ứng dụng máy tính cầm tay giải toán giải tích

tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay giải toán giải tích tham khảo

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN CÁC CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH I CHỨC NĂNG EQN Giải phương trình a Giải phương trình bậc hai Ta bấm MODE + + ▽ + (đối với máy vinacal) MODE + + (đối với máy casio) nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc hệ số 0) để giải phương trình bậc hai dạng ax  bx  c   a   Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ b Giải phương trình bậc ba Ta bấm MODE + + ▽ + (đối với máy vinacal) bấm MODE + + (đối với máy casio) nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc hệ số 0) để giải phương trình bậc hai dạng ax  bx  cx  d   a   Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ Giải hệ phương trình a Giải hệ phương trình bậc hai ẩn Ta bấm MODE + + (dùng cho hai máy) nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc  a1 x  b1 y  c1 hệ số 0) để giải hệ phương trình dạng   a x  b2 y  c Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ b Giải hệ phương trình bậc ba ẩn Ta bấm MODE + + (dùng cho hai máy) nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc  a1 x  b1 y  c1 z  d1  hệ số 0) để giải hệ phương trình dạng  a x  b2 y  c2 z  d Bạn đọc tự a x  b y  c z  d 3  nghiên cứu ví dụ => Chắc EQN nhằm hỗ trợ cho bạn kiểm tra lại tính sai nghiệm không nêu lên cách cách giải toán II CHỨC NĂNG INEQ Giải bất phương trình bậc hai 1  ax  bx  c  Ta bấm MODE + ▽ + +  ax  bx  c  (đối với hai máy) nhập hệ số theo bậc  ax  bx  c   ax  bx  c  giảm dần vào (bậc hệ số 0) Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ Giải bất phương trình bậc ba  ax  bx  cx  d  Ta bấm MODE + ▽ + +  ax  bx  cx  d  (đối với hai máy) Bạn đọc tự nghiên  ax  bx  cx  d   ax  bx  cx  d  cứu ví dụ => Chắc EQN nhằm hỗ trợ cho bạn kiểm tra lại tính sai nghiệm không nêu lên cách cách giải toán Và không dùng cho máy casio fx-570ES PLUS III CHỨC NĂNG TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PARABOL Tính giá trị lớn nhỏ hàm số bậc hai (hàm parabol)  Như bạn học từ lớp 9, hàm số y  ax  bx  c  a  x      2a  4a b  a   mà có: TH1 a  y   TH2 a  y    4a  4a ,  x  hàm số đạt giá trị nhỏ Min y    4a ,  x  hàm số đạt giá trị lớn Max y    4a x   b 2a x   b 2a => Từ ta nói hàm số parabol đạt cực trị (hoặc cực đại cực tiểu) điểm    b  ;   2a 4a  ⚠ Chú ý: a  0, a  c  : a  c  0, a 2 Ta dùng chức tính cực trị hàm parabol để tìm nhanh điểm cực trị (các bạn phải xét xem hệ số a dương hay âm từ xác định cực đại hay cực tiểu) sau: Bấm SHIFT + + (đối với máy vinacal) MODE + + (đối với máy casio) để vào chức tính cực trị hàm parabol nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc hệ số 0) Ví dụ: Tính giá trị lớn nhỏ (nếu có) hàm số y  3 x  x  2  5  6 Ta biến đổi hàm số dạng y    x    109 12  109 12 x Mà hệ số a     Max y  109 12  x Chứng minh phươg trình bậc hai vô nghiệm a Phương trình bậc hai ẩn vô nghiệm Như bạn biết, phương trình bậc hai ax  bx  c   a   vô nghiệm     '   ta phải trình bày cho hợp lý có tính thuyết phục cao để người chấm có thiện cảm cách sau:  Vẫn đưa VT phương trình dạng VT  a  x   b    