TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XVI – ĐIỆN BIÊN 2022 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: Tốn - KHỐI 10 Ngày thi: 12 tháng năm 2022 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Họ tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………… 2 2 x + y − 3xy + 3x − y + = Câu (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 4 x − y + x + = x + y + x + y Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( O ) , đường cao AD, BE , CF Gọi M giao điểm của EF BC , N giao điểm của FD AC , P giao điểm của ED AB a Chứng minh điểm M , N , P thẳng hàng b Dựng đường tròn qua điểm E , F tiếp xúc với cung nhỏ BC của ( O ) tại X , đường tròn qua điểm F , D tiếp xúc với cung nhỏ CA của ( O ) tại Y , đường tròn qua điểm D, E tiếp xúc với cung nhỏ AB của ( O ) tại Z Chứng minh đường thẳng AX , BY , CZ đồng quy Câu (4,0 điểm) Xét đa thức P ( x ) Q ( x ) với hệ số thực, khác đa thức hằng thỏa mãn điều kiện P ( Q ( x − ) ) = P ( x ) ( Q ( x − ) ) , ∀x ∈ ¡ a Chứng minh P ( x ) có nghiệm thực b Chứng minh Q ( x ) đa thức monic có ít nhất cặp đa thức monic ( P ( x ) , Q ( x ) ) thỏa mãn điều kiện toán (Đa thức monic đa thức có hệ sớ của bậc cao nhất 1) p Câu (4,0 điểm) Cho số nguyên tố lẻ p đa thức Q ( x ) = ( p + 1) x − x Có tồn tại hay khơng hốn vị ( a1 ; a2 ; ; a p −1 ) của { 1;2; ; p − 1} mà { a1.Q ( 1) ; a2 Q ( ) ; ; a p −1.Q ( p − 1) } hệ thặng dư thu gọn mô đun p ? Câu (4,0 điểm) Với hai số nguyên dương k , n ta kí hiệu p ( n, k ) số nghiệm ngun khơng âm của phương trình x1 + x2 + + xk = n mà x1 ≤ x2 ≤ ≤ xk Tính p ( n, ) p ( n,3) theo n Lưu ý: ………………………HẾT…………………… - Thí sinh không sử dụng tài liệu - Cán bợ coi thi khơng giải thích thêm