Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi và đáp án chuẩn học sinh giỏi môn Toán rất hay của tỉnh Bắc giang các em học sinh dùng làm tài liệu ôn thi Học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia đạt điểm cao. Giáo viên dùng làm tài liệu ôn thi giáo Viên giỏi tình và quốc gia. Sinh viên mới ra trường dùng ôn thi công chức viên chức
S GIO DC V O TO BC GIANG CHNH THC THI CHN HC SINH GII VN HO CP TNH NM HC 2016-2017 MễN THI: TON - LP 12 Ngy thi: 21/ 3/ 2017 Thi gian lm bi 180 phỳt, khụng k thi gian giao Cõu ( 4,5 im) 1) Tỡm m hm s y = cos 3x + 6m cos x 21cos x + 2m ng bin trờn khong ( 0; ) 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m th hm s f (x) = x + ( m - 3) x + m + m - cú hai im cc tr i xng y = qua ng thng 2x - 2 Cõu ( 4,5 im) 1) Gii phng trỡnh tan x tan x + tan x + cot x cot x + cot x = 2) Gii phng trỡnh log ( x + x 3) = log ( x + x ) , ( xĂ ) 3) Mt nhúm hc sinh gm cú bn nam, ú cú bn Hi v bn n ú cú bn Minh xp vo 13 cỏi gh trờn mt hng ngang Tớnh xỏc sut gia hai bn n ngi gn cú ỳng ba bn nam, ng thi bn Hi v bn Minh nờu trờn khụng ngi cnh 3 2 Cõu ( 4,0 im) 1) Gii phng trỡnh ( xĂ ) 2) Tớnh tớch phõn I= 3 x + + x + = x + x + + x + x + 2, log ( 2sin x + cos x ) + cos x dx Cõu ( 6,0 im) 1) Trong mt phng to Oxy cho ng thng d cú phng trỡnh x y + = v hai ng trũn ( C ) : x + y + x y + = ; ( C ) : x + ( y + 3) = Vit phng trỡnh ng trũn ( C ) tip xỳc vi ng thng d , tip xỳc ngoi vi ng trũn ( C ) , ng thi ( C ) ct ( C ) ti hai im A, B phõn bit m AB d 2) Cho hỡnh hp ng ABCD.A ' B ' C ' D ' cú ỏy l hỡnh thoi, ãABC > 90 Gúc gia A ' C v mt ỏy ( ABCD ) bng 30 ; gúc gia hai mt phng ( A ' BC ) v ( ABCD ) bng 45 ; khong cỏch t im C ' n mt phng ( A ' CD ) bng a Gi E l trung im cnh CD Tớnh th tớch hp ó cho v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din AA ' DE 3) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , lp phng trỡnh mt phng i qua hai im A(0;9;0) , M (4;3;25) v ct hai tia Ox,Oz ln lt ti hai im B,C khỏc O cho OB +OC nh nht 2 2 2 o o o Cõu ( 1,0 im) Cho cỏc s thc x, y, z khụng õm ụi mt phõn bit Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 1 P = x2 + y + z + + 2 ( x y ) ( y z ) ( z x ) ( ) HT -Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: .S bỏo danh: Giỏm th (H tờn v ký) Giỏm th (H tờn v ký) S GIO DC V O TO BC GIANG HNG DN CHM BI THI CHN HC SINH GII VN HểA CP TNH NGY THI 21/3/2017 MễN THI: TON LP 12 PH THễNG HDC CHNH THC (Bn hng dn chm cú 04 trang) Cõ Hng dn gii u Cõ u1 1.1 y = cos 3x + 6m cos x 21cos x + 2m (2 = 4cos x - 3cosx + 6m( 2cos x - 1) - 21cosx + 2m - = 4( cos x + 3m cos x - 6cosx - m - 2) i t t = cosx , hm s ó cho ng bin trờn khong m) ( 0; ) v ch hm s f ( t) = t + 3mt - 6t - m - nghch bin trờn ( - 1;1) 3 i m 4.5 ( ) f '( t ) = 3t + 6mt - = t + 2mt - Hm s f ( t) = t + 3mt2 - 6t - m - t + 2mt - Ê 0, " t ẻ ( - 1;1) 0.5 0.5 nghch bin trờn ( - 1;1) ỡù V' = m2 + > ùù ùớ f '( - 1) Ê ùù ùù f '( 1) Ê ợù ỡù - 1- 2m Ê 1 ùớ - Ê mÊ ùù - + 2m Ê 2 ợ 0.5 0.5 Kt lun Ta cú y ' = 3x + m hm s cú cc i v cc tiu thỡ m < m < Gi s A( x ; y ), B( x ; y ) l hai im cc tr 1.2 Tớnh c h s gúc ca ng thng AB l (2 f (x ) f (x ) k= = ( m 3) x x i Hai im cc tr i xng qua ng thng m) y = 21x - suy 1 k = ( m 3) = m = Th li m = tha 2 1 2 0.5 2 0.5 0.5 Cõ u2 0.5 4.5 3 tan x tan x + tan x + cot x cot x + cot x = iu kin: sin x.cos x x k , k  Phng trỡnh tng ng 2.1 (tan x + cot x) (tan x + cot x) + (tan x + cot x) = (1) (1 t t = tan x + cot x, | t | , phng tỡnh (1) tr thnh t t +t 6=0 i Gii c t = m) Suy tan x + cot x = sin x = x = + k (tha món) Vy x = + k , k  l nghim ca phng trỡnh ó cho 3 0.5 0.5 0.5 ( ) log x + x = log (x + 7x ) x + x > x + x > iu kin: Vit li phng trỡnh di dng ( ) ( log x + x = log x + x ) (1) 2.2 t y = log ( x + x 4) T phng trỡnh (1) ta cú h: (1 x + x = 4 + = ữ + ữ = (2) 5 x + x = i Hm s f ( y ) = ữ + ữ l hm nghch bin 5 m Do ú phng trỡnh (2) cú nghim thỡ nghim ú l nht Nhn thy y=1 l mt nghim x = Vi y = x + x = x + x = x = Vy phng trỡnh cú nghim x = v x = 2.3 W = 13! (1 ỏnh s gh trờn hng ngang theo th t t n 13 Cỏc bn n phi ngi vo cỏc gh s i 1,5,9,13 m) Gi A l bin c: Gia hai bn n ngi gn cú ỳng ba bn nam, ng thi bn Hi v bn Minh khụng ngi cnh Xột cỏc trng hp - Bn Minh ngi gh + S cỏch xp bn n cũn li l 3! + Cú cỏch xp v trớ ca Hi + Cú 8! cỏch xp tỏm bn nam vo cỏc v trớ cũn li Suy s cỏch xp l 3!.8.8! - Bn Minh ngi gh 13 cng cú s cỏch xp l 3!.8.8! y y y y y 0.5 y y y 0.5 0.2 0.5 - Bn Minh ngi gh (gh lm tng t) Cú 3! cỏch xp bn n, cú cỏch xp v trớ ca 0.5 Hi, cú 8! cỏch xp bn nam cũn li Suy s cỏch xp l 3!.7.8! W = 2.3!.7.8!+ 2.3!.8.8! = 2.15.3!8! 0.2 2.15.3!8! P ( A) = = ì 13! 858 A Cõ u3 x + + x + = 2x2 + 4x + + 2x2 + 4x + t u = x + 2; v = x + x + 3.1 Phng trỡnh ó cho tr thnh u + + u = v + + v (2 Xỏt hm s f (t ) = t + + t Cú f '(t ) = t + > 0, t ( t + 1) f (t ) luụn ng bin Nờn i Suy hm s f (u ) = f (v ) u = v m) Ta cú x + = x + x + x + 3x = x = 0; x = Vy phng trỡnh ó cho cú cỏc nghim x = 0; x = 3.2 log ( 2sin x + cos x ) ln ( 2sin x + cos x ) I= dx = dx + cos x ln cos x (2 ỡù u = ln( 2sin x + cosx) ùù i t ùùùùợ dv = cos1 x dx m) ùỡù du = 2cosx - sin x dx ùỡù du = 2cosx - sin x dx 3 3 3 3 3 2 0.5 2 0.5 0.5 ù 2sin x + cosx ị ùớ ùù ùù v = tan x + ùợ ù 2sin x + cosx ị ùớ ùù 2sin x + cosx ùù v = 2cosx ùợ 0.5 4 cos x sin x 2sin x + cosx I= ì dx tan x + ữìln ( 2sin x + cos x ) ln 2sin x + cos x cos x 3 sin x = ln ữdx ln 2 cos x 3 = ln x + ln ( cos x ) ữ ln 2 0.5 = 27 ữ ln ln 2 Cõ u4 0.5 cú tõm I ( - 1;3) , bỏn kớnh R = ; ( C ) cú tõm I ( 0;- 3) , bỏn kớnh R = Khng nh tõm I ca ng trũn ( C ) nm trờn 0.5 ng thng l qua I v song song vi d , l cú 4.1 phng trỡnh x - y - = (2 Tớnh c ng trũn ( C ) cú bỏn kớnh R = 0.5 Gi I ( t + 3;t) ẻ l S dng II = R + R = c t = hoc i t = - 0.5 m) I ( 3;0) hoc I ( 2;- 1) Kim tra ( C ) ct ( C ) ti hai im phõn bit, ta cú I ( 2;- 1) 0.5 KL: ng trũn ( C ) :( x 2) + ( y + 1) = ( C1 ) 2 2 1 2 4.2 (2 i m) suy