SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Năm học: 2010 – 2011 MÔN TOÁN (VÒNG I) (Đáp án gồm 04 câu, 04 trang) Câu Nội dung Điểm a) điểm Đặt f (x) = ( x + 1) ( − x ) = − x + 3x + * TXĐ: R * Sự biến thiên - Các giới hạn: lim f (x) = −∞, lim (x) = +∞ x →+∞ 0,5 0,5 x →−∞ - Bảng biến thiên: x = −1 f ' (x) = −3x + 3, f ' (x) ⇔ x = x -∞ -1 +∞ y’ + ∞ y + 0,5 0,5 -∞ Hàm số đồng biến (- ∞ ; -1) (1; ∞ ), nghịch biến (-1; 1) Hàm số đạt giá trị cực tiểu x = - 1, yct = 0, đạt giá trị cực đại x = 1, ycđ = *Đồ thị: f”(x)= - 6x; f"(x)= ⇔ x = Đồ thị hàm số có điểm uốn I(0; 2) Đồ thị hàm số nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng Đồ thị hàm số giao với Ox: (-1; 0) (2 ; 0) 0,5 0,5 0,5 y 0,5 x -2 -1 b) điểm (6 điểm) (1) Cách 1: ( x + 1) ( − x ) = ( m + 1) ( − m ) Nhận xét: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị đường thẳng y = (m +1)2(2 – m) Dựa vào đồ thị hàm số: f (x) = ( x + 1) ( − x ) 2 (m + 1) (2 - m) < m > ⇔ • Khi m < −2 : (1) có nghiệm (m + 1) (2 - m) > 0,5 0,5 (m + 1) (2 - m) = m = ±1 ⇔ • Khi : (1) có nghiệm m = ±2 (m + 1) (2 - m) = (m + 1) (2 - m) < ⇔ m ∈ ( −2;2) \ { − 1;1} : (1) có 3nghiệm • Khi (m + 1) (2 - m) > Cách 2: ( x + 1) ( − x ) = ( m + 1) ( − m ) ⇔ (x − m)(x + mx + m − 3) = x = m ⇔ 2 x + mx + m − = (2) Đặt g(x) = x + mx + m − = 0; ∆ = −3m + 12 g(m) = 3m − 3;g(m) = ⇔ m = ±1 m > ⇒ ∆ < ⇒ (2)VN ⇒ (1) có nghiệm • m < −2 m = ∆ = ⇒ ⇒ (2) có nghiệm kép khác m ⇒ (1) có nghiệm • m = −2 g(m) ≠ m = −1 ∆ > ⇒ ⇒ (2) có nghiệm phân biệt có • m = g(m) = nghiệm m ⇒ (1) có nghiệm ∆ > • m ∈ (−2; 2) \ { −1;1} ⇒ g(m) ≠ ⇒ (2) có nghiệm phân biệt khác m ⇒ (1) có nghiệm a) điểm 1 1 1 + =a+ +b+ + ( + ) a b 4a 4b a b 1 ≥ a + a + 4a 4a ab ≥2+ ≥5 a+b Đẳng thức xảy a = b = a+b+ 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 b) điểm (5 điểm) −1 ≤ x; y; z ≤ x; y; z dấu, (x; y; z) nghiệm hệ 2 0,5 (-x; -y; -z) nghiệm hệ cho Ta xét trường hợp ≤ x; y; z ≤ Giả sử x = Max{x; y; z} ⇒ sin πy = x = Max { sin πx;sin πy;sin πz} = sin πx = z Nhận xét: 1 (vì hàm số h(x) = sin πx đồng biến 0; ) ⇒ x = y = z 2 Khi ta có: 2x − sin πx = , đặt f (x) = 2x − sin πx với ≤ x ≤ f'(x) = - π cos πx ; f'(x) = ⇔ cos πx = 0,5 2 ⇔ x = arccos ⇒ f '(x) có nghiệm π π π 0,25 (0; ) 0,5 1 Suy phương trình f(x) = có nhiều nghiệm 0; 2 0,5 nghiệm phương trình f(x) = Nhận thấy x = 0, x = Do hệ phương trình có nghiệm: (0; 0; 0); ( 1 1 1 ; ; ); (- ;- ;- ) 2 2 2 0,5 0,25 a) điểm Cách 1: x = − + x + ⇔ x = un − 0,5 − u 2n −1 16 u n −1 + = − u n2 −1 + = = u n −1 − 4 + u2 +1 + u 2n −1 + n −1 4 ≤ u n −1 − u n −1 + 3 < u n −1 − < < u1 − n − 5+ u 4 ( 2) n −1 ⇒ lim u n − 3 = ⇒ lim u n = 4 0,5 Cách 2: Xét f(x) = − + x + , với x ∈ R f ' (x) = x 1+x ⇒ f ' (x) ≤ ∀x ∈ R 0,5 Phương trình f(x) = x có nghiệm x = 0,5 Với cặp x, y ∈ R, x < y theo định lý Lagrange tồn c ∈ (x; y) cho: f (y) − f (x) = f ' (c)(y − x) ⇒ f (y) − f (x) = f ' (c) (y − x) ≤ y−x Do u n − 3 3 = f (u n −1 ) − f ( ) =≤ u n −1 − ≤ ≤ u1 − n −1 4 4 ( 2) ⇒ lim u n − 3 = ⇒ lim u n = 4 0,25 0,25 0,5 b) điểm Nhận xét: Mỗi nghiệm nguyên dương phương trình tương ứng với số tự 11 11 11 11 { { { nhiên dạng { (gồm 2010 chữ số chữ số 0, x ch÷ sè y ch÷ sè z ch÷ sè t ch÷ sè 1 hai chữ số đứng liên tiếp, chữ số không đứng cuối) Viết 2010 chữ số thành dãy viết chữ số vào chữ số liên 3 tiếp, chữ số không viết vào vị trí (giữa hai chữ số1) ta số tự nhiên dạng 0,5 Có 2009 vị trí hai chữ số liên tiếp, có C 2009 cách chọn vị trí cho 0,5 chữ số Vậy phương trình x + y + z + t = 2010 có C 2009 nghiệm nguyên dương S (4 điểm) I A D M O B C a) điểm Ta có AC⊥(SBD)⇒AC⊥SD (5 điểm) Kẻ CH vuông góc AI H ⇒ CH⊥SD (vì (ACD)⊥(SAD)) ⇒ SD⊥(ACI) b) điểm Gọi O giao điểm AC BD, M trung điểm CD ⇒ OM⊥CD, · · SM⊥CD ⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, OM) = SMO ⇒ SMO = α a tan α a tan α + ,SD = 2 DI OD 2 = = Ta có SD⊥(ACI) ⇒SD⊥AI ⇒ OD = DI.SD ⇒ 2 SD SD tan α + V1 DI = = VSACD DS tan α + V V1 VSABCD = 2VSACD ⇒ = ⇒ = = cos 2α 2 V tan α + V − V1 tan α + c) điểm π · AIC = ((SAD),(SCD))=(AI,CI) ⇒ 2π AIC · = π · = tam giác ACI tam giác ⇒ AI = AC > AD ⇒ Mâu Nếu AIC 2π π a · thuẫn Suy AIC = ⇒ OI = OC.tan = 6 1 π = + ⇒ = 2+ ⇔ tan α = ⇔ α = 2 2 OI SO OD a a a (tan α) Gọi a độ dài cạnh đáy, suy SO = 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5