Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh giải tích 12 trần hoàng long

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 MỤC LỤC PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc công thức tính đạo hàm 1.3 Bảng công thức tính đạo hàm 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức 1.5 Đạo hàm cấp CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 2.4 Quy tắc tìm cực trị MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d 3.2 Cực trị hàm bậc trùng phương y  ax  bx  c, a   12 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 14 4.1 Định nghĩa 14 4.2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN 14 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 5.1 Đường tiệm cận ngang 15 5.2 Đường tiệm cận đứng 15 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 6.1 Khảo sát số hàm đa thức hàm phân thức 15 6.2 Một số phép biến đổi đồ thị 17 TIẾP TUYẾN 19 7.1 Tiếp tuyến 19 7.2 Điều kiện tiếp xúc 20 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 20 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 20 9.1 Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong 20 9.2 Bài tốn tìm điểm có tọa độ nguyên 21 9.3 Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng 21 9.4 Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 22 PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT 24 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 24 1.1 Khái niệm lũy thừa 24 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 1.2 Phương trình x n  b 24 1.3 Một số tính chất bậc n 25 1.4 Hàm số lũy thừa 25 x 1.5 Khảo sát hàm số mũ y  a ,  a  0, a  1 26 LOGARIT 27 2.1 Khái niệm Logarit 27 2.2 Bảng tóm tắt cơng thức Mũ-logarit thường gặp 27 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 28 3.1 Bất phương trình mũ 28 3.2 Bất phương trình logarit 28 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 29 4.1 Lãi đơn 29 4.2 Lãi kép 29 4.3 Tiền gửi hàng tháng 30 4.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng 30 4.5 Vay vốn trả góp 30 4.6 Bài toán tăng lương 31 4.7 Bài toán tăng trưởng dân số 31 4.8 Lãi kép liên tục 31 PHẦN III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 32 NGUYÊN HÀM 32 1.1 Định nghĩa 32 1.2 Tính chất nguyên hàm 32 1.3 Sự tồn nguyên hàm 32 1.4 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp 32 1.5 Bảng nguyên hàm mở rộng 33 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 34 2.1 Phương pháp đổi biến 34 2.2 Phương pháp nguyên hàm phần 35 TÍCH PHÂN 36 3.1 Cơng thức tính tích phân 36 3.2 Tính chất tích phân 36 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 37 4.1 Phương pháp đổi biến 37 4.2 Phương pháp tích phân phần 38 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 38 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 38 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ 40 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 5.3 Tích phân hàm lượng giác 43 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 46 6.1 Diện tích hình phẳng 46 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay 46 PHẦN IV SỐ PHỨC 48 SỐ PHỨC 48 1.1 Khái niệm số phức 48 1.2 Hai số phức 48 1.3 Biểu diễn hình học số phức 48 1.4 Số phức liên hợp 48 1.5 Môđun số phức 48 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 49 2.1 Phép cộng phép trừ số phức 49 2.2 Phép nhân số phức 49 2.3 Chia hai số phức 49 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 49 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 50 4.1 Căn bậc hai số thực âm 50 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực 50 BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MƠ ĐUN SỐ PHỨC 50 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa   Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y  f x xác định K ta có:    Hàm số y  f x gọi đồng biến (tăng) K nếu:     x 1, x  K , x  x  f x  f x    Hàm số y  f x gọi nghịch biến (giảm) K nếu:     x 1, x  K , x  x  f x  f x Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét:    Hàm số f x đồng biến K       0  x , x f x  f x1 x  x1  K ,  x  x Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải    Hàm số f x nghịch biến K       0  x , x f x  f x1 x  x1  K ,  x  x Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải         Nếu f   x   0, x   a; b   hàm số f  x  nghịch biến khoảng a;b  Nếu f   x   0, x  a;b   hàm số f  x  không đổi khoảng a;b  Nếu f  x  đồng biến khoảng a;b   f   x   0, x  a;b  Nếu f  x  nghịch biến khoảng a;b   f   x   0, x  a;b  Nếu thay đổi khoảng a;b  đoạn nửa khoảng phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f  x  liên tục đoạn nửa khoảng đó”  Nếu f  x  0, x  a;b  hàm số f x đồng biến khoảng a;b      1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm     Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : số  Tổng, hiệu: u  v   u   v     Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u      Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  u  u .v  v .u  C  C u  , v    Thương:       2 v u v  u         Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  yx  yu ux 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp C   Đạo hàm hàm hợp x    x  (C số) x    x   1  u    u  1   1 u       (x  0) x x    u    u  u u   x   1x x  0  u   2uu u  0  sin x   cos x  sin u   u .cos u  cos x    sin x  cos u   u  sin u  tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sinu u e   e e   u .e   u  x x u u a   a ln a a   u .a ln a  ln x   x1  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a x  x u a u a 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức  ax  b  ad  bc      cx  d  cx  d   a    b a    c b    c x 2 x  d    e d    f e    f  ax  bx  c      2 dx  ex  f   dx  ex  f   1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 f   x    f   x    1.5.2 Ý nghĩa học  Gia tốc tức thời chuyển động s  f t     thời điểm t là: a t0  f  t0 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f n   x    f   x  , n   , n   n 1 * Một số ý:    Nếu hàm số f x     g x đồng biến (nghịch biến) K hàm số   f x  g x đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng     Nếu hàm số f  x  g  x  hàm số dương đồng biến (nghịch biến) K hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số f  x  , g  x  không hàm số dương K Cho hàm số u  u  x  , xác định với x  a;b  u  x   c; d  Hàm số f u  x   xác định với x  a;b  hiệu f x  g x   Ta có nhận xét sau:      Giả sử hàm số u  u x đồng biến với x  a;b Khi đó, hàm số f u  x   đồng biến     với x  a;b  f u đồng biến với u   c ; d       Giả sử hàm số u  u x nghịch biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u x  nghịch     biến với x   a; b   f  u  nghịch biến với u  c; d Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K      Nếu f ' x  với x  K f ' x  số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng biến K      Nếu f ' x  với x  K f ' x  số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K Chú ý: * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y  ax  b  d  x    dấu "  " xét dấu cx  d  c đạo hàm y  không xảy     Giả sử y  f x  ax  bx  cx  d  f  x  3ax  2bx  c Hàm số đồng biến  Hàm số nghịch biến  Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  a       f  x  0; x     a    b    c   a       f  x  0; x     a    b    c        Trường hợp hệ số c khác a  b  c  f x  d (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ta giải sau:   Bước 1: Tính y   f  x ; m  ax  bx  c   Bước 2: Hàm số đơn điệu x 1; x  y   có nghiệm phân biệt    a  *  Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài l   x1  x  l  x1  x    4x 1x  l  S2  P  l * *   Bước 4: Giải * giao với * * để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập K x  K Ta nói:  x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng  a; b  chứa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  Khi f  x  0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f    x điểm cực đại hàm số f tồn khoảng a;b  a; b   K f x   f  x  , x  a;b  \ x  Khi f x  0 chứa x cho gọi giá trị cực đại hàm số f  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12     Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm x ; f x gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f * Nhận xét:   f  x  giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số  Giá trị cực đại (cực tiểu) f x nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập D; f   khoảng a;b chứa x hay nói cách khác x điểm cực đại ( cực tiểu) tồn   khoảng (a;b) chứa x cho f x giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f   khoảng a;b  Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập K Hàm số khơng có cực trị tập cho trước 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1:     Giả sử hàm số y  f x đạt cực trị điểm x Khi đó, y  f x có đạo hàm điểm   x f  x  Chú ý:  Đạo hàm f   x  điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0  Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm  Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm x f '  x0       Nếu f  x  khoảng x  h ; x  f  x  khoảng x ; x  h x      f  x  khoảng  x0 ; x0  h  x   điểm cực đại hàm số f x     Nếu f  x  khoảng x  h ; x     điểm cực tiểu hàm số f x 2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:   Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f  x Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12    Bước 2: Tìm điểm x i i  1;2; mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm      Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f  x Nếu f  x đổi dấu qua x i hàm số đạt cực trị x i Định lí 3:   Nếu f   x   0, f   x   hàm số Nếu f   x   0, f   x   hàm số   Giả sử y  f x có đạo hàm cấp khoảng x  h; x  h với h  Khi đó:   0 f đạt cực đại x 0 f đạt cực tiểu x Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2:   Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f  x      Bước 2: Tìm nghiệm x i i  1;2; phương trình f  x      Bước 3: Tính f  x tính f  x i   Nếu f   x   hàm số f  Nếu f  x i  hàm số f đạt cực đại điểm x i  i đạt cực tiểu điểm xi MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát:   Cho hàm số y  f x ; m  ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x 1, x thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp:  Bước 1:  Tập xác định: D    Đạo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C  Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu)  y   có hai nghiệm phân biệt y  đổi dấu qua nghiệm  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt A  3a  a     m  D1 2   B  AC  b  12 ac  b  ac   y   Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  Bước 3: Gọi x 1, x hai nghiệm phương trình y    B 2b x  x     A 3a Khi đó:  C c x x    A 3a  Bước 4: Biến đổi điều kiện K dạng tổng S tích P Từ giải tìm m  D2  Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: m  D1  D2   * Chú ý: Hàm số bậc ba: y  ax  bx  cx  d a  Ta có: y '  3ax  2bx  c Điều kiện b  3ac   Kết luận Hàm số khơng có cực trị Hàm số có hai điểm cực trị b  3ac  Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu  Hàm số có cực trị trái dấu  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt trái dấu  AC  3ac   ac    Hàm số có hai cực trị dấu  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt dấu  y     C 0 P  x 1.x   A Hàm số có hai cực trị dấu dương  phương trình y   có hai nghiệm dương phân biệt   y    B  S  x  x    A  P  x x  C   A  Hàm số có hai cực trị dấu âm  phương trình y   có hai nghiệm âm phân biệt   y '   B  S  x  x    A  C P  x x  0  A Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 10 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  cos x    Vậy: I  P (x ) sin x  e x     cos x    sin x   x  P '(x )dx e    2.2.2.2 Dạng u  ln x  I   P (x ) ln xdx Đặt  dv  P (x )dx   du  dx  x v   P (x )dx  Q(x )  Vậy I  lnx Q x   Q(x ) dx x 2.2.2.3 Dạng   sin x  I   ex   dx Đặt cos x  u  e x  sin x   dv  cos x  dx     cos x  Vậy I = I  e x  sin x    du  e xdx   cos x   v  sin x       cos x  x e dx    sin x Bằng phương pháp tương tự ta tính   cos x  x e dx sau thay vào I    sin x TÍCH PHÂN 3.1 Cơng thức tính tích phân b  f (x )dx  F (x ) b a  F (b)  F (a ) a * Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu b b  f (x )dx hay  f (t )dt a Tích a phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số 3.2 Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f  x  g  x  liên tục K , a, b, c ba số thuộc K Khi ta có : a  f (x )dx  a b a  f (x )dx    f (x )dx a b b c b  f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx a b a c b b   f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx a a a Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 36 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 b b  kf (x )dx  k  f (x )dx a a b Nếu f(x)  0, x  a;b  :  f (x )dx  0x  a;b  a b b Nếu x  a;b  : f (x )  g(x )   f (x )dx   g(x )dx a a b     Nếu x  a;b  Nếu M  f (x )  N M b  a   f (x )dx  N b  a a PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 4.1 Phương pháp đổi biến 4.1.1 Phương pháp đổi biến số dạng 4.1.1.1 Định lí Nếu 1) Hàm x  u(t ) có đạo hàm liên tục  ;     2) Hàm hợp f (u(t )) xác định  ;   ,   3) u( )  a, u( )  b b  Khi đó: I   f (x )dx   f (u(t ))u ' (t )dt a  4.1.1.2 Phương pháp chung   Bước 1: Đặt x  u t  Bước 2: Tính vi phân hai vế : Đổi cận: x  u(t )  dx  u '(t )dt x b t   x a t   Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t b    Vậy: I   f (x )dx   f u(t ) u '(t )dt   g(t )dt  G (t )  G ( )  G ( )  a   4.1.2 Phương pháp đổi biến dạng 4.1.2.1 Định lí Nếu hàm số u  u(x ) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn a;b  cho b   f (x )dx  g u(x ) u '(x )dx  g(u )du thì: I   f (x )dx  a u (b )  g(u)du u (a ) 4.1.2.2 Phương pháp chung  Bước 1: Đặt u  u(x )  du  u ' (x )dx  Bước 2: Đổi cận : x b x a  u  u(b) u  u(a ) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 37 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u b u (b ) b Vậy: I   f (x )dx   g u(x ).u '(x )dx  a a  g(u)du u (a ) 4.2 Phương pháp tích phân phần 4.2.1 Định lí Nếu u  x  v  x  hàm số có đạo hàm liên tục a;b  thì: b b ' a b b b  u(x )v (x )dx  u(x )v(x ) a   v(x )u (x )dx ' Hay  udv  uv a   vdu a a b a 4.2.2 Phương pháp chung  Bước 1: Viết f  x  dx dạng udv  uv 'dx cách chọn phần thích hợp f  x  làm u  x  phần lại dv  v '(x )dx  Bước 2: Tính du  u ' dx v   dv   v '(x )dx b  Bước 3: Tính  vu '(x )dx uv a b a * Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần b b b b x  P (x )e dx  P(x )ln xdx  P(x ) cos xdx e u P(x) lnx P(x) dv e xdx P(x)dx cosxdx ex cosxdx Đặt u theo thứ tự ưu tiên: a a a x cos xdx a Lốc-đa-mũ-lượng Chú ý: Nên chọn u phần f  x  mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv  v 'dx phần f  x  dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 5.1.1 Dạng    dx adx I=     ln ax  b a  ax  b a  ax  b   (với a≠0)  dx 1 Chú ý: Nếu I =    (ax  b)k adx  (ax  b)k 1 k a a(1  k )  (ax  b )   5.1.2 Dạng  I    ax dx  bx  c a  0 ( ax  bx  c  với x   ;   )   Xét   b  4ac  Nếu   x1  b   b   ; x2  2a 2a Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 38 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  1 1       : ax  bx  c a(x  x1 )(x  x ) a(x  x )  x  x x  x    1  ln x  x1  ln x  x2    dx    a(x1  x2 )   x  x1 x  x2  a(x1  x2 )  x  x1   ln a(x1  x2 ) x  x2  I   Nếu   1  ax  bx  c a(x  x )2  I =   b  x0   2a    dx dx  ax  bx  c  a  (x  x )2   a(x  x ) 0   Nếu   I  Đặt x   b  2a dx  ax  bx  c       dx 2        b a  x        2a   4a       tan t  dx   tan2 t dt 2 a 4a   5.1.3 Dạng  I    ax (trong f (x )  mx  n dx ,  bx  c a  0 mx  n liên tục đoạn  ;   ) ax  bx  c  Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: A(2ax  b ) B mx  n A(ax  bx  c)' B     2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c   Ta có I=    Tích phân        ax dx  bx  c  A(2ax  b) B dx   dx 2 ax  bx  c ax  bx  c  A(2ax  b) dx = A ln ax  bx  c ax  bx  c  Tích phân mx  n dx  ax  bx  c   thuộc dạng 5.1.4 Dạng b I  P (x )  Q(x ) dx với P  x  Q  x  đa thức x a  Nếu bậc P  x  lớn bậc Q  x  dùng phép chia đa thức  Nếu bậc P  x  nhỏ bậc Q  x  xét trường hợp:  Khi Q  x  có nghiệm đơn  1,  , ,  n đặt Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 39 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 A1 A2 An P(x )     Q(x ) x  1 x  2 x  n  Khi Q  x  có nghiệm đơn vô nghiệm    Q(x )  x   x  px  q ,   p  4q  đặt P (x ) A Bx  C   Q(x ) x   x  px  q  Khi Q  x  có nghiệm bội Q(x )  (x   )(x   )2 với    đặt A P (x ) B C    Q(x ) x   x  x   Q(x )  (x   )2 (x   )3 