Xây dựng nghiệm đa thức của hệ dừng động học tuyến tính với các điểm kiểm tra và giới hạn lên hàm hiệu chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG −−− −−− BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG XÂY DỰNG NGHIỆM ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH VỚI CÁC ĐIỂM KIỂM TRA VÀ GIỚI HẠN LÊN HÀM HIỆU CHỈNH Mã số: Đ2012 – 03 –30 Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Hải Trung Đà Nẵng, 12/2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG −−− −−− BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG XÂY DỰNG NGHIỆM ĐA THỨC CỦA HỆ DỪNG ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH VỚI CÁC ĐIỂM KIỂM TRA VÀ GIỚI HẠN LÊN HÀM HIỆU CHỈNH Mã số: Đ2012 – 03 –30 Xác nhận quan chủ trì đề tài Đà Nẵng, 12/2012 Chủ nhiệm đề tài Mục lục Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài Thông tin kết nghiên cứu Information on research results Mở đầu Nội dung báo cáo 0.1 0.2 12 Đặt toán Xây dựng hàm giả trạng thái giả điều khiển 12 12 Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Hải Trung Đơn vị công tác: Khoa Toán, Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Thành viên: ThS Lê Văn Dũng Đơn vị công tác: Khoa Toán, Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Đơn vị phối hợp: Khoa Toán, Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Thông tin kết nghiên cứu Mục tiêu: Xây dựng nghiệm dạng đa thức hệ dừng động học tuyến tính với điểm kiểm tra giới hạn lên hàm điều chỉnh Trên sở thu sản phẩm khoa học gồm 02 Bài báo đăng tạp chí KHCN Đại học Đà Nẵng Báo cáo tổng kết tháng 12 năm 2012 Tính sáng tạo: Tìm hàm điều khiển hàm trạng thái hệ dừng động học tuyến tính dạng đa thức Tóm tắt kết nghiên cứu: Đề tài khẳng định nghiệm hệ dừng tuyến tính dạng kiện: dx(t) dt = Bx(t) + Du(t) bổ sung điều j j dj u dj u j d u j j d u |t=0 = β0 , j |t=t1 = β1 , , j |t=tk = βk , j |t=T = βTj , j = 0, 1, 2, , r, j dt dt dt dt tìm dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − với hệ số vector Tên sản phẩm: 02 báo: [1] Lê Hải Trung, Phan Thị Tố Loan Về hàm điều khiển đa thức toán chuyển động Tạp chí Khoa học Công nghệ – ĐH Đà Nẵng Số 7(56) 2012 Tr 81–83 [2] Lê Hải Trung Về hàm trạng thái đa thức cho hệ dừng động học tuyến tính Tạp chí Khoa học công nghệ - ĐH Đà Nẵng Số 2012 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: Là tài liệu tham khảo dành cho đối tượng quan tâm đến nghiệm hệ dừng động học tuyến tính, sinh viên học viên cao học khoa Toán sử dụng làm tài liệu tham khảo nghiên cứu Information on research results General information: Project title:Construction of polynomial solution for linear dinamical stationary system with check points and additional constrains Code number: Đ2012-03-30 Project Leader:Le Hai Trung Coordinator: Le Van Dung Implementing institution: Da Nang University of Education Duration: from 12/2011 to 12/2012 Objective(s): Construction of polynomial solution for linear dinamical stationary system with check points and additional constrains On that basis, the product obtained consists of 02 scientific paper published in Science and Technology and the summary report before December 2012 Creativeness and innovativeness: Construction of polynomial solution for linear dinamical stationary system with check points and additional constrains Research results: Theme is proved that, solution x(t) of linear dinamical stationary system x (t) = Bx(t) + Du(t) wrote down in form polynomials of degree (r + p + 2)(k + 2) − Products: 02 science articles [1] Lê Hải Trung, Phan Thị Tố Loan Về hàm điều khiển