HÀM ĐIỀU KHIỂN DẠNG ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

HÀM ĐIỀU KHIỂN DẠNG ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNHHÀM ĐIỀU KHIỂN DẠNG ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNHHÀM ĐIỀU KHIỂN DẠNG ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNHHÀM ĐIỀU KHIỂN DẠNG ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ TỐ LOAN HÀM ĐIỀU KHIỂN DẠNG ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ TỐ LOAN HÀM ĐIỀU KHIỂN DẠNG ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng – Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, thực hướng dẫn TS Lê Hải Trung Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực, đồng ý đồng tác giả chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn PHAN THỊ TỐ LOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 M Đ C .5 1.1.1 Ma trận 1.1.2 Định thức .6 1.2 Đ LÝ MC C M C C 1.3 1.4 Đ MĐ CL P C P C 10 11 CHƯƠNG HÀM ĐIỀU KHIỂN DẠNG ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 15 2.1 Đ Đ 15 MĐ 2.2 Đ C C Đ Đ MĐ 2.4 C Đ C 20 MĐ 2.3 C C PM C 24 Đ Đ C C C P C 26 MĐ 2.5 C Đ Đ C C PNC 29 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 33 M 3.1 C C C P M MM M C 33 iới thiệu sơ Mathematica 33 3.1.1 3.1.2 Một số tính Mathematica 34 3.1.3 Một số hàm thông dụng Mathematica .36 P 3.2 C M MM MĐ P 3.3 Đ C M C CĐ C C 37 M MM Đ MĐ M C M MC C Đ C C C M 47 KẾT LUẬN 62 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điều khiển lĩnh vực nhận nhiều quan tâm toán học đại, toán vật lý, hóa học, kinh tế, sinh học, chuyển mô hình toán học xem xét, mô tả phương trình vi phân tuyến tính, phi tuyến hệ phương trình vi phân Một mô hình biểu diễn dạng hệ – phương trình: x = Bx + Du, (1) với điều kiện x(0) = x0 , x(T ) = xT , (2) với hàm trạng thái x = x(t) ∈ Rn , hàm điều khiển u = u(t) ∈ Rm , B, D ma trận thực cấp n × n n × m tương ứng Trong công trình nghiên cứu nhà toán học: A Ailon, L Baratchart, G Langholz, Achim llchman, Volker Mehrman, Andrayev Y, Kraxopxki N, Zubova S, Raetskaya E, nghiệm toán (1) – (2) xác định dạng: t x(t) = etB x0 + eB(t−s) Du(s)ds, x(t) biểu diễn dạng hàm mũ phức tạp, với việc biểu diễn x(t) đem lại lượng tính toán khổng lồ nhiều khó khăn Nội dung luận văn tiến hành xem xét toán chuyển động dạng (1) – (2) (xem [12]) chất điểm tác động lực trọng trường với mô hình chuyển động mô tả hệ phương trình vi phân bổ sung điều kiện khả vi cấp n cho hàm điều khiển u(t) Khi ta xác định hàm trạng thái x(t) đa thức bậc 2n + theo t, từ ta thu hàm điều khiển u(t) dạng đa thức bậc 2n + theo t Cuối kết nhận xác định, tính toán kiểm tra trợ giúp phần mềm Mathematica 5.2 Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại số kiến thức thuộc lĩnh vực Lý thuyết điều khiển, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân, - Xây dựng hàm trạng thái x(t) dạng đa thức bậc 2n + theo t - Xây dựng hàm điều khiển u(t) dạng đa thức bậc 2n + theo t - Sử dụng phần mềm Mathematica để tính toán kiểm chứng kết thông qua ví dụ cụ thể - Sử dụng phần mềm Mathematica để mô tả dáng điệu hàm trạng thái hàm điều khiển nhận Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Luận văn tiến hành nghiên cứu toán chuyển động chất điểm tác động lực trọng trường, mà quỹ đạo chuyển động mô tả dạng hệ phương trình x(t) ˙ = Bx(t) + Du(t) với điều kiện hàm u(t) (hàm điều hiển vector) khả vi cấp n Phương pháp nghiên cứu - Trong luận văn tác giả sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực: Lý thuyết điều khiển, Đại số tuyến tính, Toán học giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, - Luận văn soạn thảo phần mềm Vietex Trong luận văn có ứng dụng phần mềm Microsoft Mathematica 5.2 việc tính toán định thức, giải hệ phương trình, vẽ đồ thị, Ý nghĩa khoa học đóng góp đề tài - Hệ thống số kiến thức thuộc lĩnh vực Lý thuyết điều khiển, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân, nhằm phục vụ cho đề tài - Kết luận văn đăng Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Đà Nẵng số 7(56), 2012 - Luận văn có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho đối tượng có chuyên ngành phù hợp quan tâm đến lĩnh vực điều khiển Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn bao gồm chương Chương 1: Kiến thức sở • Trình bày số kiến thức ma trận, định thức, hệ Cramer, định lý tồn nghiệm hệ Cramer định thức Wronxki, Chương 2: Hàm điều khiển dạng đa thức hệ dừng động học tuyến tính • Trình bày cách đặt vấn đề toán, hệ thống định nghĩa, định lý liên quan đến hệ điều khiển • Xây dựng hàm điều khiển u(t) dạng đa thức điều kiện khả vi cấp n cho trước • Định lý 2.1.1 (tiêu chuẩn Kalman) tính điều khiển hệ dừng tuyến tính • Định lý 2.2.1 xây dựng hàm điều khiển u(t) toán chuyển động dạng đa thức bậc ba theo t • Định lý 2.2.2 xây dựng hàm điều khiển toán chuyển động dạng đa thức bậc năm biết giá trị hàm u(t) thời điểm t = t = T • Định lý 2.3.1 xây dựng hàm điều khiển u(t) khả vi cấp toán chuyển động dạng đa thức bậc bảy theo t • Định lý 2.4.1 xây dựng hàm điều khiển u(t) khả vi cấp hai toán chuyển động dạng đa thức bậc chín theo t • Định lý 2.5.1 xây dựng hàm điều khiển u(t) khả vi cấp n toán chuyển động dạng đa thức bậc 2n + theo t Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho lời giải toán chuyển động • Giới thiệu tổng quan phần mềm Mathematica • Ứng dụng phần mềm Mathematica mô tả dáng điệu, quỹ đạo chuyển động tìm cực trị hàm trạng thái hàm điều khiển CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1.1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1.1 Cho m, n hai số nguyên dương Ta gọi ma trận cỡ (cấp) m × n bảng số gồm m × n số thực viết thành m hàng n cột có dạng sau:   a11 a12 a1n    a21 a22 a2n    (1.1.1)     am1 am2 amn số thực aij , (i = 1, m, j = 1, n) gọi phần tử ma trận, số i thứ tự hàng số j cột phần tử aij ma trận Kí hiệu: A = [aij ]m×n Định nghĩa 1.1.2 Cho ma trận A có dạng (1.1.1) Ma trận chuyển vị ma trận A ma trận có từ A cách chuyển hàng thành cột (hoặc chuyển cột thành hàng theo thứ tự) kí hiệu:   a11 a21 am1    a12 a22 am2  T  (1.1.2) A =     a1n a2n amn Định nghĩa 1.1.3 (Phép nhân hai ma trận) Giả sử A = [aij ]m×n , B = [bij ]n×r Khi phép nhân A B xác định bởi: Am×n Bn×r = Cm×r = [cij ]m×r , n với cij = aik bkj k=1 50 ta nhận nghiệm toán dạng đa thức bậc năm là:         13 −9  39       35           t2 +  −36  t3 +   t4 +   t5 x(t) =     13     −9          39 35 −36 2 Hàm điều khiển thu u1 = x2 = 39t − 108t2 + 70t3 , u2 = x4 + g = 9, + 39t − 108t2 + 70t3 Sau phần mềm Mathematica ta thu đồ thị: Hình 3.3: Đồ thị hàm trạng thái x(t) Định lý 2.2.2 51 Hình 3.4: Đồ thị hàm điều khiển u(t) Định lý 2.2.2 Trên sở đồ thị ta nhận hàm u(t) đạt cực đại t ≈ 0, 233, đạt cực tiểu t ≈ 0, 794, max u1 (t) ≈ 4, 109, max u2 (t) ≈ [0;1] [0;1] 13, 909 Và dựa vào đồ thị hàm trạng thái ta biết max x1 (t) = [0;1] 1, max x2 (t) ≈ 1, 516 [0;1] Xét Định lý 2.3.1 với điều kiện    T = 1,     x(0) = [0], x(T ) = x(1) = [1],   u(0) = [0], u(T ) = u(1) = [1],     u(0) ˙ = [0], u(T ˙ ) = u(1) ˙ = [1], (3.3.21) 52 ta nhận   268  x(t) =    268 nghiệm toán dạng đa thức bậc bảy