he-pt-va-oxy-dac-sac-dang-viet-hung

he-pt-va-oxy-dac-sac-dang-viet-hunghe-pt-va-oxy-dac-sac-dang-viet-hunghe-pt-va-oxy-dac-sac-dang-viet-hunghe-pt-va-oxy-dac-sac-dang-viet-hunghe-pt-va-oxy-dac-sac-dang-viet-hunghe-pt-va-oxy-dac-sac-dang-viet-hung

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ VIỆT NAM TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HÌNH PHẲNG OXY (Sách quý, bán không tặng) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]  x + y + xy = ( x + y )( xy + ) −  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x + ( x + y ) = + − y Lời giải x + y ≥ Ta có: PT (1) ⇔ ( x + y ) + xy = ( x + y ) xy + ( x + y ) − ĐK:  y ≤1 ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + = xy ( x + y − 1) ⇔ ( x + y − 1) = xy ( x + y − 1) 2 ⇔ ( x + y − 1)( x + y − − xy ) = ⇔ ( x + y − 1)( x − 1)( y − 1) = • Với x = ⇒ + y = − y ⇔ y = − x ≤ • Vớ i y = ⇒ x + x + = ⇔  ⇔ x = −1 x + 2x +1 = • Với x + y = ⇒ x + ( x − x + 1) = x + ⇔ ( x − x + 1) = (1 − x ) + x Đặt a = − x; b = x ta có: a + b ≥ ( a2 + b2 ) = a + b ⇔  ⇔ a =b≥0 ( a − b ) = x ≤ 3− Khi − x = x ⇔  ⇔x=  x − 3x + =   − −1 +     ; Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( −1;1) ; 1; −  ;   3  2     x+3  = ( x + y )( y − 1)  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   y − + − x = x + 16  Lời giải:  y ≥ ;x ≤ ĐK:  Khi đó: PT (1) ⇔ x + y − ( y − 1) = ( x + y )( y − 1)  x + y ≥ Đặt u = x + y ; v = y − ( u; v ≥ ) Ta có: u − 2uv − 3v = ⇔ ( u + v )( u − 3v ) = ⇒ u = 3v ⇔ x + y = y − ⇔ x = y − 2 Thay vào (2) ta có: 2 x + + − x = x + 16 ⇔ ( x + ) + 16 − 16 x + 16 ( − x ) = x + 16 ⇔ ( − x ) + 16 ( − x ) = x + x Đặt t = ( − x ) ≥ ta có: 4t + 16t = x + x  2t = x ⇔ ( 2t − x )( 2t + x + ) = ⇔   2t = − x − ( loai ) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Với 2t = x ⇒ ( − x ) = x ≥ x 4 + 27 ⇔ ⇔x= ⇒y= 18 9 x = 32  y2 2 x − x + x + y =  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x x2 + y2 = y  Lời giải: ( ) ĐK: x ≥ Thế PT(2) vào PT(1) ta có: x − x + x + y = ⇔ x ( ) x −2 + x +y 2 (2 − x ) = ⇔ ( x ( x2 + y ) ) )( x = x − 2 x − x2 + y = ⇔  2 4 x = x + y y2 + 657 ⇔ (16 + y ) = y ⇔ y − y − 144 = ⇔ y = ± 2   y 4y 4 x = x + y x + y2 =   x =  x = 0; y =   3 2 Với x = x + y ⇒  ⇔ ⇔ ⇔    2y 2  x = 1; y = ± 2 x = x = y x = y    3   + 657    Kết luận: Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( 0;0 ) ; 1; ± ;  4; ±       Với x = ⇒ (16 + y ) = ( ) ( x + y + 1) xy + y = y ( x + y + 3)  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x + − y − x − + x + x + y − = ) )( ( (1) (2) Lời giải:  x ≥ −1  ĐK:  y ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + y + 1) y ( x + 1) = y ( 3x + y + 3)  x + x + y − ≥ Đặt  a2   3a  + 4b  y = b ( a, b ≥ ) ⇒  + 3b  ab = b      ( x + 1) = a; ⇔ ab ( a + 6b ) = b ( 3a + 8b ) ⇔ b ( a + 6ab − 3a 2b − 8b3 ) = ⇔ b ( a − 2b ) ( a − ab + 4b ) = (3) Vì y ≥ ⇒ b = b  15b  y > a − ab + 4b =  a −  + > 2  Do (3) ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b ⇒ ( x + 1) = y ⇒ x + = y Thế y = x + vào (2) ta ⇔ ( ( x + − x +1− )( ) x + − x − x − + x2 + x − = Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn )( x − + ) x2 + x + x + − = (4) Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ) ( ( Do x ≥ ⇒ x + + x − > nên (4) ⇔ ( x + − x + 1) x − + x + x − = ⇔ x − + x2 + x − = x + + x − Đặt x + + x −1 ) (5) x + + x − = t ( t ≥ ) ⇒ t = x + + x + x − = x + + x + x − ⇒ x + x2 + x − = t = −2 t2 − t2 − − = t ⇔ t − 2t − = ⇔  Khi (5) trở thành 2 t = Do t ≥ nên có t = thỏa mãn ⇒ x + + x − = ⇔ x + = − x − 1 ≤ x ≤ 17 4 − x − ≥  x − ≤ 1 ≤ x ≤ 17 13  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 13 ⇔ x =  x + = x + 15 − x −  x − = 4 ( x − 1) =  x = ⇒ 2y = 13 17 17  13 17  + = ⇒ y = Thử lại ( x; y ) =  ;  thỏa mãn hệ cho 4 4 8  13 17  Đ/s: ( x; y ) =  ;  4 8 1 + ( x − y + 1) = 1+   ( x − y + 2) ( x − y + 1) Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   2 ( x + ) x + y + − y + = − x + y + x + ( ) (1) (2) Lời giải: ĐK: x − y + > 0; x + y + ≥ 0; y + ≥ 0; x + y + x + ≥ (*) Đặt ( x − y + ) = t ≥ Khi (1) trở thành + (t − 2) t = 1+ 3 ⇔ (t − 2) + t − = t + t ⇔ f (t − 2) = f (t ) t −2 (3) Xét hàm số g ( u ) = u + u với u ∈ ℝ có g ' ( u ) = 3u + > 0, ∀u ∈ ℝ  t = −1 ⇒ g ( u ) đồng biến ℝ Do (3) ⇔ t − = t ⇔  t = Kết hợp với t ≥ ⇒ có t = thỏa mãn ⇒ ( x − y + ) = ⇔ ( x − y + ) = ⇔ x = y Thế y = x vào (2) ta ⇔ ( x + 2) Đặt (a ( ( x + 2) ( ) 2x + − x +1 = − x + = a; ) 2x + − x + = − 2x2 + 5x + ( x + 1)( x + 3) (4) x + = b ( a, b ≥ ) Khi (4) trở thành − b ) ( a − 2b ) = a − 2b − ab ⇔ ( a + b )( a − b )( a − 2b ) − ( a + b )( a − 2b ) = ⇔ ( a + b )( a − 2b )( a − b − 1) = Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn (5) Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  a = 2b Với x ≥ −1 ⇒ a + b = x + + x + > Do (5) ⇔  a = b + • x +1 ≥  x + ≥  a = 2b ⇒ x + = x + ⇔  ⇔ ⇔ x=− 2 x + = ( x + 1)  x = − 1 ⇒ y = − Thử lại x = y = − thỏa mãn hệ cho 2 •  x ≥ −1  x ≥ −1 a = b +1 ⇒ 2x + = x +1 +1 ⇔  ⇔ 2 x + = x + + x + 2 x + = x +  x ≥ −1  x ≥ −1    x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ ( x; y ) = ( −1; −1) ⇔  x + = ⇔  x = −1 ⇔   x = ⇒ y = ⇒ ( x; y ) = ( 3;3)   x =  x +1 = Thử lại ( x; y ) = {( −1; −1) , ( 3;3)} thỏa mãn hệ cho   1  Đ/s: ( x; y ) = ( −1; −1) , ( 3;3) ,  − ; −    2    x2 + y2 x + xy + y + = x+ y  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   3 xy − x − = − y + x − + x + y + (1) ( x, y ∈ ℝ) (2) Lời giải: ĐK: x − ≥ 0; x + y + ≥ 0; xy − x − ≥ (*) Khi có ( x + y ) − ( x + y ) = x + y − xy = ( x − y ) ≥ ⇒ ( x + y ) ≥ ( x + y ) 2 x2 + y2  x + y  ⇒ ≥  ≥0⇒   2 x2 + y2 1 ≥ x + y ≥ ( x + y) 2 (3) ( x + xy + y ) − ( x + y ) = x + y − xy = ( x − y ) ≥ ⇒ ( x + xy + y ) ≥ ( x + y ) x + xy + y  x + y  ⇒ ≥  ≥0⇒   Từ (3) (4) ta có 2 x + xy + y 1 ≥ x + y ≥ ( x + y) 2 (4) x2 + y2 x + xy + y + ≥ x + y Dấu " = " xảy ⇔ x = y ≥ Do (1) ⇔ x = y ≥ Thế y = x vào (2) ta x − x − = − x + x − + 3x + ⇔ x − x + = − x + x − + x + (5)  x + = a ≥ Đặt  ⇒ x − = 2a + b − Khi (5) trở thành 3ab = −2a − b + + b + 4a  x − = b ≥ ⇔ b + ( 3a − 1) b + 2a − 4a − = Coi phương trình bậc hai ẩn b với a tham số Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Xét ∆ = ( 3a − 1) − ( 2a − 4a − ) = a + 10a + 25 = ( a + ) •  − 3a + a + = −a + b = ≥0⇒ b = − 3a − a − = −2a −  b = −a + ⇒ x − = − x + ⇔ x − + x + = (6) Với x > ⇒ VT (6) > 2.1 − + 3.1 + = ⇒ Loại Với ≤ x < ⇒ VT (6) < 2.1 − + 3.1 + = ⇒ Loại Với x = vào (6) ta thấy thỏa mãn Do (6) ⇔ x = ⇒ y = Đã thỏa mãn (*) • b = −2a − ⇔ 2a + b + = ⇒ x + + x − + = Phương trình vô nghiệm Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ( x + x ) x − y + = x + x + y +  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình  ( x − ) x + x + + ( y + ) y + y + = x + y (1) ( x, y ∈ ℝ) (2) Lời giải: ĐK: x − y + ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + x ) x − y + − ( x + x ) + ( x − y − 1) = ⇔ ( x2 + x ) ( ) x − y + − + ( x − y − 1) = ⇔ ( x + x ) ( x − y + 8) − + x− y +8 +3 ( x − y − 1) =   x2 + x ⇔ ( x − y − 1)  + 1 = ⇔ ( x − y − 1) x + x + + x − y + =    3+ x − y +8  ( ) (3)  11  Ta có x + x + + x − y + =  x +  + + x − y + > 2  Do (3) ⇔ x − y − = ⇔ y = x − Thế y = x − vào (2) ta ( x − 2) x2 + x + + ( x − + ) ( x − 1) + ( x − 1) + = x + ( x − 1) ⇔ ( x − ) x + x + + ( x + 1) x − x + = x − Đặt x + x + = a; (4) x − x + = b ( a, b ≥ )  a2 + − b2   a2 + − b2  Khi (4) trở thành a  − 2 + b + 1 = a − b 2     ⇔ a ( a − b − 3) + b ( a − b + 3) = ( a − b ) ⇔ ( a − b3 ) + ab ( a − b ) − ( a − b ) − ( a − b ) = ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + ab − − 2a − 2b ) = ⇔ ( a − b )  ( a + b ) − ( a + b ) − 3 =   Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ⇔ ( a − b )( a + b + 1)( a + b − 3) = (5) a = b Do a, b ≥ ⇒ a + b + > nên (5) ⇔ ( a − b )( a + b − 3) = ⇔  a = − b •  x2 + x + ≥  x + x + ≥ 1   a = b ⇒ x2 + x + = x2 − x + ⇔  ⇔ ⇔ x= 2  x + x + = x − x + x =  ⇒y= • 1 1 1 − = − Thử lại ( x; y ) =  ; −  thỏa mãn hệ cho 2 2 2 a = − b ⇒ x + x + = − x − x + ⇒ x + x + = x − x + 11 − x − x + 5 − x ≥ x ≤ ⇔ x2 − x + = − x ⇔  ⇔  2 8 x + x − = 9 ( x − x + ) = ( − x ) x ≤  x = −1 ⇒ y = −1 − = −2 ⇒ ( x; y ) = ( −1; −2 )    x = −1  ⇔  ⇔ 7 7 1 x = ⇒ y = − = − ⇒ ( x; y ) =  ; −   x =  8 8 8      Thử lại ( x; y ) = ( −1; −2 ) ,  ; −   thỏa mãn hệ cho  8       1  Đ/s: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ,  ; −  ,  ; −    8   2   ( )  x2 + ( x + y ) x + y − = y y + y − (1)  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ) ( y + x + ) y + y + = x ( y + x + ) (2) Lời giải: x + y −1 ≥ x + y ≥   ĐK: 3 y − ≥ (*) ⇒ y + x + > 0; y + x + > 0; ⇔ ≥ y  3  y + y + ≥ y + y + > Khi từ (2) ⇒ x > Xét phương trình (1) ta có Với x > y ≥ ( ) ( ) ⇒ VT (1) > y + ( y + y ) y + y − = y y + y − = VP (1) ⇒ Loại Với < x < y ⇒ VT (1) < y + ( y + y ) y + y − = y y + y − = VP (1) ⇒ Loại Với x = y vào (1) ta thấy thỏa mãn Do (1) ⇔ x = y Thế y = x vào (2) ta Đặt (x + x + ) x3 + x + = x ( x + 3x + ) (3)  x3 + x + = a + x x +x +4 =a >0⇒ 2 2 x ( x + 3x + ) = x ( 2a + x ) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Khi (3) trở thành a ( a + x ) = x ( 2a + x ) ⇔ x3 − 5ax + 4a x − a = x = a ⇔ ( x − a ) ( 2x − a ) = ⇔  2 x = a • x ≥ x ≥ x = a ⇒ x = x3 + x2 + ⇔  ⇔ ⇔ x ∈∅ x = x + x + x + = •  x ≥ x ≥ x = a ⇒ x = x3 + x + ⇔  ⇔ ⇔ x =  4 x = x + x + ( x − ) ( x + 1) = ⇒ y = ⇒ ( x; y ) = ( 2; ) Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = ( 2; )  x3 + xy − y = x y + y − x,  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2x2 − y +  x + y = x +1 ( )  Lời giải Phương trình thứ hệ tương đương với x3 + xy + x − x y − y − y = ⇔ ( x − y ) ( x + y + 1) = ⇔ x = y Khi phương trình thứ hai trở thành Đặt x+ x2 + = ⇔ ( 2x + 2) x2 + = ( x2 + ) x x ( x + 1) x + = u; x = v ( u > 0; v > ) ta thu ( 2v uv = + ) u = ( u + ) v ⇔ uv ( 2v − u ) = ( 2v − u ) ⇔   2v = u uv = ⇔ x3 + x = ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ x = x = 2v = u ⇔ x + = x ⇔  x = Phương trình ẩn x có nghiệm S = {1;3} dẫn đến ( x; y ) = (1;1) , ( 3;3) Thử lại nghiệm hệ ban đầu 4 x + xy + y + x + y = 2, Câu 10 [ĐVH]: Giải hệ phương trình  8 − x + y = Lời giải Điều kiện x ≤ Phương trình thứ hệ tương đương với 2 x + y = t 2 x + y = t ⇔ (2x + y ) + 2x + y − = ⇔  t + t − = t ∈ {−2;1}  y = u; u ≥ x =  y = u; u ≥ Xét t = ⇒ y + y = ⇔  ⇔ ⇔ u =1⇒  y =1 ( u − 1) ( u + u + u + ) = 8u + u = Xét t = −2 ⇒ x + y = −2 ⇔ − x = y + ⇒ y + ≥  y = −3 Ta có y + + y − = ⇔ y + + ( y + 3)( y − 3) = ⇔  8 + ( y − 3) y + = Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy y + = v, v ≥ ⇒ v3 − 6v + = Đặt Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] (1) Xét hàm số f ( v ) = v − 6v + 8; v ≥ ⇒ f ′ ( v ) = 3v − Ta có f ′ ( v ) = ⇔ v = ± Khảo sát hàm số có f ( ) < f ( ) ⇒ f (v) > f (0) = − >0 1  Do (1) vô nghiệm Kết luận hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) ,  ; −3  2  2 xy − y + 3x = y, Câu 11 [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 2 y − + x + y − = y + 19 x − 28 Lời giải Điều kiện thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x = y xy + 3x − y − y = ⇔ ( x − y ) ( y + 3) = ⇔  ⇔ x= y  y = −3 Phương trình thứ hai hệ trở thành 2 x − + x + 3x − = x + 19 x − 28 ⇔ 2 x − + x + x − = ( x − 3) + x + x − x − = a; x + 3x − = b ( a ≥ 0; b > ) ta thu Đặt a = 2a + b = 8a + b ⇔ 4a + 4ab + b = 8a + b ⇔ a ( a − b ) = ⇔  a = b • a=0⇔ x=  −1 − −1 +  • a = b ⇔ x − = x + 3x − ⇔ x + x − = ⇔ x ∈  ;    Đối chiếu điều kiện thử trực tiếp suy nghiệm x = y = ( x − y + 1) y − + xy + x + = y Câu 12 [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 9 ( y − 1) − x = ( − y ) x − x + Lời giải Điều kiện y ≥ ;3 x − x + ≥ Phương trình thứ hệ tương đương ( x − y + 1) y − + xy + x = y − ⇔ ( x − y + 1) y − + ( x − y + 1)( y + 1) = ⇔ ( x − y + 1) ( ) y −1 + y + = ⇔ y = x +1 Phương trình thứ hai trở thành x − x = ( − x ) x − x + ⇔ ( x − 1) + x − = ( − x ) Đặt − 3x = t ; x − x + = y • ( − x )(1 − 3x ) − ( x − 1) ( y ≥ ) ta thu hệ phương trình t + x − = ( − x ) y t = y ⇒ t − y = ( − x )( y − t ) ⇔ ( t − y )( t + y + − x ) = ⇔   t + y = x −  y + x − = ( − x ) t 1   + 13 x ≤ x ≤ t = y ⇔ − x = 3x − x + ⇔  ⇔ ⇔x=− 3 2 3 x − x + = x − x + 3 x + x − =   Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy  x ≥ • t + y = x − ⇔ 3x − x + = x − ⇔  (Hệ vô nghiệm) 13 x − 16 x + =  13 + − 13 + Vậy phương trình cho có nghiệm x = − ;y= 6 ( x − y + ) x + y + + x ( + x ) = y − 4, Câu 13 [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x + y − + 15 x + = y − Lời giải Điều kiện x + y ≥ 3; y ≥ 2; x ≥ − 15 Phương trình thứ hệ tương đương với ( x − y + 2) x + y + + x2 + 4x + − y2 = ⇔ ( x − y + 2) x + y + + ( x + 2) − y = ⇔ ( x − y + ) x + y + + ( x + y + )( x − y + ) = ⇔ ( x − y + ) ( x + y + + x + y + ) = ⇔ y = x + 2 Khi phương trình thứ hai trở thành 4 Phương trình cho tương đương với Đặt 2− 2 x − 15 x + 1 + = ⇔ − + 15 + = x x x x x − + 15 x + = x Điều kiện x ≥ 1 = a; 15 + = b ( a ≥ 0; b ≥ ) ta thu hệ phương trình x x b = − a a + b = b = − a ⇔ ⇔   4 a + ( a − 3) = 17 a + b = 17 a − 6a + 27 a − 54a + 32 = (∗) Ta có ( ∗) ⇔ a − 6a + 9a + 18a − 54a + 32 = ⇔ ( a − 3a ) + 18 ( a − 3a ) + 32 = ⇔ ( a − 3a + )( a − 3a + 16 ) = ⇔ ( a − 1)( a − ) ( a − 3a + 16 ) = ⇒ a ∈ {1; 2} ⇒ Kết luận toán có nghiệm x = 1; y = ∈ {−14;1} ⇒ x = x xy  ( x − y ) + x + y = Câu 14 [ĐVH]: Giải hệ phương trình:  4 x + 3x + y = ( x + y − ) + x + y  Lời