Khoá luận tốt nghiệp dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn

TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN PH ẠM THỊ HỒNG THAM D Ạ N G C B Ả N TH Ứ NH AT T R Ê N CÁC M ẶT CONG TR Ơ N KHÓA LU Ậ N TỐ T N G H IỆ P Đ ẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học H À N Ộ I - 2016 T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN PH ẠM THỊ HỒNG THAM D Ạ N G C B Ả N TH Ứ NH AT T R Ê N CÁC M ẶT CONG TR Ơ N KHÓA LU Ậ N TỐ T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC Chuyên ngành: Hình học N gười hướng d ẫn kh o a học T S N guyễn T hạc D ũng H À N Ộ I - 2016 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc tới thầy - Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng - Trường Dại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ động viên suốt trình làm khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Hình Học, thầy cô giáo khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập trường bốn năm vừa qua giúp đỡ thực khóa luận Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè nhiệt tình giúp đỡ, động viên, quan tâm, tiếp thêm niềm tin nghị lực cho suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa luận Trong trình nghiên cứu, không tránh khỏi điều thiếu sót hạn chế Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016 Sinh viên P hạm T hị H ồng T hắm Lời cam đoan Khóa luận hoàn thành sau trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu sách chuyên khảo "Elementary Differential Geometry" tác giả Andrew Pressley nhà xuất Springer ấn hành năm 2010 Tôi xin cam đoan kết khóa luận trình bày lại theo kiến thức học từ sách trên, hoàn toàn không trùng với kết tác giả khác Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016 Sinh viên P hạm T hị H ồng T hắm M ục lục Lời m đ ầ u 1 K iến th ứ c ch u ẩ n b ị 1.1 Đường cong tham s ố 1.2 Đường cong quy độ dài c u n g 1.3 Tham số hóa l i 1.4 Mặt cong 1.5 Mặt cong t r n 12 1.6 Tiếp tuyến đạo h m 13 D ạn g b ả n t h ứ n h ấ t tr ê n m ặ t cong tr n 16 2.1 Độ dài đường cong mặt c o n g 16 2.2 Đẳng cự mặt c o n g 20 2.3 Ánh xạ bảo giác mặt c o n g 25 2.4 Ánh xạ bảo toàn diện tích định lýA c - s i- m e t 31 2.5 Hình học c ầ u 44 K ế t lu ậ n 55 T ài liệu th a m k h ảo 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Lời mở đầu Hình học môn khoa học nghiên cứu tính chất định tính định lượng hình Tùy vào phương pháp nghiên cứu khác mà có ngành hình học khác Hình học Afin, Hình học xạ ảnh, Hình học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô Hình học Vi phân nhánh hình học sử dụng công cụ phương pháp phép tính vi phân tích phân để nghiên cứu vấn đề hình học Việc nghiên cứu Hình học đường cong mặt cong không gian Euclide ba chiều trở thành sở cho phát triển ban đầu Hình học Vi phân Rất nhiều kết đường cong m ặt cong dạng sơ khai kết tổng quát trường hợp chiều cao Việc nghiên cứu quan hệ tạo mảng Toán học Khóa luận đề cập đến lý thuyết m ặt cong trơn liên quan đến dạng thứ Với mong muốn tìm hiểu sâu đối tượng nói định hướng thầy hướng dẫn, định chọn đề tài D n g th ứ n h ấ t tr ê n m ặ t cong trơ n để trình bày khóa luận tốt nghiệp đại học Khóa luận gồm chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số khái niệm đường cong tham số, đường cong quy độ dài cung, tham số hóa lại, mặt cong, mặt cong trơn, tiếp tuyến điểm m ặt