Tổng hợp Các bài Toán "Cực Tri" trong các Kì thi HSG - Môn Toán 9 THCS

Các bài Toán cực trị trong các kì thi HSG Toán 9A.. Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá trị dơng nhỏ nhất.. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Trang 1

Các bài Toán cực trị trong các kì thi HSG Toán 9

A Bài tập.

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 2 2

4

) 1 (

1

x

+

với x ≥ 0

(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Khánh Hoà năm học 1987 – 1988)

Bài 2 Cho P x x y−x+y+z

+

−

2

1

Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá trị dơng nhỏ nhất

(Đề thi chọn HSG Toán 9, toàn quốc năm học 1988 – 1989)

Bài 3 Cho A

1

) 1 (

2

+

+ +

=

x

x Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và các giá trị tơng ứng của x

(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP HCM năm học 1989 – 1990)

Bài 4 Cho hàm số y= x2 − 2x+ 1 + x2 − 6x+ 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tơng ứng của x

Bài 5 Cho M = x+ 3 − 4 x− 1 + x+ 15 − 8 x− 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị

t-ơng ứng của x

Bài 6 Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho bất đẳng thức sau đây luôn luôn đúng với

mọi số thực x:

A = (x+ 1 )(x+ 2 ) 2 (x+ 3 ) ≥m.

Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y

1

7 8

2

+

+ +

=

x

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP HCM năm học 1992 – 1993)

Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = x3 − 6x2 + 21x+ 18, với 1

2

1 ≤ ≤

Bài 9 Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: 2

1

1 1

1

≥ +

+ +

+ +x y z Tìm giá trị lớn nhất của xyz

Bài 10 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =x2 + 3x+ 1

b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =

4

2 4

2

+ + x x

x

(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 1994 – 1995)

Bài 11 Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:







=

− +

= +

+

4 3 4 3

6 3

2

z y x

z y

x

Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: P = 2x + 3y – 4z

1

Trang 2

Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x2 +y2 khi có x2 +y2 −xy= 4.

Bài 13 Cho ba số dơng a, b, c có tổng là một hằng số Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn

nhất

Bài 14 Cho biểu thức Q = 1 −x1 + 1 −x2 + 1 −x3 + + 1 −x1997 trong đó x1, x2, x3,…, x1997

là các biến số dơng và thoả mãn điều kiện x1+x2 +x3+ +x1997 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của Q

và giá trị tơng ứng các biến của nó

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Toàn quốcnăm học 1996 – 1997)

Bài 15 Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x.y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y x y x M

+ + +

(Đề thi HSG Toán 9, Trờng THCS Colette, Quận 3, TP HCM năm học 1996 – 1997)

Bài 16 Cho các số thực không âm a1, a2, a3, a4, a5 có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =a1a2 +a2a3 +a3a4 +a4a5.

Bài 17 Cho a, b > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=(x+a)(x x+b) (với x > 0)

Bài 18 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= x2 − 2x+ 6 với x≤ − 1

Bài 19 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A= 5 −x+ x− 1

Bài 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= 2x2 − 2x+ 5 + 2x2 − 4x+ 4

Bài 21 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

x x

1

2 +

−

= với 0 < x < 1

Bài 22 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x2 + 8x+ 20 − x2 + 4x+ 40

(Đề thi HSG Toán 9, Trờng THCS Colette, Quận 3, TP HCM năm học 1998 – 1999)

Bài 23 Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 2 1

2

xy y x

+

Bài 24 Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện x.y.z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

) (

1 )

(

1 )

(

1

3 3

3 y z y z x z x y

=

Bài 25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x+ 4 x− 1 + x− 4 x− 1

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP HCM năm học 1999 – 2000)

Bài 26 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 5x2 + 2y2 + 4xy− 2x+ 4y+ 2005

Bài 27 Với giá trị nào của x thì biểu thức C = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ

nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 28 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 3

b a c a c b c b a M

3

) )(

)(

Bài 29 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

x

x y

2

4

−

Bài 30 a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x− 2 xy + 3y− 2 x+ 2004 , 5 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(x) = 1 2 2

x+ − −

Bài 31 Cho x, y thoả mãn điều kiện x2 +y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: M =x6 +y6

Bài 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 +xy+y2 − 3x− 3y+ 2002

Bài 33 Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x+y+z= 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2 ( 1 )

xy y

z

z + + +

−

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2003 – 2004)

Bài 34 Cho hai số thoả mãn đẳng thức: 4

4

1

8 2 + 2 + 2 =

x y

x Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2003 – 2004)

Bài 35 a) Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện: x.y = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 4 2 2 4.

y x

y y

x

+

+ +

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =

3

1

3 2

2

+ + +

x

Bài 36 Tìm giá trị của x, y để biểu thức x2 − 6x+ 2y2 + 4y+ 11 + x2 + 2x+ 3y2 + 6y+ 4 Đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 37 Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:

