KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIII, NĂM 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN HỌC - LỚP 10 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Bài Nội dung trình bày THPT Chuyên Hưng Yên – Hưng Yên ( x − ) x − + ( x + 1) x + = x − 3x + ( x ∈ ¡ Bài Giải phương trình : x≥3 Điều kiện: Với điều kiện trên, phương trình tương đương với ( x − 4) ( ⇔ ) x − − + ( x + 1) ( ) 4,0 1,0 ) x + − = x2 − 8x + ( x − ) ( x − ) + ( x + 1) ( x − ) x−3 + Điểm x+2 +3 = ( x − 1) ( x − ) 0,5 x = ( tháa m· n) ⇔ x − x +1 + = x − ( 1) x − + x+2 +3 x−4 + x −3 + 0,5 x +1 − x +1 = x+2 +3 Giải (1): x−3 x−3 x +1 x +1 ⇔ − + − − = ( 2) 2 x−3 + x+2 +3 x−3 + Vì x ≥ 3; x − + ≥ 2; x + + > nên 1,0 x−3 x−3 x +1 x +1 ≤ ; < 2 x−3 + x+2 +3 Do (2) vơ nghiệm Bài x=7 Vậy phương trình có nghiệm THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi a0 , a1 , a2 , , an n Cho số tự nhiên số thực Chứng minh tồn k ∈ { 0,1,2, , n} a0 + a1 x + a2 x + L + an x n ≤ a0 + a1 + L + ak số cho: với x ∈ [ 0;1] 1,0 4,0 Trang 1/4 x ∈ [ 0;1] Để chứng minh toán ta cần chứng minh với ta ln có n a0 + a1 x + a2 x + L + an x ≤ max { a0 + a1 + L + } 0≤i ≤ n Bổ đề: Với số thực a, b x ∈ [ 0;1] a + bx ≤ max { a, a + b} y ∈ [ 0;1] 1,0 a + by > max { a, a + b} Chứng minh: Giả sử ngược lại, tồn mà y >1 a + by > a a + by > a + b b>0 Suy hay trái giả sử n Bây ta chứng minh toán quy nạp theo n = 0, n = Với bổ đề ta thấy toán n≤m Giả sử với toán chứng minh, ta chứng minh toán n = m +1 x ∈ [ 0;1] Với ta có am+1 < +) Nếu a0 + a1 x + L + am x m + am+1 x m +1 ≤ a0 + a1 x + + am x m 1,5 ≤ max { a0 + a1 + L + } 0≤i ≤ m ≤ max { a0 + a1 + L + } ≤i ≤ m +1 +) Nếu am+1 > a0 + a1 x + L + am x m + am +1 x m+1 ≤ a0 + a1 x + L + am x m + am+1x m = a0 + a1 x + L + ( am + am +1 ) x m ≤ max { b0 + b1 + L + bi } ≤i ≤ m ≤ max { a0 + a1 + L + } 0≤i ≤ m +1 Ở 1,5 b0 = a0 , b1 = a1,K , bm−1 = am−1, bm = am + am+1 x ∈ [ 0;1] Như ta chứng minh với ta ln có n a0 + a1 x + a2 x + L + an x ≤ max { a0 + a1 + L + } 0≤i ≤ n Bài Bài toán giải THPT Chuyên Hùng Vương – Bình Dương ( O ) , AB < AC ABC Cho tam giác nội tiếp đường tròn đường phân giác 4,0 Trang 2/4 3a · BAC cắt BC , ( O ) Gọi M trung điểm ( O) AC N AD BM P B EP cắt điểm thứ hai khác cắt điểm N AC a) Chứng minh trung điểm EMN BM R M b) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt khác Chứng RA ⊥ RC minh N AC Chứng minh trung điểm 1,5 · · · MAN = BPE = MPN ⇒ AMNP 1,0 nội tiếp ·ANM = ·APM = ·ACB ⇒ MN // BC Do N AC Vậy trung điểm 3b D, E ( E ≠ A ) 0,5 EMN BM R M Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt khác Chứng RA ⊥ RC minh Q ( EMN ) AC N Gọi cắt điểm thứ hai khác 1 ⇒ AC AQ = AD AE ⇒ AC AQ = AD AE AN AQ = AM AE 2 Ta có AB AD ∆ADB # ∆ACE ( g.g ) ⇒ = ⇒ AD AE = AB AC AE AC Suy 2,5 0,5 0,5 AB AC = AC AQ ⇒ AB = AQ B Q ⇒ EB = EQ AD Do đối xứng với qua ·MRQ = ·ANM = ·ACB ⇒ BCQR 0,5 0,5 nội tiếp Trang 3/4 EC = EB = EQ Mà EC = ER Hơn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác · · · · · · REN = RQN = PMN = PBC = PEC = NEC R Bài E C EN ⇒ NR = NC = BCQR hay AC 0,5 Suy đối xứng với qua ⇒ ∆ARC RA ⊥ RC R vuông hay THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh a > 1, m ≠ n a , m, n Cho số nguyên dương cho Chứng minh m n a +1 a −1 a −1 có tập ước nguyên tố trùng nhau, lũy thừa d = ( m, n) m>n Giả sử (a m − 1, a n − 1) = a ( m ,n ) − = a d − ad −1 am −1 Vì nên có ước ngun tố giống m = d k (k > 1), b = a d b −1 bk − Đặt có ước ngun tố giống k Ta chứng minh lũy thừa p 2, k k Thật vậy, lũy thừa có ước ngun tố lẻ b p − 1∣b k − b − 1∣b p − b −1 b p −1 Do nên có ước nguyên tố giống b ≡ ( mod q ) q b p −1 + …+ b + 1, Gọi ước nguyên tố nên p −1 b + …+ b + ≡ p ( mod q ) ⇒ q = p Do đó, b p −1 + …+ b + 4,0 1,0 1,0 b p −1 + …+ b + = p t p, có ước nguyên tố suy b ≡ ( mod p ) b = p.h + t > b p −1 + …+ b + > b − Vì nên Từ suy Khi p ( p − 1) b p −1 + …+ b + = p + u + A p ≡ p mod p ( ) k Điều mâu thuẫn chứng tỏ lũy thừa p p b + 1, Bây ước nguyên tố ước p = b − Do đó, 1,0 1,0 Trang 4/4 b +1 Bài ad + Thành thử, lũy thừa hay m a + 1∣ a − 1, a +1 m = d k Do số chẵn nên suy ước nguyên tố a d − ước nguyên tố a ≡ −1 ( mod p ) p, a +1 Nếu có ước ngun tố lẻ nên d d a ≡ (−1) = ( mod p ) , d suy số chẵn a d + ≡ ( mod8 ) , a a > a d + = Nhưng số lẻ nên suy Vơ lí a +1 Vậy phải lũy thừa THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định S n Cho số nguyên dương lớn Ta gọi tập hợp tất a1 , , an ∈ { 0;1} ( a ) = ( a1 , a2 , , an ) ( a ) = ( a1, , an ) Hai ( b ) = ( b1, , bn ) S phân biệt có số i ∈ { 1, 2, , n} ≠ bi ( a) ,( b) S mà Khoảng cách hai định n d ( a; b ) = ∑ − bi nghĩa i =1 Gọi T S mà hai phần tử phân biệt T có khoảng cách khơng nhỏ Chứng minh có n n + 1 không phần tử M ( a ) = { ( x ) | ( x ) ∈ S , d ( x, a ) ≤ 1} ( a) ∈ S + Với ta xét tập T tập 4,0 ( x ) ≡ ( a ) 1,0 ( x) ∈ M ( a) ⇔ Ta thấy ( x ) , ( a ) khác vịtrí ( x) ( a) n Vì số cách chọn vị trí khác cho so với nên có M ( a) = 1+ n ( a ) , ( b) ( x) ∈ M ( a) I M ( b) T + Với hai phân biệt , giả sử tồn 1,0 1,0 Trang 5/4 n n i =1 i =1 ≤ d ( a; b ) = ∑ − bi ≤ ∑ ( − xi + xi − bi ) = d ( a; x ) + d ( x; b ) ≤ + Vậy họ tất tập ( n + 1) T = ∑ ( a ) ∈T M ( a) , vơ lí ( a) T đôi phân biệt cho chạy khắp , 2n n M ( a) ≤ S = ⇒ T ≤ n + 1 , có đpcm 1,0 theo LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng chấm điểm cho phần Trang 6/4