Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ********** PHẠM THỊ HỒNG THẮM DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT TRÊN CÁC MẶT CONG TRƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2016... Vớ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

**********

PHẠM THỊ HỒNG THẮM

DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT TRÊN CÁC MẶT CONG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

**********

PHẠM THỊ HỒNG THẮM

DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT TRÊN CÁC MẶT CONG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Thạc Dũng

HÀ NỘI - 2016

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏlòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy - Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng

- Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình làmkhóa luận tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Hình Học, cácthầy cô giáo khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợicho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường bốn năm vừa qua và giúp

đỡ tôi thực hiện khóa luận này

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn nhiệt tình giúp đỡ, động viên, quan tâm, tiếp thêmniềm tin và nghị lực cho tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu vàhoàn thành khóa luận

Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những điều thiếu sót

và hạn chế Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo vàcác bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016

Sinh viênPhạm Thị Hồng Thắm

Lời cam đoan

Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứucủa bản thân và sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng

Trong khóa luận tôi có tham khảo các kết quả nghiên cứu trong cuốnsách chuyên khảo "Elementary Differential Geometry" của tác giả AndrewPressley do nhà xuất bản Springer ấn hành năm 2010 Tôi xin cam đoankết quả của khóa luận này được trình bày lại theo kiến thức tôi học được

từ cuốn sách trên, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016

Sinh viênPhạm Thị Hồng Thắm

Mục lục

1.1 Đường cong tham số 3

1.2 Đường cong chính quy và độ dài cung 4

1.3 Tham số hóa lại 5

1.4 Mặt cong 5

1.5 Mặt cong trơn 12

1.6 Tiếp tuyến và đạo hàm 13

2 Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn 16 2.1 Độ dài của đường cong trên mặt cong 16

2.2 Đẳng cự trên mặt cong 20

2.3 Ánh xạ bảo giác của mặt cong 25

2.4 Ánh xạ bảo toàn diện tích và định lý Ac-si-met 31

2.5 Hình học cầu 44

Lời mở đầu

Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính

và định lượng của các hình Tùy vào các phương pháp nghiên cứu khácnhau mà có những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hìnhhọc xạ ảnh, Hình học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số,Tôpô

Hình học Vi phân là một nhánh của hình học sử dụng các công cụ

và phương pháp của phép tính vi phân và tích phân để nghiên cứu cácvấn đề của hình học Việc nghiên cứu Hình học của đường cong và mặtcong trong không gian Euclide ba chiều đã trở thành cơ sở cho sự pháttriển ban đầu của Hình học Vi phân Rất nhiều kết quả về đường cong

và mặt cong là dạng sơ khai của các kết quả tổng quát trong trường hợpchiều cao Việc nghiên cứu các quan hệ như thế tạo ra một mảng chínhcủa Toán học

Khóa luận này đề cập đến lý thuyết của các mặt cong trơn liên quanđến dạng cơ bản thứ nhất

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được

sự định hướng của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài Dạng

cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn để trình bày trong khóaluận tốt nghiệp đại học

Khóa luận gồm 2 chương

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số khái niệm vềđường cong tham số, đường cong chính quy và độ dài cung, tham số hóalại, mặt cong, mặt cong trơn, tiếp tuyến tại một điểm trên mặt cong và

đạo hàm để nghiên cứu cho phần sau.

Chương 2 tập trung nghiên cứu về "Dạng cơ bản thứ nhất trên cácmặt cong trơn" Dựa vào dạng cơ bản đó, chúng ta xác định được độ dàicủa đường cong trên mặt cong, ánh xạ đẳng cự và ánh xạ bảo giác đồngthời thấy được mối quan hệ giữa các ánh xạ đó

Bên cạnh đó, khóa luận trình bày về ánh xạ bảo toàn diện tích và

ví dụ nổi tiếng nhất về ánh xạ bảo toàn diện tích là ví dụ được tìm bởiAc-si-met Và ứng dụng của định lý Ac-si-met được vận dụng vào tamgiác cầu trên hình học cầu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Đường cong tham số

Ký hiệu R3 là không gian vectơ 3-chiều gồm bộ ba các số thực (x, y, z).Mục tiêu của phần này là đi mô tả chính xác các tập con đặc biệt của

R3 (được gọi là các đường cong) là gì? Để nghiên cứu các đối tượng này,chúng ta cần biết các phép tính vi - tích phân trong không gian mộtchiều Chúng ta thường đòi hỏi các đường cong là "trơn" vì thế mộtcách tự nhiên chúng ta xét lớp các hàm khả vi

