Bộ công thức giải nhanh trắc nghiệm môn Toán được bien soạn bài bản, theo chủ đề cong thuc giai nhanh mon toan×cong thuc giai nhanh toan×công thức giải nhanh toán 12×cong thuc giai nhanh toan 11×công thức giải nhanh hoá×
CHUYấN TON 10-11-12-LT H PhĐm o Thanh Tỳ (Xem chi tit mt trong) TểM TỗT L THUYũT 1.1 Cụng thc lềng giỏc Hê thc cẽ bÊn 1 + tan2 x = cos2 x cos x cot x = sin x sin2 x + cos2 x = sin x tan x = cos x 1.2 tan(a b) = cos(a b) = cos a cos b sin a sin b cos 2x = cos2 x sin2 x = cos2 x 1=1 tan 2x = sin2 x tan x tan2 x Cụng thc nhõn ba cos 3x = cos3 x 1.5 tan a tan b tan a tan b Cụng thc nhõn ụi sin 2x = sin x cos x 1.4 sin2 x tan x cot x = 1 + cot2 x = Cụng thc cẻng sin(a b) = sin a cos b sin b cos a 1.3 ẹI Sằ - GIẫI TCH sin 3x = sin x cos x sin3 x Cụng thc hĐ bc cos2 x = + cos 2x sin2 x = 1 cos 2x 1.6 Cụng thc tớnh theo t = tan x2 sin x = 1.7 2t + t2 cos x = t2 + t2 a+b a b cos 2 a+b a b cos a + cos b = cos cos 2 [cos(a sin a cos b = [sin(a t2 a+b a b sin 2 a+b a b sin sin 2 sin a sin b = cos cos a cos b = sin a sin b = b) + cos(a + b)] [cos(a p cos x (sin x cos x)2 = sin 2x sin6 x + cos6 x = b) cos(a + b)] b) + sin(a + b)] Mẻt sậ cụng thc khỏc sin x + cos x = Cụng thc tớch thnh tng cos a cos b = 1.9 2t Cụng thc tng thnh tớch sin a + sin b = sin 1.8 tan x = sin x cos x = p sin x sin4 x + cos4 x = sin2 2x sin2 2x Cỏc l thuyt v Đo hm 2.1 nh nghổa v cỏc tớnh chòt nh nghổa Cho hm sậ y = f (x) xỏc nh trờn khoÊng (a, b), x0 (a, b), x0 + x (a, b), nu tn tĐi giểi hĐn (hu hĐn) lim f (x0 + x!0 x) x f (x0 ) ềc gi l Đo hm ca f (x) tĐi x0 , kớ hiêu l f (x0 ) hay y (x0 ), ú f (x0 ) = lim f (x0 + x!0 Cỏc qui tc tớnh x) x Đo hm (a) [f (x) g(x)]0 = f (x) g (x) f (x0 ) = lim x!x0 f (x) x f (x0 ) x0 (b) [f (x).g(x)]0 = f (x)g(x) + f (x)g (x) (c) [kf (x]0 = kf (x) vểi k R f (x)g(x) f (x)g (x) f (x) (d) = vểi g(x) 6= g(x) [g(x)]2 (e) yx0 = yu0 u0x vểi y = y(u), u = u(x) 2.2 BÊng cỏc Đo hm cẽ bÊn Đo hm ca hm còp Đo hm ca hm hềp u = u(x) (c)0 = vểi c R (x )0 = .x = x x2 (u )0 = .u = u u u0 u2 p ( x)0 = p x p u0 ( u)0 = p u (ex )0 = ex (eu )0 = eu u0 (ax )0 = ax ln a (au )0 = au ln a.u0 (sin x)0 = cos x (sin u)0 = u0 cos u (cos x)0 = sin x (cos u)0 = (tan x)0 = cos2 x (tan u)0 = u0 cos2 u (cot u)0 = u0 (cot x)0 = 2.3 1 sin2 x u0 sin u sin2 u Vi phõn Cho hm sậ y = f (x) xỏc nh trờn (a, b) v cú Đo hm tĐi x (a, b) GiÊ s x l sậ gia ca x cho x + x (a, b) Tớch f (x) x ềc gi l vi phõn ca hm sậ f (x) tĐi x, ng vểi sậ gia x, k hiêu l df (x) hay dy Nh vy dy = df (x) = f (x)dx L thuyt khÊo sỏt hm sậ 3.1 Tớnh ng bin - nghch bin ca hm sậ GiÊ s hm f (x) cú