Mở rộng phương trình hàm cauchy

Tính cấp thiết của đề tài Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học.. Nhu cầu giải phương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



Người hướng dẫn khoa học: TS.CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS TSKH Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học Việc giải phương trình hàm có lẽ là một trong những bài toán lâu đời của giải tích Nhu cầu giải phương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu có lý thuyết hàm

số, nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của toán học hoặc của các ngành khoa học khác

Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán ở các trường THPT chuyên Trong các kì thi olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic khu vực, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau liên quan đến phương trình hàm Để giải nó

ta không những cần nắm vững lý thuyết mà còn cần rất nhiều kỹ năng Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chuyên, các lớp chọn còn biết rất ít các phương pháp đề giải các phương trình hàm Đặc biệt, chúng ta còn rất ít cuốn sách về chuyên đề phương trình hàm và ứng dụng của chúng

Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng, bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương trình hàm một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình hàm một biến và phương trình hàm nhiều biến…

Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong mảng toán về phương trình hàm Rất nhiều phương trình hàm được giải quyết rất gọn gàng nhờ phép biến đổi đưa về phương trình hàm Cauchy Và khi xây dựng các công thức tính diện tích hình chữ nhật, công thức Logarit, công thức lãi đơn, lãi kép…ta sẽ bắt gặp phương trình hàm Cauchy

Từ những vấn đề trên, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên

cứu: “Mở rộng phương trình hàm Cauchy”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các mở rộng của phương trình hàm Cauchy

Nội dung của đề tài được chia thành 2 chương:

- Chương 1 giới thiệu về lịch sử phát triển và mở rộng phương trình hàm Cauchy

- Chương 2 giới thiệu về các ứng dụng của phương trình hàm Cauchy

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm Cauchy

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là xây dựng cơ sở lý thuyết

và hệ thống các mở rộng của phương trình hàm Cauchy và các ứng dụng của phương trình hàm cauchy

4 Phương pháp nghiên cứu

a Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Cauchy và ứng dụng

b Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các ứng dụng của phương trình hàm

1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382)

Nicole Oresme là một nhà toán học người Pháp, ông là một trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ông có những nghiên cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng Năm 1348, Nicole Oresme giành được học bổng của đại học Paris, cũng chính năm đó ở Châu Âu đã xảy ra nạn dịch Cái chết đen làm chết hơn 1/3 dân số của Châu Âu Năm 1355, ông đã có bằng thạc sĩ và được bổ nhiệm làm hiệu trưởng của trường Đại học Navarre của Pháp Ông là nhà khoa học lớn nhất ở thế kỉ XIV Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh như vậy

mà ông đã làm những điều quá sức phi thường, thật là một điều không tưởng

Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ rất sớm Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác định hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm Cụ thể

là, ông đã đặt bài toán tìm hàm số f x thỏa mãn với mọi ( )

và Nicole Oresme đã tìm được nghiệm của phương trình (1.1) là:

 

f x axb với ,a b là hằng số

1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667)

Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các phương trình hàm lúc đó Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học Gregory of Saint – Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và

đã tìm ra được hàm hypebol trong phương trình hàm:

1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885)

Augustin – Louis Cauchy được sinh ra tại Paris năm 1789, năm xảy ra cuộc cách mạng Pháp kéo dài đến 10 năm Khi Cauchy được 10 tuổi thì bố ông đã đem cả gia đình về quê sống ẩn dật cho đến năm 1800 Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm của Parthenon Ở đó vua Napoleon đã đặt ra nhiều giải thưởng và một kỳ

thi học sinh giỏi cho tất cả các trường của nước Pháp thuộc cùng một lớp Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất về các môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp và thơ La Tinh

Năm 1805, khi 16 tuổi Cauchy đã gặp được một thầy dạy Toán giỏi và đã thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa Năm

1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường và tuy mới 18 tuổi nhưng ông đã vượt qua các bạn học 20 tuổi, mặc dù các bạn này đã học 2 năm ở trường này rồi Năm 1813, ông dạy toán ở Trường Bách Khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp

Bước vào tuổi 27, ông là nhà toán học xuất sắc thời bấy giờ, ông nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực Tuy nhiên, ông chủ yếu được biết đến trên lĩnh vực toán học và được công nhận là một trong những người sáng lập nên toán học hiện đại

Mặc dù định nghĩa của Nicole Oresme về tuyến tính có thể được hiểu như là một ví dụ đầu tiên về một phương trình hàm, nó không đại diện cho một điểm khởi đầu cho lý thuyết về phương trình hàm Các chủ đề của phương trình hàm được đánh dấu một cách chính xác hơn từ công việc của Augustin – Louis Cauchy Một trong những phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình Cauchy có dạng:

f x( y) f x( ) f y( ),x y, 

(1.2) Nghiệm của phương trình (1.2) có dạng: f x ax

Phương trình (1.2) cũng đã được Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) và Legendre nghiên cứu khi tìm ra định lí cơ bản của hình học xạ ảnh và khi nghiên cứu phân phối Gauss về phân bố xác suất

G Darbour cũng đã nghiên cứu phương trình (1.2) và chỉ ra rằng chỉ

cần f x hoặc liên tục tại một điểm, hoặc bị chặn trên (hoặc dưới)  

trên một khoảng đủ nhỏ thì nghiệm của phương trình (1.2) vẫn là

f x kx Sau đó các nhà toán học còn đưa ra nhiều hạn chế nữa, nhưng việc chỉ ra hàm số không liên tục và thỏa điều kiện (1.2) mãi đến năm 1905 mới được thực hiện bởi nhà toán học người Đức Georg Hamel (1877 – 1954) với việc đưa ra hệ cở sở Hamel của tập

đúng với mọi n và với mọi x , trong đó các tổ hợp x

được xác định từ tam giác Pascal và được tính theo công thức:

mẹ ông đã để ông trên bậc thang lối vào nhà thờ Saint – Jean – leRond Theo tục lệ, ông được đặt tên là Jean le Rond, sau đó nhà thờ gởi ông vào trại trẻ mồ côi trông nom nhưng cũng sớm được nhận nuôi bởi vợ của người thợ làm kính Mặc dù, Destouches - cha ông

hỗ trợ tài chính và lo cho con trai của mình ăn học, ông đã không công khai thừa nhận Jean d'Alembert là con trai mình Năm 1738,

Jean le Rond vào trường luật, ông lấy tên Daremberg Sau đó ông

đã đổi thành d'Alembert Năm 1741, nhờ nỗ lực của mình, d'Alembert vào Viện Hàn lâm Khoa học Pháp như trợ lý thiên văn học, hai năm tiếp theo, ông đã thực hiện rất nhiều nghiên cứu về

cơ học và công bố nhiều bài báo và nhiều cuốn sách, năm 1746, d'Alembert được thăng chức Phó Uỷ viên của Hội đồng toán học

Trong lịch sử, Jean d'Alembert có thể được coi là tiền bối về nghiên cứu phương trình Cauchy Tuy nhiên, trong vấn đề về phương trình hàm, nó có vẻ tự nhiên hơn khi xem xét đóng góp của ông sau Cauchy

Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình hành, ông đã xét phương trình:

Tuy nhiên, khi thay x y 0 vào phương trình (1.4) ta

Cauchy đã giải được phương trình hàm trên với điều kiện ( ) g x là

hàm liên tục và được nghiệm là: g x( )0, g x( )cosax hoặc

Phương trình hàm là phương trình mà ẩn của nó là các hàm

số, giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình hàm đã cho và một số điều kiện cho trước

Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần chính:

- Miền xác định và miền giá trị

- Phương trình hàm

- Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, khả vi,…)