cong Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán đạo hàm để nghiên cứu cho phần sau Chương tập trung nghiên cứu "Dạng thứ cấc mặt cong trơn Dựa vào dạng đó, xác định độ dài đường cong mặt cong, ánh xạ đẳng cự ánh xạ bảo giác đồng thời thấy mối quan hệ ánh xạ Bên cạnh đó, khóa luận trình bày ánh xạ bảo toàn diện tích ví dụ tiếng ánh xạ bảo toàn diện tích ví dụ tìm Ac-si-met Và ứng dụng định lý Ac-si-met vận dụng vào tam giác cầu hình học cầu Chương K iến thứ c chuẩn bị 1.1 Đường cong tham số Ký hiệu R3 không gian vectơ 3-chiều gồm ba số thực (:r, y , z) Mục tiêu phần mô tả xác tập đặc biệt R3 (được gọi đường cong) gì? Để nghiên cứu đối tượng này, cần biết phép tính vi - tích phân không gian chiều Chúng ta thường đòi hỏi đường cong "trơn" cách tự nhiên xét lớp hàm khả vi Trong toàn khóa luận này, ta nói hàm số biến thực khả vi (hoặc trơn) miền D c R có đạo hàm cấp điểm X e D Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Một đường cong tham số ánh xạ liên tục : I —>R khoảng mở I = (a, /3) đường thẳng thực R vào R Nếu ánh xạ hàm khả vi (trơn) gọi đường cong tham số khả vi (Đường cong tham số trơn) Từ khả vi định nghĩa hiểu ánh xạ tương ứng với t G I điểm (t) = (x ( t), y(t), z (t)) G R3, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán hàm số x (t),y (t), z (t) khả vi Biến số t gọi tham số đường cong Từ khoảng lấy trường hợp tổng quát để ta không loại trường hợp a — —oo; Ị3 — +oo Nếu ta biểu thị x ( t) đạo hàm bậc X điểm t đạo hàm hàm số y vầ z biểu thị giống vậy, vectơ (x (t),ỳ (t), z(t)) = (t) € R gọi vectơ tiếp XÚC (hoặc vectơ vận tốc) đường cong t Tập ảnh (7 ) c R gọi vết Lưu ý ta cần phân biệt khái niệm đường cong tham số với vết Đường cong tham số ánh xạ vết tập R3 1.2 Đường cong quy độ dài cung Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Cho : (a,/3) —»■R đường cong tham số khả vi Điểm (t) gọi điểm quy (t) 7^ 0, ngược lại gọi điểm kì dị Một đường cong gọi quy điểm quy Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Độ dài cung đường cong quy : (cc, /3) —> R xuất phát từ điểm (t0) hàm số s(t) cho ||'ỹ(í) ỊỊ độ dài vectơ (t) Vì (t) hàm khả vi nên độ dài cung s hàm số khả vi t y ầ ằ = IH'WII Xem (t) vị trí điểm chuyển động thời điểm í, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán vận tốc điểm Với lí này, đến định nghĩa sau: Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Giả sứ : (a,Ị3) —>R đường cong quy, vận tốc điểm (t) ||7 (í)|| gọi đường cong có vận tốc đơn vị ||7 (í)|| = với t e (a,/3) 1.3 Tham số hóa lại Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Đường cong tham số : (ã, ¡3) —>■M3 tham số hóa lại đường cong tham số : (a,ị3) —>■ M3 có song ánh trơn ộ : (ã, ¡3) —>■ (a,/3) (được gọi ánh xạ tham số hóa lại) cho ộ -1 : (cc,/3) —> ( ã , /3) ánh xạ trơn (t) = (0 (í)) với ĩ e (ã, ¡3) Do ánh xạ ngược ộ ánh xạ trơn, nên tham số hóa lại (b —>c —»• a đỉnh bảo toàn công thức, thứ tự bị đảo ngược dấu vectơ bị thay đổi Các tam giác với đỉnh a*, b*, c* —a*, —b*, —c* gọi tam giác đối ngẫu tam giác với đỉnh a, b, c Chú ý tam giác đối ngẫu thu từ tam giác đỗi ngẫu lại s2, ánh xạ đối cực đẳng cự M3 nên ánh xạ đẳng cự s2, vậy, hai cách áp dụng ánh xạ đối cực V I—^ — V tam giác đối ngẫu có góc cạnh có độ dài Về mặt hình học, ±a* điểm đầu mút đường kính s2 vuông góc với m ặt phẳng xác định cho m ặt phẳng giao với s theo vòng tròn lớn qua b c, chúng gọi cực vòng