Đo hm trờn khoÊng (a; b), ú: f (x) > 0, 8x (a, b) thỡ f (x) ng bin trờn khoÊng (a, b) f (x) < 0, 8x (a, b) thỡ f (x) nghch bin trờn khoÊng (a, b) f (x) ng bin trờn khoÊng (a, b) thỡ f (x) > 0, 8x (a, b) f (x) nghch bin trờn khoÊng (a, b) thỡ f (x) 0, 8x (a, b) 3.2 Các tr ca hm sậ GiÊ s hm f (x) cú Đo hm trờn khoÊng (a; b) v x0 (a; b) ( f (x) > 0, 8x (x0 h; x0 ) Nu thỡ x0 l im Đi ca f (x) f (x) < 0, 8x (x0 ; x0 + h) ( f (x) < 0, 8x (x0 h; x0 ) Nu thỡ x0 l im tiu ca f (x) f (x) > 0, 8x (x0 ; x0 + h) ( f (x0 ) = Nu thỡ x0 l im Đi ca f (x) f 00 (x0 ) > ( f (x0 ) = Nu thỡ x0 l im tiu ca f (x) f 00 (x0 ) < 3.3 Giỏ tr lển nhòt - nh nhòt ca hm sậ Xột trờn mẻt oĐn: (a) Tỡm xi [a, b], i = 1, 2, , n l cỏc im tĐi ú cú Đo hm băng hoc khụng xỏc nh (b) Tớnh f (a), f (b), f (xi ), vểi i = 1, 2, , n (c) So sỏnh suy giỏ tr lển nhòt v giỏ tr nh nhòt Xột trờn mẻt khoÊng : Dựng bÊng bin thiờn khÊo sỏt hm sậ 3.4 èng tiêm cn Kớ hiêu (C) l th ca hm sậ y = f (x) èng tiêm cn ng Nu mẻt cỏc iu kiên sau xÊy lim f (x) = +1 + x!x0 lim f (x) = 6 x!x+ 6 lim f (x) = +1 x!x0 lim f (x) = x!x0 thỡ èng thỉng x = x0 l tiêm cn ng ca (C) èng tiêm cn ngang Nu lim f (x) = y0 hoc x!+1 cn ngang ca (C) 3.5 lim f (x) = y0 thỡ èng thỉng y = y0 l tiêm x! Cỏc bểc khÊo sỏt hm sậ y = f (x) Tỡm xỏc nh ca hm sậ Sá bin thiờn (a) Chiu bin thiờn i Tớnh y ii Tỡm cỏc nghiêm ca phẽng trỡnh y = v cỏc im tĐi ú y khụng xỏc nh iii Xột dòu y v suy chiu bin thiờn ca hm sậ (b) Tỡm cỏc im tr (nu cú) (c) Tỡm cỏc giểi hĐn vụ các, cỏc giểi hĐn tĐi +1, v tĐi cỏc im m hm sậ khụng xỏc nh Suy cỏc èng tiêm cn ng v ngang (nu cú) (d) Lp bÊng bin thiờn V th: Tớnh thờm ta ẻ mẻt sậ im c biêt, lp bÊng giỏ tr v dáa vo bÊng bin thiờn v th 3.6 Tẽng giao ca hai th Biên lun sậ nghiêm ca phẽng trỡnh băng th GiÊ s (C1 ) l th ca hm sậ y = f (x) v (C2 ) l th ca hm sậ y = g(x) Khi ú sậ nghiêm ca phẽng trỡnh f (x) = g(x) tẽng ng vểi sậ giao im ca (C1 ) v (C2 ) Tip tuyn vểi th ca hm sậ (a) DĐng Vit phẽng trỡnh tip tuyn ca th hm sậ y = f (x): i ii iii iv v TĐi TĐi TĐi TĐi TĐi mẻt im im giao giao im (x0 ; y0 ) trờn th cú honh ẻ x0 trờn th cú tung ẻ y0 trờn th im ca th vểi trc tung im ca th vểi trc honh Phẽng phỏp giÊi: Tỡm cỏc giỏ tr x0 ; y0 = f (x0 ) v f (x0 ) Khi ú, phẽng trỡnh tip tuyn ca th hm sậ y = f (x) tĐi (x0 ; y0 ) l y y0 = f (x0 )(x x0 ) (b) DĐng Vit phẽng trỡnh tip tuyn ca th hm sậ y = f (x) bit tip tuyn song song hoc vuụng gúc vểi èng thỉng y = ax + b Phẽng phỏp giÊi nh sau i Tớnh y = f (x) ii Nu tip tuyn song song vểi èng thỉng y = ax + b thỡ sậ gúc ca tip tuyn băng a, tc l giÊi phẽng trỡnh f (x) = a tỡm x0 