SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 BỔ TÚC THPT NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN TOÁN Đáp án chấm gồm 04 câu, 02 trang Câu Nội dung a) điểm *)TXĐ: D = R\{-1} *) Sự biến thiên - Giới hạn, tiệm cận - Đạo hàm, xét dấu đạo hàm, khoảng đơn điệu - Bảng biến thiên *) Đồ thị - Giao với Ox, Oy (5 điểm) - Vẽ đồ thị (vẽ dạng qua điểm đặc biệt) b) điểm y' = Þ y '(0) = (x +1) Phương trình tiếp tuyến là: y = 2x - a) điểm sin 2x + 4(cos x - sinx) = (1) p Đặt t = sin x − cos x = 2sin(x - ) ; điều kiện − ≤ t ≤ t = - 2sin x cos x =1 - sin 2x Þ sin 2x =1 - t t = −1 (2) ⇔ t + 4t + = ⇔ (t=-3 loại) t = −3 éx = k2p ê p t =- Û sin(x - ) =Û ê ,k Î Z 3p êx = + k2p ê ë b) điểm x = 3y + x (1) Giải hệ phương trình (2) y = 3x + y (5 điểm) Trừ (1) cho (2) ta có phương trình: x = y ( x − y )( x + y + 2) = ⇔ y = −x − - Với x = y thay vào (1) được: x = x = 3x + x ⇔ x − x = ⇔ x = ⇒ ( x; y ) = { (0;0); (4;4)} Điểm 0,5 0,5 0,75 0,5 0,25 0,5 1 0,5 0,25 0,75 0,5 1 - Với y = -x - thay vào (1) được: x − 2x + = (phương trình vô nghiệm) 0,5 Vậy nghiệm phương trình: (x; y) = (0;0), (4; 4) 0,5 a) điểm 1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 1 (−2 x + y ) = 6 x(− ) + y ( ) ≤ (36 x + 16 y ) (− ) + ( ) 25 5 15 25 ⇔ ( −2 x + y ) ≤ ⇔ − ≤ y − 2x ≤ ⇔ ≤ y − 2x + ≤ 16 4 4 x= 15 y − 2x + = ⇔ y = − 20 x=− 25 ⇔ (5 điểm) y − 2x + = y = 20 b) điểm Khoảng cách từ A(4;3) đến đường thẳng x – 3y – = là: − 3.3 − d= = 10 12 + Gọi (C) đường tròn thỏa mãn đề Vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng x - 3y – = nên (C) có bán kính R = 10 Phương trình đường tròn (C) : (x- 4)2 + (y – 3)2 = 10 ⇔ x2 + y2 – 8x - 6y + 15 = S A 0,5 0,5 0,5 0,5 C I H E B a) điểm VSABC = SA.SABC a a3 = a = 12 b) điểm (5 điểm) 1 Gọi E trung điểm BC H ∈ AE, I ∈ SE SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAE ) ⇒ BC ⊥ IH Ta có: AE ⊥ BC Tương tự: BH ⊥ (SAC ) ⇒ BH ⊥ SC Mà SC ⊥ BI nên SC ⊥ ( BIH ) ⇒ SC ⊥ IH Vậy IH ⊥ (SBC ) 0,5 0,5