HDC TOAN 10

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIII, NĂM 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN HỌC - LỚP 10 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Bài Nội dung trình bày THPT Chuyên Hưng Yên – Hưng Yên ( x − ) x − + ( x + 1) x + = x − 3x + ( x ∈ ¡ Bài Giải phương trình : x≥3 Điều kiện: Với điều kiện trên, phương trình tương đương với ( x − 4) ( ⇔ ) x − − + ( x + 1) ( ) 4,0 1,0 ) x + − = x2 − 8x + ( x − ) ( x − ) + ( x + 1) ( x − ) x−3 + Điểm x+2 +3 = ( x − 1) ( x − ) 0,5  x = ( tháa m· n) ⇔  x − x +1 + = x − ( 1)  x − + x+2 +3 x−4 + x −3 + 0,5 x +1 − x +1 = x+2 +3 Giải (1): x−3 x−3 x +1 x +1 ⇔ − + − − = ( 2) 2 x−3 + x+2 +3 x−3 + Vì x ≥ 3; x − + ≥ 2; x + + > nên 1,0 x−3 x−3 x +1 x +1 ≤ ; < 2 x−3 + x+2 +3 Do (2) vơ nghiệm Bài x=7 Vậy phương trình có nghiệm THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi a0 , a1 , a2 , , an n Cho số tự nhiên số thực Chứng minh tồn k ∈ { 0,1,2, , n} a0 + a1 x + a2 x + L + an x n ≤ a0 + a1 + L + ak số cho: với x ∈ [ 0;1] 1,0 4,0 Trang 1/4 x ∈ [ 0;1] Để chứng minh toán ta cần chứng minh với ta ln có n a0 + a1 x + a2 x + L + an x ≤ max { a0 + a1 + L + } 0≤i ≤ n Bổ đề: Với số thực a, b x ∈ [ 0;1] a + bx ≤ max { a, a + b} y ∈ [ 0;1] 1,0 a + by > max { a, a + b} Chứng minh: Giả sử ngược lại, tồn mà y >1 a + by > a a + by > a + b b>0 Suy hay trái giả sử n Bây ta chứng minh toán quy nạp theo n = 0, n = Với bổ đề ta thấy toán n≤m Giả sử với toán chứng minh, ta chứng minh toán n = m +1 x ∈ [ 0;1] Với ta có am+1 < +) Nếu a0 + a1 x + L + am x m + am+1 x m +1 ≤ a0 + a1 x + + am x m 1,5 ≤ max { a0 + a1 + L + } 0≤i ≤ m ≤ max { a0 + a1 + L + } ≤i ≤ m +1 +) Nếu am+1 > a0 + a1 x + L + am x m + am +1 x m+1 ≤ a0 + a1 x + L + am x m + am+1x m = a0 + a1 x + L + ( am + am +1 ) x m ≤ max { b0 + b1 + L + bi } ≤i ≤ m ≤ max { a0 + a1 + L + } 0≤i ≤ m +1 Ở 1,5 b0 = a0 , b1 = a1,K , bm−1 = am−1, bm = am + am+1 x ∈ [ 0;1] Như ta chứng minh với ta ln có n a0 + a1 x + a2 x + L + an x ≤ max { a0 + a1 + L + } 0≤i ≤ n Bài Bài toán giải THPT Chuyên Hùng Vương – Bình Dương ( O ) , AB < AC ABC Cho tam giác nội tiếp đường tròn đường phân giác 4,0 Trang 2/4 3a · BAC cắt BC , ( O ) Gọi M trung điểm ( O) AC N AD BM P B EP cắt điểm thứ hai khác cắt điểm N AC a) Chứng minh trung điểm EMN BM R M b) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt khác Chứng RA ⊥ RC minh N AC Chứng minh trung điểm 1,5 · · · MAN = BPE = MPN ⇒ AMNP 1,0 nội tiếp ·ANM = ·APM = ·ACB ⇒ MN // BC Do N AC Vậy trung điểm 3b D, E ( E ≠ A ) 0,5 EMN BM R M Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt khác Chứng RA ⊥ RC minh Q ( EMN ) AC N Gọi cắt điểm thứ hai khác 1 ⇒ AC AQ = AD AE ⇒ AC AQ = AD AE AN AQ = AM AE 2 Ta có AB AD ∆ADB # ∆ACE ( g.g ) ⇒ = ⇒ AD AE = AB AC AE AC Suy 2,5 0,5 0,5 AB AC = AC AQ ⇒ AB = AQ B Q ⇒ EB = EQ AD Do đối xứng với qua ·MRQ = ·ANM = ·ACB ⇒ BCQR 0,5 0,5 nội tiếp Trang 3/4 EC = EB = EQ Mà EC = ER Hơn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác · · · · · · REN = RQN = PMN = PBC = PEC = NEC R Bài E C EN ⇒ NR = NC = BCQR hay AC 0,5 Suy đối xứng với qua ⇒ ∆ARC RA ⊥ RC R vuông hay THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh a > 1, m ≠ n a , m, n Cho số nguyên dương cho Chứng minh m n a +1 a −1 a −1 có tập ước nguyên tố trùng nhau, lũy thừa d = ( m, n) m>n Giả sử (a m − 1, a n − 1) = a ( m ,n ) − = a d − ad −1 am −1 Vì nên có ước ngun tố giống m = d k (k > 1), b = a d b −1 bk − Đặt có ước ngun tố giống k Ta chứng minh lũy thừa p 2, k k Thật vậy, lũy thừa có ước ngun tố lẻ b p − 1∣b k − b − 1∣b p − b −1 b p −1 Do nên có ước nguyên tố giống b ≡ ( mod q ) q b p −1 + …+ b + 1, Gọi ước nguyên tố nên p −1 b + …+ b + ≡ p ( mod q ) ⇒ q = p Do đó, b p −1 + …+ b + 4,0 1,0 1,0 b p −1 + …+ b + = p t p, có ước nguyên tố suy b ≡ ( mod p ) b = p.h + t > b p −1 + …+ b + > b − Vì nên Từ suy Khi p ( p − 1) b p −1 + …+ b + = p + u + A p ≡ p mod p ( ) k Điều mâu thuẫn chứng tỏ lũy thừa p p b + 1, Bây ước nguyên tố ước p = b − Do đó, 1,0 1,0 Trang 4/4 b +1 Bài ad + Thành thử, lũy thừa hay m a + 1∣ a − 1, a +1 m = d k Do số chẵn nên suy ước nguyên tố a d − ước nguyên tố a ≡ −1 ( mod p ) p, a +1 Nếu có ước ngun tố lẻ nên d d a ≡ (−1) = ( mod p ) , d suy số chẵn a d + ≡ ( mod8 ) , a a > a d + = Nhưng số lẻ nên suy Vơ lí a +1 Vậy phải lũy thừa THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định S n Cho số nguyên dương lớn Ta gọi tập hợp tất a1 , , an ∈ { 0;1} ( a ) = ( a1 , a2 , , an ) ( a ) = ( a1, , an ) Hai ( b ) = ( b1, , bn ) S phân biệt có số i ∈ { 1, 2, , n} ≠ bi ( a) ,( b) S mà Khoảng cách hai định n d ( a; b ) = ∑ − bi nghĩa i =1 Gọi T S mà hai phần tử phân biệt T có khoảng cách khơng nhỏ Chứng minh có n      n + 1 không phần tử M ( a ) = { ( x ) | ( x ) ∈ S , d ( x, a ) ≤ 1} ( a) ∈ S + Với ta xét tập T tập 4,0 ( x ) ≡ ( a ) 1,0 ( x) ∈ M ( a) ⇔  Ta thấy ( x ) , ( a ) khác vịtrí ( x) ( a) n Vì số cách chọn vị trí khác cho so với nên có M ( a) = 1+ n ( a ) , ( b) ( x) ∈ M ( a) I M ( b) T + Với hai phân biệt , giả sử tồn 1,0 1,0 Trang 5/4 n n i =1 i =1 ≤ d ( a; b ) = ∑ − bi ≤ ∑ ( − xi + xi − bi ) = d ( a; x ) + d ( x; b ) ≤ + Vậy họ tất tập ( n + 1) T = ∑ ( a ) ∈T M ( a) , vơ lí ( a) T đôi phân biệt cho chạy khắp ,  2n  n M ( a) ≤ S = ⇒ T ≤    n + 1 , có đpcm 1,0 theo LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng chấm điểm cho phần Trang 6/4