Nu tip tuyn vuụng gúc vểi èng thỉng y = ax + b thỡ sậ gúc 1 ca tip tuyn băng , tc l giÊi phẽng trỡnh f (x) = tỡm a a x0 iii Tớnh y0 = f (x0 ) iv Thay vo phẽng trỡnh tip tuyn y y0 = f (x0 )(x x0 ) (c) DĐng Vit phẽng trỡnh tip tuyn i qua mẻt im cho trểc n th hm sậ y = f (x) Phẽng phỏp s dng iu kiên tip xỳc: th hm sậ y = f (x) v èng thỉng y = g(x) tip xỳc tĐi im cú honh ẻ x0 x0 l nghiêm ca ( f (x) = g(x) f (x) = g (x) Cỏc l thuyt v nguyờn hm 4.1 Nguyờn hm v cỏc tớnh chòt Cho hm sậ f (x) xỏc nh trờn khoÊng K R Hm sậ F (x) gi l nguyờn hm ca hm f (x) trờn khoÊng K nu F (x) = f (x), 8x K Mi hm sậ liờn tc trờn khoÊng K R u cú nguyờn hm trờn oĐn ú Nu F (x) l mẻt nguyờn hm ca hm sậ f (x) trờn khoÊng K R thỡ vểi mẩi hăng sậ C, hm sậ G(x) = F (x) + C cng l mẻt nguyờn hm ca f (x) trờn K Ngềc lĐi, nu F (x) l mẻt nguyờn hm ca hm sậ f (x) trờn K thỡ mi nguyờn hm ca f (x) trờn K u cú dĐng F (x) + CR vểi C l mẻt hăng sậ Kớ hiêu h tòt cÊ cỏc nguyờn hm R ca hm sậ f (x) l f (x)dx, c l tớch phõn bòt nh ca f (x) Khi ú f (x)dx = F (x) + C vểi C R Cỏc tớnh chòt cẽ bÊn R (a) f (x)dx = f (x) + C vểi C l hăng sậ thác R R (b) kf (x)dx = k f (x)dx vểi k l hăng sậ thác R R R (c) [f (x) g(x)]dx = f (x)dx g(x)dx 4.2 Phẽng phỏp tớnh nguyờn hm R Phẽng phỏp i bin sậ R Nu f0 (u)du = F (u) + C v u = u(x) l hm sậ cú Đo hm liờn tc thỡ f (u(x))u (x)du = F (u(x)) + C Phẽng phỏp tớch phõn tngR phản Nu hai hm sậ u =Ru(x) v v = v(x) cú Đo hm liờn tc trờn K thỡ u(x)v (x)du = u(x)v(x) u0 (x)v(x)du 4.3 BÊng cỏc nguyờn hm cẽ bÊn Nguyờn hm ca hm còp R R Nguyờn hm ca hm hềp u = u(x) 0dx = C dx = x + C R R 0du = C du = u + C R x dx = x+1 +C +1 R dx = ln |x| + C x ex dx = ex + C R R R R R R ax dx = ax +C ln a cos xdx = sin x + C sin xdx = cos x + C dx = tan x + C cos2 x dx = sin2 x cot x + C R u du = u+1 +C +1 R du = ln |u| + C u R R R R R R eu du = eu + C au du = au +C ln a cos udx = sin u + C sin udu = cos u + C du = tan u + C cos2 u du = sin2 u cot u + C Cỏc l thuyt v tớch phõn 5.1 Tớch phõn v cỏc tớnh chòt nh nghổa Cho hm sậ f (x) liờn tc trờn oĐn [a, b] GiÊ s F (x) l mẻt nguyờn hm ca f (x) trờn oĐn [a, b] Hiêu sậ F (b) F (a) ềc gi l tớch phõn t a n b (hay tớch phõn xỏc nh trờn [a, b]) ca hm sậ f (x) K hiêu Z b l f (x)dx Khi ú a Z b f (x)dx = F (x) a Trèng hềp a = b ta nh nghổa Z b Z a nghổa f (x)dx = f (x)dx a Z a a b b a = F (b) F (a) f (x)dx = Trèng hềp a > b ta nh Cỏc tớnh chòt ca tớch phõn Z b Z b (a) kf (x)dx = k f (x)dx vểi k l hăng sậ (b) (c) Z Z a a b [f (x) g(x)]dx = a b f (x)dx = a Z c Z b f (x)dx a f (x)dx + a Z b Z b g(x)dx a f (x)dx vểi a < c < b c (d) Tớch phõn