Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 61 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
61
Dung lượng
1,32 MB
Nội dung
Header Page of 16 đại học thái nguyên tr-ờng ®¹i häc s- ph¹m bïi thị huệ lý thuyết floquet hệ ph-ơng trình vi phân đại số số Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên - 2009 Footer Page of 16 Header Page of 16 đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- phạm bùi thị huệ lý thuyết floquet hệ ph-ơng trình vi phân đại số số Chuyên ngành: giải tích MÃ số : 60.46.01 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS Đào Thị Liên Thái Nguyên - 2009 Footer Page of 16 Header Page of 16 MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu dùng luận văn Mục lục Trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Hệ phương trì nh vi phân thường 1.1.1 Các khái niệm bản 1.1.2 Tính ổn đị nh của hệ phương trì nh vi phân tuyến tí nh 1.1.3 Lý thuyết Floquet 1.2 Hệ phương trì nh vi phân đại số 1.2.1 Một số khái niệm bản 1.2.2 Hệ phương trì nh vi phân đại số tuyến tí nh 12 1.2.3 Hệ phương trì nh vi phân đại số phi tuyến 19 Chương Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số 22 2.1 Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tí nh 22 2.1.1 Ma trận bản 24 2.1.2 Biến đổi tương đương tuần hoàn 35 2.2 Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số phi tuyến tí nh 46 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Footer PageSố3hóa of 16.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN m L( ) : L( m m , ) : là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục m AT : ma trận chuyển vị của ma trận A im( A) : ảnh của A ker A : không gian không của A A : nghịch đảo Moore – Penrose A det A : đị nh thức của ma trận A rank A : hạng của ma trận A ind A : chỉ số của cặp ma trận A ind ( A, B) : chỉ số của cặp ma trận ( A, B) diag (m, N ) : ma trận chéo I r : ma trận đơn vị cấp r C1N : x C ( , m , m ) : Px C1 ( , m ) : tập các véc tơ hàm liên tục m đị nh C1 ( ) : tập các ma trận hàm khả vi liên tục m và xác định G : A BQ A1 : A B0Q B0 : B AP ' Qs : QA11B QG 1B : là phép chiếu chính tắc lên N (t ) dọc S (t ) Ps : I Qs là phép chiếu chí nh tắc lên N (t ) dọc S (t ) Span P(t ) : bao tuyến tí nh của P(t ) S (t ) : z m : B(t ) z im A(t ) x, y : tính vơ hướng Footer Page of 16 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn xác Header Page of 16 MỞ ĐẦU Trong khoa học ứng dụng thực tiễn có nhiều tốn, chẳng hạn mơ tả hệ động lực, hệ thống mạng điện, toán điều khiển , địi hỏi phải giải xét tính chất nghiệm hệ phương trình dạng: Ax ' Bx A, B L( m ) A, B L( I , m ), det A gọi hệ phương trình vi phân đại số Một lớp đơn giản hệ phương trình đại số hệ phương trình vi phân đại số số Trường hợp det A ta dễ dàng đưa hệ hệ x ' A1Bx (những phương trình coi có số 0), nghĩa hệ phương trình vi phân thường xem trường hợp riêng hệ phương trình vi phân đại số Rất nhiều tốn kết hệ phương trình thường xét hệ phương trình vi phân đại số Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kết tác giả René Lamour-Roswitha Marz and Renate Winkler, Đào