TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XVI – ĐIỆN BIÊN 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: Toán - KHỐI: 10 Ngày thi: 12 tháng năm 2022 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 2 x + y − 3xy + 3x − y + = Câu (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 4 x − y + x + = x + y + x + y ( 1) ( 2) Nội dung Điểm 2 x + y ≥ x + y ≥ Điều kiện: 1,5 Xét phương trình (1) hệ ta có: x + y − xy + x − y + = ⇔ ( x − y + 1) ( x − y + 1) = Trường hợp 1: y = x + thay vào phương trình (2) ta được: x − x + = x + + x + với điều kiện x ≥ − Phương trình ⇔ x − x + ( x + − x + 1) + ( x + − x + 4) = 1,0 1 ⇔ ( x − x ) 3 + + =0 x + + x + x + + x + 1 x = + > ⇒ x2 − x = ⇔ nên + x + + 3x + x + + x + x = Trường hợp 2: y = x + thay vào phương trình (2) ta được: Do x ≥ − − 3x = x + + x + ⇔ x + + x + + 3x − = Giải tương tự ta x = Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (0;1),(1;2) 1,0 0,5 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( O ) , đường cao AD, BE , CF Gọi M giao điểm EF BC , N giao điểm FD AC , P giao điểm ED AB a Chứng minh điểm M , N , P thẳng hàng b Dựng đường tròn qua điểm E , F tiếp xúc với cung nhỏ BC ( O ) tại X , đường tròn qua điểm F , D tiếp xúc với cung nhỏ CA ( O ) tại Y , đường tròn qua điểm D, E tiếp xúc với cung nhỏ AB ( O ) tại Z Chứng minh đường thẳng AX , BY , CZ đồng quy Hướng dẫn chấm - Trang Ý Nội dung a (2,0 điểm) Ta có tứ giác BCEF nội tiếp nên ME.MF = MB.MC Hay ℘M / ( DEF ) =℘M / ( ABC ) , suy M thuộc trục đẳng phương hai đường tròn ( DEF ) ( ABC ) Chứng minh tương tự ta có N P tḥc trục đẳng phương hai đường tròn ( DEF ) ( ABC ) Suy điểm M , N , P thẳng hàng Ta có EF trục đẳng phương ( BCEF ) ( EFX ) b (2,0 điểm) Điểm 1,0 0,5 0,5 BC trục đẳng phương ( BCEF ) ( O ) Tiếp tuyến chung tại X ( O ) ( EFX ) trục đẳng phương ( O ) ( EFX ) 0,5 Suy MX = MB.MC , suy ∆MBX ∽∆MXC BX MB MX XB MB = = , suy = Suy CX MX MC XC MC 0,5 Suy MX tiếp tuyến ( O ) Chứng minh tương tự ta có YC = YA NC ZA = NA ZB PA PB 0,5 XB YC ZA MB NC PA = = (do điểm M , N , P thẳng hàng) XC YA ZB MC NA PB Suy đường thẳng AD, BE , CF đồng quy Suy 0,5 Hướng dẫn chấm - Trang Câu (4,0 điểm) Xét đa thức P ( x ) Q ( x ) với hệ số thực, khác đa thức hằng thỏa mãn điều kiện P ( Q ( x − ) ) = P ( x ) ( Q ( x − ) ) , ∀x ∈ ¡ a Chứng minh P ( x ) ln có nghiệm thực b Chứng minh Q ( x ) đa thức monic có ít cặp đa thức monic ( P ( x ) , Q ( x ) ) thỏa mãn điều kiện toán (Đa thức monic đa thức có hệ sớ bậc cao 1) Ý a (2,0 điểm) Nội dung Điểm Vì deg Q ≥ nên tờn tại x0 (có thể thực hoặc phức) nghiệm Q ( x ) 1,0 Thế x x0 + điều kiện ban đầu ta ( P ( Q ( x0 ) ) = P ( x0 + ) ) ( Q( x ) ) 0,5 Suy P ( ) = hay P ( x ) ln có nghiệm thực x = b (2,0 điểm) 0,5 n n −1 Đặt P ( x ) = an x + an−1 x + + a0 với n ≥ 1, an ≠ m m −1 Và Q ( x ) = bm x + bm −1 x + + b0 với m ≥ 1, bm ≠ Từ điều kiện ban đầu, cân bằng hệ sớ sớ hạng có bậc cao ta an ( bm ) = an ( bm ) , suy ( bm ) n Từ điều kiện ban n −3 đầu, = cân bằng bậc vế ta mn = 5n + 3m ⇔ ( m − ) ( n − 3) = 15 ( *) 0,5 Suy n − số lẻ, suy bm = , hay Q ( x ) đa thức monic Ta có m, n ∈ ¥ * nên m − ≥ −4, n − ≥ −2 nên ta phân tích 15 = 15.1 = 1.15 = 5.3 = 3.5 , có trường hợp ( m, n ) thỏa mãn ( *) Chọn P ( x ) = x n , Q ( x ) = ( x + ) m 0,5 với ( m, n ) thỏa mãn ( *) , ta có ít cặp đa thức monic P ( x ) , Q ( x ) thỏa mãn điều kiện toán 0,5 0,5 p Câu (4,0 điểm) Cho số nguyên tố lẻ p đa