0,  x       2a  4a Và hoàn toàn tương tự phần số 1, ta dùng chức tính cực trị hàm parabol để tìm    b điểm cực trị   ;   (các bạn tính tay nhá dùng máy tính cho nhanh  2a 4a  tiện lợi tránh nhầm lẫn đáng tiếc) Ví dụ: giải phương trình x  x   Rõ ràng bạn thấy      phương trình vô nghiệm (hoặc dùng chức EQN) Nên ta trình bày sau: Ta có VT   x     0, x  phương trình vô nghiệm b Phương trình bậc hai hai ẩn vô nghiệm Trước tiên ta làm vĩ dụ từ ta xác định hướng làm tổng quát: Giải phương trình x  y  xy  x  y   2 2 y 3 3 7  Ta có VT   x     y     0,  x , y  phương trình vô nghiệm  4 3  Vậy từ đâu mà ta lại làm vậy? mời bạn đọc nghiên cứu cách làm sau: Ta viết phương trình thành y 1000 x   y   x  y  y     x  997 y  995009  (*) Ta dùng chức tính cực trị hàm parabol cho (*) ta 2 997  2986027 y 3 y  14 y  27   y 1000 x       x   0         Dùng chức cực trị lần hai cho y  14 y  27  3 7  y     0,  y 4 3  Do ta viết phương trình cho thành  x   y 3 3 7   y   0  4 3 Dễ dàng nhận thấy VT  0,  x , y => Ta có cách làm tổng quát sau: Dạng tổng quát ax  bx  cxy  dy  ey  f  (1) 2 Cách làm: Ta gán y  10 , tùy thuộc vào bạn cho n  n  n   y  100 cho   n   y  1000 Do VT (1)  ax   b  c.10 n  x   e.10 n  d 10 n  f   ax  b1 x  c1 Ta lại quay toán mục chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm, sau thay y  10 n mà ta vừa gán Mời bạn làm thêm ví dụ sau: Giải phương trình 3x  y  xy  x  y  12  2 y 100 2  x  92 x  10712  (*) Ta gán x   y   x  y  y  12   Ta có 2 46  30020 100   3.100  20 y 8  20    VT (*)   x    x    3 x   0,  x , y     y    3     Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc => Chức không dùng cho máy casio fx-570ES PLUS IV CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM Tính đạo hàm điểm Để làm tốt toán liên quan đến đạo hàm nói chung, cần phải hiểu quy tắc công thức đạo hàm từ hàm sơ cấp đến hàm hợp mà trình bày mục IV, Chắc hẳn bạn nhớ cách tính đạo hàm điểm định nghĩa lẫn công thức đạo hàm mà học vào cuối kỳ lớp 11 (các bạn tự ôn lại nên không nhắc lại nữa) đây, muốn giới thiệu đến bạn đọc cách tính đạo hàm điểm máy tính cầm tay (chỉ dùng để tính kết không nói lên cách làm) Ví dụ tính đạo hàm hàm số y  85  57 x  13 x  x điểm x  ta làm sau: Bấm SHIFT + nhập hàm số vào ô trống thứ nhập giá trị điểm đề cho vào ô trống lại ta thu kết d dx  85  57 x  13 x  x  x 3   1, Ta hoàn toàn tính công thức đạo hàm  85  57 x  13 x  x  85  57 x  13 x '   x3  ' 85  57 x  13 x  x  x  26 x  57 85  57 x  13 x  x x 3   1, Tìm hệ số lượng liên hợp phương trình vô tỷ có nghiệm bội Như mục VII, 1, trình bày qua cách phân biệt nghiệm đơn nghiệm bội (nghiệm kép bội ba) nên không nhắc lại (mời bạn đọc xem lại) a Nghiệm kép Khi phương trình vô tỷ chứa thức thức thường dạng nhị thức Mặt khác : x  x0 f ( x )  ax  b  b  n  Mà phương trình có nghiệm kép nên f ( x ), có nghiệm kép x  x0 lượng liên hợp n n  n f ( x )  ax (1) f ( x ) '   ax  b  '  a  d dx  n f ( x)  (2)  d n a f ( x)   dx x  x0 nên thay vào (1) (2) ta   b  n f ( x )  ax  x  x0      Ta nghiên cứu ví dụ sau: Cho phương trình x   x  x  Tìm lượng liên hợp cho thức biết phương trình có nghiệm kép x  x   ax  b Quá dễ dàng để tìm lượng liên hợp  d a 2x 1 1   dx x 1 