đa thức toán chuyển động Tạp chí Khoa học Công nghệ – ĐH Đà Nẵng Số 7(56) 2012 Tr 81–83 [2] Lê Hải Trung Về hàm trạng thái đa thức cho hệ dừng động học tuyến tính Tạp chí Khoa học công nghệ - ĐH Đà Nẵng Số 2012 Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: Teachers of mathematics and students maybe use our results for studying and learning Mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu nước Ta biết hệ động học gọi điều khiển cách toàn vẹn tồn (hay xác định được) tác động điều chỉnh được, cho chuyển dịch hệ cho từ trạng thái ban đầu đến trạng thái kết thúc sau khoảng thời gian hữu hạn Ta tiến hành xem xét hệ động học tuyến tính, mô tả hệ phương trình vi phân sau đây: dx(t) = Bx(t) + Du(t), (1) dt B ∈ L(Rn , Rn ), D ∈ L(Rm , Rn ), x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , t ∈ [0, T ] Hệ (1) gọi điều khiển cách toàn vẹn ta tồn hàm vector u(t) cho ta thay vào (1) ta nhận nghiệm x(t) thỏa mãn điều kiện biên sau đây: x(0) = x0 , (2) x(T ) = xT , (3) x0 , xT phần tử tùy ý Rn Với cách đặt vấn đề toán (1) – (2) – (3) gọi toán điều khiển, hệ (1) gọi hệ điều khiển, hàm x(t) gọi hàm trạng thái hay quỹ đạo hệ, hàm u(t) gọi hàm điều khiển (điều chỉnh) Về tính chất điều khiển hệ động học tuyến tính thu hút quan tâm nghiên cứu nhà toán học kỉ XX XXI, mà tiêu biểu phải kể đến như: Ailon A, Langholz G, Barachart L, GrimmJ, Achim Ilchmann, Volker Mehrmann, Kraxopxki N.N, Chischiakop V.F, Seglopva A.A, Mixrikhanop M.S, Zubova S.P, Và khó cam đoan đến thời điểm lý thuyết phương pháp xây dựng hàm trạng thái hàm điều khiển xây dựng cách đầy đủ Thật thế, hầu hết tác giả nêu công trình xuất phát từ công thức Cauchy: t tB et−s Du(s)ds, x(t) = e x + để mô tả hàm trạng thái hệ (1) hàm phụ thuộc trực tiếp vào hàm điều khiển Con đường giải này, nói, chưa phương án tối ưu để xây dựng hàm cần phải tìm Trong công trình tác giả gần Zubova S.P, Raieskaia E.V, hàm điều khiển biểu diễn dạng: ∗ tB ∗ u(t) = D e t ( e−sB DD∗ esB ∗ ds −1 ) (e−T B xT − x0 ), công trình tác giả mô tả phương pháp để xây dựng hàm điều khiển trạng thái có sở chia nhỏ không gian, mà chất việc phân chia không gian ban đầu thành tổng trực tiếp không gian Kết phương trình ban đầu chuyển phương trình tương đương không gian “hẹp” Và kết cuối ta nhận hệ tương đương với hệ ban đầu (1) Cùng với đó, ma trận nhận cho hàm giả trạng thái giả điều khiển ma trận không ma trận toàn ánh Trong số công trình gần đây, nhiều phương pháp khác nhau, số tác giả khác (Ailon A, Langholz G ) xây dựng hàm điều khiển dạng đa thức với bậc nhỏ 2n, kết sau phát biểu mạnh hơn: “hàm điều chỉnh hệ từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối sau khoảng thời gian hữu hạn biểu diễn dạng đa thức bậc M = 2r + r = n − rankB ” Mục đích của đề tài liên quan trực tiếp bậc đa thức hàm điều chỉnh u(t), hàm trạng thái x(t) tính chất ma trận hàm trạng thái hàm điều khiển Hơn nữa, với trợ giúp phần mềm Mathematica đem lại cách giải gọn gàng mô tả sáng sủa nghiệm toán (1) – (2) – (3) 10 Tính cấp thiết đề tài: Nếu công trình tác giả khác: Zubova S.P, Raieskaia E.V hàm điều khiển toán cho tìm dạng hàm mũ công trình Ailon A, Langholz G xây dựng hàm điều khiển dạng đa thức với bậc nhỏ 2n đề tài này, phương pháp tiếp cận lạ cách nhìn độc đáo dược nghiệm toán tìm dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − Với cách xây dựng đem lại tiện ích không nhỏ việc khảo sát mô tả dáng điệu nghiệm toán thông qua việc sử dụng công cụ phần mềm toán học hỗ trợ Mục tiêu: Xây dựng nghiệm dạng đa thức hệ dừng động học tuyến tính (1) – (2) – (3) với điểm kiểm tra