Phương trình hàm cauchy cộng tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU NHÂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 1: TS Phan Đức Tuấn Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sỹ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích toán học nhà toán học đặc biệt quan tâm Phương trình hàm bao gồm nhiều dạng, số dạng phương trình hàm Cauchy đông đảo giáo viên dạy chuyên học sinh khiếu toán quan tâm, xuất phương trình hàm Cauchy đề thi nhiều Trong kì thi toán với qui mô rộng lớn dành cho học sinh khối Trung học phổ thông chuyên toán nói chung học sinh khiếu toán nói riêng kì thi học sinh giỏi toán, Olympic toán quốc gia quốc tế, Olympic toán khu vực, thường gặp dạng toán khác có liên quan đến chủ đề phương trình hàm Cauchy Hiện nay, có nhiều sách viết phương trình hàm Cauchy nhiều tác giả khác Tuy nhiên việc nghiên cứu phương trình hàm Cauchy ứng dụng điều không thừa Để tăng thêm nguồn tài liệu tham khảo cho đội ngũ giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán học sinh có khiếu toán.Tôi cố gắng nghiên cứu thêm chuyên đề Đề thi học sinh giỏi toán từ cấp Trung học phổ thông trở lên có toán khó để thử thách trí tuệ thí sinh Và toán khó thường rơi vào phương trình hàm Bởi để giải toán dạng việc cần nắm lý thuyết sở phải có nhiều kĩ cách giải dạng phương trình hàm Cauchy Xuất phát từ vấn đề nêu phương trình hàm Cauchy ứng dụng nó, định chọn đề tài nghiên cứu luận văn với tên: “PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH” 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm nghiên cứu phương trình hàm Cauchy cộng tính Hệ thống số toán giải phương trình hàm Cauchy cộng tính Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính vào việc giải tìm nghiệm lớp toán phương trình hàm có liên quan Một số điểm cố gắng đưa vào luận văn - Một số định nghĩa liên quan đến phương trình hàm Cauchy cộng tính, chứng minh chặt chẽ định lý liên quan - Làm rõ tính hiệu phương trình hàm Cauchy cộng tính, sâu số toán cụ thể - Đưa nhiều tập cụ thể để làm nỗi bật tính hiệu quả, tính nhanh chóng phương trình hàm Cauchy cộng tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương trình hàm Cauchy cộng tính Phạm vi nghiên cứu đề tài phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác Hệ thống toán liên quan Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác - Tham gia buổi seminar hàng tuần để trao đổi kết nghiên cứu - Thu tập đề toán thi có liên quan đến phương trình hàm Cauchy cộng tính, giải toán chưa có lời giải tham khảo Bố cục đề tài Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận phụ lục Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ứng dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính Tổng quan tài liệu nghiên cứu Luận văn tham khảo số tài liệu khoa học tiếng Việt tiếng Anh phương trình hàm Cauchy cộng tính Hiện nước có công trình nghiên cứu phương trình hàm Cauchy nói chung phương trình hàm Cauchy cộng tính nói riêng Tuy nhiên công trình khoa học chưa tổng hợp nhiều ứng dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính Vì việc nghiên cứu, tổng hợp ứng dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính cách rõ ràng, hệ thống cụ thể cần thiết Kết nghiên cứu đề tài giúp người học toán dễ dàng việc hình dung tính hữu ích việc dạy chuyên đề phương trình hàm nói chung phương trình hàm Cauchy cộng tính nói riêng CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 