với    đặt P(x ) A B C D E      3 x  (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ b Trong R  x, f  x  có dạng:  R(x, f (x ))dx a  a x  R  x,  a x      Đặt x  acos2t, t  0;    2   R x, a  x  Đặt x  a sin t x  a cos t  ax  b  R  x, n  cx  d   ax  b  Đặt t  n  cx  d       (ax  b)  R x, f x    Với  x   x   '  k ax  b x   x   Đặt t   x   x   , Đặt t   ax  b     R x , a  x Đặt x  a tan t , t   ;   2    R a  Đặt x  cos x ,  t  [0; ] \ 2  x ; ; x  Gọi k  BSCNN n ; n ; ; n  Đặt x  t  R x, x  a  n1 x; n2 ni k i 5.2.1 Dạng  I    ax  bx  c dx a   Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 40 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  b x u     b   2a  Từ : f(x)=ax  bx  c  a  x     du  dx   2a    4a     K  2a Khi ta có :    Nếu   0, a   f (x )  a u  k  f (x )  a u  k (1) a   b    Nếu :    f (x )  a  x     (2) b 2a    f (x )  a x  2a  a u   Nếu :      f (x )  a x  x x  x  (3) Với a  : f (x )  a  x  x  x  x   f (x )  a  x  x  x  x  (4)  Với a  : f (x )  a x  x x  x   1 2 Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :  Phương pháp :   * Trường hợp :   0, a   f (x )  a u  k  f (x )  a u  k Khi đặt : ax  bx  c  t  a x  t2  c x  ;dx  tdt  bx  c  t  ax b  a b  a    t2  c x    t  t0, x    t  t1  t  a x  t  a  b 2 a    a   b   * Trường hợp :    f (x )  a  x     b 2a    f (x )  a x  2a  a u   Khi : I    a x b 2a dx  a      b  b  ln  x  0  :x  2a  2a  a  dx    b   ln  x  b  : x  b  x 2a  a  2a   2a     x a  x  x  x  x     x    x t  x t  x x t * Trường hợp :   0, a  Đặt : ax  bx  c  a x  x1 x  x    x  x t  * Trường hợp :   0, a  Đặt : ax  bx  c    2 5.2.2 Dạng  I    mx  n ax  bx  c dx a    Phương pháp :  Bước 1: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 41 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Phân tích f (x )  Ad mx  n ax  bx  c   ax  bx  c ax  bx  c  B ax  bx  c 1   Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A, B  Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1)  Bước : Tính I  2A  ax  bx  c  Trong   ax  bx  c     B dx (2)  ax  bx  c  a  0 biết cách tính dx 5.2.3 Dạng  I    mx  n  ax  bx  c dx a  0  Phương pháp :  Bước 1: Phân tích : mx  n  ax  bx  c   n m  x   ax  bx  c m  (1)  Bước 2:   n dx y   t    dy   x t  m x t n  Đặt :  x   y m x   t  ax  bx  c  a   t   b   t   c      y y  y    Bước 3: ' Thay tất vào (1) I có dạng : I    ' dy Ly  My  N Tích phân biết cách tính 5.2.4 Dạng    x    I   R x ; y dx   R  x ; m  dx    x         ( Trong : R  x; y  hàm số hữu tỷ hai biến số x,y  ,  ,  ,  số biết )  Phương pháp :  Bước 1: Đặt : t  m x   (1) x   Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 42 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  Bước 2:  Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x   t  Bước 3:  Tính vi phân hai vế : dx   ' t dt đổi cận  Bước 4:  '  x     dx   R  t ; t  ' t dt Tính :  R  x ; m   x     '      5.3 Tích phân hàm lượng giác 5.3.1 Một số công thức lượng giác 5.3.1.1 Công thức cộng cos(a  b )  cos a cos b   sin a sin b sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a tan(a  b )  tan a  tan b  tan a tan b 5.3.1.2 Công thức nhân đôi cos 2a  cos2 a – sin a  cos2 a –  – sin a  sin 2a  sin a.cos a  tan a  tan2 a cos 3  cos   cos  ; tan 2a  ;  tan a  tan a tan a  tan2 a sin 3  sin   sin  5.3.1.3 Công thức hạ bậc sin2 a   cos 2a  cos 2a  cos 2a ; cos2 a  ; tan2 a  2  cos 2a sin   sin 3 ; 5.3.1.4 Cơng thức tính theo t sin   cos3   cos 3  cos  a 2t 2t  t2 ; tan a  Thì sin a  ; cos a  2 1t 1t  t2 5.3.1.5 Công thức biến đổi tích thành tổng Với t  tan cos(   )  cos(   ) 2 sin  sin    cos(   )  cos(   ) sin  cos   sin(   )  sin(   ) 5.3.1.6 Công thức biến đổi tổng thành tích cos  cos   Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 43 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 cos   cos   cos   cos   cos   2 sin sin   sin   sin cos    sin      cos 2    sin   sin   cos sin 2 sin(   ) tan   tan   cos  cos  sin(   ) tan   tan   cos  cos  Công thức thường dùng:  cos 4  cos 4 cos6   sin6   cos4   sin   Hệ quả:     cos   sin   cos      sin     4 4       cos   sin   cos       sin     4 4   5.