gúc ( ( A 'BC ) ;( ABCD ) ) = gúc ( A 'I , AI ) = ã 'IA = 45 A (1) Gúc ( A 'C ;( ABCD ) ) = Aã 'CA = 30 (2) H AJ ^ CD , AH ^ A 'J Khng nh khong cỏch t im C ' n mt phng ( A ' CD ) bng AH = a H AI ^ BC o o 0.5 T (1) suy AI = AA ' ỏy l hỡnh thoi nờn ABCD AJ = AI Xột tam giỏc vuụng A 'AJ , t AH = a c AJ t AB = x, ( x > 0) ị BC = x T (2) suy AC = a Xột tam giỏc vuụng AIC : IC = AC - AI = 2a = a 0.2 IB = IC - BC = 2a - x Xột tam giỏc vuụng x2 = ( a 2) + ( 2a - x) x = AC ầ BD = {O } ị BO = AIB : AB = AI + IB 0.5 3a ì a ; SABCD = 3a2 ị VABCD A 'B 'C 'D ' = 3a3 Gi F l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE v ng thng d qua F vuụng gúc vi ( ABCD ) Mt phng trung trc ca AA ' ct d ti G thỡ G l 0.2 0.2 tõm mt cu ngoi tip t din AA ' DE Bỏn kớnh cu ngoi tip t din AA ' DE l a ì GA = GF + FA vi GF = 2 Tớnh c AE = a 57 3a 3a a 57 ì ì AD.DE AE = 3a 114 ì FA = = 4SADE 32 3a2 2 ; 0.2 Vy 2 ổ a a a 1538 ỗ3a 114 ữ ữ GA = + FA = +ỗ = ữ ỗ ữ ỗ 2 32 ữ ỗ ố 32 ứ Gi s B(a;0;0), C (0;0; b) ( a, b > ) Phng trỡnh mt phng (P) qua cỏc im A(0;9;0), B( a;0;0), C (0;0; b) cú dng 4.3 x + y + z = (2 a b 25 M(4;3;25) ẻ (P) nờn + = im Ta cú OB + OC = a + b a b 3 147 25 87 4b 25a 87 i M a + b = ( a + b ) a + b ữ = + a + b ữ + 30 = m) Du = t c a = 21; b = 105 Vy phng trỡnh mt phng cn lp l x y 2z + + = 21 105 Cõ u5 (1 Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s t a = y - x; b = z - y thỡ a > 0,b > i P = ộờởx + ( x + a) + ( x + a + b) ựỳỷộờờ1 + + ựỳỳ b ( a + b) ỷ ởa m) ( a + ab + b ) 2 ( 2a + 2ab + b ) ì 2 a2b2 ( a + b) ng thc xy a2b2 ( a + b) 0.5 0.2 (1) x = ( a2 + ab + b2) ( 2a2 + 2ab + b2) ì 0.5 Ê x < y < z 2 2 0.5 2 0.5 ộ a2 ựộa a ự a ờ2 + + 1ỳờ + + 1ỳ ỳ ỳ b b b ỷờ ởb ỷ 2 a a +1 b b () () ( )( ) 0.2 t ổử a a ữ t =ỗ + ,t>0 ỗ ữ ữ ữ b ỗ ốbứ Xột hm s f ( t) = f '( t ) = ( ); t - 2t - t thỡ P ( 2t + 1) ( t + 1) t2 ( 2t + 1) ( t + 1) t f '( t ) = t = P = 2t+ + 4t + , t ẻ ( 0; +Ơ ) t2 1+ ì Lp bng bin thiờn ta c Do ú ổ 11 + 5 + 5ữ ỗ ữ ỗ f ( t) f ỗ = ì ữ ữ ỗ 2 ữ ỗ ố ứ 0.2 11 + 5 ì ng thc xy t = 1+2 ì Suy a - 1+ + = ì b Kt hp vi (1), P nh nht ỡù x = ùù ùớ ùù y = - 1+ + ùù z - y ợ 0.2 Vy giỏ tr nh nht ca P l 11+25 ì 20 im Lu ý chm bi: - Trờn õy ch l s lc cỏc bc gii, li gii ca hc sinh cn lp lun cht ch, hp logic Nu hc sinh trỡnh by cỏch lm khỏc m ỳng thỡ c im theo thang im tng ng - Vi bi toỏn hỡnh hc nu hc sinh v hỡnh sai hoc khụng v hỡnh thỡ khụng cho im phn tng ng ... coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: .S bỏo danh: Giỏm th (H tờn v ký) Giỏm th (H tờn v ký) S GIO DC V O TO BC GIANG HNG DN CHM BI THI CHN HC SINH. .. l s lc cỏc bc gii, li gii ca hc sinh cn lp lun cht ch, hp logic Nu hc sinh trỡnh by cỏch lm khỏc m ỳng thỡ c im theo thang im tng ng - Vi bi toỏn hỡnh hc nu hc sinh v hỡnh sai hoc khụng v hỡnh... S GIO DC V O TO BC GIANG HNG DN CHM BI THI CHN HC SINH GII VN HểA CP TNH NGY THI 21/3/2017 MễN THI: TON LP 12 PH THễNG HDC CHNH THC (Bn hng dn chm cú 04 trang) Cõ Hng dn gii u Cõ u1