Ta có    b  x   ax 1  x 1     x   x  hay lượng liên hợp  x  x  Hoàn toàn tương tự b Nghiệm bội ba Khi phương trình vô tỷ chứa thức hợp thức thường dạng tam thức Mà         n  n phương trình  f ( x ) '   ax  bx  c  '  b   f ( x ) ''   ax  bx  c  ''  a  f ( x ), có nghiệm bội ba x  x0 lượng liên n n f ( x )  ax  bx  c  c  có d dx nghiệm  n   d   f ( x)  '  dx  n n f n 1 ( x )  f ( x )  ax (2)   (3)   n bội f ( x )  ax  bx (1) ba nên Mặt khác : x  x0  d   f ( x)  '  a     dx  n n f n 1 ( x )     x  x0    d n  f ( x )  ax  nên thay vào (1), (2) (3) ta  b    dx  x  x0    c  n f ( x )  ax  bx x  x0       Ta nghiên cứu ví dụ sau : Cho phương trình x  x  x  x  x    x  1 x  x  Tìm lượng liên hợp Lượng liên hợp sau:  a     b    c     d x  x  biết phương trình cho có nghiệm bội ba x  x  x   ax  bx  c Hoàn toàn dễ dàng ta tìm hệ số  d  4x   0,   dx  2 x  x   x 1    2x2  2x   Từ kết luận lượng liên hợp x  x  dx 2x2  2x   ax  x 1 x2  2 x  x   ax  bx  0, ⚠ Chú ý:  n   f ( x)  ' f ( x) '  n n f n 1 ( x) x2  n  N  * V CHỨC NĂNG STO Gán giá trị (nghiệm) vào biến máy (biến A, B, C, D, E, F, X, Y, M) Để gán giá trị hay nghiệm vào biến máy ta làm sau: Giá trị cần gán + SHIFT + RCL + Biến cần gán (là chữ in đỏ viết in hoa) Ví dụ bạn muốn gán giá trị 22 vào biến A máy ta bấm sau: 22 + SHIFT + RCL + ( - ) Và để biết ta gán 22 vào biến A máy chưa ta cần bấm: ALPHA + ( - ) + = kết 22 tức thực yêu cầu VI CHỨC NĂNG SOLVE Tìm nghiệm phương trình xác Ta dùng SOLVE để tìm nghiệm phương trình cho cách xác theo hai hướng sau: Ví dụ ta tìm nghiệm phương trình x2  2x  x2  2x    x  1  x22  + Hướng 1: Tìm nghiệm số bắt đầu   B1: Nhập  X  X    X  1  X     ấn =  X  2X   B2: Bấm SHIFT + CALC máy hỏi giá trị X bắt đầu bạn chọn tùy ý B3: Tùy vào việc bạn cho giá trị X bắt đầu mà máy kết nghiệm trước, máy dùng vinacal cho giá trị X bắt đầu kết x  3, 302775638 nghiệm B4: Ta gán nghiệm vào biến A đồng thời chia nghiệm để xem phương trình nghiệm không cách bấm phím back ◁ sửa thành  X  2X 8   X  1   X  2X    X    :  X  A  bấm SHIFT + CALC máy hỏi giá trị   A, bạn bấm phím Ans + = + = (tức gán nghiệm vừa tìm vào biến A) thu kết x  nghiệm B5: Tiếp tục chia nghiệm x  để xem phương trình nghiệm không cách  X  2X 8  bấm phím back ◁ sửa thành    X  1  X     :  X  A  X   bấm  X  2X   SHIFT + CALC + = + = thu kết Can’t solve (tức phương trình hết nghiệm), thử lai với giá trị X ta thu kết tương tự Như vậy, phương trình cho tạm thời có hai nghiệm x  2; A + Hướng 2: Tìm nghiệm số bắt đầu đoạn chứa nghiệm tìm TABLE Như phần dùng chức TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm, ta tìm đoạn chứa nghiệm phương trình 1;  thật “chẳng may” ta tìm phương trình có nghiệm x  ta dùng chức SOLVE để tìm nghiệm xác đoạn chứa nghiệm sau:  X  2X 8  B1: Nhập    X  1  X     :  X   ấn = X  X    B2: Bấm SHIFT + CALC với X  1;  máy kết x  3, 302775638 nghiệm B3: Ta gán nghiệm vào biến A đồng thời chia nghiệm để xem phương trình nghiệm không cách bấm phím back ◁ sửa thành  X  2X 8   X  1   X  2X    X    :  X   X  A  bấm SHIFT + CALC máy hỏi   giá trị A, bạn bấm phím Ans + = + = (tức gán nghiệm vừa tìm vào biến A) thu kết Can’t solve (tức phương trình hết nghiệm), thử lai với