Trong toàn bộ khóa luận này, ta nói rằng một hàm số của một biếnthực là khả vi (hoặc trơn) trên một miền D ⊂ R nếu nó có đạo hàm mọicấp tại mọi điểm x ∈ D

Định nghĩa 1.1 Một đường cong tham số là một ánh xạ liên tục γ :

Nếu ánh xạ γ là một hàm khả vi (trơn) thì γ được gọi là một đường congtham số khả vi (Đường cong tham số trơn)

Từ khả vi trong định nghĩa này được hiểu rằng γ là ánh xạ tươngứng với mỗi t ∈ I là một điểm γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3, trong đó các

hàm số x(t), y(t), z(t) là khả vi Biến số t được gọi là tham số của đườngcong Từ khoảng được lấy trong trường hợp tổng quát để ta không loại

đi trường hợp α = −∞; β = +∞

Nếu ta biểu thị ˙x(t) là đạo hàm bậc nhất của x tại điểm t và đạohàm của các hàm số y và z cũng được biểu thị giống như vậy, thì vectơ( ˙x(t), ˙y(t), ˙z(t)) = ˙γ(t) ∈ R3 được gọi là vectơ tiếp xúc (hoặc vectơ vận

Lưu ý là ở đây ta cần phân biệt khái niệm một đường cong tham số vớivết của nó Đường cong tham số là một ánh xạ còn vết của nó là mộttập con của R3

1.2 Đường cong chính quy và độ dài cung

vi Điểm γ(t) được gọi là điểm chính quy nếu ˙γ(t) 6= 0, ngược lại nó đượcgọi là điểm kì dị Một đường cong được gọi là chính quy nếu mọi điểmcủa nó đều chính quy

Định nghĩa 1.3 Độ dài cung của một đường cong chính quy γ : (α, β) →

R3 xuất phát từ điểm γ(to) là hàm số s(t) được cho bởi

s(t) =

Z t

to

k ˙γ(t)kdttrong đó k ˙γ(t)k là độ dài của vectơ ˙γ(t)

Vì γ(t) là hàm khả vi nên độ dài cung s là một hàm số khả vi của

t và dsdt = k ˙γ(t)k

Xem γ(t) như là vị trí của một điểm chuyển động tại thời điểm t,

thì dsdt là vận tốc của điểm đó Với lí do này, chúng ta đi đến định nghĩasau:

khi đó vận tốc của nó tại điểm γ(t) là k ˙γ(t)k và γ được gọi là đườngcong có vận tốc đơn vị nếu k ˙γ(t)k = 1 với mọi t ∈ (α, β)

1.3 Tham số hóa lại

Định nghĩa 1.5 Đường cong tham số ˜γ : ( ˜α, ˜β) → R3 là một tham số

trơn φ : ( ˜α, ˜β) → (α, β) (được gọi là ánh xạ tham số hóa lại) sao cho

φ−1 : (α, β) → ( ˜α, ˜β) cũng là ánh xạ trơn và ˜γ(˜t) = γ(φ(˜t)) với mọi

Hai đường cong là tham số hóa lại với nhau thì có cùng ảnh, vì vậychúng có các tính chất hình học giống nhau Bởi định nghĩa của phéptham số lại, ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1 Mọi tham số hóa lại của một đường cong chính quy đềuchính quy

1.4 Mặt cong

mặt của quả địa cầu, mặc dù nó gần như là một mặt cầu, nhưng đối vớingười đứng trên mặt đất quan sát thì nó dường như là một mặt phẳng.

Để phát biểu một cách chính xác thuật ngữ giống như và lân cận, chúng

ta sẽ giới thiệu lại một vài kiến thức cơ bản về topo trong R2 Chúng

hoặc n = 3

khoảng cách bằng ε đều nằm trong U

a ∈ U và ku − ak < ε ⇒ u ∈ U

f : X → Y được gọi là liên tục tại một điểm a ∈ X nếu các điểm trong

X gần với điểm a có ảnh qua f là các điểm trong Y gần với điểm f (a).Hay chính xác hơn, f liên tục tại a nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 saocho u ∈ X và ku − ak < δ ⇒ kf (u) − f (a)k < ε