giải x + y > Điều kiện:  3 x + y ≥ xy 2 (1) ⇔ ( x + y ) − + − ( x + y ) = ⇔ ( x + y − 1) ( x − y ) + x + y  = ⇔ x + y = (Do x + y > )   x+ y Thay vào (2) ta 2x − x + = x − 24 x + 29 ⇔ x + − = x − 24 x + 27 ⇔ = ( x − 3)( x − ) 2x + +  x = ⇒ y = − ⇔  = x − ( *)  x + + Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ( x + 1)2 + x − y ≥  ĐK:  x + y − ≥ (*) x − y ≥  Khi (1) ⇔ ( x + 1) − y + x2 − x = x − y + ( x + 1) + x − y − x = x − y + ⇔ ( x − y + 1)( x + y + 1) = x − y + 2 ( x + 1) + x − y + x ( x + 1) + x − y + x ⇒ Do x − y ≥ ⇒ x − y + ≥ > nên (3) ⇔ ( x + 1) (3) + x2 − y + x = x + y +  y + ≥  y ≥ −1  y ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔   2 2 2 2 x + x = y + y ( x − y )( x + y + 1) = ( x + 1) + x − y = ( y + 1) (4) 2 x − y + ≥ 2 x − y + ≥   Từ (1) (2) ta có  x + y − ≥ ⇒  x + y − ≥ 3 x + 3y − >  x + 3y − >  ⇒ ( x − y + 1) + ( x + y − ) + ( x + y − 3) > ⇒ ( x + y ) > ⇒ x + y + > >  y ≥ −1  y ≥ −1 Do (4) ⇔  ⇔ x − y = y = x Thế y = x vào (2) ta + x − = 3 x − 3b −  a=  1 + 2a = 3b  Đặt a = x − ≥ 0; b = x − ⇒  ⇔ 4a − 3b = 4  3b −  − 3b3 =    b =  3b −   3 Ta có   − 3b ⇔ 13b − 9b + 6b = ⇔ b =   b = Với b = ⇒ a = − ⇒ Loại a ≥ Với b = ⇒ x − = ⇔ x = ⇒ y = Với b = ⇒ x − = ⇔ x = 11 11 ⇒y= 4   11 11   Thử lại ( x; y ) = (1;1) ,  ;   thỏa mãn hệ cho  4     11 11   Đ/s: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ,  ;    4   Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] x +1  2  x + 3x − y = x + y + Câu 28 [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x − + y − = + xy − y +  Lời giải: x ≥ y ≥ 1;  ĐK:   xy − x + ≥ Khi đó: PT (1) ⇔ x + 3x − y = x + y + x + ⇔ x + x − y − x + y + x + x − y − x − = ⇔ x2 − x − y − y2 x + 3x − y + x + y 2 + x − 2y x + 3x − y + x + =0   x + y −1 ⇔ ( x − 2y)  +  = (1) 2 x + x − y + x +   x + 3x − y + x + y Do x ≥ 1; y ≥ : (1) ⇔ x = y vào PT (2) ta có: y −1 + y − = 1+ y2 − y +  y − =  y = ( loai ) y − ⇒ a + b = + ab ⇔ ( a − 1)( b − 1) = ⇔  ⇔  y − =  y = 3; x = Vậy x = 6; y = nghiệm PT cho Đặt a = y − 1; b =  x + + y + = y Câu 29 [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 x + − y + = x Lời giải: Ta có: PT ( ) ⇔ x + − x = y + ⇔ = y2 + ⇔ x2 + + 2x = x +1 + x ⇒ x +1 = y +3 + y2 + vào PT(1) ta có: + y2 + y2 + y2 + = 3y y ≥ ⇔ ( y + 3) + = y y + ⇔ y + 19 = 12 y y + ⇔  4 25 y + 190 y + 361 = 144 y + 432 y ⇔ y = ⇒ x = nghiệm HPT cho  x − y + y = x + y Câu 30 [ĐVH]: Giải hệ phương trình   y − + x + + y + y = 10 Lời giải:    y ≥ 1; x ≥ −1 y − 2x ĐK:  Khi đó: PT (1) ⇔ ( x − y ) + = ⇔ ( x − y ) 1 −  =  y + 2x + y 2 x + y ≥  y + 2x + y  Do y ≥ ⇒ y + 2x + y ≤ 1 = nên PT (1) ⇔ x = y vào PT(2) ta có: 3+ y − + y + + y + y = 10 ⇔ y −1 −1 + y + − + y2 + y − =   ⇔ ( y − 2)  + + y +  = ⇔ y = ⇒ x = nghiệm PT   y +1 +  y −1 +1  Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 8; ) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ HÌNH PHẲNG OXY Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng cho đường tròn (C ) : x + y − x − y = điểm A(−1; 3) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) có diện tích 10 Lời giải: Tâm I (1; 2); R = Do hình chữ nhật ABCD nội tiếp (C) tâm I nên I giao điểm đường chéo AC BD Suy C(3;1) Gọi α góc hợp đường chéo AC BD suy S ABCD = AC.BD.sin α = 10 ↔ 5.2 5.sin α = 10 ↔ sin α = ↔ α = 90 Nên ABCD hình vuông Phương trình AC : x + 2y – = Suy phương trình BD 2x – y =  x =  2 x − y =  y = 2x  y = Tọa độ B D nghiệm hệ phương trình  ↔ ↔  2  x = x + y − 2x − y = 5 x − 10 x =    y = Vậy tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật ABCD (3 ;1) ; (0 ;0) (2 ;4) Câu [ĐVH]: Cho hai đường tròn (C1 ) : x + y − x − y − 14 = 0, (C2 ) : x + y − x + y − 20 = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C1) A, B cắt (C2) C, D cho AB = 7; CD = Lời giải: Xét đường tròn ( C1 ) ( C2 ) ta dễ dàng tìm d ( I1 ; ∆ ) = d ( I ; ∆ ) = nên có trường hợp ( ∆ ) sau: TH1: đường thẳng ( ∆ ) song song với I1 I cách I1 I khoảng =3 Phương trình I1 I 2x + y – = Suy phương trình ( ∆ ) 2x + y + m = d ( ∆; I1 I ) = m = − ⇒ ( ∆ ) : 2x + y + − = =3↔   m = −3 − ⇒ ( ∆ ) : x + y − − = m+3 TH2 : đường thẳng ∆ qua trung điểm I1 I khoảng cách từ I1và I2 đến ∆ =3 Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy 3  M  ;0  trung điểm I1 I 2  3  Phương trình ( ∆ ) qua M : a  x −  + by = 2  d ( I1 ; ∆ ) = a − +b a + b2 =3↔ 35 a + ab + 8b = ( vô nghiệm a b không đồng thời =0) Vậy có đường thẳng ∆ thỏa mãn x + y + − = x + y − − = Đ/s: x + y + − = 0; x + y − − = Câu [ĐVH]: Cho tam giác ABC biết đường cao trung tuyến xuất phát từ A 6x – 5y – = x – 4y + = Tính diện tích tam giác ABC biết trọng tâm tam giác thuộc trục hoành đường cao từ đỉnh B qua E(1; –4) Lời giải: Dễ dàng tìm tọa độ điểm A ( 2;1) G ( xG ;0 ) trọng tâm tam giác, mà G thuộc trung tuyến suy tọa độ G ( −2;0 ) 1  Gọi M trung điểm BC ta có: AG = 2GM ⇒ tọa độ M  −4; −  2    1  M  −4; −  ∈ BC Ta có:   ⇒ BC : x + y + 23 = 2  BC ⊥ AH : x − y − =  Giả sử: B ( 6t − 1; −3 − 5t ) , C ( −7 − 6t ;5t + ) ⇒ BE = ( − 6t ;5t − 1) , AC = ( −9 − 6t ;5t + 1) t = −1 Mà BE AC = ⇔ ( − 6t )( −9 − 6t ) + ( 5t − 1)( 5t + 1) = ⇔ 61t + 42 − 19 = ⇔  19 t =  61 +) Với t = −1 ⇒ B ( −7; ) , C ( −1; −3) ⇒ BC = 61 ⇒ S ABC = 1 5.2 + 6.1 + 23 39 d ( A, BC ) BC = 61 = 2 61 +) Với t = 19 99  53 278   541 217  ⇒ B ;− ; ,C  −  ⇒ BC = 61 61   61 61  61  61 ⇒ S ABC = 1 5.2 + 6.1 + 23 99 3861 d ( A, BC ) BC = = 2 61 61 122 Đáp số: S ABC (1) = 39 3861 ; S ABC ( ) = 122 Câu [ĐVH]: Cho tam giác ABC có M(1; –2) trung điểm AB, trục Ox phân giác góc A, đỉnh B, C thuộc đường thẳng qua N(–3; 0) P(0; 2) Tìm A, B, C diện tích tam giác Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Lời giải: Điểm A thuộc Ox, gọi tọa độ A ( a; ) B, C thuộc đường thẳng qua N ( −3; ) & ( 0; ) → pt BC : x − y + = Giả sử tọa độ B ( 3b; 2b + ) , mà M (1; −2 ) trung điểm AB nên ta có hệ: a + 3b = a = 11 ↔ ⇔ ⇒ A (11;0 ) & B ( −9; −4 ) 2b + = −4 b = −3 Gọi phân giác góc A AD, từ M kẻ đường thẳng d cắt AD AC E F: ⇒ pt ( d ) : x = 1, E = ( d ) ∩ AD → E (1; ) ⇒ F (1; ) ( M F đối xứng qua E) Suy phương trình AC là: x + y − 11 = ( A, F ∈ AC )  28  Từ ta xác định tọa độ điểm C nghiệm AC BC: C  ;   13 13  1 2.11 − 3.0 + 40 560 Diện tích tam giác ABC là: S ABC = d ( A; BC ) BC = = 2 13 13 13 560  28  Đáp số: A (11; ) , B ( −9; −4 ) , C  ;  , S ABC = 13  13 13  Câu [ĐVH]: Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d1 : 2x + y – = qua điểm M(1; –1) cắt đường thẳng ( d ) : x − y − = A, B cho AB = Lời giải: Gọi I tâm đường tròn ( C ) cần tìm, I ∈ ( d1 ) ⇒ I ( t ; − 2t ) Vì đường tròn ( C ) cắt ( d ) : x − y − = theo dây cung AB = nên ta có: ( d( I / ( d2 )) ) 9t − 30t + 39  AB  R = R − ⇔ = ( ∗)    2 Mặt khác đường tròn ( C ) qua M (1; −1) → (1 − t ) + ( 2t − ) = R ↔ 5t − 22t + 26 = R ( ∗∗) Từ ( ∗) & ( ∗∗ ) ⇒ t = 9t − 30t + 39 = 5t − 22t + 26 ⇔  t = 13 Vậy có đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề là: ( x − 1) + ( y − ) = / ( x − 13) + ( y + 22 ) = 585 2 2 Câu [ĐVH]: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; -1) cắt đường tròn tâm I(4; 0) bán kính R = A, B cho MA = 3MB Lời giải: Gọi n = ( a; b ) VTPT đường thẳng d qua M (1; −1) ⇒ pt ( d ) : a ( x − 1) + b ( y + 1) = ↔ ax + by − a + b = Vì P( M / (C )) = IM − R = −15 < ⇒ điểm M nằm dường tròn Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Mà: P( M / (C )) = MA.MB = −15 ⇒ − MA.MB = −15 ⇔ 3MB.MB = 15 ⇔ MB = ⇒ MA = ⇒ AB = MA + MB = Vậy ta viết phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn tâm I ( 4; ) & R = cho theo dây cung AB = 3a + b  a = −2b  AB  = 5⇔ Do AB = ⇒ d ( I / ( d )) = R −   = 5⇔   a + b2 b = a 2 +) Với a = −2b, chọn b = −1 → a = ⇒ pt ( d ) : x − y − = +) Với b = 2a, chọn a = → b = ⇒ pt ( d ) : x + y + = Đáp số: ( d1/2 ) : x − y − = 0; x + y + = Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A ngoại tiếp (C ) : x + y = Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết điểm A thuộc tia Ox Lời giải: ( C ) có O ( 0;0 ) , r = Điểm A thuộc tia Ox suy A ( a; ) , a > Từ O hạ OI vuông góc AB, ta tính được: OA = OI r = =2 o sin 45 sin 45o Ta có: OA2 = ⇔ a = ⇔ a = ±2 ⇒ A ( 2;0 ) AB/AC qua A ( 2;0 ) nên AB/AC có dạng: a ( x − ) + by = 0, a + b ≠ b Mặt khác: cos ( AB / AC , Ox ) = cos 45o = a +b 2 = ⇔ a = ±b Nên giả sử: AB : x + y − = 0; AC : x − y − = Kẻ OA cắt BC H ( k ,0 ) OH = r ⇔ k = ± Mà AH ⊥ BC = { H } ⇒ B, C ∈ x = ± +) TH1: B, C ∈ x = suy ra: B ( ) ( 2; − , C ( 2; − ) ( +) TH2: B, C ∈ x = − ⇒ B − 2; + , C − 2; −2 − ) ) Vậy có tọa độ đỉnh tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu là: ( ) ( A ( 2;0 ) , B ± 2; ∓ , C ± 2; −2 ± ) (C1 ) : x + y − x + y − = Câu [ĐVH]: Cho hai đương tròn  có tâm I J Gọi H tiếp điểm 2 (C2 ) : x + y − 10 x − y + 30 = (C1) (C2) Gọi d tiếp tuyến chung không qua H (C1) (C2) Tìm giao điểm K d IJ Viết phương trình đường tròn qua K tiếp xúc với (C1) (C2) H Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Lời