giá trị X ta thu kết tương tự Như vậy, phương trình cho tạm thời có hai nghiệm x  2; A => Ta rút nhận xét sau: Nếu ta tìm nghiệm đoạn chứa nghiệm nhanh (về mặt thời gian) ta bao quát nghiệm dùng TABLE Nhưng suy cho bạn nên làm hướng để tránh phức tạp ⚠ Chú ý: điều quan trọng dùng chức SOLVE để tìm nghiệm xác nhập phương trình (chuyển tất hạng tử bên bỏ “= 0”) phải có dấu mở đóng ngoặc hai đầu phương trình ấn = sau nhập xong (để máy lưu lại phương trình) Tìm mối quan hệ hai ẩn Thường tìm mối quan hệ x, y để thay vào phương trình lại hệ, giải phương trình ẩn x y Nhưng việc nhận mối quan hệ x y khó vậy, ta cần dùng đến công cụ máy tính cầm tay mà cụ thể chức SOLVE để nhận mối quan hệ cách nhanh chóng từ định hướng cách làm Xét ví dụ sau: Tìm mối liên hệ hai ẩn x y thỏa mãn x  y  12 x  y  50 x  y  75  3 2 Ta dùng SOLVE để tìm mối quan hệ hai ẩn hai hướng sau: + Hướng 1: Cho Y  100 B1: Nhập X  Y  12 X  3Y  50 X  5Y  75 B2: Bấm SHIFT + CALC với Y  100 X ta thu kết X  95  100   Y  Do mối quan hệ hệ dự đoán x y x  y  + Hướng 2: Lập bảng B1: Nhập X  Y  12 X  3Y  50 X  5Y  75 B2: Bấm SHIFT + CALC với Y  X ta thu kết X  4 (tức Y   X  4 ) Làm với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm X tương ứng có bảng giá trị mối quan hệ X Y sau Y -4 -3 -2 -1 X Từ bảng ta thấy x  y  , mối quan hệ x y Từ ta có cách làm sau : x  y  12 x  y  50 x  y  75   x  12 x  50 x  75  y  y  y   x     x     y  1   y  1 3 Xét hàm số f (t )  t  2t có f '(t )  3t   0, t  ⇒ Hàm số f (t ) đồng biến ⇒ x   y 1  x   y Trên cách giải theo phương pháp hàm số (ta nghiên cứu phần sau Phương pháp hàm số) => Mỗi cách có ưu nhước điểm khác nhau, ta làm thêm ví dụ để biết xem cách tổng quát cho mội   Tìm mối quan hệ x y dương thỏa mãn x 12  y  y 12  x  12   B1: Nhập X 12  Y  Y 12  X  12 B2: Đến ta ta có hai hướng làm B2.1 : Bấm SHIFT + CALC với Y  100 X ta thu kết Can’t solve nên ta chuyển sang hướng thứ : B2.2 : Bấm SHIFT + CALC với Y  X ta thu kết X  3, 316624752 (tức Y   X  3, 3166 24752 ) Làm với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm X tương ứng có bảng giá trị mối quan hệ X Y sau Y X 3,3166… 3,3162… 3 2,8284… 2,6457… 12 Qua bảng ta thấy, giá trị X lẻ có mối quan hệ với Y Một câu hỏi đặt đầu: “ta bỏ ư?” Câu trả lời là: “KHÔNG” Đúng vậy, ta không bỏ dù hoàn cảnh có khó khăn Sau đây, lưu ý quan trọng, “cốc nước mát sa mạc vậy” “Khi lập bảng giá trị mối quan hệ X Y mà chưa cho ta mối quan hệ X Y ta phải tính thêm tất biểu thức (căn, lũy thừa) chứa X Y theo giá trị vừa tìm được”  Như vậy, ta tính thêm x 12  y , y 12  x Y X 3,3166… 3,3162…  3 vào bảng vừa 2,8284… 2,6457… 12 12  Y Y 12  X  3,3166… 3,3162… 3 2,8284… 2,6457… 12 Ta mối quan hệ x y  x   x  12  y x       y  12  x  2  y  12  x  y  12  x (do  y  12)  y  y (12  x )  Bây giờ, ta tách nhân tử cách sử dụng: Phương pháp liên hợp, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số, phương pháp đáng giá, … Ở đây, dùng BĐT Cô si để đánh gía (các bạn tham khảo mục sau)  x  12  y x 12  y  x 12  y   Ta có   x 12  y   y 12  x  y  12  x     y 12  x   12  x  x x   Dấu “=” xảy  2  y  12  x  y  12  x => Tổng kết lại ta nên dùng hướng để tìm mối quan hệ hai ẩn tức lập bảng lập bảng giá trị