Thị Liên, Phạm Văn Việt lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính số 1, từ tác giả đưa tiêu chuẩn ổn định nghiệm tuần hoàn hệ phi tuyến Trong báo “How Floquet Theory Applies to Index Differential Algebraic Equations”, René LamourRoswitha Marz and Renate Winkler, nhiều kết chưa chứng minh chứng minh vắn tắt Luận văn chi tiết chứng minh đưa ví dụ minh họa cho kết quan trọng báo Ngoài mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Luận văn gồm chương: Chương Các kiến thức sở Nội dung chương hệ thống kết lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân thường kiến thức hệ phương trình vi phân đại số Chương Lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân đại số số Đây nội dung luận văn Ở khái niệm lấy ví dụ minh họa, kết chứng minh chi tiết có ví dụ áp dụng Footer Page 5Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 LỜI CẢM ƠN Tác giả chân thành cảm ơn TS Đào Thị Liên, trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, người hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Xin cám ơn Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên, nơi tác giả hoàn thành Chương trình Cao học giảng dạy nhiệt tình thày, cô giáo Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Thượng Lâm-Na Hang-Tuyên Quang tạo điều kiện để tác giả hồn thành chương trình học tập Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Footer Page 6Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình vi phân thường (ODE) hệ phương trình dạng: dyi fi (t , y1, y2 , , yn ), (i 1, 2, dt , n) , (1.1.1) t biến độc lập (thời gian); y1 , , yn hàm cần tìm, f i hàm xác định bán trụ T It Dy , It t0 t Dy miền mở thuộc n Định nghĩa 1.1.2 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng dy1 dt a11 (t ) y1 a12 (t ) y2 a1n (t ) yn f1 (t ) dy a21 (t ) y1 a22 (t ) y2 a2 n (t ) yn f (t ) dt dy n an1 (t ) y1 an (t ) y2 ann (t ) yn f n (t ) dt (1.1.2) t biến độc lập y1 (t ), , yn (t ) ẩn hàm cần tìm, hàm aij (t ) fi (t ) gọi hệ số hệ số tự hệ Chúng giả thiết liên tục khoảng I (a, b) Dùng ký hiệu ma trận, viết hệ (1.1.2) dạng thu gọn dY A(t )Y F (t ) dt (1.1.3) Footer Page 7Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 A(t ) (aij (t )) ma trận hàm cấp n n, f (t ) ( f1 (t ), , f n (t ))T vector cột Nếu f (t ) , ta gọi hệ hệ tuyến tính nhất, ngược lại, ta gọi hệ hệ tuyến tính khơng Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm Z Z (t ) (a t ) hệ dY F (t , Y ) dt (1.1.4) y1 Y colon ( y1, , yn ) , yn F (t , Y ) colon f1 (t , Y ), , f n (t , Y ) dy dy dy dY colon , , , n dt dt dt dt gọi ổn định theo nghĩa Lyapunov t (hay ngắn gọn ổn định), với t0 (a, ) , tồn ( , t0 ) cho: Tất nghiệm Y Y (t ) hệ (1.1.4) (bao gồm nghiệm Z (t ) ) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) Z (t0 ) (1.1.5) xác định khoảng [t0 , ) , tức Y (t ) DY t t0 , ) Đối với nghiệm bất đẳng thức sau thỏa mãn Y (t ) Z (t ) t0 t (1.1.6) Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm Z Z (t ) (a t ) gọi ổn định tiệm cận t , nếu: Nó ổn định theo Lyapunov Với t0 (a, ) tồn (t0 ) cho nghiệm Y (t ) (t0 t ) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) Z (t0 ) lim Y (t ) Z (t ) (1.1.7) t Footer Page 8Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 1.1.2 Tính ổn định hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính (1.1.2), dạng ma trận (1.1.3), ma trận A(t ) véctơ F (t ) liên tục khoảng (a, ) Giả sử X (t ) xij (t ) (det X (t ) 0) (1.1.8) ma trận nghiệm (tức hệ nghiệm viết dạng (n n) ma trận) hệ vi phân tuyến tính tương ứng dY A(t )Y dt (1.1.9) tức ma trận gờm n nghiệm độc lập tuyến tính (1.1.9): X (1) (t ) colon x11 (t ), , xn1 (t ) ; ( n) X (t ) colon x1n (t ), , xnn (t ) Nếu ma trận nghiệm X (t ) chuẩn hóa t t0 , tức X (t0 ) I n , Y (t ) K (t , t0 )Y (t0 ) với (1.1.10) K (t , t0 ) X (t ) X 1 (t0 ) có dạng Y (t ) X (t )Y (t0 ) (1.1.11) Định nghĩa 1.1.5 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) gọi ổn định (hoặc không ổn định) tất nghiệm Y Y (t ) tương ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Lyapunov t Định nghĩa 1.1.6 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận t Định lý 1.1.1 Điều cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định với số hạng tự F (t ) nghiệm tầm thường Y0 (t0 t , t0 (a, )) hệ tương ứng (1.1.9) ổn định Footer Page 9Sốofhóa 16.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 Định lý 1.1.2 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường Y0 hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.1.9) ổn định tiệm cận t Xét hệ vi phân tuyến tính (1.1.9), A(t ) liên tục khoảng (a, ) Định lý 1.1.3 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.9) ổn định theo nghĩa Lyapunov nghiệm Y Y (t ) (t0 t ) hệ bị chặn nửa trục t0 t Định lý 1.1.4 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.9) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y Y (t ) dần tới khơng t , tức lim Y (t ) (1.1.12) t Xét hệ (1.1.9) A aij ma trận (n n) Định lý 1.1.5 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.9) với ma trận A ổn định tất nghiệm đặc trưng i i ( A) A có phần thực không dương Re i ( A) (i 1, 2, , n) nghiệm đặc trưng có phần thực khơng có ước đơn Định lý 1.1.6 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.9) với ma trận A ổn định tiệm cận tất nghiệm đặc trưng i i ( A) A có phần thực âm, tức Re i ( A) (i 1, , n) Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 10 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 47 of 16 diag ( I r , 0) G (t ) (2.1.11) Tx, G (t ) W 1 B (t )T 1 Vì tính chất nghiệm hệ (2.1.10) (2.1.11) nên khơng tính tổng qt , ta xét hệ dạng (2.1.11) (diag ( I r , 0)) x B (t ) x Xét hệ (2.1.12) với giả thiết sau i) Hệ (2.1.12) qui số với t (xem [5]) ii) B(t ) B(t ), t , , B(t ) C ( , Đặt A diag ( I r , 0), mm ) B (t ) B12 (t ) B(t ) 11 , B21 (t ) B22 (t ) với B11 (t ) ma trận vuông cấp r , B22 (t ) ma trận vuông cấp m r , diag ( Ir , 0) ma trận cấp m m x colon ( x (1) , , x ( m ) ) , x(i ) thành phần thứ i x (i 1, 2, , m) Đặt Q diag (0, I mr ), P I m Q diag ( I r , 0) , Q phép chiếu lên ker A dọc theo imA P phép chiếu lên imA dọc theo ker A Ir 0 ta có A1 (t ) A B(t )Q B12 (t ) B22 (t ) (2.1.13) Do hệ (2.1.12) qui số giả thiết ma trận A1 (t ) khả nghịch, với t , tức det A1 (t ) det B22 (t ) 0, t (2.1.14) Sử dụng phép chiếu P, Q trên, ta đưa hệ (2.1.12) hệ 1 x1 [ B11 (t ) B12 (t )]B22 (t ) B21 (t ) x1 (xem [5], [11]): 1 x2 B22 (t ) B12 (t ) x1 (a) (2.1.15) (b) x1 colon ( x(1) , x(2) , , x( r ) ); x2 colon ( x( r 1) , , x( m) ) x colon ( x1 , x2 ) xét hệ 1 x1 [ B11 (t ) B12 (t )]B22 (t ) B21 (t ) x1 (2.1.15’) Đây hệ phương trình vi phân thường r Rõ ràng, ma trận chuẩn hóa t hệ (2.1.15’) có dạng 43 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 47 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 48 of 16 X1 (t ) (t )et , (2.1.16) (t ) C1 , X1 (0) I r ; det (t ) 0, t ; (t ) (t ), (0) I r ; LnX ( ); X ( ) ma trận đơn đạo (2.1.15’) Từ hệ (2.1.15’) ta thấy ma trận nghiệm (2.1.12) tương ứng với ma trận X (t ) X (t ) 0 X (t ) 1 B22 (t ) B21 (t ) X (t ) (2.1.17) X (t ) có biểu diễn (2.1.16) Ta có hệ sau định lý 2.1.1 Hệ [2] Ma trận X (t ) hệ (2.1.12) viết dạng X (t ) (t )et (2.1.18) (t ) (t ), (t ); (t ) P C1( , m ) , ma trận Các nghiệm phương trình det( I r ) (2.1.19) gọi giá trị riêng hệ (2.1.15’) nghiệm phương trình det ( X ( ) I r ) (2.1.20) gọi nhân tử hệ (2.1.15’) Kí hiệu j ( j 1, 2, , r ) j (1, 2, , r ) nghiệm tương ứng phương trình (2.1.19) (2.1.20) Khi r j det X1 ( ) exp 0 Sp( B11(t ) B12 (t ) B221(t ) B21(t ))dt j 1 j Ln j ln i i(arg i k 2 ) , j 1, 2, , r k 44 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 48 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 49 of 16 Định nghĩa 2.1.3 [2] Ta gọi nghiệm phương trình (2.1.19) (2.1.20) tương ứng giá trị riêng nhân tử hệ (2.1.12) Định lý sau kết tương tự định lý 1.3.1 Định lý 2.1.4 [2] Với nhân tử , tồn nghiệm không tầm thường (t ) (2.1.12) thỏa mãn điều kiện (t ) (t ) (2.1.21) Ngược lại, nghiệm không tầm thường (t ) hệ (2.1.12) thỏa mãn điều kiện (2.1.21) nhân tử hệ Chứng minh Giả sử x0 colon( x1 , x2 ) x10 colon ( x101 , x102 , , x10 r ) x20 colon ( x20 r 1 , x20 r 2 , m , r , x20 m ) mr Từ (2.1.15, a) ta có nghiệm x(t ) hệ (2.1.12) thoả mãn điều kiện đầu P x (t0 ) Px0 là: X (t ) x10 x(t ) 1 B (t ) B (t ) X (t ) x 22 21 1 X1 (t ) x10 nghiệm (2.1.15, a) thỏa mãn điều kiện đầu x10 x1 (0) Giả sử 1 (0) thỏa mãn X ( )1 (0) 1 (0) Khi đó, 1 (t ) X (t )1 (0) nghiệm (2.1.15a) thỏa mãn 1 (t ) 1 (t ) Nghiệm (t ) (2.1.12) thỏa mãn điều kiện đầu 1 (t ) P (0) colon(1 (0),0) (t ) 1 B22 (t ) B21 (t )1 (t ) Từ đó, ta có (t ) (t ) Ngược lại, hệ (2.1.12) có nghiệm khơng tầm thường (t ) thoả mãn (t ) (t ) nghiệm phương trình det( X ( ) I r ) 45 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 49 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 50 of 16 Hệ [2] (i) Hệ (2.1.12) có nghiệm tuần hồn hệ có nhân tử (ii) Hệ (2.1.12) có nghiệm tuần hồn hệ (2.1.15, a) có nghiệm tuần hồn 2.2 ÁP DỤNG LÝ THUYẾT FLOQUET ĐỐI VỚI HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ PHI TUYẾN Xét DAEs phi tuyến dạng đặc biệt Ax(t ) Bx(t ) h( x(t ), x(t ), t ) 0, t J : [t0 , ) , với phần tuyến tính có hệ số số A, B L( Chính xác hơn, giả sử h : G J m m (2.2.1) ) phần phi tuyến tính nhỏ liên tục có Jacobians hy ( y, x, t ), hx ( y , x ,t ) phụ thuộc liên tục vào đối số chúng G m m mở Hơn nữa, giả sử N : ker A ker hy ( y, x, t ), ( y, x, t ) G J , cho với phép chiếu P L( m (2.2.2) ) dọc theo N đồng thức h( y, x, t ) h(Py, x, t ) Bổ đề [13] Giả sử 0G với tồn ( ) cho ( y, x, t ) G J , Py x ( ) h( y, x, t ) ( Py x ) (2.2.3) hx ( y, x, t ) , (2.2.4) hy ( y, x, t ) , Giả sử cặp ma trận A, B quy số tất giá trị riêng hữu hạn nằm , nghĩa (det( A B) ) Khi đó, nghiệm x (t ) hệ (2.2.1) ổn định tiệm cận (theo nghĩa Lyapunov) Chứng minh: Hiển nhiên h(0, 0, t ) x (.) thoả mãn (2.2.1) Từ (2.2.4) hx (0, 0, t ) hy (0,0, t ) 46 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 50 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 51 of 16 Khơng tính tổng qt ta chọn P Pcan phép chiếu chuẩn tắc lên S dọc theo N Đặt Q I P Qcan G A BQcan ta có: G1 A Pcan ; G 1BQcan ; Qcan QcanG 1B Từ hệ (2.2.1): Ax Bx h( x, x, t ) APx BQPx Bx h ( x, x, t ) ( A BQ)Px Bx h ( x, x, t ) Px G 1 Bx G 1h( x, x, t ) ( Px) PG 1 BPx QG 1 BPx G 1 BQx G 1h( x, x, t ) ( Px(t )) PG 1 BPx(t ) Qx(t ) G 1h( x, x, t ) ( Px(t )) PG 1 BPx(t ) ( P Q)G 1h( x, x, t ) Qx(t ) ( Px(t )) PG 1 BPx(t ) PG 1h( x, x, t ) Qx (t ) QG 1h( x, x, t ) Vì S N m nên hệ tương đương: 1 1 ( Px(t )) PG BPx(t ) PG h( x, x, t ) Qx(t ) QG 1h( x, x, t ) Đặt u Px(t ) , v Qx(t ) U (t0 ) Px(t0 ) imP; x u v Từ giả thiết h( x, x, t ) h( Px, x, t ) h(( Px), x, t ) (vì P hằng) h(u, u v, t ) Khi hệ cho (2.2.1) u(t ) PG 1 Bu (t ) PG 1h(u (t ), u (t ) v(t ), t ) (2.2.5) v(t ) QG 1h(u (t ), u (t ) v(t ), t ) (2.2.6) u (t0 ) imP (2.2.7) Nếu u (.) C1 , v(.) C nghiệm (2.2.5) - (2.2.7) khoảng t0 , T u (t ) Pu (t ) v(t ) Qv(t ) x(.) u(.) v(.) C1N thỏa mãn (2.2.1) Hiển nhiên (2.2.5) – (2.2.7) có nghiệm tầm thường u (t ) 0, v (t ) 47 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 51 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 52 of 16 Từ (2.2.6) v QG 1h(u (t ), u (t ) v (t ), t ) ( u, u m ) Sử dụng định lý hàm ẩn ta tìm hàm : B(0, u ) B(0, u ) J B(0, v ) thỏa mãn tính chất sau: (1) (u, u, t ) QG 1h(u, u (u, u, t ), t ) u ñu , u ñu , t J , (2) (0,0, t ) , (3) (u, u, t ) Q (u, u, t ) , (4) liên tục với đạo hàm riêng u , u , (5) (0, 0, t ) 0, u (0, 0, t ) , (6) với có ( ) cho u u ( ) kéo theo (u, u, t ) ( u u ) với t J Tiếp theo, ta viết lại (2.2.5), (2.2.6) dạng tương đương sau u(t ) PG 1BU (t ) PG 1h(u, u v(u, u, t ), t ) v(t ) (u, u, t ) (2.2.8) u(t ) g (u(t ), t ) (2.2.9) hàm g : B(0, u ) J B(0, u) có tính chất sau: (i) g (u, t ) PG 1Bu PG 1h( g (u, t ), u ( g (u, t ), u, t ), t với u B(0, ñu ), t J , (ii) g (0, t ) , (iii) g (u, t ) Pg (u, t ) , (iv) g liên tục với đạo hàm riêng gu' nó, (v) gu (0, t ) PG 1B , (vi) với có g ( ) cho u g ( ) suy g (u, t ) PG 1Bu u với t J Đặt g (u, t ) g (u, t ) PG 1Bu , nhờ (2.2.9) ta có u(t ) g (u, t ) PG 1 48 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 52 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 53 of 16 PG 1Bu g (u, t ) (2.2.10) Đặt M PG 1 B MP PM M Từ giả thiết giá