giới hạn lên hàm điều chỉnh Phương pháp nghiên cứu: Trong trình thực hoàn thành đề tài, tác giả sử dụng kiến thức liên quan đến ngành sau đây: Giải tích, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân Cách tiếp cận: Tiến hành xem xét hệ phương trình động học tuyến tính đưa thêm vào điều kiện ràng buộc hàm điều khiển Giả thiết tìm nghiệm toán dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − sau chứng minh tính đắn mệnh đề 11 Nội dung báo cáo 0.1 Đặt toán Tiến hành xem xét hệ dừng điều khiển tuyến tính (1) với điều kiện (2) (3) với: 0 x(t1 ) = α01 , x(t2 ) = α02 , , x(tk ) = α0k , (4) < t1 < t2 < < tk < T, α0i ∈ Rn , i = 1, 2, , k Ta gọi điểm (ti , α0i ), i = 1, 2, , k toán (1) – (2) – (1.1) điểm kiểm tra Ta tiến hành xem xét toán sau đây: hàm điều khiển u(t) đạo hàm đến bậc thứ r ta ràng buộc điều kiện sau đây: j j dj u dj u j d u j j d u j , | = β , | = β , , | = β | = β , j = 0, 1, 2, , r t=0 t=t t=t t=T k T k dtj dtj dtj dtj (5) yêu cầu xây dựng hàm điều khiển u(t), thỏa mãn điều kiện (5), chuyển hệ (1) từ trạng thái (2) trạng thái (3), đồng thời quỹ đạo x(t) hệ cho thỏa mãn điều kiện (4) Ta tiến hành xác định hàm cần tìm dạng đa thức theo t với hệ số vector 0.2 Xây dựng hàm giả trạng thái giả điều khiển Để xây dựng hàm cần tìm x(t) u(t) hệ (1) ta tiến hành chuyển hệ ban đầu hệ tương đương sau p bước tương ứng với hệ nhận hàm giả trạng thái xp (t) giả điều khiển up (t) 12 Một thành phần trình tìm lời giải toán chuyển toán sau: việc xây dựng hàm trạng thái x(t) điều khiển u(t) dạng đa thức theo biến t việc xác định tìm điều kiện cho hàm giả điều khiển yi (t) giả trạng thái xi (t) bước i = 1, 2, , p − Hiển nhiên trình sử dụng phương pháp nêu thực việc chuyển điều kiện (2), (3), (4), (5) hàm điều khiển x(t) trạng thái u(t) hệ ban đầu (1) điều kiện hàm giả trạng thái xi (t) giả điều khiển yi (t) cuối chuyển điều kiện cho hàm xp (t) yp (t) bước cuối p Để ý từ điều kiện (5) phương trình (1) chuyển điều kiện:  i di−1 x dx i  | = B i  t=0 dt dti−1 |t=0 + Dβ0 ,    di x di−1 x i  | = B i  t=t dt dti−1 |t=t1 + Dβ1 ,    (6) i dx di−1 x i  , | = B | + Dβ  k dti t=tk dti−1 t=tk   i i−1  d x d x i   dti |t=T = B dti−1 |t=T + DβT    i = 1, 2, r Tại điểm ứng với giá trị t = ta nhận (r + 1) điều kiện:  dx  |t=0 = Ba0 + Dβ0 = γ01 ,  dt   d2 x 1    dt2 |t=0 = Bγ0 + Dβ0 = γ0 , d3 x 2 dt3 |t=0 = Bγ0 + Dβ0 = γ0 ,        dr+1 x r+1 r r dtr+1 |t=0 = Bγ0 + Dβ0 = γ0 (7) Bằng cách tưng tự từ điều kiện (5) đạo hàm đến bậc r cho hàm điều khiển u(t) ta chuyển đến điều kiện (k + 2) điểm đến đạo hàm bậc thứ r + cho 13 hàm trạng thái x(t) hệ cho:  dx   dt |t=t1 = Bα1,0 + Dβ1 = γ1 ,    d2 x 1   dt2 |t=t1 = Bγ1 + Dβ1 = γ1 ,    d3 x 2   dt3 |t=t1 = Bγ1 + Dβ1 = γ1 ,        r+1  r+1 d x r r   dtr+1 |t=t1 = Bγ1 + Dβ1 = γ1    dx   dt |t=t2 = Bα2,0 + Dβ2 = γ2 ,    d2 x 1   dt2 |t=t2 = Bγ2 + Dβ2 = γ2 ,    d3 x | 2 dt3 t=t2 = Bγ2 + Dβ2 = γ2 ,     r+1  r+1 d x r r   dtr+1 |t=t2 = Bγ2 + Dβ2 = γ2         dx   dt |t=T = Bb0 + DβT = γT ,    d2 x 1   dt2 |t=T = BγT + DβT = γT ,    d3 x 2   dt3 |t=T = BγT + DβT = γT ,        r+1  d x| r+1 r r dtr+1 t=t2 = BγT + DβT = γT (8) Như ta nhận toán xây dựng hàm điều khiển u(t) hệ (1) với hàm trạng thái x(t) tương ứng thỏa mãn (r + 2)(k + 2) điều kiện:   x0 = a0 , x(t1 ) = α1 , x(t2 ) = α2 , , x(T ) = b0 ,  j j dj x j dj x j dj x j d x (9) j |t=0 = γ0 , dtj |t=t1 = γ1 , dtj |t=t2 = γ2 , dtj |t=T = γT , dt   j = 1, 2, , r + Trước tiên ta sử dụng Bổ đề 1(xem [?]) để chuyển hệ ban đầu hệ tương đương sau: Q dx(t) dt = QBx(t), + dx(t) u(t) = D B dt − D+ Bx(t) + P u(t), (10) P u(t) hàm