ta phải nhớ liệt kê tất phần tử có chứa biến tính giá trị điểm x y tìm VII CHỨC NĂNG TABLE Giới thiệu sơ qua TABLE: TABLE bảng thống kê thay đổi hàm theo biến giá trị cụ thể, tức biến thay đổi lượng hàm thay đổi theo lượng X  X  F ( X )  F ( X ) sau thao tác bấm máy: Tại giao diện MODE ta chọn để vào chức TABLE Tại giao diện hàm số f(X) ta nhập hàm số cần xét Tại giao diện hàm số g(X) ta nhập hàm số thứ cần xét (nếu cần) (không áp dụng cho máy casio fx-570ES PLUS) Tại giao diện Start ta cho giá trị bắt đầu cần xét (thường điểm đầu TXĐ ví dụ hàm số có TXĐ  a; b  ta cho Start a) 10 B3: Cho Start  1; End  19; Step  , bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN bấm SHIFT + MODE + ▽ + + (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) cho Start  1; End  29; Step  B4: Ta thấy f ( x )  0, x  1;   B5: Dùng SOLVE cách nhập lại F(X) vào bấm SHIFT + CALC cho X máy Can’t solve tức phương trình vô nghiệm (ta phải làm thêm bước để kiểm tra xem phương trình nghiệm không không ta chứng minh vô nghiệm tập xác định có ta chứng minh hàm số đồng biến (nghịch biến) tập xác định áp dụng định lý Rolle để kết luận nghiệm) B6: Ta chứng minh sau:    x  1 x     x      x        x   x       1 Do x    x       1 1 0     x x   2  1 1 0  x     x  1       x22 x22   Nên ta có f ( x )    x  1 x     1       1  x 1       0,  x  x   2 Vậy phương trình vô nghiệm (trên cách chứng minh đơn giản, vào sau nghiên cứu nhiều gặp nhiều dạng cách giải tổng quát hơn) Ví dụ 2: Giải phương trình x  x  x  28   x   x   Xét hàm số f ( x )  x  x  x   x   x   ;   Ta có quy trình bấm tương tự ví dụ 1, ta thấy f ( x ) đồng biến  ;   dùng chức SOLVE ta tìm nghiệm x  nên áp dụng định lý: “Nếu hàm số f(x) đơn điệu khoảng (a;b) phương trình f ( x )  k  k  const  có không nghiệm khoảng (a;b)”, ta có cách làm sau: 3 Dễ thấy x  nghiệm phương trình nên ta có điều kiện x  Xét hàm số f ( x )  x  x  x   x   x  Có f '( x )  x  x   x 2  ;   x  x    3  17    0 x 7    x     3x x   3 9  x 7 x 7 3x  x3   Do hàm số đồng biến khoảng  ;   12 Mà f (2)  28 nên phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ 3: Giải phương trình x x  x  12  12   x   x  Xét hai hàm số f ( x )  x x  x  12 g ( x )  12   x   x  đoạn  0;  Tương tự cách bấm trên, dùng TABLE ta thấy f ( x )  g ( x )  khoảng  0;  hay f ( x ), g ( x ) hai hàm đơn điệu ngược khoảng  0;  nên phương trình có nhiều nghiệm Dùng SOLVE hay TABLE ta tìm nghiệm x  Từ ta có hướng làm sau: f ( x)  g ( x) + Xét hàm số f ( x )  x x  x  12 xác định liên tục đoạn  0;  Có f '( x )  x  x  12  0,  x   0;   f ( x ) hàm đồng biến đoạn  0;  + Xét hàm số g ( x )  12   x   x  xác định liên tục đoạn  0;   Có g '( x )   12   5 x     0,  x   0;   g ( x ) hàm nghịch biến đoạn 4 x   0;  Mà f (4)  g (4) nên phương trình có nghiệm x  Tìm đoạn chứa nghiệm phương trình Từ việc kết hợp với định lý hàm số liên tục mà ta học kỳ 2, lớp 11 (đã nói qua mục định lý hàm số liên tục, rolle, lagrange) hiểu sau: “Nếu hàm số f(x) xác định liên tục đoạn [a;b] đơn điệu khoảng (a;b) đồng thời f(a).f(b) Chức không dùng cho máy casio fx-570ES PLUS IV CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM Tính đạo hàm điểm Để làm tốt toán liên quan đến đạo