de 10 toan

ĐỀ CHÍNH THỨC Họ tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………… 2 x  y  3xy  3x  y   Câu (4,0 điểm) Giải hệ phương trình  2 4 x  y  x   x  y  x  y Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn  O  , các đường cao AD, BE , CF Gọi M là giao điểm của EF và BC , N là giao điểm của FD và AC , P là giao điểm của ED và AB a Chứng minh các điểm M , N , P thẳng hàng b Dựng đường tròn qua điểm E , F và tiếp xúc với cung nhỏ BC của  O  tại X , đường tròn qua điểm F , D và tiếp xúc với cung nhỏ CA của  O  tại Y , đường tròn qua điểm D, E và tiếp xúc với cung nhỏ AB của  O  tại Z Chứng minh các đường thẳng AX , BY , CZ đồng quy Câu (4,0 điểm) Xét các đa thức P  x  và Q  x  với hệ số thực, khác đa thức hằng và thỏa mãn điều kiện P  Q  x     P  x   Q  x    , x  ¡ a Chứng minh P  x  có nghiệm thực b Chứng minh Q  x  là đa thức monic và có ít nhất cặp đa thức monic  P  x  , Q  x   thỏa mãn điều kiện bài toán (Đa thức monic là đa thức có hệ số của bậc cao nhất là 1) p Câu (4,0 điểm) Cho số nguyên tố lẻ p và đa thức Q  x    p  1 x  x Có tồn tại hay không hoán vị  a1 ; a2 ; ; a p 1  của  1;2; ; p  1 mà  a1.Q  1 ; a2 Q   ; ; a p 1.Q  p  1  là hệ thặng dư thu gọn mô đun p ? Câu (4,0 điểm) Với hai số nguyên dương k , n ta kí hiệu p  n, k  là sớ nghiệm ngun khơng âm của phương trình x1  x2   xk  n mà x1  x2   xk Tính p  n,  và p  n,3  theo n Lưu ý: ………………………HẾT…………………… - Thí sinh không sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích thêm