vector không gian KerD thỏa mãn (r + 1)(k + 1) điều kiện sau đây:    P u(0) = P β0 = β0,0 , P u(ti ) = P βi = β0,i , P u(T ) = P βT = β0,T , j j j j j j dj P u dj P u dj P u | = P β = β , | = P β = β , j j j |t=T = P βT = β0,T , t=0 t=t i 0,0 i 0,i dt dt dt   i = 1, 2, , k; j = 1, 2, , r (11) 14 Hàm giả trạng thái x1 (t) giai đoạn với lưu ý đến biểu thức x1 = Qx(t) thỏa mãn (r + 2)(k + 2) điều kiện:  x1 (0) = Qa0 = γ1,0 , x1 (ti ) = Qαi = γ1,i , x1 (T ) = Qb0 = γ1,T ,   j j j j j j j dj x1 d x1 dj x1 j |t=0 = Qγ0 = γ1,0 , j |t=ti = Qγi = γ1,i , j |t=T = QγT = γ1,T , dt dt dt   i = 1, 2, , k; j = 1, 2, , r + (12) Điều kiện giải hệ (1) xuất thêm k + điều kiện bổ sung lên hàm giả trạng thái x1 (t) giai đoạn thứ nhất, với kí hiệu: x1 (t) = Qx(t), y1 (t) = (I − Q)x(t), B1 = QBQ, D1 = QB(I − Q), (13) điều kiện (12) viết dạng:  dr+2 x dr+1 x1 r+2  r+2 |t=0 = QB dtr+1 |t=0 = QBQa0 = B1 a0 = γ1,0 ,  dt   dr+1 x1 dr+2 x1 r+1 r+2  | = QB  r+2 t=t i  dt dtr+1 |t=ti = QBQγ1,i = γ1,i ,  r+2 r+1  d x d x1 r+1 r+2   r+2 |t=T = QB dtr+1 |t=T = QBQγ1,T = γ1,T ,  dt   i = 1, 2, , k (14) Như hàm giả trạng thái x1 (t) giai đoạn thỏa mãn (r +2)(k +2) điều kiện dạng (12), (14) với khác biệt với hàm hệ ban đầu thỏa mãn (r + 1)(k + 2) điều kiện Từ hệ ban đầu Bổ đề 1(xem [?]) với kí hiệu (13) ta chuyển hệ tương đương: y1 (t) = dQx1 (t) dt dx1 (t) + D1 B1 dt = QBx1 (t), − D1+ B1 x1 (t) + P1 y1 (t) (15) Ở hàm vector P1 y1 (t) phần tử không gian KerD1 thỏa mãn điều kiện:   P1 y1 (0) = P1 (I − Q)a0 = β1,0 ,     P1 y1 (ti ) = P1 (I − Q)αi = β1,i ,        P1 y1 (T ) = P1 (I − Q)b0 = β1,T ,             j dj P1 y1 dtj |t=0 = P1 (I − Q)γ0 j dj P1 y1 dtj |t=ti = P1 (I − Q)γi j dj P1 y1 dtj |t=T = P1 (I − Q)γT j = β1,0 , j = β1,i , j = β1,T , i = 1, 2, , k, j = 1, 2, , r + 15 (16) Như hàm P1 y1 (t) cần phải thỏa mãn (r + 2)(k + 2) điều kiện, tức xuất theo điều kiện bổ xung lên đạo hàm bậc thứ r + thêm (k + 2) giá trị thời điểm t = 0, t = ti , t = T Trong giai đoạn ta sử dụng phương pháp phân tách với kí hiệu (13) ta nhận phương trình vi phân tương tự (1) với hàm chưa biết từ không gian hẹp biểu thức y2 (t): y2 (t) = D2+ dxdt2 (t) − D2+ B2 x2 (t) + P2 y2 (t) dx2 (t) dt = B2 x2 (t) + D2 y2 (t), (17) P2 y2 (t) = P2 (I1 − Q1 )x1 (t) – phần tử KerD2 thỏa mãn điều kiện:   P2 y2 (0) = P2 (I1 − Q1 )γ1,0 = β1,0 ,      P2 y2 (ti ) = P2 (I1 − Q1 )γ1,i = β1,i ,       y2 (T ) = P2 (I1 − Q1 )γ1,T = β1,T ,  P j d P2 y2 (t) j j (18) , = β1,0 |t=0 = P2 (I1 − Q1 )γ1,0 j dt  j  d P2 y2 (t) j j   , = β1,i |t=ti = P2 (I1 − Q1 )γ1,i j  dt  j  d P2 y2 (t) j j   |t=T = P2 (I1 − Q1 )γ1,T = β1,T ,  dtj    i = 1, 2, , k, j = 1, 2, , r + Hàm giả trạng thái x2 (t) bước hai với x2 (t) = Q1 x1 (t) thỏa mãn điều kiện:  x2 (0) = Q1 γ1,0 = γ2,0 , x2 (ti ) = Q1 γ1,i = γ2,i , x2 (T ) = Q1 γ1,T = γ2,T ,   j dj x2 (t) dj x2 (t) d x2 (t) j j j j j j | = Q γ = γ , | = Q γ = γ , |t=T = Q1 γ1,T = γ2,T , j j j t=0 t=t i 1,0 2,0 1,i 2,i dt dt dt   i = 1, 2, , k (19) Như ta nhận (r + 4)(k + 2) điều kiện cho hàm giả trạng thái x2 (t) bước hai Tiếp tục trình tách nhỏ không gian ban đầu thành không gian hẹp ta chuyển phương trình ban đầu đến bước thứ i: dxi (t) = Bi xi (t) + Di yi (t), dt (20) tương tự phương trình (1) tương ứng với ẩn hàm giả trạng thái xi (t) giả điều khiển yi (t) từ không gian KerDi∗ ImDi 16 hẹp Phương trình tương đương với: Qi dxdti (t) = Qi xi (t) yi (y) = Di+ dxdti (t) − Di+ Bi xi (t) + Pi yi (t), (21) Pi yi (t) ∈ KerDi ; Pi yi (t) = Qi (Ii−1 − Qi−1 )xi−1 (t) thỏa mãn điều kiện:    j Pi yi (0) = γi,0 , Pj i yi (tk ) = γi,k , Pijyi (T ) = γi,T , j