 Vì 1 1 ≥ 0, x + ≥ 0, x + ≥ 0, , x + ≥ ⇒ 100 x ≥ ⇒ x ≥ 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 + x+ + x+ + + x + = 100 x Do x + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 ⇔ x+ + x+ +x+ + + x + = 100 x 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 ⇔ 99 x + + + + + = 100 x 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 ⇔x= + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 x+ c 0,75 điểm ⇔ x = 1− 99 = 100 100 2015 + (2 x − y ) 2016 ≤ a 2015 2016 điểm Suy x − = 0, (2 x − y ) = ⇒ x = , y = 3 0,25 0,25 Câu 2: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày 2015 2015 2016 Vì 3x − ≥ 0, (2 x − y ) ≥ ⇒ 3x − + (2 x − y ) 2016 ≥ Mà x − 0,25 Điểm 0,25 0,5 Ta có A = −2 − + + 2016 = 2016 b 19 19 19 133 1 điểm Ta có x + y + y + z + z + x = 10 ⇒ x + y + y + z + z + x = 10 0,25 0,25 7x 7y 7z 133 x y z 19 + + = ⇒ + + = y + z z + x x + y 10 y + z z + x x + y 10 1 49 ⇒ (x + y + z) + + ÷= y + z z + x x + y 10 Do x + y + z = 7, suy M = 49 Câu 3: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày Vì a khơng chia hết a2 chia cho dư - Nếu x chia hết cho x3, a2x chia hết cho mà 2016b chia hết P(x) chia hết cho a - Nếu x chia cho dư x3 chia cho dư 1, a2x chia cho dư mà điểm 2016b chia hết P(x) chia hết cho - Nếu x chia cho dư x3 chia cho dư 2, a2x chia cho dư mà 2016b chia hết P(x) chia hết cho Vậy P(x) chia hết cho với x nguyên Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a − b b − c a − c a − b + b − c + a − c 2(a − c) = = = = (*) x y z x+ y+z x+ y+z +) Nếu a − c ≠ từ (*) ta có: a − c 2( a − c) = ⇔ = ⇔ x + y + z = 2z b z x+ y+z z x+ y+z điểm Do đó: ( x + y + z ) M2 , vơ lí x, y, z số nguyên tố khác nên x + y + z lẻ +) Vậy a − c = ⇔ a = c Từ a = c thay vào giả thiết có a = b ; b = c Vậy a = b = c Câu 4: (2,5 điểm) Phần a Nội dung trình bày Ta có ∠ADI = ∠AEB = 900 − ∠AID 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 Xét ∆AID ∆ABE có AD = AE, ∠ADI = ∠AEB , ∠IAD = ∠BAE = 900 điểm Do ∆AID = ∆ABE ⇒ AI = AB mà AB = AC, suy AI = AC Vậy A trung điểm CI Nối A với N Vì NI AF vng góc với BE nên NI // AF, suy ∠ANI = ∠NAF (so le trong) b 0,75 Xét ∆ANI ∆NAF có AN chung, ∠NAI = ∠ANF (so le trong), điểm ∠ANI = ∠NAF Do ∆ANI = ∆NAF, suy NF = AI mà CI = 2.AI Vậy CI = 2.NF Xét ∆AMC ∆FMN có NF = AC, ∠MNF = ∠MCA (so le trong), c ∠MFN = ∠MAC (so le trong) Do ∆AMC = ∆FMN, suy MC = 0,75 điểm MN, MA = MF Vậy M trung điểm đoạn thẳng AF vàCN Câu 5: (1,0 điểm) Phần Nội dung trình bày 1 + Từ giả thiết suy ra: < + + < Khơng giảm tính tổng qt giả a b c 10 sử a > b > c > Suy < ⇒ 2c < Do c ∈ {2;3} c + Với c = suy 1 1 1 1 < + + < ⇒ < + < (1) ⇒ < < Do b ∈ {7;11} a b 10 a b b b 1 < < ⇒ a ∈ {19; 23; 29;31;37; 41} + Với b = từ (1) suy 42 a 35 < < ⇒ a = 13 ( a>b) + Với b = 11 từ (1) suy 66 a 55 1 11 + Với c = từ giả thiết suy < + < (*) ⇒ < ⇒ b < ⇒ b = a b 30 b 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 (do b>c) Thay b = vào (*) < a < 15 ⇒ a = Vậy có ba (a;b;c) thoả mãn: (19;7; 2), (23;7; 2), (29;7; 2), (31;7; 2), (37; 7; 2), (41;7; 2), (13;11; 2), (7;5;3) hoán vị 0,25 Hết ... = vào (*) < a < 15 ⇒ a = Vậy có ba (a;b;c) thoả mãn: (19 ;7; 2), (23 ;7; 2), (29 ;7; 2), (31 ;7; 2), ( 37; 7; 2), (41 ;7; 2), (13;11; 2), (7; 5;3) hoán vị 0,25 Hết ...7x 7y 7z 133 x y z 19 + + = ⇒ + + = y + z z + x x + y 10 y + z z + x x + y 10 1 49 ⇒ (x + y + z) + + ÷= y + z z + x x + y 10 Do x + y + z = 7, suy M = 49 Câu 3:... Do c ∈ {2;3} c + Với c = suy 1 1 1 1 < + + < ⇒ < + < (1) ⇒ < < Do b ∈ {7; 11} a b 10 a b b b 1 < < ⇒ a ∈ {19; 23; 29;31; 37; 41} + Với b = từ (1) suy 42 a 35 < < ⇒ a = 13 ( a>b) + Với b = 11 từ