Tính số đo của ãEAF.. b Gọi AI là tia phân giác của ãBAC.. Chứng minh AI cũng là tia phân giác của ãEAF... TÝnh sè ®o cña gãc EAF.. c Gäi AI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC.. Chøng minh AI
Trang 1Ubnd huyện vũ th
phòng GIáo Dục & ĐàO Tạo Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán 6
(Thời gian làm bài: 120 phút )
Bài 1 (4 điểm):
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1) A - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - - 2013 - 2014 + 2015 + 2016= 2) B = 1 1 : 1 1 : 1 1 : 1 1 : : 1 1 : 1 1 : 1 1
− − − − − − −
Bài 2 ( 4 điểm):
1) Cho C 4 4= + + + + + + +2 43 44 45 46 42014 +42015 +42016
Chứng minh rằng C M 21 v C à M 105
2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc tự nhiờn là một
số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng
Bài 3 ( 4 điểm):
1) Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91 Biết rằng nếu lấy số
tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì đợc d là 4
2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết: x + 1 = 1
Bài 4 (2 điểm):
1.101 2.102 3.103+ + + +10.110 và F 1 1 1 1
Tính tỉ số: E
F
Bài 5 ( 4 điểm):
Cho tam giác ABC có ãBAC 120= 0 Điểm E nằm giữa B và C sao cho ãBAE 30= 0
Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho ãCAx 30= 0, tia Ax cắt BC ở F.
a) Chứng minh F nằm giữa E và C Tính số đo của ãEAF
b) Gọi AI là tia phân giác của ãBAC Chứng minh AI cũng là tia phân giác của ãEAF
Bài 6 (2 điểm): Cho biểu thức: ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2
So sánh D với 6 Biết n! = 1.2.3 n; n N∈
-Hết -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án và biểu điểm
Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2015 - 2016 Môn Toán lớp 6
Trang 2Bài 1
(4 điểm)
1
- 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - - 2013 - 2014 + 2015 + 2016
điểm
(- 1 - 2 + 3 + 4)+(- 5 - 6 + 7 + 8)+(- 9 - 10 + 11 + 12)+ +(-2013 - 2014 + 2015 + 2016)
A=
Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : 4 = 504 nhóm
0,5 0,25
A = 2016
0,5 Vậy A = 2016
2
B = 1 : 1 : 1 : 1 : : 1 : 1 : 1
− − − − − − −
2,0
điểm
B = : : : : : : :
− − − − − − −
0,5
B =
− − − − − − −
0,5
Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên tích mang dấu âm 0,5
1.3.4.5.6 98.99.100
B = -
2.2.3.4.5 97.98.99 100
B = -
B = - 25 Vậy B = - 25 Bài 2
(4điểm) 1 Cho C 4 4= + + + + + +2 43 44 45 46 4+ 2014 +42015 +42016
Chứng minh rằng C M 21 v C à M 105
2,0
điểm
Ta có:
2 3 4 5 6 2014 2015 2016
2 3 4 5 6 2014 2015 2016
4 2014
4 2014
C 4 1 4 4 + 4 1 4 4 4 1 4 4
C 4.21 + 4 21 + + 4 21
C 21 4 + 4 + + 4
=
=
Do đó: 21C M
0,25 0,25 0,25
điểm
2 3 4 5 6 2014 2015 2016
2 3 4 5 6 2013 2014 2015 2016
3 5 2013 2015
C = 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1 4
Do đó: 5C M
0,25 0,25 0,25
Trang 3Do đó 5.21C M hay 105C M
2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là
một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng 2,0
điểm
Gọi số tự nhiên đó là P (P ạ 0)
Nếu P > 1 Phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có P = a b x .y c z
(với a, b, , c là các số nguyên tố) Khi đó số lợng các ớc của P là (x + 1).(y + 1) (z + 1) Theo bài ra (x + 1).(y + 1) (z + 1) là số lẻ