là:         67 −103 − 71 42    −515     −497           t +  t4 + 252  t5 +  t6 +   67   −103   − 71  42          −497 −515 252 Hàm điều khiển thu u1 = x2 = 268t2 − 1030t3 + 1260t4 − 497t5 , u2 = x4 + g = 9, + 268t2 − 1030t3 + 1260t4 − 497t5 Sau phần mềm Mathematica ta thu đồ thị: Hình 3.5: Đồ thị hàm trạng thái x(t) Định lý 2.3.1    t   53 Hình 3.6: Đồ thị hàm điều khiển u(t) Định lý 2.3.1 Trên sở đồ thị ta nhận hàm u(t) đạt cực đại t ≈ 0, 294, đạt cực tiểu t ≈ 0, 732, max u1 (t) ≈ 5, 312, max u2 (t) ≈ [0;1] [0;1] 15, 112 Và dựa vào đồ thị hàm trạng thái ta biết max x1 (t) = [0;1] 1, max x2 (t) ≈ 1, 689 [0;1] Xét Định lý 2.4.1 với điều kiện    T = 1,       x(0) = [0],   u(0) = [0],      u(0) ˙ = [0],     u ¨(0) = [0], x(T ) = x(1) = [1], u(T ) = u(1) = [1], (3.3.22) u(T ˙ ) = u(1) ˙ = [1], u¨(T ) = u¨(1) = [1], ta nhận nghiệm toán dạng đa thức bậc chín là: 54    x(t) =      1909 24   9545 24       −1553   t +     1909  t +       24 9545 −1553 24  − 1553 9177 1553 − 9177      t +      − 1135  3003  +  − 1135  3003   1311 4540 − 1311 4540 −      t +      1001 24    t       t9 1001  24  Hàm điều khiển thu u1 = x˙ = 27531 31780 9545 t − 7765t4 + t − t + 3003t7 , u2 = x˙ + g = 9, + 9545 27531 31780 t − 7765t4 + t − t + 3003t7 Sau phần mềm Mathematica ta thu đồ thị: 55 Hình 3.7: Đồ thị hàm trạng thái x(t) Định lý 2.4.1 Hình 3.8: Đồ thị hàm điều khiển u(t) Định lý 2.4.1 56 Trên sở đồ thị ta nhận hàm u(t) đạt cực đại t ≈ 0, 325, đạt cực tiểu t ≈ 0, 697, max u1 (t) ≈ 6, 558, max u2 (t) ≈ [0;1] [0;1] 16, 358 Và dựa vào đồ thị hàm trạng thái ta biết max x1 (t) = [0;1] 1, max x2 (t) ≈ 1, 846 [0;1] Xét Định lý 2.5.1 n = với điều kiện    T = 1,     x(0) = [0], x(T ) = x(1) = [1],   u(0) = [0], u(T ) = u(1) = [1],     u(k) (0) = [0], u(k) (T ) = u(k) (1) = [1], ∀k = 1, (3.3.23) ta nhận nghiệm toán dạng đa thức bậc mười là:         9771 17377 6341 − 60     17377    50728  68397 67083   −     −   10  t +   t +  t +  x(t) =     17377   − 9771   6341  t +        60  17377 68397 50728 67083 − − 10  − 22361 12  16665  +  − 22361  12 16665       t +      3333 198979 − 120 3333 198979 − 120      10  t +      − 18089 120 − 18089 120    11 t   Hàm điều khiển thu u1 = x˙ = 149985 17377 205191 355096 t − t + t − 134166t7 + t− − u2 = x˙ + g = 9, + 198979 t, 12 17377 205191 355096 t − t + t − 134166t7 + 57 + 149985 198979 t − t 12 Sau phần mềm Mathematica ta thu đồ thị: Hình 3.9: Đồ thị hàm trạng thái x(t) Định lý 2.5.1 n = 58 Hình 3.10: Đồ thị hàm điều khiển u(t) Định lý 2.5.1 n = Trên sở đồ thị ta nhận hàm u(t) đạt cực đại t ≈ 0, 345, đạt cực tiểu t ≈ 0, 674, max u1 (t) ≈ 7, 809, max u2 (t) ≈ [0;1] [0;1] 17, 609 Và dựa vào đồ thị hàm trạng thái ta biết max x1 (t) = [0;1] 1, max x2 (t) ≈ 1, 989 [0;1] Xét Định lý 2.5.1 n = với điều kiện    T = 1,     x(0) = [0], x(T ) = x(1) = [1],   u(0) = [0], u(T ) = u(1) = [1],     u(k) (0) = [0], u(k) (T ) = u(k) (1) = [1], ∀k = 1, (3.3.24) 59 ta nhận nghiệm toán dạng đa thức bậc mười ba là:         770713 666629 195849 − 120 720 16  5394991        666629 1762641 2626775    −     −  720 15 16 18  t +  t +  t +  x(t) =     770713   − 666629   195849  t +        720 120  16 5394991 666629 1762641 2626775 − 15 − 18 720 16    +   − 525355 36 5226463 48 525355 − 36 5226463 48      10   t +     475133 48 433713 − 10 475133 48 433713 − 10      11   t +     − 144571 40 5186467 720 144571 − 40 5186467 720      12   t +     398959 720 398959 720    13 t   Hàm điều khiển thu u1 = x˙ = 5394991 4666403 1762641 2626775 26132315 t− t+ t− t+ t− 105 15 