khụng ph thuẻc vo ch dựng lm bin sậ dòu tớch phõn, tc l Z b Z b f (x)dx = f (t)dt = ã ã ã a 5.2 a Phẽng phỏp tớnh tớch phõn Phẽng phỏp i bin sậ (a) GiÊ s hm sậ x = '(t) cú Đo hm liờn tc trờn oĐn [, ] cho '() = a, '( ) = b v a '(t) b, 8t [, ] Khi ú Z b f (x)dx = a Z b f ('(t))'0 (t)dt a (b) GiÊ s hm sậ u = u(x) cú Đo hm liờn tc trờn oĐn [a, b] cho u(x) , 8x [a, b] Nu f (x) = g(u(x))u0 (x), 8x [a, b], ú g(u) liờn tc trờn oĐn [, ] thỡ Z b f (x)dx = a Z u(b) g(u)du u(a) Phẽng phỏp tớch phõn tng phản Nu u = u(x) v v = v(x) l hai hm sậ cú Đo hm liờn tc trờn oĐn [a, b] thỡ Z b u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] a Z b a b u0 (x)v(x)dx a hoc Z b udv = [uv] a b a Z b a vdu 5.3 ng dng ca tớch phõn Tớnh diên tớch ca hỡnh phỉng (a) Diên tớch hỡnh phỉng giểi hĐn bi th ca hm sậ y = f (x), hai èng thỉng x = a, x = b v trc Ox l y y = f (x) S= Z b Z |f (x)|dx a O a b a |f (x)|dx x b (b) Diên tớch hỡnh phỉng giểi hĐn bi th ca hai hm sậ y = f (x), y = g(x) v hai èng thỉng x = a, x = b l y y = f (x) S= Z b |f (x) a g(x)|dx y = g(x) O a b x Tớnh th tớch ca vt th trũn xoay (a) GiÊ s hỡnh phỉng giểi hĐn bi cỏc èng y = f (x), y = (trc Ox), x = a, x = b quay quanh trc Ox tĐo thnh mẻt vt th trũn xoay Th Z b tớch ca vt th ú l V = [f (x)]2 dx a (b) Xột èng cong cú phẽng trỡnh x = g(y) liờn tc vểi mi y [a; b] Nu hỡnh giểi hĐn bi cỏc èng x = g(y), x = (trc Oy), y = a, y = b quay quanh trc Oy thỡ th tớch ca vt th trũn xoay tĐo thnh xỏc nh bi Z b V = [g(y)]2 dy a 10 Ly tha v logarit 6.1 Ly tha Ly tha vểi sậ m nguyờn dẽng Vểi a R, n N ta cú an = a.a a} | {z n tha sậ Ly tha vểi sậ m nguyờn õm Vểi a 6= 0, n N ta cú a n = an Ly tha vểi sậ m Vểi a 6= ta cú a0 = Cn bc n Cho sậ thác b v sậ nguyờn dẽng n = Khi ú (a) Sậ a ềc gi l cn bc n ca b nu an = b, k hiêu a = p (b) Khi n lƠ thỡ tn tĐi nhòt n b vểi mi b R p n b (c) Khi n chặn thỡ i Nu b < thỡ khụng tn tĐi cn bc n ca b p ii Nu b = thỡ cú mẻt cn n = p p iii Nu b > thỡ cú hai cn n b v n b Ly tha vểi sậ m hu tứ Vểi a > 0, m, n Z, n > 2, ta cú m an = p n am Ly tha vểi sậ m vụ tứ Cho a > 0, l mẻt sậ vụ tứ v (rn ) l mẻt dóy sậ hu tứ cho lim rn = a, ú a = lim arn n!+1 n!+1 Cỏc tớnh chòt Cho a > 0, b > 0, , R, ú a = a a a a (b) (ab) = a b ; = ; (a ) = a b b (c) Nu a > thỡ a > a () > (a) a a = a+ ; (d) Nu < a < thỡ a > a () < 11 6.2 Logarit nh nghổa Cho a > 0, b > 0, a 6= 1, sậ tha ỉng thc a = b ềc gi l logarit cẽ sậ a ca b v k hiêu l loga b, nh vy = loga b () a = b Cỏc tớnh chòt loga = 0; loga a = 1; aloga b = b; loga a = Cỏc quy tc (a) Vểi cỏc sậ a, b1 , b2 > 0, a 6= 1, ta cú loga (b1 b2 ) = loga b1 + loga