1.1.1 Các phương trình hàm Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số Một vài ví dụ phương trình hàm là: Tìm hàm số f thỏa mãn phương trình sau a, f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R b, f (x + y) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R c, f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R d, f (x + y) + f (x − y) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R e, f (x + y) + f (x − y) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R Phạm vi phương trình hàm bao gồm phương trình vi phân, phương trình khác phương trình lặp, phương trình tích phân Trong luận văn không bao gồm hết chủ đề Phương trình hàm phạm vi toán học có 260 năm 5000 viết xuất lĩnh vực Phương trình hàm xuất tài liệu lúc với lý thuyết hàm số đại Năm 1747 1750, D’Alembert công bố ba báo, viết phương trình hàm (xem Acze’l (1966)) Phương trình hàm nghiên cứu D’Alembert (1747), Euler (1768), Poisson (1804), Cauchy (1821), Abel (1823), Darbou (1875) nhiều nhà toán học khác Hilbert (1902) đề nghị kết nối với vấn đề thứ ông lý thuyết phương trình vi phân cung cấp kĩ thuật tinh gọn có hiệu để giải vấn đề phương trình hàm Thúc đẩy lời đề nghị Hilbert nhiều nhà nghiên cứu phương trình hàm có hướng giải khác phương trình hàm mà giả định giải thích Nổ lực đưa lý thuyết đại phương trình hàm Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực toán học đại, phát triển mạnh sáu thập kỉ qua Để giải phương trình hàm nghĩa tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình hàm Để có nghiệm phương trình hàm thường phải giới hạn cụ thể (như khả tích, bị chặn, liên tục, khả vi đơn điệu) ẩn hàm 1.1.2 Nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính Định nghĩa 1.1.1 Một hàm số f : R → R gọi hàm số cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R Định nghĩa 1.1.2 Một hàm số f : R → R gọi hàm số tuyến tính có dạng: f (x) = cx với x ∈ R, c số tùy ý Định lý 1.1.1 (xem [5]) Cho hàm số f : R → R hàm liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) f tuyến tính, nghĩa f (x) = cx c số tùy ý Định nghĩa 1.1.3 Một hàm số f : R → R gọi khả tích địa phương khả tích khoảng hữu hạn Định nghĩa 1.1.4 Một hàm số f : R → R gọi hữu tỷ f (rx) = r f (x), ∀x ∈ R, ∀r ∈ Q Q tập số thực hữu tỷ Với định nghĩa này, ta có định lý sau (1.1) Định lý 1.1.2 (xem [5]) Cho hàm số f : R → R nghiệm phương trình Cauchy cộng tính Khi đó, f hữu tỷ Ngoài ra, f tuyến tính tập số hữu tỷ Q Định lý 1.1.3 (xem [5]) Cho f nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Nếu f liên tục điểm f liên tục điểm Ta biết tất nghiệm khả tích địa phương phương trình hàm Cauchy cộng tính tuyến tính Ta đưa chứng minh ngắn cách sử dụng tham số cung cấp Shapiro (1973) Giả sử f nghiệm khả tích địa phương phương trình Cauchy cộng tính Do f (x + y) = f (x) + f (y) thỏa mãn với x y R Từ điều sử dụng điều kiện khả tích địa phương f , ta y y f (x) = f (x)dz y y f (x)dz = f (x).z 0 = y f (x) − = y f (x) Do y y f (x) = [ f (x+z)− f (z)]dz y y f (x + z)dz − f (z)dz = 0 f (x + z) = f (x) + f (z) ⇒ f (x) = f (x + z) − f (z) Đặt u = x + z, ta x+y y f (u)d(u) − f (z)dz y f (x) = x x+y 0 y f (u)d(u) + f (u)d(u) − f (z)dz = x+y x x y f (u)d(u) − f (u)d(u) − f (z)dz = 0 Bên phải đẳng thức không thay đổi hoán đổi x y Do đó, ta suy y f (x) = x f (y), ∀x, y ∈ R f (x) = c c số tùy ý x Điều có nghĩa f (x) = cx, ∀x ∈ R\ {0} Khi đó, cho x = 0, ta Cho x = y = (1.1), ta nhận f (0) = Cùng với