trị riêng hữu hạn cặp (A,B) C r giá trị riêng không tầm thường M có phần thực âm ( m r giá trị riêng rank A r ) Khơng gian riêng N có số nhiều m r Theo [7.p.57] z1 , z2 C C 1 z1 , C 2 z2 với C ma trận vuông cấp m không suy biến z1 , z2 cho với z imP để Re Mz, z C z C Đặt W (u(t )) u(t ) C Pu(t ) C Pu(t ), Pu (t ) (2.2.11) C C 1 Pu (t ), C 1 Pu (t ) , với t t0 , T : d d W (u (t )) Pu (t ), Pu (t ) C dt dt d C 1 Pu (t ), C 1 Pu (t ) dt ' C 1 Pu (t ) , C 1 Pu (t ) C 1 Pu (t ), (C 1 Pu (t )) ' Re (C 1 Pu (t )) ', C 1Pu (t ) 1 2 1 Re C Pu '(t ), C Pu (t ) Thay u Mu(t ) g (u,(t ), t ) ta có : d W (u(t )) Re C 1PMu (t ), C 1Pu (t ) dt 2Re C 1P.g (u(t ), t ), C 1Pu(t ) 2Re C 1Mu (t ), C 1u (t ) 2Re C 1 gu (t ), t ), C 1u (t ) 2 u (t ) C C 1 g (u(t ), t ) C 1u (t ) 2 2 2 u (t ) C C 1 u (t ) u (t ) C 2 u (t ) C C 1 C u (t ) C 2 (2 ) u (t ) C Chọn đủ nhỏ: 2 ) 2 , 49 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 53 http://www.Lrc-tnu.edu.vn m Header Page 54 of 16 Khi d W (u (t )) (20 u (t ) C 2 0W (u (t )) dt Tích phân vế W (u(t )) e (t t )W (u(t0 )) u (t ) e (t t ) u (t0 ) C 0 0 Với g ( ) , hệ (2.2.1) với điều kiện đầu Px(t0 ) Px0 u0 u(t0 ) có nghiệm x(t ) xác định [t0 , ) Lại x(t ) u (t ) ( g (u (t ), t ), u (t ), t ), t [t0 , ) x(t ) K1 u (t ) C x(t ) K1e 0 (t t0 ) u (t0 ) C x(t ) e 0 ( t t0 ) K1 px x(t ) e 0 (t t0 ) K1 c 1 px C x(t ) e 0 (t t0 ) K1 c 1 px C (t ) x ổn định tiệm cận (theo nghĩa Lyapunov) Bây xét trường hợp phương trình phi tuyến tính dạng f ( x '(t ), x(t ), t ) , với f : G m , G mm m (2.2.12) mở liên thông, f ( y, x, t ) f ( y, x, t T ) với ( x, y) G, t Giả sử f đạo hàm riêng f y, f x, f yy , f xx , f yx tồn liên tục G Ngoài ra, giả sử ker f y( y, x, t ) : N (t ) trơn, giả sử P(t ) trơn phép chiếu tuần hoàn dọc theo N (t ) , giả sử (2.2.12) có số Bây giờ, giả sử x C1N T-nghiệm tuần hồn (2.2.12), với tính chất ổn định xét Để đạt định lý giống định lí biết Lyapunov ODEs để đảm bảo nghiệm tuần hoàn ổn định với điều kiện định Vì vậy, chúng tơi xét phương trình tuyến tính nhất: A(t ) X (t ) B(t ) X (t ) P (0)( X (0) I ) A(t ) : f y( x (t ), x (t ), t ), B(t ) : f x( x (t ), x (t ), t ) (2.2.13) (2.2.14) ma trận đơn đạo X (T ) 50 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 54 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 16 Định lý [13] Giả sử hệ phương trình f ( x ', x, t ) với giả thiết từ (1)– (6) có nghiệm tuần hồn x (t ) Nếu ma trận Monodromy X (T ) hệ f y' ' ( x , x , (t ) X ' (t ) f x' ( x , x , (t ) X (t ) P(0)( X (0) I ) có tất giá trị riêng thuộc z : z 1} x (t ) ổn định tiệm cận (theo nghĩa Lyapunov) Chứng minh Theo định lý 2.1.2 (iii) ta ln tìm ma trận F C1N ( , L(C m )) E C ( , L( m )) T tuần hồn khơng suy biến, để biến đổi hệ A(t ) x(t ) B(t ) x(t ) (2.2.15) dạng Kronecker với hệ số hằng: Ir W0 x '(t ) 0 x(t ) I mr Tiếp theo ta áp dụng tương tự F & E cho phương trình phi tuyến tính: Ta tuyến tính hóa phương trình f ( x (t ) y, x (t ) x, t ) A(t ) y B (t ) x h( y , x, t ) (2.2.16) h xác định ( x, y) lân cận (0,0) , t h(0, 0, t ) h trơn f thỏa mãn : hy (0, 0, t ) 0, t hx (0, 0, t ) h ( y , x, t ) C ( x y ) (2.2.17) h( y, x, t ) h( p(t ) y, x, t ) ; với x C1N h( x(t ), x(t ), t ) h(P( x)(t ) Px(t ), x(t ), t )) Ta xét nghiệm phương trình: A(t ) x(t ) B(t ) x(t ) h( x, x, t ) (2.2.18) Với ma trận E (t ) phép biến đổi x F (t ) x(t ) ta nhận 51 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 55 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 16 I W0 x 0 x(t ) h( x, x, t ) I (2.2.19) h( y, x, t ) E (t )h( P(t ) F (t ) y P(t )F (t ) x, F (t ) x, t ) h y ( y, x, t ) E(t )hy ( P(t ) F (t ) y P(t ) F (t ) x, F (t ) x, t ) P(t ) F (t ) N ker A hy ( y, x, t ) (vì ker f ker B(t ) F (t ) ker A(t ) F (t ) ker A(t ) N ) Từ (2.2.17) h ( y, x, (t ) C ( x P y ) lại X (T ) có tất giá trị riêng thuộc z : z 1} giá trị riêng hữu hạn cặp A, B C Áp dụng bổ đề hệ thức (2.2.19), (2.2.19) có nghiệm ổn định tiệm cận (theo nghĩa Lyapunov) nghiệm (2.2.18) ổn định tiệm cận x T-tuần hoàn ổn định tiệm cận (theo nghĩa Lyapunov) điều phải chứng minh Ví dụ Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính x1 x1 x2 x1 x3 ( x3 1)sin t x2 x1 x2 x2 x3 ( x3 1) cos t 2 x1 x2 x3 có nghiệm 2 -tuần hoàn x* (t ) (sin t ,cos t ,0)T 1 0 f y f ( y, x, t ) 0 0 f x( y, x, t ) 2x 1 x2 sin t cos t 52 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 56 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 16 ker f y( y, x, t ) , z3 z z z1 0 z1 ta có z2 z2 0 0 z 0 z3 z1 im f y( y, x, t ) z2 z1 , z2 Đặt N ker f y( y, x, t ) , z3 z Rõ ràng N S ( x) z : f x( y, x, t ) z im f y( y, x, t ) z : x1 z1 x2 z2 z3 0 S hệ cho qui số sin t Dễ dàng kiểm tra x (t ) cos t nghiệm 2 tuần hoàn hệ cho 0 Ta xét tính chất ổn định tiệm cận nghiệm Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính A (t ) X (t ) B (t ) X (t ) P (0) X (0) 1 1 0 với A , B 2sin t 0 0 ( ) 1 0 0 cos t 53 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 57 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 16 ta có N z S z 3 : z1 z2 0 , z3 z : (2sin t ) z1 (2cos t ) z2 z3 0 P phép chiếu tắc lên S dọc theo N P 2sin t ta tính 0 0; 2 cos t 0 Q 0 0 2sin t cos t 0 1 G A BQ G 2sin t cos t 2sin t 1 Pu PG B Pu hệ ( ) 1 Qu QG B Pu 0 0 2 cos t ( ) u e (1i ) t u1 u1 u2 (1i ) t u2 e u2 u1 u2 Để ý ( ) e (1i ) t có ma trận chuẩn hóa t U (t ) e (1 i ) t 0 0 Ma trận ( ) là: e (1i )t X (t ) P (t )U (t ) P (0) 2sin t.e (1i )t e (1i )2 Ma trận đơn đạo X (2 ) e (1i )2 2e (1i )2 (1 i ) t e 2cos t.e (1i )t e2 0 0 0 e 2 2e2 0 0 0 0 Dễ thấy X (2 ) có giá trị riêng 1 2 e2 , 3 thuộc z : z 1 sin t theo định lý x (t ) cos t ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov 0 54 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 58 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 16 KẾT LUẬN Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân ứng dụng nhiều thực tế đặc biệt lĩnh vực kinh tế khoa học kĩ thuật, sinh thái học mơi trường học,… Vì lý thuyết ổn định nhiều nhà khoa học quan tâm phát triển mạnh theo hai hướng ứng dụng lý thuyết Những kết thành tựu đạt lĩnh vực nhiều sâu sắc Trong phạm vi luận văn, tác giả cố gắng trình bày số vấn đề việc áp