b2 b1 loga = loga b1 loga b2 b2 (b) Vểi cỏc sậ a, b > 0, a 6= 1, R, n N , ta cú p 1 n loga = loga b; loga b = loga b; loga b = loga b b n (c) Vểi cỏc sậ a, b, c > 0, a 6= 1, c 6= ta cú loga b = logc b 1 ; loga b = (b 6= 1); loga b = loga b( 6= 0) logc a logb a Logarit thp phõn v logarit tá nhiờn Vểi x > ta vit gn log10 x = lg x hoc log10 x = log x; loge x = ln x 6.3 Phẽng trỡnh m v phẽng trỡnh logarit Phẽng trỡnh m dĐng cẽ bÊn ax = b (a > 0, a 6= 1) (a) Nu b thỡ phẽng trỡnh vụ nghiêm (b) Nu b > thỡ phẽng trỡnh cú nghiêm nhòt x = loga b (c) Cỏc phẽng phỏp bin i v dĐng cẽ bÊn: ph, lòy logarit hai v, 12 a v cựng cẽ sậ, t ân Phẽng trỡnh logarit dĐng cẽ bÊn loga x = b (a > 0, a 6= 1) (a) Phẽng trỡnh logarit cẽ bÊn luụn cú nghiêm nhòt x = ab (b) Cỏc phẽng phỏp bin i v dĐng cẽ bÊn: ph, m húa hai v, 6.4 a v cựng cẽ sậ, t ân Bòt phẽng trỡnh m v bòt phẽng trỡnh logarit Bòt phẽng trỡnh m cẽ bÊn (a) Nu a > thỡ af (x) = ag(x) () f (x) = g(x) (tớnh chòt ng bin) (b) Nu < a < thỡ af (x) = ag(x) () f (x) g(x) (tớnh chòt nghch bin) Bòt phẽng trỡnh logarit cẽ bÊn (a) Nu a > thỡ loga f (x) = loga g(x) () f (x) = g(x) > (tớnh chòt ng bin) (b) Nu < a < thỡ loga f (x) = loga g(x) () < f (x) g(x) (tớnh chòt nghch bin) Sậ phc 7.1 Cẽ bÊn v sậ phc Sậ phc cú dĐng z = a + bi ú (a) a l phản thác, b l phản Êo, a, b R (b) i l ẽn v Êo v i2 = Hai sậ phc băng v phản thác v phản Êo tẽng ng băng nhau, tc l ( a=c a + bi = c + di , b=d Sậ phc z = a + bi ềc biu din bi im M (a; b) trờn mt phỉng ta ẻ ! Oxy Khi ú, ẻ di ca OM gi l mụ un ca sậ phc z ú, tc l p ! |! z | = OM = a2 + b2 Sậ phc liờn hềp ca z = a + bi l z = a 13 bi 7.2 Cỏc phộp toỏn vểi sậ phc Phộp cẻng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Phộp tr: (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Phộp nhõn: (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2 = (ac bd) + (ad + bc)i Phộp chia: (a + bi) (a + bi)(c di) = (c + di) (c + di)(c di) (a + bi)(c di) = (c2 + d2 ) 7.3 Phẽng trỡnh bc hai vểi sậ thác Sậ thác a < vđn cú cỏc cn bc hai l i Xột phẽng trỡnh bc hai p |a| v i p |a| ax2 + bx + c = ú a, b, c R, a 6= t = b2 4ac (a) Nu = thỡ phẽng trỡnh cú nghiêm kộp (thác) x = (b) Nu > thỡ phẽng trỡnh cú nghiêm thác x1,2 = (c) Nu < thỡ phẽng trỡnh cú nghiêm phc x1,2 = 14 b 2a p b 2a p bi | | 2a 15 GV chuyờn toỏn: PhĐm o Thanh Tỳ T: 0985750746 X Nhn dĐy kốm tĐi nh t lểp n lểp 12, luyên thi vo Đi hc X Phẽng phỏp s phĐm d hiu, kinh nghiêm luyên thi Đi hc 10 nm X Rốn luyên hc sinh t trung bỡnh thnh khỏ, gii X Ti liêu phỏt cho hc sinh phớ v ềc biờn soĐn rừ rng, d hiu băng phản mm thụng minh Latex 16