Khi đó, f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc

X Hợp của hai ánh xạ liên tục là liên tục

Y → X cũng liên tục, thì f được gọi là một đồng phôi và X được gọi làđồng phôi với Y

Như vậy, mỗi một mặt cong được trang bị bởi các đồng phôi σ :

U → S ∩ W, mà chúng ta sẽ gọi là các mảnh vá Tập hợp tất cả các mảnh

vá này được gọi là một bản đồ của S

một mảnh vá

Thật vậy, giả sử a là một điểm nào đó trên mặt phẳng, p và q làhai vectơ đơn vị, vuông góc với nhau và song song với mặt phẳng đãcho Khi đó, mỗi vectơ song song với mặt phẳng là một tổ hợp tuyếntính của p và q, có dạng up + vq với các vô hướng u và v Với r là mộtđiểm bất kỳ trên mặt phẳng, thì vectơ r − a song song với mặt phẳng,nên

r − a = up + vq

do đó

r = a + up + vqvới các vô hướng u, v nào đó Như vậy, có thể xét mảnh vá

ϕ Nếu p là một điểm nằm trên mặt cầu, đường thẳng qua p song song

với trục Oz giao với mặt phẳng Oxy tại điểm q thì θ là góc tạo bởi giữa

q và p còn ϕ là góc giữa q và chiều dương của trục Ox

Nếu không hạn chế (ϕ, θ) thì σ không phải là một song ánh (và do

đó nó không phải là một đồng phôi) Để phủ hết mặt cầu, rõ ràng cần

chọn như sau

2Tuy nhiên, tập hợp các điểm (ϕ, θ) thỏa mãn bất đẳng thức trên không

vá Tập mở lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên là

U =

(ϕ, θ)|0 < ϕ < 2π,−π

2 < θ <

π2



là phần bù của nửa đường tròn lớn C bao gồm các điểm trên mặt cầu

có tọa độ (x, 0, z) với x ≥ 0 (hình 1.1)

Vì vậy, để chứng tỏ mặt cầu là một mặt cong, chúng ta cần phảixây dựng thêm ít nhất một mảnh vá nữa để phủ nốt phần mặt cầu bị σ

quanh trục Oz và sau đó một góc π2 quanh trục Ox Cụ thể, ˜σ : U → R3xác định bởi

˜σ(ϕ, θ) = (−cosϕcosθ, −sinθ, −sinϕcosθ)

(x, y, 0) với x ≤ 0 (hình 1.2)

cầu nằm trên ảnh của cả hai mảnh vá

Hình 1.1:

Hình 1.2:

1.5 Mặt cong trơn

của f , là các hàm fi : U → R, có đạo hàm riêng liên tục ở mọi cấp Khi

đó các đạo hàm riêng của f được tính theo mỗi thành phần Ví dụ, nếu

được gọi là một mảnh vá chính quy nếu nó là ánh xạ trơn và các vectơ σu

và σv độc lập tuyến tính tại mọi điểm (u, v) ∈ U, hay tích vectơ σu× σvkhác vectơ không tại mọi điểm của U

Định nghĩa 1.8 Cho S là một mặt cong Một mảnh vá phù hợp với S

sao cho σ là một đồng phôi từ U lên một tập con mở của S Mặt cong S

được gọi là trơn nếu với mọi điểm p ∈ S, tồn tại một mảnh vá phù hợpvới S xác định như trên sao cho p ∈ σ(U ).

Một họ A gồm các mảnh vá phù hợp với mặt cong S thỏa mãn mọiđiểm của S nằm trong ít nhất một mảnh vá trong A được gọi là mộtbản đồ trơn của S

Ví dụ 1.5.1 Mặt phẳng trong ví dụ 1.4.1 là một mặt trơn Thật vậy,σ(u, v) = a + up + vq là trơn và σu = p, σv = q độc lập tuyến tính (vì p

và q theo cách chọn là các vectơ có độ dài đơn vị vuông góc với nhau)

1.6 Tiếp tuyến và đạo hàm

Định nghĩa 1.9 Một vectơ tiếp xúc với mặt cong trơn S tại điểm p ∈ S

là vectơ tiếp xúc tại p của một đường cong trơn trên S đi qua p Khônggian vectơ tiếp xúc TpS của S tại p là tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúcvới S tại p

là một đường cong trơn nằm trên S và đi qua p khi t = to, thì tồn tạicác hàm số u(t ) và v (t ) trơn sao cho:

Mệnh đề 1.2 Cho σ : U → R3 là một mảnh vá trên mặt cong S chứađiểm p ∈ S và cho (u, v ) là tọa độ trong U Không gian vectơ tiếp xúcvới S tại p là không gian vectơ con của R3 sinh bởi σu và σv.