j j d P i yi d Pi y i d Pi yi (22) j |t=0 = γi,0 , j |t=ts = γi,s , j |t=T = γi,T , dt dt dt   s = 1, 2, , k, j = 1, 2, , i + 2, đó:  j dj xi  γ = Q (I − Q ) i i−1 i−1  i,0 dtj |t=0 , j dj xi γi,k = Qi (Ii−1 − Qi−1 ) dtj |t=tk ,  j  j γi,T = Qi (Ii−1 − Qi−1 ) ddtxji |t=T (23) Hàm giả trạng thái xi (t) bước thứ i, với xi (t) = Qi−1 xi−1 (t) thỏa mãn điều kiện:    xi (0) = γi,0 , xi (tk ) = γi,k , xi (T ) = γi,T , j j j dj xi dj xi d xi | = γ , | = γ , j j j |t=T = γi,T , t=0 t=t s i,0 i,s dt dt dt   s = 1, 2, , k, j = 1, 2, , i + 1, j (24) với điều kiện có từ hệ (1) cho ta thêm (n+2) điều kiện: i+2 i+2 di+2 xi xi xi i+1 d i+1 d i+1 | = γ , | = γ , |t=T = γi,T t=0 t=t k i,0 i,k i+2 i+2 i+2 dt dt dt (25) Tại bước cuối thứ p ta chuyển hệ ban đầu hệ sau tương đương với hệ (1):  +  u(t) = D+ dx(t)  dt − D Bx(t) + P u(t),     xi−1 (t) = xi (t) + yi (t)     y (t) = D+ dxi (t) − D+ B x (t) + P y (t) i i i i i i dt i       xp−1 (t) = xp (t) + yp (t),    dxp (t)  dt = Bp xp (t) + Dp yp (t) (26) Từ (k + 2) điều kiện cho hàm trạng thái x(t) hệ ban đầu, (r + 2)(k + 2) điều kiện cho hàm điều khiển u(t) với đạo hàm u(t) điểm 17 kiểm tra ta chuyển đến điều kiện tương đương cho hàm giả trạng thái xp (t) bước thứ p đạo hàm đến bậc thứ (r + p + 1), cụ thể:    p (ti ) = γp,i , xp (T ) = γp,T ,  j xp (0) = γp,0 , x d xp dj xp dj xp j j j (27) | = γ , | = γ , j t=0 j t=ti j |t=T = γp,T , p,0 p,k dt dt dt    i = 1, 2, , k, j = 1, 2, , r + p + A Tiến hành xây dựng hàm giả trạng thái xp (t) thỏa mãn điều kiện (27) ta tìm hàm dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − theo t với hệ số vector: (r+p+2)(k+2)−1 cj tj , xp (t) = (28) j=0 cj hệ số chưa biết Ta lấy vi phân đẳng thức (28) (r + p + 1) lần, sau với điều kiện (27) t = ta tìm giá trị hệ số: cj = j γ , j = 0, 1, , r + p + j! p,0 (29) Từ điều kiện (27) cho hàm (28) với (29) ta chuyển hệ phương 18 trình:  (r+p+2)(k+2)−1  cr+p+2 t1r+p+2 + cr+p+3 t1r+p+3 + + c(r+p+2)(k+2)−1 t1 =     r+p+1   j j  γp,0 t1 , = γ − p,1  j!   j=0     (r + p + 2)cr+p+2 tr+p+1 + (r + p + 3)cr+p+3 tr+p+2 + ((r + p + 2)(k + 2) − 1)×  1   r+p+1   (r+p+2)(k+2)−2 p j j−1   ×c(r+p+2)(k+2)−1 t1 = γp,1 −  j! γp,0 t1 ,   j=1          (r + p + 2)(r + p + 1) 2cr+p+2 t1 + (r + p + 3)(r + p + 2) 3cr+p+3 t21 +      +((r + p + 2)(k + 2) − 1)((r + p + 2)(k + 2) − 2) ((r + p + 2)(k + 1) − 1)×    (r+p+2)(k+1) r+p+1 r+p+1   ×c(r+p+2)(k+2)−1 t1 = γp,1 − γp,0 ,         (r+p+2)(k+2)−1   cr+p+2 tkr+p+2 + cr+p+3 tkr+p+3 + + c(r+p+2)(k+2)−1 tk =     j j  γp,0 tk , = γp,k − r+p+1  j=0 j!   r+p+1 r+p+2 (r + p + 2)cr+p+2 tk + (r + p + 3)cr+p+3 tk + ((r + p + 2)(k + 2) − 1)×  (r+p+2)(k+2)−2 p j j−1  − r+p+1 = γp,k ×c(r+p+2)(k+2)−1 tk  j=1  j! γp,0 tk ,          (r + p + 2)(r + p + 1) 2cr+p+2 tk + (r + p + 3)(r + p + 2) 3cr+p+3 t2k +      +((r + p + 2)(k + 2) − 1)((r + p + 2)(k + 2) − 2) ((r + p + 2)(k + 1) − 1)×    (r+p+2)(k+1) r+p+1 r+p+1   − γp,0 , = γp,k ×c(r+p+2)(k+2)−1 tk      cr+p+2 T r+p+2 + cr+p+3 T r+p+3 + + c(r+p+2)(k+2)−1 T (r+p+2)(k+2)−1 =    j   = γp,T − r+p+1 γp,0 T j ,  j=0 j!     (r + p + 2)cr+p+2 T r+p+1 + (r + p + 3)cr+p+3 T r+p+2 + ((r + p + 2)(k + 2) − 1)×    p j  j−1  ×c(r+p+2)(k+2)−1 T (r+p+2)(k+2)−2 = γp,T − r+p+1 ,  j=1 j! γp,0 T          (r + p + 2)(r + p + 1) 2cr+p+2 T + (r + p + 3)(r + p + 2) 3cr+p+3 T +      +((r + p + 2)(k + 2) − 1)((r + p + 2)(k + 2) − 2) ((r + p + 2)(k + 1) − 1)×     ×c T (r+p+2)(k+1) = γ r+p+1 − γ r+p+1 (r+p+2)(k+2)−1 p,T p,0 (30) Giá trị định thức ∆ hệ xác định theo công thức (xem [?]): ∆ = (t1 t2 tk T )(r+p+2) V k+1 (1, 2, , r + p + 2)× 2 2 (t2 − t1 )(r+p+2) (t3 − t1 )(r+p+2) (tk − t1 )(r+p+2) (T − t1 )(r+p+2) × 2 2 (t3 − t2 )(r+p+2) (t4 − t2 )(r+p+2) (tk − t2 )(r+p+2) (T − t2 )(r+p+2) × × (T − tk )(r+p+2) , với V (1, 2, , r + p + 2) định thức Vandermonde 19 cho số 1, 2, , r + p + (xem [?]) Từ đâycác hệ số cj , j = r + p + 2, r + p + 3, , (r + p + 2)(k + 2) − hệ (30) xác định nhất, hay trình xây dựng hàm giả trạng thái xp (t) dạng đa thức theo t bước cuối (bước thứ p) hoàn tất B Chuyển qua bước xây dựng hàm giả điều khiển yp (t) hệ (26) i = p Hàm vector Pp yp (t) ∈ KerDp thỏa mãn điều kiện (22) i = p Suy tìm dạng đa thức bậc (r + p + 1)(k + 2) − theo t với hệ số vector: (r+p+1)(k+2)−1 hj tj , Pp yp (t) = (31) j=0 hj ∈ KerDp phần tử chưa biết Tiến hành vi phân (31) cách (r + p) lần sử dụng điều kiện (22) ta thu được: hj = j β , j! p,0 (32) cho giá trị j = 0, 1, , r +p Các hệ số hj , (j = r +p+1, r +p+2, , (r + p + 1)(k + 2) − 1) lại tìm giống nghiệm hệ phương trình, nhận đặt biểu thức Pp yp (t) đạo hàm đến bậc thứ (r + p) vào điều kiện (22) giá trị t = 0, t = ti , (i = 1, 2, , k), t = T Cụ 20 thể:  (r+p+1)(k+2)−1 r+p+2 r+p+1  h t + h t + + c t =  r+p+1 r+p+2 (r+p+1)(k+2)−1 1    j j  = βp,1 − r+p  j=0 j! βp,0 t1 ,     (r + p + 1)hr+p+1 t1r+p + (r + p + 2)hr+p+2 tr+p+1 + ((r + p + 1)(k + 2) − 1)×     (r+p+1)(k+2)−2 j−1 j−1 1  ×h(r+p+1)(k+2)−1 t1 = βp,1 − r+p  j=1 (j−1)! βp,0 t1 ,           (r + p + 1)(r + p) 2hr+p+2 t1 + (r + p + 2)(r + p + 1) 3hr+p+2 t21 +      ((r + p + 1)(k + 2) − 1)((r + p + 1)(k + 2) − 2)    ((r+p+1)(k+1)−(r+p))   ((r + p + 1)(k + 1) − (r + p))h(r+p+1)(k+2)−1 t1 =    p p   = βp,1 − βp,0 ,    (r+p+1)(k+2)−1 r+p+1 r+p+2   h t + h t + + c t = r+p+1 r+p+2 (r+p+1)(k+2)−1  k k k    j j  = βp,k − r+p  j=0 j! βp,0 tk ,     + ((r + p + 1)(k + 2) − 1)× (r + p + 1)hr+p+1 tkr+p + (r + p + 2)hr+p+2 tr+p+1  k   (r+p+1)(k+2)−2 j−1 j−1  1  − r+p ×h(r+p+1)(k+2)−1 tk = βp,k  j=1 (j−1)! βp,0 tk ,     (r + p + 1)(r + p) 2hr+p+2 tk + (r + p + 2)(r + p + 1) 3hr+p+2 t2k +      ((r + p + 1)(k + 2) − 1)((r + p + 1)(k + 2) − 2)     ((r+p+1)(k+1)−(r+p))  ((r + p + 1)(k + 1) − (r + p))h(r+p+1)(k+2)−1 tk =     p p  = βp,k − βp,0 ,           hr+p+1 T r+p+1 + hr+p+2 T r+p+2 + + c(r+p+1)(k+2)−1 T (r+p+1)(k+2)−1 =     j  = βp,T − r+p βp,0 T j ,  j=0  j!     (r + p + 1)hr+p+1 T r+p + (r + p + 2)hr+p+2 T r+p+1 + ((r + p + 1)(k + 2) − 1)×    j−1 j−1 1   ×h(r+p+1)(k+2)−1 T (r+p+1)(k+2)−2 = βp,T − r+p βp,0 T , j=1  (j−1)!          (r + p + 1)(r + p) 2hr+p+2 T + (r + p + 2)(r + p + 1) 3hr+p+2 T +      ((r + p + 1)(k + 2) − 1)((r + p + 1)(k + 2) − 2)      ((r + p + 1)(k + 1) − (r + p))h(r+p+1)(k+2)−1 T ((r+p+1)(k+1)−(r+p)) =     = βp − βp , p,T p,0 (33) Giá trị định thức ∆ hệ (33) cho công thức: ∆ = (t1 t2 T )(r+p+1) V k+1 (1, 2, , r + p + 1)× 2 2 (t2 − t1 )(r+p+1) (t3 − t1 )(r+p+1) (tk − t1 )(r+p+1) (T − t1 )(r+p+1) × 21 2 2 (t3 − t2 )(r+p+1) (t4 − t2 )(r+p+1) (tk − t2 )(r+p+1) (T − t2 )(r+p+1) × ×(T −tk )(r+p+1) Ở V (1, 2, , r+p+1) định thức Vandermonde cho số 1, 2, , r + p + (xem [?]) Các hệ số hj , j = r + p + 1, , (r + p + 1)(k + 2) − xác định từ hệ thu hàm Pp yp (t), xuất biểu thức hàm giả điều khiển yp (t) bước thứ p xây dựng dạng đa thức theo t bậc (r + p + 2)(k + 2) − với hệ số vector theo công thức (31) Lưu ý hàm giả trạng thái xp (t) tìm dạng đa thức theo t bậc (r + p + 2)(k + 2) − 1, sau đặt biểu thức xp (t) Pp yp (t) dạng đa thức vào công thức yp (t), ta nhận kết luận cho hàm giả điều khiển yp dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − theo t C Để xây dựng hàm giả trạng thái xp−1 (t) bước p − 1, ta đặt biểu thức (28) hàm xp (t) (26) yp (t) vào phương trình cuối (26) Cùng với phép biểu diễn cho, xp−1 (t) có dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − theo t thỏa mãn điều kiện (27) i = p − Hàm giả điều khiển yp−1 (t) bước thứ p − xác định công thức (26) i = p − Trong thành phần có mặt Pp−1 yp−1 (t) – hàm vector KerDp−1 thỏa mãn điều kiện tương ứng Tiếp tục trình tương tự ta xác định hàm giả điều khiển yi (t) giả trạng thái xi (t) bước Như hàm giả điều khiển yi (t) xác định thông qua phương trình thứ ba hệ (26) với phần tử Pi yi (t) thuộc không gian KerDi , với điều kiện lên hàm giả trạng thái xi−1 (t) nhận bước i − phương pháp phân tách:   xi−1 (0) = Qi−2 γi−2,1 = γi−1,0 ,      xi−1 (tk ) = Qi−2 γi−2,k = γi−1,k ,        xji−1 (T ) = Qi−2 γi−2,T = γi−1,T , j j d xi−1 (34) j |t=0 = Qi−2 γi−2,0 = γi−1,0 , dt  j  j j d xi−1   j |t=ts = Qi−2 γi−2,s = γi−1,s ,  dt   j j dj xi−1   j |t=T = Qi−2 γi−2,t = γi−1,T ,  dt    s = 1, 2, , k, j = 1, 2, , r + i, 22 thỏa mãn điều kiện:   Pi yi (0) = Pi (Ii−1 − Qi−1 )γi−1,0 = βi,0 ,     Pi yi (tk ) = Pi (Ii−1 − Qi−1 )γi−1,k = βi,k ,        Pji yi (T ) = Pi (Ii−1 − Qi−1 )γi−1,T = βi,T , j j d Pi yi dtj |t=0 = Pi (Ii−1 − Qi−1 )γi−1,0 = βi,0 ,   j j dj Pi yi   j |t=ts = Pi (Ii−1 − Qi−1 )γi−1,s = βi,s ,  dt   j j dj Pi yi   j |t=T = Pi (Ii−1 − Qi−1 )γi−1,T = βi,T ,  dt   s = 1, 2, , k, j = 1, 2, , r + i (35) Hàm Pi yi (t) đề xuất tìm dạng đa thức theo t bậc (r + i + 1)(k + 2) − với hệ số vector: (r+i+1)(k+2)−1 q j tj Pi yi (t) = (36) j=0 Sau biến đổi, biểu thức hàm xi (t) bước thứ i xác định dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − với hệ số vector, hàm Pi yi (t) phương trình thứ ba hệ (26) nhận đuwocj dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − Tiếp tục thực trình trên, ta chuyển sang cách xây dựng hàm trạng thái x(t) điều khiển phương trình ban đầu (1) với điều kiện (2), (3), (4), (5) Hàm trạng thái x(t) = x0 (t) tìm từ phương trình thứ hai hệ (26) i = 1, với kết xây dựng trước hàm x1 (t) y1 (t), x2 (t) y2 (t), ,xp (t) yp (t), xác định dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − với hệ số vector Hàm điều khiển u(t) = y0 (t) hệ (1) tìm từ phương trình thứ ba hệ (26) i = với phần tử P u(t) từ không gian KerD tìm dạng đa thức theo t với hệ số vector bậc (không vươt quá) (r + p + 2)(k + 2) − Nếu ta đặt hàm điều khiển nhận vào phương trình (1) ban đầu, ta nhận phương trình vi phân, mà nghiệm x(t) nó, tìm theo phương pháp trên, thỏa mãn điều kiện (2), (3), (4) Hiển nhiên hàm trạng thái x(t) tìm dạng đa thức theo t bậc (r + p + 2)(k + 2) − thỏa mãn điều kiện (9) 23 Như chứng minh được: Định lý Trong trường hợp Dp ma trận toàn ánh, tồn hàm điều khiển u(t) hệ (1) dạng đa thức bậc (r +p+2)(k +2)−1 theo t với hệ số vector thỏa mãn điều kiện (5) dịch chuyển hệ (1) từ trạng thái đầu (2) đến trạng thái cuối (3) qua điểm kiểm tra (4) Cùng với đó, hàm trạng thái x(t) xây dựng dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − 24 [...]... bài toán tìm được dưới dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − 1 Với cách xây dựng như thế sẽ đem lại tiện ích không nhỏ trong việc khảo sát và mô tả dáng điệu nghiệm của bài toán thông qua việc sử dụng các công cụ phần mềm toán học hỗ trợ 3 Mục tiêu: Xây dựng nghiệm dưới dạng đa thức của hệ dừng động học tuyến tính (1) – (2) – (3) với các điểm kiểm tra và giới hạn lên hàm điều chỉnh 4 Phương pháp nghiên... hành xác định các hàm cần tìm dưới dạng đa thức theo t với các hệ số vector 0.2 Xây dựng các hàm giả trạng thái và giả điều khiển Để xây dựng được các hàm cần tìm x(t) và u(t) của hệ (1) ta