HDC TOAN THPT v2;10 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Năm học: 2009 – 2010 MÔN TOÁN (VÒNG II) (Hướng dẫn chấm gồm 04 câu, 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) 2,5 điểm TXĐ : D = R 32x −x+2 ⇔ 32x − 3x −x+2 + 2x + x − 3x + = + 2x − x + = 3x + 2x (1) + x + 2x (2) Xét f (x) = 3x + x , ta có f '(x) = 3x ln + > ∀x ∈ R (7 điểm) ⇒ f (x) đồng biến R 0,5 (2) ⇔ f (2x − x + 2) = f (x + 2x) ⇔ 2x − x + = x + 2x 0,5 x = x − 3x + = ⇔   x = −2 0,5 Kết luận: Phương trình (1) có hai nghiệm x = - 2; x = b) 2,5 điểm  x 2  y   z 2  ÷ + ÷ + ÷ =1  x + y + z = 20102  2010   2010   2010  ⇔  3 3 3  x   y   z   x + y + z = 2010 + ÷ + ÷ =1  2010 ÷   2010   2010   x y z  x   x  ⇒ , , ≤1⇒  ÷ ≤ ÷, 2010 2010 2010  2010   2010   y   y   ÷ ≤ ÷  2010   2010      , ÷ ≤ ÷  2010   2010  2 0,5 3  x   y   z   x   y   z  ⇒ ÷ + ÷ + ÷ ≥ ÷ + ÷ + ÷  2010   2010   2010   2010   2010   2010  2 3 0,5  x   y   z   x   y   z  Mà  ÷ + ÷ + ÷ =1=  ÷ + ÷ + ÷  2010   2010   2010   2010   2010   2010  suy ba số x y z , , có số số lại 2010 2010 2010 Nếu x = ⇒ x = 2010, y = z = 2010 Kết luận hệ có nghiệm: (2010; 0; 0), (0; 2010; 0), (0; 0; 2010) 0,5 c) điểm Không tính tổng quát giả sử Đặt t= a ≤b≤c⇒ ≥a+b> 2>c≥ 3 a+b ⇒ ≥ t > 1;c = − 2t 0,25 Đặt f (a; b;c) = a + b + c + 2abc , ta chứng minh f (a; b;c) ≤ f (t; t;c) 2 0,25 0,5 Thật f (a; b;c) − f (t; t;c) = a + b − 2t + 2abc − 2t c 2 2 (a + b) (a + b) (a − b) (1 − c) =a +b − + c(2ab − )= ≤0 (vì c > 1)⇒đpcm 2 2 0,25 f (t; t;c) = 2t + c + 2t 2c = 2t + (4 − 2t) + 2t (4 − 2t) = −4t + 14t − 16t + 16 t = g(t) = −4t + 14t − 16t + 16 ⇒ g '(t) = −12t + 28t − 16;g '(t) = ⇔  t = Đặt  3 2 x g'(x) + 272 27 g(x) 10 ⇒ g(a; b;c) ≤ 0,5 272 27 , đẳng thức xảy a = b = c = 0,25 a) 3điểm P(x + y) = P(x) + P(y) – xy – (1) (6 điểm) Đạo hàm hai vế của (1) ta được: P'(x+y)=P'(x)-y, ∀x, y ∈ R 0,5 Đổi vai trò x, y ta được: P'(x+y)=P'(y)-x, ∀x, y ∈ R 0,25 ⇒ P '(x) − y = P '(y) − x ∀x, y ∈ R 0,25 ⇒ P '(x) + x = P '(y) + y ∀x, y ∈ R ⇒ P '(x) + x = a ∀x ∈ R , với a là hằng số 0,5 ⇒ P(x) + x2 = ax + b ∀x ∈ R , với a, b là hằng số 0,5 ⇒ P(x) = − x2 + ax + b ∀x ∈ R Thay x = y = vào (1) ta được f(0) = 2f(0) - ⇒ P(0) = ⇒ b = Suy P(x) = − 0,5 x + ax + ∀x ∈ R 0,25 x2 P(x) = − + ax + Thử lại dễ thấy đa thức thỏa mãn đề bài 0,25 b) điểm  u = 1, u1 =  Xét dãy số (un) xác định bởi hệ thức:  u n + = 7u n +1 − u n ∀n ∈ N • Ta chứng minh un+1 > un, u n ∈ N ∀n ∈ N* * 0,5 0,5 Thật vậy: ta có u = > u1 = > Mà u n + = 7u n +1 − u n ⇔ u n + − u n +1 = (u n +1 − u n ) + 5u n +1 , bằng quy nạp suy đfcm • u n+2 − u n u − u n u n +1 − u n −1 = ⇒ n +2 = ∀n ∈ N* u n +1 u n +1 un ⇒ (u n + + u n )u n = (u n +1 − u n −1 )u n +1 ∀n ∈ N* u n + = 7u n +1 − u n ⇔ 0,5 0,5 ⇒ u n + u n − u n2 +1 = u n +1u n −1 − u n2 ∀n ∈ N* u n + u n − u n2 +1 = u n +1u n −1 − u n2 = =u u − u12 =5 ∀n ∈ N* u n + u n = u n2 +1 + ∀n ∈ N m + u 2k + n + u 2k +1 + m = u k , n = u k +1 (k ∈ N* ) ⇒ = = u k −1 , = = u k+2 Chọn n u k +1 m uk 0,5 Suy điều phải chứng minh 0,5 A M E F P (4 điểm) N C D B PE PD = Tứ giác DMEP là tứ giác điều hòa ⇒ EM DM MF MD = Tứ giác DMFN là tứ giác điều hòa ⇒ FN DN 0,5 PE MF MD PD PD PE MF ND = = ⇒ =1 ⇒ EM FN DN DM DN EM FN DP Áp dụng định lí Sin ta có · · · PE sinENP MF sinFPM ND sinDMN = ; = ; = · · · EM sinENM FN sinFPN DP sinDMP · · · sinENP sinFPM sinDMN =1⇒ · · · MD, NE, PF đồng quy tại một điểm sinENM sinFPN sinDMP (Định lí Ceva-sin) 0,5 1 Cmn = C mn −1 + C nm−−11 = C nm− + C nm−−21 + C nm−−11 = = C mm + C mm −1 + + C nm−−11 m −1 m −1 n − m +1 =C ∑ i =1 (3 điểm) +C m −1 m n − m +1 + + C iC mn −−i1 = ∑ i =1 m −1 n −1 n − m +i1=1 i= m −1 n −i m −1 n −i = C mn + C = C nm++11 C +C Cmn ++11 = (n + 1)! n +1 n! n +1 m = = Cn (m + 1)!(n − m) m + m!(n − m)! m + 1 ⇒ m Cn n − m +1 ∑ i =1 m m +1 iC mn −−i1 = + + (C mm −1 + C mm −−11 ) + C mm −−11 m n −1 m n + + C ∑C ∑C ⇒ Cmn −−i1 + n − m +1 m m n +1 m +1 Hết