M =x− x− 2005

Bài 38 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 2 2

2 2

y xy x

+

−

+ +

= Với x, y > 0

b) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:

B =x 9 −x2 Với − 3 ≤x≤ 3

A = 3 x− 1 + 4 5 −x Với 1 ≤x ≤ 5

1

3 4

2 +

+

=

x

(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP Hải Phòng năm học 2004 – 2005)

3

Trang 4

Bài 41 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

c

c b

b a

a− 1+ − 1+ − 4

= Với 1 ≤x≤ 5

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2005 – 2006)

Bài 42 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: 12 2 − 6 + 2 − 4 + 122 = 0

m m

mx

x (m> 0 ) Tìm m

để biểu thức A 3

2

3

x +

= đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

A = 3 x− 1 + 4 5 −x Với 1 ≤x ≤ 5

Bài 43 Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:

B =x 25 −x2 Với − 5 ≤x≤ 5

Bài 44 Cho x3 +y3 + 3 (x2 +y2 ) + 4 (x+y) + 4 = 0 và x.y > 0 Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:

M =1x +1y

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Bình Định năm học 2005 – 2006)

Bài 45 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2 2

2

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 4 + 4 +6

−

=

y x

Bài 46 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = −x2 + 3x+ 18 − −x2 + 4x+ 5

Bài 47 Cho hai số dơng x và y có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A x2 1y2 +45xy

+

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2010 – 2011)

Bài 48 Cho x2 +y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = ( 2 −x)( 2 −y)

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Nghi Lộc, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 – 2010)

Bài 49 Cho hai số dơng x , y thỏa mãn điều kiện:x+y= 20102011

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu: S = 2010x +20101 .y

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Hà Tỉnh năm học 2009 – 2010)

Bài 50 a) Cho hai bộ số (a1; a2) và (b1; b2) bất kì

Chứng minh rằng: ( ) ( )( 2 )

2

2 1

2 2

2 1

2 2 2 1

b) Cho x, y≥ 0 và x2 +y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P

3

3 y

x +

(Đề thi HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 – 2010)

Bài 51.Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn:









=

− +

= + +

+

6 2 2

36 4 3 2

2 2 2

2 2 2 2

d b a

d c b a

Trang 5

(Đề thi HSG Toán 9, Huyện Quỳ Hợp, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 – 2010)

Bài 52 Tìm gí trị lớn nhất của biểu thức: A = x x−1+ y y−2

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2007 – 2008)

B Hớng dẩn Giải:

1

2 1

2 1 2

1

2 ) 2

1 ( ) 1 (

2 4

2 2 4

2

2 4 2 2

2

4

≤







 +

−

= + +

−

= +

+

− + +

= +

+

x

x x

x

x x

x

x x x x

x

2

1 ) 1 ( ) 1 ( 2

1 ) 2 1

( ) 2 1

( 2

1 ) 2 2 ( 2

1

1 +x = + x = +x + x + +x − x = +x + −x ≥ +x

Do đó A

2

1

≥

Bài 2 Trớc hết ta chứng minh bài Toán phụ sau:

“Với a, b∈N* Chứng minh rằng:

b a

1

1 − đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi b=a+ 1”

Chứng minh:

Ta có:

b a

1 1

− đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì

b

1

phải đạt giá trị lớn nhất nhng nhỏ hơn

a

1

Từ đó suy ra b phải nhỏ nhất nhng phải lớn hơn a

Mặt khác: Vì a, b∈N* nên chỉ có thể b=a+ 1 (đpcm)

Giải:

Ta có: P x x y x y z x x y−x+y+z











+

−











 −

= + +

− +

−

2

1 1

1 1 2

1

áp dụng bài Toán phụ trên ta có: P đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì x+1y+z phả lớn nhất











+

−











 −

y x x

1 1 2

1

phải nhỏ nhất nhng lớn hơn x+1y+z













+

−











 −

y x x

1 1 2

1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi x+1 y đạt giá trị dơng lớn nhất và 21−1x

đạt giá trị dơng nhỏ nhất nhng lớn hơn x+1 y

Do vậy có

x

1 2

1

− đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi x = 3 Khi đó 21−1 =61

x và −x+1 y

6

1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi x+y= 7 ⇒y= 4 Khi đó 12 1 1 = 61−71 = 421











+

−











 −

y x

42

1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi

36

= +

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 421 −431 =18061

1

) 1 ( 1 1

) 1 2 ( ) 1 ( 1

2 2 2 1

) 1 (

2

2 2

2

2 2

2

≥ +

+ +

= +

+ + + +

= +

+ +

= +

+ +

=

x

x x

x x x

x

x x x

x

1

) 1 ( 3 1

) 1 2 ( ) 1 ( 3 1

2 2 2 1

) 1 (

2

2 2

2

2 2

2

≤ +

−

= +

+

−

− +

= +

+ +

= +

+ +

=

x

x x

x x x

x

x x x

x x

Từ đó các bạn có đợc kết quả của bài Toán

Bài 4 Ta có: y= x2 − 2x+ 1 + x2 − 6x+ 9 = (x− 1 ) 2 + (x− 3 ) 2 = x− 1 +x− 3

5

Trang 6

=x− 1 + 3 −x ≥ (x− 1 ) + ( 3 −x) = 2 = 2.