điều điều nêu ta kết luận f hàm tuyến tính R Định lý 1.1.4 (Xem [5]) Cho f nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Nếu f liên tục điểm f tuyến tính, nghĩa f (x) = cx, ∀x ∈ R 1.1.3 Nghiệm không liên tục phương trình hàm Cauchy cộng tính Định nghĩa 1.1.5 Đồ thị hàm số f : R → R tập hợp G = {(x; y)/x ∈ R, y = f (x)} Nó tập mặt phẳng tọa độ R2 ) Định lý 1.1.5 (xem [5]) Đồ thị nghiệm không tuyến tính f : R → R phương trình Cauchy cộng tính trù mật khắp nơi mặt phẳng R2 Định nghĩa 1.1.6 Cho S tập hợp số thực cho B tập S Khi đó, B gọi sở Hamel S phần tử S tổ hợp tuyến tính hữu tỷ hữu hạn B Nếu tập hợp S tập hợp tập số thực R sử dụng tiên đề chọn, người ta sở Hamel B R tồn Chứng minh phần nằm phạm vi luận văn Có liên kết chặt chẽ hàm số cộng tính sở Hamel Đưa nột hàm số cộng tính điều kiện đủ giá trị riêng sở Hamel giá trị tùy ý cho trước Đây nội dung hai định lý Định lý 1.1.6 (xem [5]) Cho B sở Hamel R Nếu hai hàm cộng tính có giá trị phần tử B chúng Định lý 1.1.7 (Xem[5]) Cho B sở Hamel R Cho g : B → R hàm số tùy ý xác định B tồn hàm số cộng tính f : R → R cho f (b) = g(b) với b ∈ B 1.1.4 Tiêu chuẩn khác cho tính tuyến tính Định lý 1.1.8 (Xem [5]) Nếu hàm số cộng tính thực f bị chặn từ phía đơn điệu tuyến tính Định lý 1.1.9 (xem[5]) Nếu hàm cộng tính thực f bị chặn đoạn [a, b] f tuyến tính Nghĩa tồn số c cho f (x) = cx, ∀x ∈ R Định nghĩa 1.1.7 Hàm số f gọi hàm nhân tính f (xy) = f (x) f (y) với x, y Định lý 1.1.10 (xem [5]) Nếu hàm cộng tính f hàm nhân tính tuyến tính 1.1.5 Những hàm cộng tính mặt phẳng phức Định nghĩa 1.1.8 Hệ số phức C tập hợp cặp số thực có thứ tự (x, y) với phép cộng phép nhân xác định (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v), ∀x, y, u, v ∈ R (x, y).(u, v) = (xu − yv, xv + yu), ∀x, y, u, v ∈ R Định lý 1.1.11 (xem [5]) Nếu f : C → C hàm cộng tính tồn 10 c số thực tùy ý Định nghĩa 1.2.1 Một hàm số f : R → R gọi hàm số mũ thực thỏa mãn f (x + y) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R Cho n số nguyên dương Giả sử phương trình hàm f (x + y + nxy) = f (x) f (y) (1.5) −1 −1 y > Khi n → 0, phương n n trình hàm (1.21) dẫn đến phương trình hàm Cauchy mũ Phương trình nghiệm với số thực x > nghiên cứu Thielman (1949) Định lý 1.2.2 (Xem [5]) Mỗi nghiệm f phương trình hàm −1 −1 (1.21) nghiệm với số thực x > y > có dạng n n f (x) = f (x) = eA(ln(1+nx)) (1.6) A : R → R hàm cộng tính e số Logarit Napier Hệ 1.2.2 Mỗi nghiệm liên tục f phương trình hàm (1.21) −1 −1 thỏa mãn với số thực x > y > có dạng n n f (x) = f (x) = (1 + nx)k (1.7) k số tùy ý 1.2.2 Nghiệm phương trình Cauchy Logarit Bây xét đến phương trình hàm Cauchy thứ hai (1.15) Đây phương trình biết đến với tên gọi phương trình Cauchy Logarit Định lý 1.2.3 Nếu phương trình hàm (1.15), nghĩa f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\ {0} nghiệm tổng quát (1.15) cho 11 f (x) = A(ln |x|), ∀x ∈ R\ {0} (1.8) A hàm cộng tính Chứng minh: Trước hết đặt x = t y = t vào (1.15), ta f (t ) = f (t) Tương tự đặt x = −t y = −t vào (1.15), ta f (t ) = f (−t) Do ta thấy f (t) = f (−t), ∀t ∈ R\ {0} (1.9) Tiếp theo giả sử phương trình hàm (1.15) chứa x > y > Đặt x = es y = et (1.10) s = ln x t = ln y (1.11) Vì ta Đặt (1.31) vào (1.15) ta suy f (es+t ) = f (es ) + f (et ) Định nghĩa A(s) = f (es ) (1.12) sử dụng phương trình cuối ta có A(s + t) = A(s) + A(t), ∀s,t ∈ R Từ (1.33) ta có f (x) = A(ln x), ∀x ∈ R+ Từ f (t) = f (−t), ta thấy nghiệm tổng quát (1.15) f (x) = A(ln |x|), ∀x ∈ R\ {0} Chứng minh hoàn thành Những hệ sau kết định lý (1.2.3) (1.13) 12 Hệu 1.2.3 Nghiệm tổng quát phương trình hàm (1.15), nghĩa phương trình f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ cho f (x) = A(lnx) (1.14) A : R → R hàm cộng tính Hệ 1.2.4 Nghiệm tổng quát phương trình hàm (1.15) chứa ∀x, y ∈ R cho f (x) = 0, ∀x ∈ R (1.15) Chứng minh: Thay y = vào (1.15) ta f (0) = f (x) + f (0) ta có khẳng định nghiệm Hệ 1.2.5 Nghiệm tổng quát liên tục phương trình hàm (1.15), nghĩa phương trình f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\ {0} cho f (x) = c ln |x| , ∀x ∈ R\ {0} (1.16) c số thực tùy ý Định nghĩa 1.2.2 Hàm số f : R+ → R gọi hàm Logarit thỏa mãn phương trình f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ 1.2.3 Nghiệm phương trình Cauchy nhân tính Bây xét phương trình Cauchy cuối (1.16) Đây phương trình phức tạp ba phương trình xem xét chương Trong định lý sau ta cần khái niệm hàm Signum (hàm 13 dấu) Hàm Signum định nghĩa     sgn(x) =    −1 x>0 x=0 (1.17) x < Định lý 1.2.4 (Xem [5]) Nghiệm tổng quát phương trình hàm nhân tính (1.16), nghĩa phương trình f (xy) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R cho f (x) = (1.18) f (x) = (1.19) f (x) = eA(ln|x|) |sgn(x)| (1.20) f (x) = eA(ln|x|) sgn(x) (1.21) A : R → R hàm cộng tính e số Logarit Napier Chứng minh: Cho x = = y vào (1.16), ta f (0).[1 - f (0)] = f (0) = (1.22) f (0) = Tương tự, thay x = = y vào (1.16), ta f (1).[1 - f (1)] = f (1) = (1.23) f (1) = Cho x số thực dương, nghĩa x > từ (1.16) đưa đến √ f (x) = f ( x)2 (1.24) Giả sử tồn x0 ∈ R, x0 = cho f (x0 ) = Cho x ∈ R số thực tùy ý Từ (1.16) ta có 14 f (x) = f (x0 xx0 ) = f (x0 ) f ( xx0 ) = 0, ∀x ∈ R ta nghiệm (1.39) Giả sử f (x) = 0, ∀x ∈ R\ {0} Từ (1.43) ta có hai trường hợp f (0) = f (0) = Nếu f (0) = đặt y = vào (1.16), ta f (0) = f (x) f (0) Suy f (x) = 1, ∀x ∈ R Như vậy, ta có khẳng định nghiệm (1.40) Tiếp theo ta xét trường hợp f (0) = Trong trường hợp này, ta chứng minh f hàm khác tập hợp R\ {0} Giả sử ngược lại Tồn y0 tập hợp R\ {0} cho f (y0 ) = Thay y = y0 vào (1.16), ta có f (xy0 ) = f (x) f (y0 ) = Do f (x) = 0, ∀x ∈ R\ {0} Điều mâu thuẫn với giả thiết f hàm đồng Do đó, f không khác tập hợp R\ {0} Từ thực tế thấy f hàm khác R\ {0} (1.45) ta có f (x) > 0, ∀x > (1.25) Ta đặt x = es y = et (1.26) cho s = ln x t = ln y (1.27) Chú ý s, t ∈ R, x, y ∈ R+ Thay (1.47) vào (1.16), ta f (es+t ) = f (es ) f (et ) Do f (t) > 0, ∀t > 0, lấy Logarit hai vế phương trình f (es+t ) = f (es ) f (et ) 15 Ta có A(s + t) = A(s) + A(t), A(s) = ln f (es ), ∀s ∈ R (1.28) Như vậy, A hàm cộng tính Từ (1.48) (1.49), ta có f (x) = eA(ln|x|) , ∀x ∈ R+ (1.29) Từ (1.44) ta thấy hai f (1) = f (1) = Nếu f (1) = đặt y = vào (1.16), ta có f (x) = 0, ∀x ∈ R\ {0} trái với giả thiết f khác R\ {0} Do f (1) = Bây đặt x = −1 = y vào (1.16), ta f (1) = f (−1)2 f (−1) = f (−1) = −1 (1.30) Nếu f (−1) = đặt y = −1 vào (1.16), ta có f (−x) = f (x) f (−1) = f (x), ∀x ∈ R\ {0} Như (1.50) cho ta nghiệm f (x) = eA(ln|x|) , ∀x ∈ R\ {0} Từ f (0) = 0, ta có f (x) = eA(ln|x|) với x ∈ R\ {0} f (x) = với x = nghiệm xác định (1.41) Nếu f (−1) = −1 đặt y = −1 vào (1.16), ta có f (−x) = f (x) f (−1) = − f (x), ∀x ∈ R\ {0} Như (1.50) cho  ta nghiệm  eA(ln|x|)   f (x) =    A(ln|x|) −e ta xét ∀x ∈ R\ {0} Cùng với thực tế f (0) = 0, ta có x>0 x < 16   eA(ln|x|)   f (x) =    A(ln|x|) −e nghiệm xác định (1.42) x>0 x=0 x f (x) = |x|α sgn(x), α > Nếu ta có α = (1.54) cho f (x) = với x = qua tính liên tục f ta phải có f (0) = Do đó, ta có f = liệt kê (1.53) Từ (1.55) với α = ta có f (x) = 1, x > f (x) = −1, x < f liên tục 17 Tương tự, α < f cho (1.54) (1.55) thỏa mãn: lim f (x) = x→0+ ∞ liên tục Chứng minh hệ hoàn thành 18 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 2.1 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY TRONG GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Bài toán 2.1.1 Cho hàm số f : (0, +∞) → R đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau 1/ f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y > 2/ f (xy) = f (x) f (y) ∀x, y > Tìm hàm số f Kết luận: Vậy nghiệm cần tìm thỏa yêu cầu toán f (x) = f (x) = x, ∀x > Bài toán 2.1.2 Xác định tất hàm số f (x) liên tục R\ {0} thỏa mãn điều kiện f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\ {0} Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = a ln |x| , a ∈ R Bài toán 2.1.3 Xác định tất hàm số f (x) liên tục R = f (x)+2 f (y) , ∀x, y ∈ R thỏa mãn điều kiện f x+y Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = a x + b với a, b ∈ R Bài toán 2.1.4 Tìm tất hàm số f : R∗ → R cho f liên tục R∗ thỏa mãn điều kiện (x + y) f x+y = x f (x) + y f (y), ∀x, y ∈ R∗ Kết luận: 19 Vậy nghiệm toán f (x) = a + bx , ∀x ∈ R∗ Bài toán 2.1.5 Tìm hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn = 31 [ f (x) + f (y) + điều kiện sau f (0) = 1, f (1) = 2002 f x+y+z f (z)] ∀x, y, z ∈ R Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = 2001x + 1, ∀x ∈ R Bài toán 2.1.6 Tìm tất hàm số f xác định liên tục R = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R thỏa mãn điều kiện sau f x+y Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) ≡ f (x) = c.d x , ∀x ∈ R; c, d ∈ R+ Bài toán 2.1.7 Tìm tất hàm số f xác định liên tục √ + R thỏa mãn điều kiện sau f ( xy) = f (x)+2 f (y) , ∀x, y ∈ R+ Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = a ln x + b với a, b ∈ R Bài toán 2.1.8 Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x) f (y), ∀x, y ∈ R Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = ax − 1, ∀a ∈ R+ , x ∈ R Bài toán 2.1.9 Tìm hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện sau f (x) + f (y) − f (x + y) = xy, ∀x, y ∈ R Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = ax − x2 , ∀x ∈ R Bài toán 2.1.10 Tìm hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện sau f 31 x + 23 x = 13 f (x) + 32 f (y), ∀x, y ∈ R Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = a x + b, ∀x ∈ R Bài toán 2.1.11 Tìm cặp hàm f , g xác định liên tục (1, +∞) cho f (xy) = x.g(y) + y.g(x), ∀x, y > 20 Kết luận: Vậy cặp hàm f , g cần tìm thỏa yêu cầu toán f (x) = 12 xa ln x + bx, ∀x > g(x) = a ln x + b, ∀x > Bài toán 2.1.12 Cho hàm số g(x) xác định R, thỏa mãn hai điều kiện g(x) + g(y) = g(x + y) − xy − 1, ∀x, y ∈ R g(1) = Tìm tất số nguyên n = cho g(n) = n Kết luận: Vậy n = −2 Bài toán 2.1.13 Tìm tất hàm số f (x) xác định liên tục x+3y 3x+y R thỏa mãn điều kiện 2ex+y f x+y = e f (x)+e f (y), ∀x, y ∈ R Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = ax+b ex , b = g(0), a ∈ R, ∀x ∈ R Bài toán 2.1.14 Tìm tất hàm số f : R → R∗ cho f liên tục 2) , ∀x, y ∈ R R thỏa mãn điều kiện f (x2 − y2 ) = ff (x (y2 ) Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = ax , ∀x ∈ R, a > Bài toán 2.1.15 Tìm tất hàm số f xác định liên tục √ + R thỏa mãn điều kiện f ( xy) = f (x) f (y) với x, y ∈ R+ Kết luận: Vậy nghiệm toán g(u) ≡ f (x) = ea ln x+b = cxa với c = eb > 2.2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY TRONG GIẢI TOÁN HỌC SINH GIỎI Bài toán 2.2.16 (IMO 1979) Cho hàm số f : R → R Giả sử hai số thực x y thỏa mãn phương trình f (xy + x + y) = f (xy) + f (x) + f (y) Chứng minh f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R 21 Kết luận: Từ (2.80) (2.81) ta suy f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R (đpcm) Bài toán 2.2.17 (Học sinh giỏi Quốc gia 1999) Tìm hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn hai điều kiện sau 1/ f (0) = f (1) = 2/ f (x) + f (y) = f 2x + y , ∀x, y ∈ R Kết luận: Vậy nghiệm toán f (x) = 0, ∀x ∈ [0,1] Bài toán 2.2.18 (IMO 2002) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện [ f (x)+ f (z)].[ f (y)+ f (t)] = f (xy−zt)+ f (xt +yz), ∀x, y, z,t ∈ R Kết luận: Vậy nghiệm tìm toán f (x) ≡ f (x) ≡ f (x) = x2 , ∀x ∈ R Bài toán 2.2.19 (Singapor 2002) Tìm tất hàm số f : Q → R thỏa mãn điều kiện f (1) = 2003 f (x+y) = f (x)+ f (y)+2xy, ∀x, y ∈ Q Kết luận: Vậy nghiệm cần tìm toán f (x) = x2 + 2002x, ∀x ∈ Q Bài toán 2.2.20 (VMO 2009) Tìm hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện sau f (x − y) f (y − z) f (z − x) + = , ∀x, y, z ∈ R Kết luận: Vậy nghiệm cần tìm toán x ⇒ f (x) = −2.e−2b , ∀x ∈ R Bài toán 2.2.21 (Olympic toán sinh viên - 2010) Tìm tất 22 hàm số f (x) xác định thỏa mãn f (1) = 2010 f (x + y) = 2010x f (y) + 2010y f (x) với x, y ∈ R Kết luận: Vậy nghiệm cần tìm toán f (x) = 2010x x , ∀ x ∈ R 23 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu phương trình hàm Cauchy cộng tính, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm quan trọng phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác Tìm hiểu nghiên cứu số định lí, hệ quả, tính chất quan trọng nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác Hệ thống số ứng dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác Hơn nữa, luận văn tập hợp số dạng tập tiêu biểu kì thi học sinh giỏi Toán, cung cấp thêm số dạng tập xoay quanh việc tìm nghiệm phương trình hàm hàm lũy thừa, logarit nhân tính Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn không tránh sai sót khiếm khuyết Chúng mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng bảo vệ bạn 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (2005), Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Tuyển tập Đề thi THPT chuyên Toán, NXB Giáo Dục [4] Bộ Giáo Dục Đào tạo - Hội Toán Học Việt Nam (2004), Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học Tuổi trẻ, NXB Giáo Dục Tiếng Anh [5] Prasanna K.Sahoo, Palaniappan Kannappan (1991), Introduction to Functional Equations [6] Marek Kuczma (1991) , Functional Equations and How to Solve Them [7] Christopher G.Small (2001), Functional Equations in a single variable, World Scientific ... ý 1.2.2 Nghiệm phương trình Cauchy Logarit Bây xét đến phương trình hàm Cauchy thứ hai (1.15) Đây phương trình biết đến với tên gọi phương trình Cauchy Logarit Định lý 1.2.3 Nếu phương trình hàm... trình hàm nói chung phương trình hàm Cauchy cộng tính nói riêng 4 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 1.1.1 Các phương trình hàm Phương trình hàm phương trình mà ẩn... tượng nghiên cứu đề tài phương trình hàm Cauchy cộng tính Phạm vi nghiên cứu đề tài phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác Hệ thống toán liên quan Phương pháp nghiên cứu