S GD&T NINH BèNH HDC THI CHN HSG LP 12 THPT K thi th hai - Nm hc 2012 2013 MễN: TON Ngy thi: 18/12/2012 (Hng dn chm gm 04 trang) A) Hng dn chung: 1) Hc sinh lm ỳng n õu thỡ giỏm kho chm n ú Hc sinh trỡnh by theo cỏch khỏc m ỳng thỡ giỏm kho chm tng ng biu im ca HDC 2) Vic chi tit húa thang im phi m bo khụng lm sai lch biu im cua HDC v phi c thng nht ton hi ng chm thi 3) im ca bi thi khụng lm trũn B) Hng dn c th: Cõu ỏp ỏn im Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v d: 2 (3,0 x + 2mx + (m + 3)x + = x + x(x + 2mx + m + 2) = 0,5 im x = ) x + 2mx + m + = ( *) d ct (C) ti im phõn bit PT (*) cú nghim phõn bit khỏc ' = m m > m ( ;2 ) ( 2;1) ( 2;+ ) m + 0,5 Khi ú B = (x1; x1 + 4), C = (x2; x2 + 4) vi x1, x2 l hai nghim ca (*) x1 + x = 2m x1 x = m + 0,5 Theo Vi-ột ta cú 2 ị BC = ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 2 ( m - m - 2) (6,0 im ) 0,5 Ta cú khong cỏch t K n d l h = Do ú din tớch KBC l: 1 S = h.BC = 2.2 ( m - m - 2) = m - m - 2 137 S = m2 - m - = m = (TM ) 137 Vy m = 1a (2,5 im) 2cos2x mcosx = 0,5 0,5 sin4x + msinx 4cos2x - sin2x.cos2x 2m(sinx + cosx) = cos2x(4 - sin2x) 2m(sinx + cosx) = (cos2x sin2x)(4 - sin2x) - 2m(sinx + cosx) = (sinx + cosx)[(cosx sinx)(4 - sin2x) - 2m] = ộsin x + cosx = (2) ờ ở(cosx - sin x)(4 - sin x) - 2m = (3) ổ pử p x+ ữ = x = + k pẻ, k *Gii (2): sin x + cosx = sin ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ *Gii (3): (cosx - sin x)(4 - sin x) - 2m = 1,0  0,5 0,5 ị sin x = 2sin x cos x = 1- t t t = cosx - sinx, t Ê PT (3) tr thnh: t ( + t ) - 2m = t + 3t - 2m = (4) Vi m = 2, PT (4) tr thnh: t + 3t - = ( t - 1) ( t + t + 4) = t = Vi t = 1, ta cú: ổ pử p p cos x - sin x = cos ỗ x+ ữ = x + = + k 2pẻ, k  ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ 4 ộx = k 2pẻ, k  p ờx = - + k 2pẻ, k  Vy vi m = 2, PT ó cho cú nghim: p p x = - + k p , x = k 2p, x = - + k 2pẻ(k  ) 1b (1,5 im) Nghim ca (2) khụng thuc on [0, ] nờn PT ó cho cú nghim thuc on 0,5 [0, ] thỡ PT (3) phi cú nghim thuc on [0, ] hay PT (4) cú nghim thuc 0,5 on [0, 1] Ta cú: t + 3t - 2m = t + 3t = 2m (5) Xột hm s f(t) = t3 + 3t liờn tc trờn Ă cú f '(t) = 3t2 + > " t ẻ Ă Suy ra: f (t ) = f (0) = 0, m ax f (t ) = f (1) = [ 0,1] 0,5 [ 0,1] PT (5) cú nghim trờn on [0, 1] f (t ) Ê m Ê m ax f (t ) Ê m Ê Ê m Ê [ 0,1] 0,5 [ 0,1] Vy m ẻ [ 0, 2] l giỏ tr cn tỡm ca m (2,0 im) iu kin: x 1; PT ( ) ( 3x + - - 3( x - 2) + 0,25 ) - x - - x + x + 10 x - 24 = ( x - 2) 0,5 - ( x - 2) ( x - x - 12) = 3x + + - 2x + ộ ự ( x - 2) + - x + x + 12ỳ= ỳ - 2x + 3x + + ỷ ộx = ờ + - x + x + 12 = - 2x + 3x + + ộ 5ự Xột hm s f ( x) = - x + x + 12, x ẻ ờ- 1; ỳ Ta cú f(x) liờn tc trờn 2ỳ ỷ Ta cú f'(x) = -2x + 1, f'(x) = x = 2 0,5 ộ 5ự ờ- 1; ỳ 2ỳ ỷ 0,5 ùỹ 33 49 ùỹ 33 ùỡ ùỡ f ( x ) = f ( 1); f ( ); f ( ) = 10, , ý= > ý Do ú ộ 5ự ùợù ùỵ ùợù 2 4 ùỵ ờ- 1; ỳ ù ù 2ỳ ỷ ộ 5ự + - x + x + 12 > " x ẻ ờ- 1; ỳ 3x + + - 2x + 2ỳ ỷ Vy PT ó cho cú nghim nht x = (2,0 im) 2n Ta