dụng lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số dạng tổng quan tương đối đầy đủ Nhiều vấn đề lý thuyết ổn định phương trình vi phân đại số cịn chưa làm sáng tỏ Ví dụ: Phương pháp thứ Lyapunov, phương pháp thứ hai Lyapunov cho phương trình vi phân đại số áp dụng nhiều toán thực tế, kỹ thuật, hoá học, vật lý,….tác giả hy vọng tiếp tục tiếp cận thời gian tới Do thời gian kiến thức cịn hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận được ý kiến đóng góp q báu thầy giáo bạn đồng nghiệp 55 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 59 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2009 Đào Thị Liên, Về ổn định hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân đại số, (Luận án tiến sĩ), ĐHSP Hà Nội, 2004 Hoàng Nam, Lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số tuyến tính quy số 1, (Luận án tiến sĩ), ĐHSP Hà Nội, 2005 Vũ Tuấn (2002),“Tổng quan phương trình vi phân đại số”; Thơng báo khoa học trường Đại học, Toán-Tin học, Bộ GD&ĐT, trang 7-13 E Griepentrog and R März,“Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment”, Teubner-Texte Math 88, Leipzig 1986 C.W Gear, L.R Petzold (1984) ,“ODE methods for the solution of differential algebraic systems”, SIAM J Numer Anal., 21, pp 716 – 728 M Hanke, E Griepentrog, and R März,“Berlin Seminar on DierentialAlgebraic Equations”, Seminarbericht 92-1, Humboldt-Universität, Berlin, 1992 G.Floquet ,„„ Sur les équation differentielles linéeires a coecientsperiodiques‟‟, Ann, Sci, École Norm Sup, 12, 47-89, 1883 A.M Lyapunov,“ The General Problem of the Stability of Motion”, Taylor & Francis, London, 1992 (Originally: Kharkov, 1892, Russian) 10 L.S Pontryagin,“Gewöhnliche Differentialgleichungen”, Berlin 1965 11 J P La Salle, S Lefschetz,“Stability by Lyapunov‟s Drect Method with Application”, Academic Press, NewYork,1961 12 C Tischendorf, On the stability of solutions of autonomous index-1 tractable and quasilinear index-2 tractable DAEs Circuits Systems Signal Process 13 (1994), 139-154 13 R Lamour R Marz and R Winker (1986), How floquet- theory applies to Index differential-algebraic equations, J of Math Analysis and Applications 217, 372-394 56 Số of hóa16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 60 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 61 of 16 57 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 61 of 16 http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... Nội dung chương hệ thống kết lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân thường kiến thức hệ phương trình vi phân đại số Chương Lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân đại số số Đây nội dung... với t I gọi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên Trường hợp A, B L( n ) ta gọi hệ hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số Ví dụ Xét hệ x1 x1... với hệ số liên tục tuần hồn, hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính quy số với hệ số liên tục, tuần hoàn khả quy Có thể biến đổi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính quy số với hệ số liên