giải: Nhận xét: ( C1 ) có tâm I ( 2; −1) & R1 = ( C2 ) có tâm J ( 5;3) & R1 = Ta có: IJ = = R1 + R2 Suy ( C1 ) & ( C2 ) tiếp xúc với Mà H tiếp điểm đường tròn: 19   xH = 2 ( xI − xH ) = −3 ( xJ − xH )  19  ↔ HI = −3HJ ⇔  ⇔ ⇒H ;   5 2 ( yI − yH ) = −3 ( yJ − yH ) y =  H K giao tiếp tuyến chung d IJ nên ta có:  x = 11 2 ( xI − xK ) = ( xJ − xK ) ⇔ KI = 3KJ ↔  ⇔ K ⇒ K (11;11)  yK = 11 2 ( yI − yK ) = ( yJ − yK ) K thuộc đường tròn ( C ) ( C ) tiếp xúc ( C1 ) & ( C2 ) H nên tâm M ( C ) trung điểm KH 2 37   31   37 31   ⇒ M  ;  , R(C ) = MH = ⇒ pt ( C ) :  x −  +  y −  = 36   5  5  2 37   31   Đáp số: K (11;11) , ( C ) :  x −  +  y −  = 36   5  Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 3) nằm (C ) : x + y − x + y + = Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) hai điểm B C cho AB = BC Lời giải: Gọi B(m, n) Do A nằm (C) AB = BC nên dễ thấy B trung điểm AC Ta có: (C ) : x + y − x + y + = hay ( x − 3) + ( y + 1) = ⇒ I ( 3, −1) , R = 2 ⇒ IA = ( −2, ) = ( −1, ) ⇒ nIA = ( 2,1) ⇒ ( IA ) : ( x − 1) + y − = : x + y − = Gọi M, N giao điểm IA với (C) Hoành độ giao điểm M,N nghiệm hệ 2 x + y − =  y = − x  y = − 2x ⇔ ⇔   2 2 ( x − 3) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( − x ) = 5 x − 30 x + 41 =  15 + 5+4 ,y=− x =  15 + 5 +   15 − −5 +  5 ,− , ⇔ ⇒ M  ; N   5   5  −5 + 15 −   ,y= x = 5  Ta có: AB AC = AM AN = 16 ⇒ AB = 16 ⇒ AB = ⇒ ( m − 1) + ( n − 3) = ⇒ m + n − 2m − 6n + = 2 Mà B nằm (C) nên ta có hệ Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  n = 1, m = m + n − 2m − 6n + =  m = 2n +  ⇒ ⇒  2 m + n − 6m + 2n + = 5n − 6n + =  n = , m =  B ( 3,1) ⇒ C ( 5, −1) ⇒ d : x + y − =  ⇒  7 1  13  B , ⇒ C  , −  ⇒ d : x + y − 10 =   5  5  Vậy đường thẳng cần tìm: x + y − = , x + y − 10 = Câu 10 [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T) có phương trình: x + y − x + 12 = I(8; 5) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (T) đồng thời đường thẳng AB qua I (A, B hai tiếp điểm) Lời giải: (T ) : x + y − x + 12 = ⇒ J ( 4, ) , R = Gọi M ( 0, m ) ⇒ MJ = ( 4, − m ) ⇒ ( AB ) : ( x − ) − m ( y − ) = Ta có:  M ( 0, ) m = R2  = d ( J / ( AB ) ) = = ⇔ −16 + 5m = ⇔  ⇔   12  12 2 m = IM M 0, 16 + m 16 + m     −16 + 5m •  IM = + 42 =  M ( 0, ) ⇒  ⇒ thỏa mãn −7 = < IM ( AB ) : x − y − = ⇒ MH = d ( M / ( AB ) ) = 2  •  12 34  IM = 42 +   =   5   12   M  0,  ⇒   5  12 ( AB ) = x − y − 20 = ⇒ MH = d ( M / ( AB ) ) =     12    + 20 5 ⇒l 161 = > MI 34  12  42 +   5 oại Đ/s: M(0; 4)  d1 : x + y + =  Câu 11 [ĐVH]: Cho đường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường tròn có tâm I giao d : x − y =  điểm d1 d2 đồng thời cắt d3 AB cho AB = Lời giải: •  xI = −   xI + y I + =   1 I = d1 ∩ d ⇒  ⇒ ⇒ I − ,   2  xI − y I + =  y =  I Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy • d ( I / d3 ) = − − 2 + 22 = 2  AB  101 ⇒ R = ( d ( I / d3 )) +   = 20    7  1 101 Suy phương trình đường tròn cần tìm là:  x +  +  y −  = 2  2 20   7  1 101 Đ/s:  x +  +  y −  = 2  2 20   (C1 ) : ( x − 1) + y = Câu 12 [ĐVH]: Cho đường tròn  Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp (C ) : ( x − )2 + ( y − 2) =  xúc với đường tròn (C1) cắt đường tròn (C2) theo dây cung có độ dài 2 Lời giải: 1  (C1 ) : ( x − 1) + y = ⇒ I (1,0 ) , R1 =  (C ) : ( x − )2 + ( y − 2)2 = ⇒ J ( 2, ) , R = 2  Gọi ( d ) : ax + by + c = • a+c = R1 = d ( I / d ) = ⇔ a + b = ( a + c ) (1) a2 + b2 • 2 2 2a + 2b + c R2 −  = = d (J / d) =   a2 + b2   2 Suy d ( J / d ) = 2d ( I / d ) ⇒ 2a + 2b + c a + b2 =2 a+c a2 + b2 ⇒ 2a + 2b + c = a + c  2a + 2b + c = 2a + 2c  2b = c ⇔ ⇔  2a + 2b + c = −2a − 2c  4a + 2b + 3c = • ( d ) : − x + y + =  a = −b  a = −b, c = 2b 2b = c ⇒ (1) : a + b = ( a + 2b ) ⇔ a + 8ab + 7b = ⇔  ⇒ ⇒  a = −7b  a = −7b, c = 2b ( d ) : −7 x + y + = •  c = −2a  c = −2a, b = a 2 4a + 2b + 3c = ⇒ (1) : 4a + ( 4a + 3c ) = ( a + c ) ⇔ 12a + 8ac + c = ⇔  ⇔  c = −6a  c = −6a, b = a ( d ) : x + y − = ⇔ ( d ) : x + y − = Vậy ( d ) : − x + y + = ; −7 x + y + = ; x + y − = ; x + y − = Câu 13 [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : x − y = 0; d : x + y − = 0; d3 : x − y = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A ∈ d1; C ∈ d2 ; B, D ∈ d3 Lời giải: Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Gọi A ( 3a, a ) , C ( c,5 − 2c ) , I tâm hình vuông ⇒ I trung điểm AC thuộc BD   3a + c a + − 2c  , I  ⇒   2  ⇒ 3a + c = a + − 2c ⇔ 2a + 3c = (1) x = y  I I   3a + c a + − 2c  , I  Ta có: ⇒   2  ⇒ 3a + c = a + − 2c ⇔ 2a + 3c = (2) x = y  I I Từ (1) (2) suy ra: a = 1, c = ⇔ A ( 3,1) ; C (1, 3) ⇒ I ( 2, ) ⇒ IA = ⇒ ( I ) : ( x − ) + ( y − ) = 2 Tọa độ giao điểm B,D nghiệm hệ phương trình:  x − y =  x = y  x = y =  B ( 3, 3) , D (1,1) ⇔ ⇔ ⇒  2 ( I ) : ( x − ) + ( y − ) = ( x − ) =  x = y =  B (1,1) , D ( 3,3) Vậy A ( 3,1) ; C (1,3) , B ( 3,3) , D (1,1) A ( 3,1) ; C (1,3) ; B (1,1) , D ( 3,3) Câu 14 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A( −1; 2) ; C (3; −2) Gọi E trung điểm cạnh AD, BM đường thẳng vuông góc với CE M ; N trung điểm của BM P giao điểm AN với DM Biết phương trình đường thẳng BM: x − y − = Tìm tọa độ điểm P Lời giải Gọi I tâm hình vuông ta có I (1;0 ) , AC = ( 4; −4 ) suy phương trình BD: x − y − = Do IA = IB = IC = ID = AC = 2 ⇒ B, D ∈ ( C ) : ( x − 1) + y =  x = y +  B ( −1; −2 ) , D ( 3; ) Tọa độ B, D thỏa mãn  ⇔ ( x; y ) = ( −1; −2 ) , ( 3; ) ⇒  2  D ( −1; −2 ) , B ( 3; ) ( x − 1) + y = Lại có BM: x − y − = nên chọn B ( 3; ) , D ( −1; −2 ) ; N trung điểm BM nên AN song song với CE Tọa độ trung điểm E ( −1;0 ) ⇒ ( CE ) : x + y + = ; (AN): x + y − = M ∈ ( CE ) : M ( −2m − 1; m ) 7 6 BM CE = ⇔ m = − ⇒ M  ; −  ⇒ DM : x − y − = 5 5 x − 3y − =  19  Tọa độ điểm P thỏa mãn  ⇒ P ;−  5  x + y − = Câu 15 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ Biết điểm M(–3; –1) N(2; –1) thuộc cạnh BC, Q thuộc cạnh AB, P thuộc cạnh AC, đường thẳng AB có phương trình x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải Ta có MN = ( 5;0 ) ⇒ ( BC ) ≡ ( MN ) : y = −1 , suy (MQ) qua M vuông góc với BC: x = −3 Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Q ∈ ( AB ) : x − y + = ⇒ Q ( −3; ) ; B ∈ ( AB ) ⇒ B ( −6; −1) (NP) qua N vuông với (BC): x = ; (PQ) qua Q song song với (BC): y = ⇒ P ( 2; ) x + y − =  9 (AP) qua P vuông góc với (AB): x + y − = ⇒ A :  ⇔ A − ;   2 x − y + =  9 C = ( AP ) ∩ ( BC ) ⇒ C ( 5; −1) Vậy ta có A  − ;  , B ( −6; −1) , C ( 5; −1)  2 Câu 16 [ĐVH]: Trong mặt phẳng vớ i hệ t ọa độ vuông Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y − x + y − 11 = đường thẳng d : x − y + = Gọi A; B hai điểm thuộc đường  22 11  thẳng d, C điểm thuộc đường tròn (C) Biết điểm H  ;  giao điểm AC với đường tròn  5  7 (C) , điểm H  − ;  trung điểm cạnh AB Xác định tọa độ điểm A, B, C biết diện tích tứ giác  5 AHIK 24 hoành độ điểm A dương Lời giải  12 16  Đường tròn (C) có tâm I ( 2; −1) , R = Ta có IH =  ;  nên IH song song với d, IH : x − y − 11 =  5 Ta có d ( I ; AB ) = nên d tiếp xúc với (C), suy d ( K ; IH ) = d ( H ; AB ) = 1 1 S AHIK = S IHK + S AHK = R.d ( K ; IH ) + AK d ( H ; AB ) = 24 ⇔ 4.4 + AK = 24 ⇔ AK = 2 2 4 x − y + = 4 x − y + =  2  6  7    39   18 39  A ( x; y ) ; x > ⇒  x +  +  y −  = 64 ⇒  y ∈  ; −5 ⇒ A  ;  Suy B ( −6; −5) 5  5 5  5    x >  x >   26 17   22 11  Phương trình đường AC: x + y − 33 = ⇒ C  ; −  C  ;  5   5 Câu 17 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1; 0) đường tròn (C1 ) : x + y = (C2 ) : x + y = Tìm tọa độ điểm B C nằm (C1) (C2) để tam giác ABC có diện tích lớn nhất, với xB < Lời giải: Nhận thấy diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn O trực tâm tam giác ABC Và ta có: OC ⊥ AB , OA ⊥ BC Khi gọi B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) xB = xC OA ⊥ BC Ta lại có: AB = ( xB − 1; yB ) , OC = ( xB ; yC ) , OB = ( xB ; yB ) , AC = ( xC − 1; yC ) Mặt khác: CO ⊥ AB ⇔ AB.CO = ⇔ xB ( xB − 1) + yB yC = ⇔ yB yC = xB − xB2 ⇔ yB2 yC2 = xB4 − xB3 + xB2 ( ∗)  x + y B2 =  yB2 = − xB2 Và  B2 ⇒ 2  xC + yC =  yC = − xB (− Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn ) < xB < Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thay vào ( ∗) ta có: ( − x )( − x ) = ( x B B Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] − xB2 ) ⇔ xB3 − xB2 + 10 = ⇔ ( xB + 1) ( xB2 − xB + 5) = ⇔ xB = xC = −1 B Khi tọa độ điểm B C cần tìm là: B ( −1; ±1) , C ( −1; ±2 ) Câu 18 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có BAD = 600 Trên cạnh AB, BC lấy điểm M, N cho MB + NB = AB Biết P ( ) 3;1 thuộc đường thẳng DN đường phân giác góc MDN có phương trình d : x − y + = Tìm toạ độ đỉnh D hình thoi ABCD Lời giải: Giả thiết: BAC = 60o ⇒ ∆ABD & ∆CBD tam giác Theo ta có: AM = BN , BM = CN  DAM = DBN = 60o  ⇒ ∆ADM = ∆BDN ⇒ ADM = BDN Ta có:  AD = BD  AM = BN  Tương tự ta có: ∆BMD = ∆CND ⇒ NDC = MDB Từ suy MDN = 60o Gọi Q điểm đối xứng P qua đường phân giác: d : x − y + = Suy điểm Q thuộc DM Suy tam giác PDQ tam