cú: ( + 1) = C20n + C21n + C22n + C23n + + C22nn + C22nn (1) ị (4,0 Ta cú: ( 1) = C20n C21 n + C22n C23n + C22nn + C22nn (2) Cng tng v (1) v (2) ta c: 22 n = ( C20n + C22n + C24n + + C22nn ) C20n + C22n + C24n + + C22nn = 22 n 2n 0,25 0,5 0,5 Theo bi ta cú: 22 n- = 512 2n - = n = 15 T ú (2 x2)3n = (2 x2)15 = C i =0 i 15 (2)15i (1) i x 2i ị H s ca x l s C (1) i cho 2i = 18 i = 9 Vy h s ca x18 l: - C15 = -320.320 (2,0 im) " n 1, un+ = aun + b ị un+ - un = a (un - un- ), " n 18 i 15 15i t = un+ - un , n ị1 = avn- , n ị2 (vn ) l mt cp s nhõn cú cụng bi bng a Ta cú: " n 1, = v1.a n- ; v1 = (a - 1)u1 + b Vy ta cú: " n 2, un = (un - un- ) + (un- - un- ) + + (u2 - u1 ) + u1 (5,0 0,5 = v1 (a n- + a n- + + 1) + u1 = u1.a n- + b(a n- + a n- + + 1) (3,0 im) E Dng ỳng thit din Chng minh EI = IJ = JF T ú suy I A B EB EM FA ' FN M = = = Li t ú suy = EB ' EK FB ' FK C J Ta cú: d(K, A'B') = (1/2)d(C', A'B'), FB' = (3/2)A'B' EB A' = nờn suy Suy SKFB = (3/4)SABC Mt khỏc vỡ F B' EB ' N K d(E, (KFB)) = (3/2)h (h l chiu cao lng tr) Do C' ú VEKFB = (3/8)V (V l th tớch lng tr) VEBIM EI EM EB 1 1 = = = nờn VEBIM = V = V VEB ' FK EF EK EB ' 3 27 27 72 VFA ' JN FJ FA ' FN 1 1 = = = nờn VFAJN = V = V VFB ' EK FE FB ' FK 3 18 18 48 Mt phng (IJK) chia lng tr thnh hai phn Gi V1 l th tớch phn cha im B' v V2 l th tớch phn cha im C Ta cú V1 = (3/8 1/72 1/48)V = (49/144)V nờn V2 = (95/144)V Do ú V1/V2 = 49/95 (2,0 im) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 im ) A D B H M N C Theo gi thit DACD v DBCD cú tt c cỏc cnh khụng ln hn t CD = a ( < a Ê ) Gi AM, BN ln lt l chiu cao ca ACD v BCD Ta cú AM 0,25 a2 a2 ; BN 4 Gi AH l chiu cao ca t din, ta cú AH AM 0,75 a2 a Th tớch ca t din ABCD: V = S BCD AH = BN CD AH (1 a2 ) Xột f ( a) = a (4 a ) trờn (0, 1] Ta cú f(a) liờn tc trờn (0, 1] ẽ ( 0;1] f ' (a ) = - 3a , f ' ( a) = a = a + f'(a) 0,5 f(a) f (a) = f (1) = Vy m( 0,1ax ] DACD v BCD l hai tam giỏc u cnh bng 1, hai mt phng (ACD) v (BCD) vuụng gúc vi Khi ú tớnh c AB = >1 Suy maxV = (2,0 a2 2ab 2ab 2 2/3 = a a = a ( ab ) (Theo BT Cụ - si) Ta cú 2 a + 2b a + 2b 3 ab b2 c2 2/3 2/3 Tng t: , b bc c ( ca ) ( ) 2 b + 2c c + 2a 2 a b c 2/3 2/3 2/3 Khi ú + + a + b + c ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) 2 a + 2b b + 2c c + 2a 2/3 2/3 2/3 = ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) (1) Ta i chng minh ( ab ) 2/ + ( bc ) 2/3 + ( ca ) 2/3 0,5 0,5 0,5 a 2b + b 2c + c a (2) Tht vy theo Cụ - si ta cú a + b + ab 3 a 2b Tht vy theo Cụ - si ta cú c + b + bc 3 c 2b 0,5 im ) Tht vy theo Cụ - si ta cú a + c + ac 3 a 2c ( a + b + c ) + ab + bc + ca ( a 2b + b c + c a ) Mt khỏc ta cú: 2 ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) a + b + c ab + bc + ca ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ab + bc + ca Khi ú ta cú: ( ab + bc + ca 2 2 2 ( a + b + c) = 3 ) 2.3 + = a 2b + b 2c + c a Vy (2) ỳng, thay vo (1) PCM Du ng thc xy a = b = c = -Ht - 0,5