tiến hành chuyển hệ ban đầu về một hệ tương đương sau p bước tương ứng với hệ nhận được là các hàm giả trạng thái xp (t) và giả điều khiển up (t) 12 Một trong những thành phần của quá trình tìm lời giải của bài toán... từ hệ thu được và hàm Pp yp (t), xuất hiện trong biểu thức đối với hàm giả điều khiển yp (t) của bước thứ p xây dựng được dưới dạng đa thức theo t bậc (r + p + 2)(k + 2) − 1 với các hệ số vector theo công thức (31) Lưu ý rằng hàm giả trạng thái xp (t) tìm được dưới dạng đa thức theo t bậc (r + p + 2)(k + 2) − 1, và sau khi đặt các biểu thức của xp (t) và Pp yp (t) dưới dạng đa thức vào trong công thức. .. được cách xây dựng các hàm trạng thái x(t) và điều khiển của phương trình ban đầu (1) với các điều kiện (2), (3), (4), (5) Hàm trạng thái x(t) = x0 (t) tìm được từ phương trình thứ hai trong hệ (26) khi i = 1, với kết quả xây dựng được trước đó đối với các hàm x1 (t) và y1 (t), x2 (t) và y2 (t), ,xp (t) và yp (t), sẽ xác định được dưới dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − 1 với các hệ số vector Hàm. .. + i (35) Hàm Pi yi (t) được đề xuất đi tìm dưới dạng đa thức theo t bậc (r + i + 1)(k + 2) − 1 với hệ số vector: (r+i+1)(k+2)−1 q j tj Pi yi (t) = (36) j=0 Sau khi biến đổi, các biểu thức của hàm xi (t) tại các bước thứ i sẽ được xác định dưới dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − 1 với hệ số vector, và các hàm Pi yi (t) trong phương trình thứ ba của hệ (26) cũng nhận đuwocj dưới dạng đa thức bậc... trình thực hiện và hoàn thành đề tài, tác giả sử dụng các kiến thức liên quan đến các ngành sau đây: Giải tích, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân 5 Cách tiếp cận: Tiến hành xem xét hệ phương trình động học tuyến tính khi đưa thêm vào các điều kiện ràng buộc đối với hàm điều khiển Giả thiết rằng có thể tìm được nghiệm của bài toán dưới dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − 1 và sau đó chứng...2 Tính cấp thiết của đề tài: Nếu như trong các công trình của các tác giả khác: Zubova S.P, Raieskaia E.V thì hàm điều khiển của bài toán đã cho tìm được dưới dạng hàm mũ hoặc trong các công trình của Ailon A, Langholz G đã xây dựng hàm điều khiển dưới dạng đa thức với bậc nhỏ hơn 2n thì trong đề tài này, bằng phương pháp tiếp cận mới lạ và cách nhìn khá độc đáo đã chỉ ra dược rằng nghiệm của bài... sau: việc xây dựng các hàm trạng thái x(t) và điều khiển u(t) dưới dạng đa thức theo biến t chính là việc xác định và tìm điều kiện cho hàm giả điều khiển yi (t) và giả trạng thái xi (t) tại các bước i = 1, 2, , p − 1 Hiển nhiên quá trình sử dụng phương pháp nêu trên sẽ thực hiện việc chuyển các điều kiện (2), (3), (4), (5) đối với hàm điều khiển x(t) và trạng thái u(t) của hệ ban đầu (1) về các điều... trong công thức của yp (t), thì ta cũng nhận được kết luận cho hàm giả điều khiển yp dưới dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − 1 theo t C Để xây dựng hàm giả trạng thái xp−1 (t) tại bước p − 1, ta đặt biểu thức (28) đối với hàm xp (t) và (26) đối với yp (t) vào phương trình cuối của (26) Cùng với phép biểu diễn đã cho, xp−1 (t) sẽ có dạng đa thức bậc (r + p + 2)(k + 2) − 1 theo t và thỏa mãn điều... đâycác hệ số cj , j = r + p + 2, r + p + 3, , (r + p + 2)(k + 2) − 1 của hệ (30) được xác định là duy nhất, hay quá trình xây dựng hàm giả trạng thái xp (t) dưới dạng đa thức theo t của bước cuối cùng (bước thứ p) được hoàn tất B Chuyển qua bước xây dựng hàm giả điều khiển yp (t) trong hệ (26) khi i = p Hàm vector Pp yp (t) ∈ KerDp và thỏa mãn điều kiện (22) khi i = p Suy ra nó sẽ tìm được dưới dạng đa thức