1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH NĂM 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi: 13/3/2011 (Hướng dẫn chấm gồm có: 04 trang) Câu 1: (3 điểm) NỘI DUNG ĐIỂM a) A = 4 10 2 5 4 10 2 5 + + + - + A 2 = 8+2 6 2 5 - = 6 + 2 5 0,5-0,5 A = 5 + 1 0,5 b) { 2011 sô' 1 11 1 B = x { 2010 sô' 0 100 0 5 + 1 ( ) ( ) 9 410.410 1510 9 110 20114022 2011 2011 ++ =++× - = 0, 25- 0,25 ( ) 2 2011 2 2011 3 210 9 210 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = + = 0, 25- 0,25 Do 3210 2011 M + nên NÎ + 3 210 2011 0, 25 Vậy B là số chính phương 0,25 Câu 2: (4 điểm) NỘI DUNG ĐIỂM a) 2 Q : 1 1 1 1 x y x y x y xy xy xy xy æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø + - + + = + + - - + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 : 1 1 x y xy x y xy xy x y xy xy xy + + + - - - + + + = - - 0,25- 0,25 2 2 1 1 1 x y x xy xy x y xy + - = × - + + + ( ) ( ) 2 2 1 1 x y x x y x + = + + + 0,25- 0,25 ( ) ( )( ) 2 1 2 1 1 1 x y x x y x + = = + + + 0,25- 0,25 b) Ta có: 2 2 3 x = + ( ) 2 4 2 3 3 1 = - = - 0,25-0,25 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 3 2 5 2 3 Q 4 2 3 1 5 2 3 - - + = = - + - 0,25-0,25 2 = 2 6 3 13 + 0,5 c) Ta có ( ) 2 1 2 1 ( 2 1) 1 1 1 1 x x x x x Q x x x - + - - + = = = - + + + 0,25- 0,25 Do 0 ³ x nên ( ) 1 1 1 1 2 £ + - - x x 0,25 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 và y ¹ 1. Khi đó: Max Q = 1 0,25 Câu 3: (5 điểm) NỘI DUNG ĐIỂM a) ( x 2 + x + 1)( 2x 2 + 2x + 3 ) = 3( 1- x – x 2 ). 2234 33335742 xxxxxx =++++Û 081042 234 =+++Û xxxx 0,25- 0,25 ( ) 0452 23 =+++Û xxxx ( ) 04)1( 2 =+++Û xxxx 0,25- 0,25 ê ë é -= = Û ê ê ê ë é =++ =+ = Û 1 0 04 01 0 2 x x xx x x 0,25- 0,25 Vậy : S = { -1 ; 0 } b) ï î ï í ì =+-+ =-++ )2(0441 )1(511 yx yx Từ (2) suy ra : 441 -=+ yx , thay vào (1) : 914 =-+ yy 0,25- 0,25 * Xét 2914:,1 = Û = - + ³ yyycótay (thỏa đk 1 ³ y ) 0,25- 0,25 Suy ra : x = 3 hoặc x = -5 0,25 * Xét 3 8 914:,1 =Û=+-< yyycótay (loại vì không thỏa đk y < 1) 0,25- 0,25 Vậy hpt có nghiệm (x ; y) = (3 ; 2) ; (-5 ; 2) 0,25 c) Chứng minh: ( )( )( ) abc a b c b c a c a b ³ + - + - + - Đặt: 0 ; 0 ; 0 x a b c y b c a z c a b = + - > = + - > = + - > 1 1 1 ( ) ; ( ) ; ( ) 2 2 2 a x z b x y c y z => = + = + = + 0,25 Ta có : 1 1 1 ( ). ( ). ( ) 2 2 2 abc x z x y y z = + + + (1) 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : 1 1 1 ( ) ; ( ) ; ( ) 2 2 2 x y xy y z yz x z xz + ³ + ³ + ³ (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra : . . abc xy yz xz abc xyz ³ Û ³ 0,25 Vậy: ( )( )( ) abc a b c b c a c a b ³ + - + - + - 0,25 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z hay a = b = c ,tam giác đã cho là tam giác đều 0,25 3 Câu 4: (4 điểm) NỘI DUNG ĐIỂM d H F E N D A B C G M a) Tính S ABC theo , , b c a Kẻ BH AC ^ . Tam giác HAB vuông tại H có: sin sin HB AB A c a = = 0,25- 0,25 1 1 . sin 2 2 ABC S AC HB bc a = = 0,25- 0,25 b) Chứng minh: Tổng AB AC AM AN + không đổi Kẻ BE // MN; CF // MN * (1) AB AE ABE AMG AM AG D D Þ =: * (2) AC AF ACF ANG AN AG D D Þ =: 0,25- 0,25 Từ (1) và (2) suy ra: (3) AB AC AE AF AM AN AG + + = 0,25 Ta có: ( . . ) 2 (4) BDE CDF g c g ED FD AE AF AD D = D Þ = Þ + = 0,25- 0,25- 0,25 Từ (3) và (4) suy ra: 2 3 AB AC AD AM AN AG + = = (không đổi) 0,25- 0,25 c) Tính S BMNC : Ta có: 3 3 3 AB AC c b bx AN AM AN x AN x c + = Þ + = Þ = - 0,25 1 .sin . .sin 2 3 BMNC ABC AMN bx S S S bc x x c a a æ ö = - = - ç ÷ - è ø 0,25- 0,25 Vậy : 2 1 sin . 2 3 BMNC bx S bc x c a æ ö = - ç ÷ - è ø 0,25 4 Câu 5: (4 điểm) a) Ta có : · · · · AMC AMH và BMD BMH = = 0,25- 0,25 Mà · · · · · 0 0 90 90 AMH BMH AMB nên AMC BMD+ = = + = 0,25- 0,25 · · · 0 180 AMC AMB BMDÞ + + = 0,25 Vậy ba điểm C; M; D thẳng hàng 0,25 b) Do AC // BD, nên ABDC là hình thang vuông 0,25 OA = OB; MC = MD => OM là đường trung bình 0,25- 0,25 / / OM AC OM CD Þ Þ ^ 0,25- 0,25 Vậy CD là tiếp tuyến của (O) 0,25 c) Ta có : . 2 AC BD AC BD OM R + £ = = 0,25 2 . AC BD R Þ £ 0,25 2 max . , AC BD R khi AC BD = = 0,25 Khi đó ABDC là hình chữ nhựt, M là điểm chính giữa của » AB 0,25 HẾT D M C A H B O . DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH NĂM 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi: 13/3/2011 (Hướng dẫn chấm gồm có: 04 trang)