ị x + 1 , y + 1 , , z + 1 đều là các số lẻ
ị x, y , , z đều là các số chẵn
Do đó x = 2.m ; y = 2.n ; ; z = 2.t
=
ị P là số chính phơng
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 Vậy chứng tỏ với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một
Bài 3
(4điểm) 1 Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91 Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì
đ-ợc d là 4
2,0
điểm
Gọi số tự nhiên đó là a Theo bài ra ta có: a = 7.p + 5 và a = 13.q + 4 (với p, q ẻ N ) Suy ra: a + 9 = 7.p + 14 = 7.(p + 2) M 7
a + 9 = 13.q + 13 = 13.(q + 1) M 13
0,25 0,5
Ta có a + 9 M 7 và a+ 9 M 13 mà (7 ; 13) = 1
Do đó a + 9 M 7 13 hay a + 9 M 91
0,5 Vậy a + 9 = 91.k (với k ẻ N )
ị a = 91.k – 9 = 91.k – 91 + 82 = 91.(k-1) + 82 0,5
2
Tìm các cặp số nguyên (x; y) biết: + 1 = 1
x
y
2,0
điểm
Ta có: + 1 = 1
x
x
y
+
=
- Û (x+5 ) ( y- 1) =5.1 0,5
Û (x+5 ) (y- 1)=5.1 = 1.5 = - 5 (-1) = - 1 (-5) Nên ta có bảng sau
0,25
0,75
Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0) ; (- 6;- 4) 0,5 Bài 4
1.101 2.102 3.103 10.110
1.11 2.12 3.13 100.110
Tính tỉ số: E
F
2,0
điểm
Trang 41 1 1 1
E E E E
ç
ç
ç
1
110
ç
F F F F
ç
ç
F
0,75
2 Ta cã
1
10
E
VËy tØ sè 1
10
E
0,5
Bµi 5
4 ®iÓm Cho tam gi¸c ABC cã gãc BAC = 120
0 §iÓm E n»m gi÷a B vµ C sao cho gãc BAE = 300 Trªn mÆt ph¼ng cã bê AC chøa ®iÓm B kÎ tia Ax sao cho gãc CAx = 300, tia Ax c¾t BC ë F
a) Chøng minh F n»m gi÷a E vµ C TÝnh sè ®o cña gãc EAF
c) Gäi AI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC Chøng minh AI còng
lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF
®iÓm
C
E I
F x
30 0
30 0
Trang 5Theo bài ra ta có điểm E nằm giữa hai điểm B và C Nên tia AE nằm giữa hai tia AB và AC
Ta có: góc BAE + góc EAC = góc BAC
ị 300 + góc EAC = 1200
ị góc EAC = 1200 – 300 = 900
Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Ta có: góc CAF = 300
góc CAE = 900
ị góc CAF < góc CAE (vì 300 < 900)
Do đó tia AF nằm giữa hai tia AC và AE Vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E
0,75
0,5 0,25
ị góc CAF + góc FAE = góc CAE
ị 300 + góc FAE = 900
điểm
Ta có: AI là tia phân giác của góc BAC
60
BAC
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Có góc CAF < góc CAI (vì 300 < 600) Suy ra tia AF nằm giữa hai tia AC và AI
ị góc CAF + góc FAI = góc CAI
ị 300 + góc FAI = 600
ị góc FAI = 300
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B
Ta có: góc FAE = 600 và góc FAI = 300
ị góc FAI < góc FAE (vì 300 < 600)
ị Tia AI nằm giữa hai tia AF và AE Hơn nữa góc FAI = 1
2góc FAE (vì
0
0 60 30
2
Do đó AI là phân giác của góc FAE
0,5
0,5
0,5 0,5
Bài 6
So sánh D với 6 Biết n! = 1.2.3… n
2,0
điểm
Ta có
D D D
ỗ
3 =3.3 1.3< = - 3
22 2 2 1 1
5 =5.5<3.5= -3 5
0,5
Trang 622 2 2 1 1
7 =7.7<5.7= -5 7 ………
2015 =2015.2015<2013.2015=2013- 2015
Do đó
1
4 2 1
2015 2
2015
D D D
ỗ
ỗ
< + ỗ- ữữ
< + - <
Vậy D < 6
0,5
0,5
0,5
Chú ý: -Trên đây chỉ là hớng dẫn một cách giải cụ thể Các cách giải khác hợp lý, cho
kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình thì không chấm phần hình có liên quan.
- Điểm toàn bài bằng tổng điểm từng phần Không làm tròn.