Chứng minh của mệnh đề, đọc giả có thể xem trong tài liệu thamkhảo [1]

vectơ tiếp xúc sinh bởi σu, σv là không gian 2 chiều và được gọi là mặtphẳng tiếp xúc với S tại p Lưu ý rằng mặt phẳng tiếp xúc không phụthuộc vào việc chọn mảnh vá chứa điểm p Ngoài ra, σu và σv là một cơ

sở của mặt phẳng tiếp xúc tại σ(uo, vo) của mặt cong

Tiếp theo, cho hai mặt cong trơn S, eS và ánh xạ trơn f : S → eS.Giả sử w là một vectơ tiếp xúc với mặt cong S tại p ∈ S Do đó, tồn tạimột đường cong trơn γ nằm trong S đi qua p = γ(t0) sao cho w = ˙γ(t0).Khi đó, eγ = f ◦ γ là một đường cong trơn trong eS đi qua f (p) = eγ(t0),

vì vậy w = ˙e eγ(t0) ∈ Tf (p)S.e

Dpf : TpS → TpS sao cho De pf (w) = w với mọi vectơ w ∈ Te pS

Đầu tiên, chúng ta cần chỉ ra rằng định nghĩa này có nghĩa, tức là

Dpf (w) chỉ phụ thuộc vào f , p và w; tức là nếu có nhiều đường cong γ

Cho σ : U → R3 là một mảnh vá của S chứa p, p = σ(uo, vo) và cho

α, β là những hàm số trơn trên U sao cho: f (σ(u, v)) = σ(α(u, v), β(u, v))e

σ(u(t), v(t)), trong đó u,v là những hàm trơn sao cho ˙u(to) = λ và ˙v(to) =

µ Khi đó, đường cong tương ứng với γ trên eS là ˜γ(t) = ˜σ(˜u(t), ˜v(t)),trong đó ˜u(t) = α(u(t), v(t)), ˜v(t) = β(u(t), v(t)) Ta có:

Dpf (w) = ˙˜u˜σu˜ + ˙˜v˜σ˜ = ( ˙uαu+ ˙vαv)˜σu˜ + ( ˙uβu+ ˙vβv)˜σ˜Khi đó:

Dpf (w) = (λαu + µαv)˜σu˜ + (λβu+ µβv)˜σ˜ (1.2)

Vế phải của nó chỉ phụ thuộc vào p, f , λ và µ; hay p, f và w

Cuối cùng, chúng ta giới thiệu hai mệnh đề sau Chứng minh củachúng, độc giả có thể xem tài liệu tham khảo [1]

và p ∈ S, khi đó Dpf : TpS → TpS là ánh xạ tuyến tính.˜

trơn Khi đó, f là một vi phôi địa phương khi và chỉ khi ánh xạ tuyếntính Dpf : TpS → Tp˜S khả nghịch với mọi p ∈ S

Chương 2

Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn

2.1 Độ dài của đường cong trên mặt cong

- không gian vectơ tiếp xúc Khi đó, một dạng cơ bản của mặt cong Skết hợp với các vectơ v, w ∈ TpS là một tích vô hướng tác động lên v, w

hv, wip,S = v · wNhưng trong hình học vi phân dạng cơ bản thứ nhất được xây dựngnhư sau

Cho σ(u, v) là một mảnh vá phù hợp của S, khi đó vectơ tiếp xúc

w bất kì của S tại điểm p trong ảnh của σ có thể được biểu diễn tuyếntính duy nhất qua hai vectơ tiếp xúc σu và σv

Xây dựng ánh xạ: du : TpS → R và dv : TpS → R sao cho:

Dễ thấy, du, dv là các ánh xạ tuyến tính Khi đó, do h, i là một dạngsong tuyến tính đối xứng, ta có

hw, wi = λ2hσu, σui + 2λµ hσu, σvi + µ2hσv, σvi

Ta nhận được

Vì lý do này, người ta gọi

là dạng cơ bản thứ nhất của mảnh vá σ(u, v) Chú ý rằng các hệ sốE,F,G và các ánh xạ tuyến tính du,dv phụ thuộc vào việc chọn mảnh vátrên S, nhưng dạng cơ bản thứ nhất của nó chỉ phụ thuộc vào p và S.Xét đường cong γ(t) = σ(u(t), v(t)) với u(t), v(t) là các hàm trơn.Khi đó: ˙γ = ˙uσu+ ˙vσv nên h ˙γ, ˙γi = E ˙u2 + 2F ˙u ˙v + G ˙v2 và độ dài của γ

từ điểm γ(t0) đến điểm γ(t) được cho bởi

Z t

t 0

(E ˙u2 + 2F ˙u ˙v + G ˙v2)12dt

một điểm bất kì, p và q là hai vectơ đơn vị, vuông góc với nhau

Ta có: σu = p, σv = q nên E = kσuk2 = kpk2 = 1, F = σu·σv = p·q = 0,

G = kσvk2 = kqk2 = 1

Vậy dạng cơ bản thứ nhất trên mặt phẳng là: du2 + dv2

Ví dụ 2.1.2 Xét hình cầu đơn vị: σ(ϕ, θ) = (cosϕcosθ, sinϕcosθ, sinθ)

Ta có:

σϕ = (−sinϕcosθ, cosϕcosθ, 0)và

Khi đó: E = kσϕk2 = cos2θ, F = σu· σv = 0, G = kσθk2 = 1

Vậy dạng cơ bản thứ nhất trên hình cầu đơn vị là: cos2θdϕ2 + dθ2

Ví dụ 2.1.3 Xét hình trụ tổng quát: σ(u, v) = γ(u) + va Giả sử γ làđường cong có tốc độ đơn vị, a là một vectơ đơn vị và γ được chứa trongmặt phẳng vuông góc với a

Ta có: σu = ˙γ, σv = a thì E = kσuk2 = k ˙γk2 = 1, F = σu· σv = ˙γ · a = 0,

G = kσvk2 = kak2 = 1

Vậy dạng cơ bản thứ nhất của σ là: du2 + dv2

Ví dụ 2.1.4 Xác định dạng cơ bản thứ nhất của các mặt cong sau:

Khi đó:

E = kσuk2 = 0

F = σu· σv = 2sinhucoshusinhvcoshv

G = kσvk2 = −sinh2uVậy dạng cơ bản thứ nhất của mặt cong này có dạng:

4sinhucoshusinhvcoshvdudv − sinh2udv2.b) σ(u, v) = (u − v, u + v, u2 + v2)

Khi đó: E = kσuk2 = 2 + 4u2, F = σu· σv = 4uv, G = 2 + 4v2

Vậy dạng cơ bản thứ nhất của mặt cong trên là :

(2 + 4u2)du2 + 8uvdudv + (2 + 4v2)dv2.c) σ(u, v) = (coshu, sinhu, v)

mảnh vá σ(u, v) trên mặt cong S Khi đó, nếu p là một điểm trên ảnh

của σ và v, w ∈ TpS thì

hv, wi = Edu(v)du(w) + F (du(v)dv(w) + du(w)dv(v)) + Gdv(w)dv(w)

mảnh vá σ(u, v) trên mặt cong S với E = kσuk2, F = σu· σv, G = kσvk2.Xét ánh xạ du : TpS → R và dv : TpS → R sao cho:

2.2 Đẳng cự trên mặt cong

Quan sát lại ví dụ 2.1.1 và 2.1.3, ta thấy trong mặt phẳng vàhình trụ tổng quát khi tham số thích hợp chúng có cùng dạng cơ bảnthứ nhất Không khó để chúng ta có thể lý giải một cách hình học hiệntượng này Hình trụ có thể thu được từ một mảnh của mặt phẳng bằngcách "cuộn" mặt phẳng lại Giả sử vẽ một đường cong trên mặt phẳng,sau đó quấn nó trở thành một đường cong trên hình trụ Khi đó độ dàicủa hai đường cong này sẽ như nhau Tuy nhiên độ dài lại được tính

như tích phân của dạng cơ bản thứ nhất Do đó, chúng ta thấy rằng cácdạng cơ bản của mặt phẳng và mặt trụ "cần" phải có dạng như nhau.Trong suốt phần này, nếu không nói gì thêm, ta sẽ giả sử rằng mặt cong

là trơn

Định nghĩa 2.2 Giả sử S1, S2 là những mặt cong, ánh xạ trơn f : S1 →

cong bất kì trong S1 thành một đường cong có cùng độ dài trong S2 Nếumột ánh xạ đẳng cự địa phương f : S1 → S2 tồn tại thì ta nói rằng S1 và