Dấu “=” Xảy ra ⇔ (x− 1 )( 3 −x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤x≤ 3

Bài 5 Ta có: M = x+ 3 − 4 x− 1 + x+ 15 − 8 x− 1 = ( x− 1 − 2 ) 2 + ( x− 1 − 4 ) 2

= x− 1 − 2 + x− 1 − 4 = x− 1 − 2 + 4 − x− 1 ≥ ( x− 1 − 2 ) + ( 4 − x− 1 ) = 2 Dấu “=” Xảy ra ⇔ ( x− 1 − 2 )( 4 − x− 1 ) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x− 1 ≤ 4 ⇔ 5 ≤x≤ 17

Bài 6 Ta có: A = (x+ 1 )(x+ 2 ) 2 (x+ 3 ) = (x2 + 4x+ 3 )(x+ 2 ) 2 =[(x+ 2 ) 2 − 1].(x+ 2 ) 2

4

1 4

1 2

1 ) 2 ( 2

1 2

1 ) 2 ( 2

1 2

1 ) 2 (

2 2 2

2  + − + = + −  − ≥ −



⇒ Giá trị nguyên lớn nhất của m là - 1

1

7

2

=

− +

−

⇔ + +

= +

⇔ +

+ +

x

+) Nếu y− 1 = 0 ⇔y= 1 Khi đó phơng trình (*) trở thành:

4

3 0

6

8 − = ⇔ = −

+) Nếu y− 1 ≠ 0 ⇔y= 1 Khi đó phơng trình (*) là một phơng trình bậc hai có:

∆ ' = (b' ) 2 −ac= 16 − (y− 1 )y− 7 ) = −y2 + 8y+ 9 = − (y− 4 ) 2 + 25

Để phơng trình (*) có nghiệm thì ∆ ' ≥ 0 ⇔ − (y− 4 ) 2 + 25 ≥ 0 ⇔ (y− 4 ) 2 ≤ 5 2

⇔ − 5 ≤y− 4 ≤ 5 ⇔ − 1 ≤y≤ 9

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là (-1) và 9

2

1

2

1 < ≤

≤

Khi đó − = ( − 6 2 + 21 1+ 18 ) −

1

3 1

2 2

2

3

x

( ) 6 ( ) 21 ( ) ( )[( 2 ) 6 ( 1 2) 21]

2 2 1

2 1 2 1 2 1

2 2

2 1

3 2

3

Vì: 2[( ) 6 ( ) 21] ( 36 2 12 12 ) 2 6

2

2 1 2 1 2 1

2 2

2 1 2

1

2 2 2 1

2

1 +x x +x − x + x + = x + x + + x x − x − x + x + x +

x

( 6 ) 2 6 0

2

2 1

2 2

= x x x x (1)

Và x1−x2 < 0 (vì ta giả sử x1 <x2) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 2 0 1 2 ( )

2

y − < ⇒ < ⇒ = là hàm số đồng biến

4

1 ) 1 ( 2









−

⇒ f y f y









 +

− +







 +

−

≥ +

⇔

≥ +

+ +

+

1 1 1

1 2 1

1 1

1

x y y + +z z

+

≥ +

⇔

1 1 1

1

(*) áp dụng bất đẳng thức Cô - Si cho hai số dơng 1+y y và 1+z z ta có:

2 (1 )(1 )

1

yz z

z y

y

+ +

≥ +

+

Từ (*) và (**) ta có: 2 (1 )(1 )

1

z y

yz

Tơng tự ta củng có: 2 (1 )(1 )

1

z x

xz

Và 2 (1 )(1 )

1

y x

xy

Từ (1), (2) và (3) .11 (1 )(18 )(1 ) 81

1

1 1

+ + +

≥ + + +

z y x

xyz z

y

2 2

2

2 + + = + +  + − = +  − ≥ −

Trang 7

b) Ta có: y = 4 1

1 4

2 2 2

4 2

+











 +

= + +

x x x

x x

áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dơng x2 và 2

4

x ta có:









 +

⇒

=

≥ + 4 2 4 4 2 42 1 5

2

2 2

2

x

x x

1 5

1 1 4 1

2 2

≤

⇒

≤ +











x

7

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	356,5 KB