giác ⇒ DP = PQ = 2d ( P, ( d ) ) = Điểm D ∈ ( d ) : x − y + = ⇒ D Ta có: ⇒ PD = ( ( ) ( 3d − 6; d 3d − − + d − ) xP − y P + =6 ) ( ( )   d = 3 +  D + 3;3 + = 36 ⇔  ⇒  D − 6;1 d =   ( ) ( Vậy có điểm D thỏa mãn yêu cầu toán là: D + 3;3 + , D ) ) − 6;1 Câu 19 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : x − y + = , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y − = Gọi H hình chiếu B xuống 9 2 đường chéo AC Biết M  ;  ; K(9; 2) trung điểm AH CD Tìm toạ độ đỉnh 5 5 hình chữ nhật ABCD biết hoành độ đỉnh C lớn Lời giải: Ta có: B ∈ d1 ⇒ B ( b; 2b + ) , C ∈ d ⇒ C ( c; c − )( c > ) Gọi E điểm đối xứng B qua C nên → E ( 2c − b; 2c − 2b − 12 ) Trong tam giác ABE, CK đường trung bình nên K trung điểm AE Trong tam giác AHE có M, K trung điểm AH AE nên MK trung bình tam giác: Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy 72 76   72 16   ⇒ HE = MK =  ;  ⇒ H  2c − b − ; 2c − 2b −  5   5    Ta có: CK = ( − c; c + ) , BC = ( c − b; c − 2b − ) , BH =  2c − 2b − 72 86  27   ; 2c − 4b −  , MC =  c − ; c −  5  5   Lại có: BH vuông góc AC ( H ∈ AC ) , CK vuông góc BC: b =  2c − 3bc + 23b − 23c + 49 = CK BC =   ⇔ ⇔ ⇔  c = ( L ) 126 594  BH MC =  4c − 6bc + b − 46c + =  c =   ⇒ B (1; ) , C ( 9; ) , mà K trung điểm CD ⇒ D ( 9;0 ) Mặt khác, C trung điểm BE, E (17; ) , KA = KE ⇒ A (1;0 ) Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật là: A (1;0 ) , B (1; ) , C ( 9; ) , D ( 9;0 ) Câu 20 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): ( x − 5) + ( y − 6) = 32 Biết đường thẳng AC AB qua điểm M(7; 8) N(6; 9) Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD Lời giải:  I ( 5; )  Đường tròn ( C ) :  10 I ( 5;6 ) tâm hình thoi: R =   Ta có: AC qua I (5;6), M (7;8) ⇒ u AC ( 2; ) ⇒ AC : x − y + = Đường thẳng BD qua I ( 5;6 ) vuông góc với AC nên phương trình BD : x + y − 11 = Gọi n AB = ( a; b ) ⇒ AB : a ( x − 6) + b( y − 9) = 0, Mặt khác R = d ( I ; AB ) ⇒ ( a2 + b2 ≠ ) a + 3b 32 = ⇔ ( 9a − 13b )( 3a + b ) = a + b2 +) Với 9a = 13b chọn a = 13, b = ⇒ AB :13 x + y − 159 = 13 x + y − 159 =  75 86   35 46  Khi tọa độ điểm A = AB ∩ AC :  ⇒ A ;  ⇒ C  ;   11 11   11 11  x − y +1 =  35 46  Phương trình đường thẳng CD / / AB qua C  ;  ⇒ CD :13 x + y − 79 =  11 11  13 x + y − 79 = ⇒ C ( −5;16 ) ⇒ D (15; −4 ) Khi tọa độ điểm D = BD ∩ CD :   x + y − 11 = +) Với 3a = −b chọn a = 1, b = −3 ⇒ AB : x − y + 21 = Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  x − y + 21 = Khi tọa độ điểm A = AB ∩ AC :  ⇒ A ( 9;10 ) ⇒ C (1; ) x − y +1 = Phương trình đường thẳng CD / / AB qua C (1; ) ⇒ CD : x − y + = x − 3y + = Khi tọa độ điểm D = BD ∩ CD :  ⇒ C ( 7; ) ⇒ D ( 3;8 ) x + y − 11 =  Kết luận: Vậy có hình thoi thõa mãn yêu cầu toán Câu 21 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O1) (O2) có bán kính cắt A(4;2) B Một đường thẳng qua A N(7; 3) cắt đường tròn (O1) (O2) D C Tìm tọa độ đỉnh tam giác BCD biết đường thẳng nối tâm O1, O2 có phương trình x − y − = diện tích tam giác BCD 24 Lời giải: qua A ( 4; ) Phương trình đường thẳng CD  ⇒ CD : x − y + = u = ( 3;1) Mặt khác A,B, đối xứng qua đường thẳng d: x − y − =  AB.ud = Gọi B ( a; b ) ⇒  (với I trung điểm AB)  I ∈ d ( a − ) + ( b − ) = a =  ⇒ ⇒ B ( 5;1) Ta có:  a + b + b = − − =    S BCD = 1 24 12 CD.d ( B; CD ) = CD = ⇒ CD = 10 2 5 10 Mặt khác nhận thấy ∆BCD cân B BCD = BDC ( chứa cung AB đường tròn nhau) Gọi K hình chiếu vuông góc B lên CD ta có: K ( 3t − 2; t ) ⇒ BK ( 3t − 7; t − 1) ⇒ BK uCD = ⇒t = 11  23 11  ⇒K ;   5   41 17  u = ⇒ C (1;1) ⇒ D  ;  33   11  72    Gọi C ( 3u − 2; u ) ⇒ KC =  3u −  +  u −  = ⇒    5 17   41 17  ⇒ C  ;  ⇒ D (1;1) u =  5  2  41 17   41 17  Kết luận: B ( 5;1) C (1;1) , D  ;  B ( 5;1) , C  ;  , D (1;1)  5  5 Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] 5  Câu 22 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :  x −  + ( y − 1) = Xác 4  định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh B C thuộc đường tròn (C), đỉnh A D thuộc trục Ox Lời giải: ( C ) : tâm 5  I  ;1 , R = 4  Phương trình đường thẳng d trung trực AD, BC xác định: 5  Qua I  ;1 vuông góc với Ox ⇒ d : x = 4  Ta có: d ( I ; AD ) = < R = AD cắt (C) Đặt độ dài cạnh hình vuông m ta có: d ( I ; BC ) = m − < R m = 2 m2  BC  Mặt khác  + ( m − 1) = ⇔  ⇒m=2  +  d ( I ; BC )  = R ⇒  m = −2    Với m = ta có: A ( 0;0 ) , D ( 2;0 ) , B ( 0; ) , C ( 2; ) A ( 2;0 ) , D ( 0;0 ) , B ( 2; ) , C ( 0; ) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95