S2 đẳng cự địa phương với nhau

Dưới đây ta sẽ chứng minh rằng mọi đẳng cự địa phương là một viphôi địa phương Dễ thấy, hợp của các ánh xạ đẳng cự địa phương làánh xạ đẳng cự địa phương Một ánh xạ đẳng cự địa phương đồng thời

là một vi phôi được gọi là một ánh xạ đẳng cự Khi đó, nghịch đảo củamột đẳng cự bất kì cũng là một đẳng cự

TpS1, ta định nghĩa một ánh xạ trên TpS1 như sau

f∗hv, wip = hDpf (v), Dpf (w)if (p).Khi đó, f∗h, ip là một dạng song tuyến tính đối xứng trên TpS1

Định lý 2.1 Ánh xạ trơn f : S1 → S2 là một đẳng cự địa phương khi

và chỉ khi dạng song tuyến tính đối xứng h, ip và f∗h, ip trên TpS1 bằng

Chứng minh Giả sử γ1 là đường cong trên S1 Khi đó, độ dài của γ1 là

dài của γ1 và γ2 là như nhau, tức là

Mặt khác, mọi vectơ tiếp xúc v bất kì trên S1 là vectơ tiếp xúc của một

hv,wip = f∗hv,wip

Do các dạng đều là dạng song tuyến tính đối xứng, bởi đồng nhất thứccực hóa trong đại số tuyến tính ta có

h, ip = f∗h, ip

Đó là điều phải chứng minh

Từ định lý trên ta thấy f là đẳng cự địa phương khi và chỉ khi

hDpf (v), Dpf (w)if (p) = hv, wipvới mọi p ∈ S1, và mọi v, w ∈ TpS1

Điều này có nghĩa rằng, ánh xạ tuyến tính Dpf : TpS1 → Tf (p)S2

là một ánh xạ đẳng cự , tức nó bảo tồn độ dài Như vậy, f là đẳng cựđịa phương khi và chỉ khi Dpf là đẳng cự với mọi p ∈ S1

Từ định lý này, ta có thể chứng minh rằng mỗi ánh xạ đẳng cự địaphương là một vi phôi địa phương Thật vậy, cho f : S1 → S2 là đẳng cựđịa phương và p ∈ S1 Nếu Dpf không khả nghịch, khi đó tồn tại vectơtiếp xúc v ∈ TpS1 sao cho v 6= 0 sao cho Dpf (v) = 0 Nhưng, do f làđẳng cự địa phương ta có:

0 6= hv, vip = hDpf (v), Dpf (v)if (p) = h0, 0ip = 0

1.4, f là một vi phôi địa phương

khi và chỉ khi với mọi mảnh vá σ1 của S1 và f ◦ σ1 của S2 có dạng cơbản thứ nhất giống nhau

của S1 và f ◦ σ1 = σ2 của S2 có cùng dạng cơ bản thứ nhất khi và chỉ

khi các dạng song tuyến tính đối xứng h, ip và f∗h, ip bằng nhau với mọi

p ∈ S1

Dạng cơ bản thứ nhất của σi(i = 1, 2) là

Eidu2 + 2Fidudv + Gidv2,trong đó:

σ2 là như nhau thì

E1 = E2, F1 = F2, G1 = G2

Do vậy, hv,wip = f∗hv,wip với vectơ tiếp xúc v,w bất kì có dạng σ1(u)hoặc σ1(v) Từ tính chất song tuyến tính suy ra hv,wip = f∗hv,wip vớimọi v,w

Ví dụ 2.2.1 Ánh xạ f đi từ mặt phẳng Oyz vào hình trụ đơn vị là mộtđẳng cự địa phương

vá σ2(u, v) = (cosu, sinu, v) cho hình trụ Khi đó f (σ1(u, v)) = σ2(u, v)

và từ ví dụ 2.1.1, 2.1.3 thì σ1 và σ2 có cùng dạng cơ bản thứ nhất Dovậy, f là đẳng cự địa phương

2.3 Ánh xạ bảo giác của mặt cong

p Góc giữa hai đường cong γ và ˜γ là góc giữa hai vectơ tiếp xúc ˙γ và ˙˜γtại điểm p và được kí hiệu là θ Khi đó góc θ được tính theo công thức :