tròn lớn (do đó, cực bắc nam s cực đường xích đạo) Chúng ta lưu ý a vuông góc với b* c* nên ± a cực 49 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán vòng tròn lớn qua b* c* Điều suy tam giác đối ngẫu tam giác với đỉnh a*, b*, c* tam giác ban đầu với đỉnh a, b, c ảnh qua ánh xạ đối cực Điều chứng minh cách đại số sau b * x c * = (c X a) X (a X b) = ((c X a) • b )a ||c X a|| ỊỊa X b|| ||c X aỊỊ ỊỊa X b|| Do vậy, b* X c* 777 — 77 = ||b* X c*|| ±a đây, dấu lấy dấu tích hỗn tạp (c X a) • b = a • (b X c) Vì vậy, a • (b X c) > tam giác đối ngẫu tam giác với đỉnh a*, b* , c* tam giác ban đầu ảnh qua ánh xạ đối cực a • (b X c) < M ệ n h đ ề 2.5 Cho tam giác cầu với cạnh có độ dài cạnh A ,B ,C độ lớn góc a ,p , (a góc đối diện với cạnh có độ dài A, tương tự với góc lại) Gọi a*,Ị3*,j*, A*,B*,C* đại lượng tương ứng tam giác đối ngẫu Khi đó, ta có a* = 7T —A,Ịd* = 7T —5 , * = 7X— c A* = 7T —a, B* = 7T —/3, c* = 7T —7 Chứng minh Kí hiệu đỉnh tam giác a, b, c trên, từ công thức (2.6) ta thu „* cosA , , = b _* • c = (c X a) • (a X b) J - — ¡7 ||c X a|Ị ||a X b|| = —COSOL mặt khác a A* nằm 7T nên A* = 7T — a 50 (2.9) Khóa luận tốt nghiệp Dại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Áp dụng công thức (2.9) cho tam giác đối ngẫu, ta nhận a* = 7Ĩ—A Tương tự, ta chứng minh công thức lại Đó điều phải chứng minh □ H ệ q u ả 2.5 Với khái niệm m ện h đ ề ta có „ cosa + cosBcos7 cosA = - - sỉnpsỉn^Ị với hai công thức thu cách hoán vị A —>■B —>■c —> A, a —»■/3 —>• —»• a Chứng minh Áp dụng phần (ii) m ệ n h đ ề 2.4 vào tam giác đối ngẫu sử dụng m ệ n h đ ề 2.5 ta có điều cần chứng minh □ V í d ụ 2.5.1 Tìm góc độ dài cạnh tam giác cầu mà diện tích phần tư diện tích hình cầu Lời giải Cho tam giác cầu với cạnh có độ dài A ,B ,C Qí,/3,7 góc (a góc đối diện cạnh có độ dài Ả, tương tự với góc lại) Tam giác cầu tam giác với cạnh có độ dài góc Diện tích tam giác phần tư diện tích hình cầu nên có diện tích 7r Theo định lý 2.5, diện tích tam giác cầu hình cầu đơn vị s với góc a, /?, a + /3 + —7T diện tích tam giác cầu 3cc —7T = 7T ĩt ^ a = T 51 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Áp dụng h ệ , cosa + cosBcos7 cosA = - ^ - sỉn p sỉn ta tính A = 7T Vạy tam giác cầu có diện tích phần tư diện tích hình cầu có số đo góc độ dài cạnh 7T Công thức quan trọng thể cạnh tam giác cầu xác định góc nó, điều khác với trường hợp hình học phẳng Trong hình học phẳng, có tam giác đồng dạng với góc chúng tam giác khác kích thước Lý dẫn tới khác biệt hình học cầu có độ dài chuẩn tuyệt đối không thay đổi bán kính hình cầu Đa số hình học Euclide có liên quan tới câu hỏi hai yếu tố hình học (ví dụ tam giác) tương đẳng, nghĩa yếu tố hình học dịch chuyển cho trùng với yếu tố hình học khác Các phép dịch chuyển mà không làm thay đổi hình dạng kích thước tam giác phép đẳng cự m ặt phẳng Vì thế, cần xác định phép đẳng cự hình cầu Chúng ta biết đẳng cự M3 mà bảo toàn phép đẳng cự s2 Mệnh tấ t đẳng cự s đề sau cho thấy thu s theo cách M ệ n h đ ề 2.6 Mọi đẳng cự s hợp phép đối xứng qua mặt phẳng qua gốc tọa độ Trên thực tế, phép đẳng cự hợp thành nhiều phép đối xứng 52 s2 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Chứng minh Điều để ý phép đẳng cự s phải biến vòng tròn lớn thành vòng tròn lớn Sở dĩ có điều vòng tròn lớn đường cong có độ dài ngắn phép đẳng cự bảo toàn độ dài Cho F đẳng cự s 2, cho ẽị = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e, = (0,0,1) Nếu F (ei) = ei ta chọn G ánh xạ đồng Ngược lại, ta chọn G phép đối xứng qua m ặt phẳng IIi xác định IIi vuông góc với đoạn thẳng nối ẽị F (ei), đồng thời qua trung điểm đoạn thẳng nói Chú ý rằng, IIei II = ||F (ei)|| nên m ặt phẳng IIi qua gốc tọa độ Do G phép đẳng cự s Dễ thấy trường hợp, ta có Gị o F cố định ei, tức G o F (ei) = e1 Tương tự vậy, e2 = G i(F (e2)) ta chọn G2 ánh xạ đồng Ngược lại, ta chọn G2 phép đối xứng qua m ặt phẳng n xác định n vuông góc với đoạn thẳng nối e2 G ị(F (e2)) qua trung điểm đoạn thẳng Do G F ánh xạ đẳng cự, ta có ||e2|| = ỊỊơi(F(e2))ỊỊ Vì thế, m ặt phẳng n phải qua gốc tọa độ nên G2 phép đẳng cự s2 Ngoài ra, ta có ||ei - G i(F (e2))\\ = IIG1(F (e1)) - 1(F (e2))|| = ||ei - e2|| nên ei nằm mặt phẳng trung trực đoạn nối e2 G i(F (e2)), tức Gị ẽ n Do đó, G2 cố định el5 tức 2(e1) = e\ Khi đó, G2 o Gị o F cố định ei e2 Cuối cùng, điểm cực bắc cực nam ± e hai điểm mà khoảng cách cầu từ chúng tới ei e2 | , nên G2 o Gi o F cố định e3 —e3 Trong trường hợp đầu tiên, ta chọn đồng 53 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Nếu trường hợp thứ hai xảy ra, ta chọn phép đối xứng qua m ặt phẳng Oxy Khi đó, H = G o G o Gi o F đẳng cự s2, cố định e1, e2 e3 Do H cố định ei e2, phải cố định điểm đường xích đạo Sở dĩ có điều đường xích đạo vòng tròn lớn qua hai điểm điểm đường xích đạo xác định khoảng cách cầu chúng với ei e2 Tương tự, H cố định điểm vòng tròn lớn qua ei e3 Nếu a điểm c s khác điểm cực ± e vòng tròn lớn qua a cực phải cắt đường xích đạo điểm b Theo lập luận tương tự trên, H cố định b cực, nên cố định điểm c Đặc biệt, H cố định a Do a điểm tùy ý hình cầu nên H phải ánh xạ đồng Do đó, F = G G G Tức F hợp nhiều phép đối xứng □ Bằng lập luận tương tự chứng minh định lý trên, ta có kết sau M ệ n h đề 2.7 Trong hình học cầu, cấc tam giác đồng dạng tương đẳng 54 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán K ết luận Trước hết khóa luận trình bày có hệ thống kiến thức đại cương đường cong m ặt cong làm sở cho việc nghiên cứu đối tượng "Dạng thứ mặt cong trơn" Tiếp đó, khóa luận tập trung nghiên cứu dạng thứ mặt cong trơn, vận dụng dạng thứ để xem xét độ dài đường cong mặt cong, ánh xạ đẳng cự, ánh xạ bảo giác, ánh xạ bảo toàn diện tích định lý Ac-si-met, với việc nghiên cứu tam giác cầu hình học cầu Qua việc nghiên cứu dạng thấy mối quan hệ ánh xạ bảo toàn độ dài, ánh xạ bảo toàn góc ánh xạ bảo toàn diện tích, đồng thời thấy khác hình học cầu hình học phẳng Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian lực hạn chế nên khóa luận tránh thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến từ phía thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Trân trọng cảm ơn! 55 ... khóa luận tốt nghiệp đại học Khóa luận gồm chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số khái niệm đường cong tham số, đường cong quy độ dài cung, tham số hóa lại, mặt cong, mặt cong trơn, ... Chương D ạn g th ứ m ặt cong trơn 2.1 Đ ộ dài đường cong mặt cong Đ ịn h n g h ĩa 2.1 Cho p điểm mặt cong trơn s V, w € TpS - không gian vectơ tiếp xúc Khi đó, dạng mặt cong s kết hợp với vectơ... tuyến điểm m ặt cong Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán đạo hàm để nghiên cứu cho phần sau Chương tập trung nghiên cứu "Dạng thứ cấc mặt cong trơn Dựa vào dạng đó, xác định