2 24 − u2 = x˙ + g = 9, + 4770843 10 5186467 11 t + t , 10 60 5394991 4666403 1762641 2626775 t − t + t − t 105 15 2 + 26132315 4770843 10 5186467 11 t − t + t 24 10 60 Sau phần mềm Mathematica ta thu đồ thị: 60 Hình 3.11: Đồ thị hàm trạng thái x(t) Định lý 2.5.1 n = Hình 3.12: Đồ thị hàm điều khiển u(t) Định lý 2.5.1 n = 61 Trên sở đồ thị ta nhận hàm u(t) đạt cực đại t ≈ 0, 359, đạt cực tiểu t ≈ 0, 657, max u1 (t) ≈ 9, 059, max u2 (t) ≈ [0;1] [0;1] 18, 859 Và dựa vào đồ thị hàm trạng thái ta biết max x1 (t) = [0;1] 1, max x2 (t) ≈ 2, 122 [0;1] 62 KẾT LUẬN Luận văn "Hàm điều khiển dạng đa thức hệ dừng động học tuyến tính" thực số vấn đề sau đây: Hệ thống lại số kiến thức ma trận định thức Phát biểu xây dựng toán chuyển động chất điểm tác động lực trọng trường Chứng minh tồn hàm trạng thái hàm điều khiển toán chuyển động dạng đa thức bậc 2n + 2n + tương ứng Nội dung luận văn đăng Tạp chí khoa học công nghệ Đại học Đà Nẵng số 7(56), 2012 Giới thiệu phần mềm Mathematica ứng dụng phần mềm việc vẽ đồ thị kiểm tra kết thu luận văn Mặc dù cố gắng, lực thời gian có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy hướng dẫn – TS Lê Hải Trung, có gợi ý đóng góp thiết thực, quý báu trình thực đề tài 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [2] Nguyễn Doãn Phước (2005), Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyễn Đình Trí (2009), Toán học cao cấp, Tập 1, Tập 2, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Lê Hải Trung (2012), "Về hàm trạng thái đa thức cho hệ dừng động học tuyến tính", Tạp chí Khoa học Công nghệ - Đại học Đà Nẵng, Quyển 1, Số 11(60) [5] Lê Hải Trung, Đặng Hữu Hiền (2010), "Về nghiệm đa thức hệ dừng động học tuyến tính điều kiện có điểm kiểm tra", Tạp chí Khoa học Công nghệ – Đại học Đà Nẵng, Số 5(40), tr 178 – 182 [6] Lê Hải Trung, Phan Thị Tố Loan (2012), "Về hàm điều khiển đa thức toán chuyển động", Tạp chí Khoa học Công nghệ – Đại học Đà Nẵng, Số 7(56), tr 81 – 84 Tiếng Anh [7] A Ailon, L Baratchart, G Grimm and G Langholz (1986), “On polynomial controllability with polynomial state for linear constant systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, vol 31, pp 155–156 [8] A Ailon and G Langholz (1986), “More on controllability of linear time invariant systems”, International Journal of Control, vol 44, pp 1161 – 1176 Tiếng Nga [9] Андреев Ю Н (1976), Управление конечномерными линейными объектами, М.: Наука, 424 с 64 [10] Гантмахер Ф Р (1966), Теория матриц, М.: Наука, 576 с [11] Каган В Ф (1922), Основание теории определителей, Одесса.: Госуд, Из-во Украины, 512 с [12] Красовский Н Н (1965), Теория управленния движением, М.: Наука, 475 с [13] Понтрягин Л С (1982), Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 329 с [14] Зубова С.П, Ле Хай Чунг (2007), "О полиномиальных управлениях линейной стационарной системой с контрольной точкой, Современные проблемы механики и прикладной математики", Сборник трудов международной школы-семинара, Воронеж, с.133– 136 ... 1: Kiến thức sở • Trình bày số kiến thức ma trận, định thức, hệ Cramer, định lý tồn nghiệm hệ Cramer định thức Wronxki, Chương 2: Hàm điều khiển dạng đa thức hệ dừng động học tuyến tính • Trình... HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ TỐ LOAN HÀM ĐIỀU KHIỂN DẠNG ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: ... toán, hệ thống định nghĩa, định lý liên quan đến hệ điều khiển • Xây dựng hàm điều khiển u(t) dạng đa thức điều kiện khả vi cấp n cho trước • Định lý 2.1.1 (tiêu chuẩn Kalman) tính điều khiển hệ dừng