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác b  Nếu gặp I   f  sin x  cos xdx ta đặt t  sin x a b  Nếu gặp dạng I   f  cos x  sin xdx ta đặt t  cos x a b  Nếu gặp dạng I   f  tan x  a b  Nếu gặp dạng I   f  cot x  a dx ta đặt t  tan x cos x dx ta đặt t  cot x sin x 5.3.2.1 Dạng I1 =   sinx  n n dx ; I   cosx  dx * Phương pháp  Nếu n chẵn sử dụng công thức hạ bậc  Nếu n  sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi  Nếu 3n lẻ ( n  p  1) thực biến đổi: I1 =   sinx  n dx =   sinx  2p+1 2p p dx    sin x  sin xdx    1  cos2 x  d  cos x  k p k p      C p0  C p1 cos2 x    1 C pk  cos2 x     1 C pp  cos2 x   d  cos x     1k k  1p p 2k 1 p 1 1   C p cos x  C p cos x   C p  cos x    C p  cos x    c 2k  2p    Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 44 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 I2 =   cosx  n dx =   cosx  2p+1 2p  1  sin x  dx    cos x  cos xdx  p d  sin x  k p k p   C p0  C p1 sin2 x    1 C pk  sin2 x     1 C pp  sin2 x   d  sin x  k p    1 k  1 p k 1 p 1 1  C p sin x  C p sin x   C p  sin x    C p  sin x    c 2k  2p    5.3.2.2 Dạng I   sin m x cos n xdx m, n  N  * Phương pháp  Trường hợp 1: m, n số nguyên a Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b Nếu m chẵn, n lẻ ( n  p  1) biến đổi: p I= m 2p+1 m 2p m   sinx   cosx  dx    sin x   cos x  cos xdx    sin x  1  sin x  d  sin x  k p m k p    sin x  C p0  C p1 sin2 x    1 C pk  sin2 x     1 C pp  sin2 x   d  sin x   m 3 2k 1m p 1m c   sin x m 1        k p sin x k sin x p sin x     C p0  Cp   1 C p   1 C p c m 1 m3 2k   m 2p   m   Nếu m lẻ m  p  1 , n chẳn biến đổi: I= 2p+1   sinx   cosx  n n 2p p n dx    cos x   sin x  sin xdx     cos x  1  cos2 x  d  cos x  k p n k p     cos x  C p0  C p1 cos2 x    1 C pk  cos2 x     1 C pp  cos2 x   d  cos x   n 3 2k 1n p 1n   cos x n 1     cos x   cos x  k p cos x k p  c  C p Cp    1 C p    1 C p n 1 n3 2k   n 2p   n   d Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé  Nếu m, n số hữu tỉ biến đổi đặt u  sinx m B   sin x cos xdx    sin x   cos2 x  m n Tích phân (*) tính  số n 1 cos xdx   u m 1  u  n 1 du (*) m 1 n 1 m k số nguyên ; ; 2 5.3.2.3 Dạng   tan x  I1 = n dx ; I =   cot x  n  dx  1  tan x  dx   cos x   d  tan x   tan x  c  dx  1  cot x  dx   sin x   tan xdx   cos x dx      cot xdx   sin x dx   dx ( n  N ) 2 2 sin x cos x    d  cot x    cot x  C d  cos x    ln cos x  C cos x d  sin x   ln sin x  C sin x Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 45 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hình phẳng 6.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x ) liên tục đoạn a;b  , trục b hoành hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S   f (x ) dx a y y  f (x) O a c1 c2 c3 y  f (x)  y  (H )  x  a  x  b b x b S   f (x ) dx a 6.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x ) , y  g(x ) liên tục đoạn a;b  b hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S   f (x )  g(x ) dx a y  ( C ) : y  f1 ( x )   (C ) : y  f ( x ) (H )  x  a x  b  (C ) (C ) b O a c1 c2 b x S   f1 (x )  f (x ) dx a b - Nếu đoạn [a;b ] , hàm số f (x ) khơng đổi dấu thì:  b f (x ) dx  a  f (x )dx a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x  g(y ) , d x  h(y ) hai đường thẳng y  c , y  d xác định: S   g(y)  h(y) dy c 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay 6.2.1 Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S (x ) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a  x  b ) Giả sử S (x ) hàm số liên tục đoạn [a;b ] Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 46 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 (V ) O x a b x V b   S (x )dx a S(x) 6.2.2 Thể tích khối trịn xoay - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f (x ) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) O a b x  (C ) : y  f ( x )  b  (O x ) : y  V x     f ( x ) dx  x  a  a  x  b - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g(y ) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d c O x (C ) : x  g( y )  (Oy ) : x   y  c  y  d d V y     g( y ) dy c - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f (x ) , y  g(x ) hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V    f (x )  g (x ) dx a Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 47 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 PHẦN IV SỐ PHỨC SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức    Số phức (dạng đại số) : z  a  bi; a,b   Trong : a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i  1  Tập hợp số phức kí hiệu:     z số thực  phần ảo z b     z số ảo (hay gọi ảo)  phần thực a   Số vừa số thực vừa số ảo 1.2 Hai số phức      Hai số phức z1  a  bi a, b   z  c  di c, d   phần thực phần ảo chúng tương đương a  c  Khi ta viết z1  z  a  bi  c  di   b  d y 1.3 Biểu diễn hình học số phức  M (a;b)    Số phức z  a  bi a, b   biểu diễn điểm M a;b  hay u  a ;b mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy   O x 1.4 Số phức liên hợp   Số phức liên hợp z  a  bi a, b   z  a  bi  z z; z  z z z '  z z ';    ; z  z  2 z z' z z'; z z  a  b  z số thực  z  z ; z số ảo z  z 1.5 Môđun số phức   Độ dài vectơ OM gọi môđun số phức z kí hiệu z Vậy z  OM  hay z  a  bi  OM  a  b Một số tính chất:   z  a  b  zz  OM ; z  z  z  0, z  ; z   z   z z  z z ; z1 z2  z1 z2 ; z1 z2  z1 z z2 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 48 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  z1  z  z1  z  z1  z PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1 Phép cộng phép trừ số phức     Cho hai số phức z1  a  bi a, b   z  c  di c, d   Khi đó:     z1  z  a  c  b  d i  Số đối số phức z  a  bi z  a  bi  Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số thực đó: z  a  bi, z  z  2a 2.2 Phép nhân số phức      Cho hai số phức z1  a  bi a, b   z  c  di c, d          Khi đó: z1z  a  bi c  di    ac – bd  ad  bc i    Với số thực k số phức z  a  bi a, b   , ta có   k z  k a  bi  ka  kbi Đặc biệt: 0.z  với số phức z  Lũy thừa i : i  1, i 4n  1, i 4n 1  i, i 4n 2  1, i  i, i  1, i 4n   i, i  i i  i n    2.3 Chia hai số phức Số phức nghịch đảo z khác số z 1  Phép chia hai số phức z ' z  z z z' z '.z z '.z  z ' z 1   z z z z TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:  ax  by  c   tập hợp điểm đường thẳng  x   tập hợp điểm trục tung Oy  y   tập hợp điểm trục hoành Ox  2  x  a   y  b     R  tập hợp điểm hình trịn tâm I a;b , bán kính R  x  a  y  b  R2    tập hợp điểm đường trịn có tâm I a ;b , bán kính x  y  2ax  2by  c         R  a  b2  c  x   tập hơp điểm miền bên phải trục tung  y   tập hợp điểm miền phía trục hồnh  x   tập hợp điểm miền bên trái trục tung Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 49 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  y   tập hợp điểm phía trục hoành  y  ax  bx  c  tập hợp điểm đường Parabol  x y2    tập hợp điểm đường Elip a b2  x y2    tập hợp điểm đường Hyperbol a b2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1 Căn bậc hai số thực âm  Cho số z , có số phức z cho z 12  z ta nói z bậc hai z  Mọi số phức z  có hai bậc hai  Căn bậc hai số thực z âm i z Tổng quát, bậc hai số thực a âm i a 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a, b, c  , a  Xét biệt số   b  4ac phương trình Ta thấy: b 2a  Khi   , phương trình có nghiệm thực x    Khi   , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2   Khi   , phương trình có hai nghiệm phức x 1,2  b   2a b  i  2a BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC  z r max z   z z1   Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r ,  r    min z  z  r  z1 z1   Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r1 ,  r1   max P  z2 z1  z3  r1 z1 P  z2 z1  z3   r1 z1   Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z  z 1.z  z  k, k  k max z  z  z1 k  z2 2 z1 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 50 ...  B  AC  b  12 ac  b  ac   y   Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  Bước 3: Gọi... mãn kiện: ab  Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 12 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12    Đặt: BAC y b cot  8a Tổng quát:... C u      Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  u  u .v  v .u  C  C u  , v  