thức Q ( x ) = ( p + 1) x − x Có tờn tại hay khơng hốn vị ( a1 ; a2 ; ; a p −1 ) { 1;2; ; p − 1} mà { a1.Q ( 1) ; a2 Q ( ) ; ; a p −1.Q ( p − 1) } hệ thặng dư thu gọn mod p ? Nội dung Điểm Trước hết ta chứng minh H = { Q ( 1) ; Q ( ) ; ; Q ( p ) } hệ thặng dư đầy đủ mod p Thật vậy, giả sử tồn tại u , v ∈ { 1;2; ; p} phân biệt cho Q ( u ) ≡ Q ( v ) ( mod p ) p p Khi ( p + 1) ( u − v ) − ( u − v ) ≡ ( mod p ) 1,0 (1) p p Theo định lý Phecma ta có u ≡ u ( mod p ) ; v ≡ v ( mod p ) nên từ (1) ta ( p − 1) ( u − v ) ≡ ( mod p ) ⇒ u ≡ v ( mod p ) 1,0 Suy mâu thuẫn, chứng tỏ H hệ thặng dư đầy đủ mod p Giả sử tờn tại hốn vị ( a ; a ; ; a ) p −1 { 1;2; ; p − 1} mà 0,5 Hướng dẫn chấm - Trang { a Q ( 1) ; a Q ( ) ; ; a p −1 Q ( p − 1) } hệ thặng dư thu gọn mod p p Ta có Q ( p ) = ( p + 1) p − p ≡ ( mod p ) nên { Q ( 1) ; Q ( ) ; ; Q ( p − 1) } hệ thặng dư thu gọn mod p Theo giả sử ta có { a1 ; a2 ; ; a p −1} hệ thặng dư thu gọn mod p nên a1.a2 a p −1 ≡ Q ( 1) Q ( ) Q ( p − 1) ≡ 1.2 ( p − 1) ≡ ( p − 1) ! ≡ −1( mod p ) (định lý Wilson) Suy a1.Q ( 1) a2 Q ( ) .a p −1.Q ( p − 1) ≡ ( a1a2 a p −1 ) ( Q ( 1) Q ( ) Q ( p − 1) ) ≡ 1( mod p ) Suy { a1.Q ( 1) ; a2 Q ( ) ; ; a p −1.Q ( p − 1) } không hệ thặng dư thu gọn mod p Suy giả sử sai, nghĩa khơng tờn tại hốn vị ( a1 ; a2 ; ; a p −1 ) { 1;2; ; p − 1} mà { a Q ( 1) ; a Q ( ) ; ; a p −1 0,5 1,0 Q ( p − 1) } hệ thặng dư thu gọn mod p Câu (4,0 điểm) Với hai số nguyên dương k , n ta kí hiệu p ( n, k ) sớ nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + + xk = n mà x1 ≤ x2 ≤ ≤ xk Tính p ( n, ) p ( n,3) theo n Ý a (2,0 điểm) b (2,0 điểm) Nội dung Tính p ( n, ) Xét phương trình nghiệm nguyên không âm x1 + x2 = n mà x1 ≤ x2 n Do x1 ≤ x2 nên x1 + x2 ≥ x1 , suy x1 ≤ 2 n Với x1 ∈ 0;1;2; ; có số x2 = n − x1 thỏa mãn phương trình n Vậy sớ nghiệm phương trình p ( n, ) = + 2 Tính p ( n,3 ) Xét phương trình nghiệm ngun khơng âm x1 + x2 + x3 = n ( 1) mà x1 ≤ x2 ≤ x3 Gọi S tập tất nghiệm nguyên không âm ( 1) T tập tất nghiệm nguyên không âm ( 1) mà x1 ≤ x2 ≤ x3 A tập tất nghiệm nguyên không âm ( 1) mà x1 = x2 < x3 B tập tất nghiệm nguyên không âm ( 1) mà x1 < x2 = x3 C tập tất nghiệm nguyên không âm ( 1) mà x1 = x2 = x3 D tập tất nghiệm nguyên không âm ( 1) mà x1 < x2 < x3 Ta có S = A + B + C + D T = A + B + C + D Theo tốn chia kẹo Ơle S = Cn2+ = Điểm 1,0 0,5 0,5 0,5 ( n + ) ( n + 1) n n − 1 / C = nếu nM , hay C = − Ta có C = nếu n M 0,5 Hướng dẫn chấm - Trang Ta có A + B + C bằng số nghiệm nguyên không âm 2x + y = n bằng số nghiệm nguyên không âm u + v = n mà u = x ≤ x + y = v n Theo ta A + B + C = + 2 ( n + ) ( n + 1) = A + B + C − C + D Suy ( ) n n n − 1 = + ÷− − ÷+ D 2 3 Suy D = 0,5 ( n + ) ( n + 1) n n n − 1 − + + ÷ − ÷ 6 ( n + ) ( n + 1) n n n − 1 n − + ÷+ − Suy T = + + ÷ 6 2 2 ( n + ) ( n + 1) + + n + n − n − 1 Rút gọn p ( n,3) = T = 12 2 0,5 …………………………………HẾT…………………………… Lưu ý: - Nếu thí sinh làm cách khác mà cho kết chính xác, có chứng cứ khoa học cho điểm tối đa - Giám khảo làm tròn điểm tổng thi đến 0,25 điểm Hướng dẫn chấm - Trang ... MB.MC Hay ℘M / ( DEF ) =℘M / ( ABC ) , suy M thuộc trục đẳng phương hai đường tròn ( DEF ) ( ABC ) Chứng minh tương tự ta có N P tḥc trục đẳng phương hai đường tròn ( DEF ) ( ABC ) Suy... mãn điều kiện toán (Đa thức monic đa thức có hệ sớ bậc cao 1) Ý a (2,0 điểm) Nội dung Điểm Vì deg Q ≥ nên tờn tại x0 (có thể thực hoặc phức) nghiệm Q ( x ) 1,0 Thế x x0 + điều kiện ban