1.2.2 Định nghĩa phương trình hàm Cauchy

Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng

Hàm f thỏa mãn tính chất (1.17) được gọi là hàm cộng tính

Để có thể xác định hoàn toàn hàm cộng tính f trên , ta có thể

thay giả thiết f liên tục trên , bằng một trong các giả thiết: f chỉ liên tục tại một điểm, hay f là hàm đơn điệu trên ;

f(x + y)= (x)+ (y) f f x y, (0; ) (1.23)

là 2 Một hàm thỏa mãn một phương trình hàm trên một tập xác định cho trước thì được gọi là 1 nghiệm trên tập xác định đó Trong mục này chúng ta chỉ xem xét bài toán mở rộng phương trình hàm Cauchy cộng tính từ một miền nhỏ hơn đến một miền lớn hơn Ba phương trình hàm Cauchy còn lại có thể được mở rộng tương tự

1.3.2 Mở rộng của hàm cộng tính

Cho  a b là một đoạn trong , ,và cho f : a b,  là hàm cộng tính trên đoạn  a b với , ,, x y x y [a b, ] Liệu có tồn tại hàm cộng tính :A  sao cho A   x  x  x [a,b]( nghĩa

Tuy nhiên, nếu x y, ,và  a b, là khoảng bị chặn thì

xy không nhất thiết thuộc  a b,

Do đó, cách chứng minh định lí ở trên không áp dụng được cho khoảng bị chặn

Định lí sau đây là của Daróczy và Losonczi (1967)

Định lí 1.2 Cho f : 0,1  thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f x  y f x  f y  với mọi , , x y x y [0,1] Thì tồn tại 1 hàm cộng tính : A  sao cho:

   , 0,1 

A x  f x x

CHƯƠNG 2 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

2.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Nhiều phương trình hàm bắt nguồn từ các ứng dụng Hiện tại, bài toán trong khoa học và kỹ thuật thông thường là mô hình hóa bằng phương trình vi phân thường (ODE) hay là phương trình đạo hàm riêng (PDE) Trước khi ODE và PDE phát triển, các quá trình vật lý đã được phân tích bằng cách sử dụng hàm Khi quá trình vật lý

được mô hình hóa bằng hàm, chẳng hạn như, f , nó dùng biến số vào

x (hay là vài biến số vào) và biến số ra tương ứng f x    f x biến

số ra thoả mãn một số quan hệ tương ứng với một vài tính chất của quá trình vật lý thường đã được biết đến bằng cách quan sát Điều

này dẫn đến phương trình hàm cho hàm f Khi phương trình hàm

được dùng cho mô hình hóa, nó chẳng cần phải giả định tính khả vi của hàm và vì vậy, phương trình hàm thường đưa đến kết quả nhiều nghiệm hơn so với ODE và PDE Các giải pháp khác có thể phù hợp với khoa học và công nghệ Trong chương này, chúng ta trình bày một vài ứng dụng phương trình hàm Cauchy Trong mục 2, chúng ta

sẽ xây dựng công thức hình chữ nhật theo Legendre (1971) Trong khi xây dựng công thức này, chúng ta sẽ bắt gặp phương trình hàm Cauchy cộng tính 2 biến Trong mục 3, dùng tính chất cộng tính của tích phân xác định, chúng ta thấy rằng

1ln( )

x

t 



với x0, Khi suy ra công thức này, chúng ta dùng hàm Cauchy logarit Trong nhiều cuốn sách tích phân còn được sử dụng để xác định các logarit tự nhiên Mục 4 thoả thuận với phép lấy đạo hàm của công thức lãi đơn và lãi kép từ phương trình hàm Vì chất phóng xạ phân rã theo thời gian, thật hữu ích để có công thức tính toán lượng chất phóng xạ có mặt vào thời gian t Bằng cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy, ta đã xây dựng nên công thức phân rã phóng

xạ Từ mục 6 đến mục 8 sẽ trình bày 3 ứng dụng của phương trình hàm trong lý thuyết xác suất Trong mục 6, ta hình thành các đặc tính của xác suất phân phối bội theo thuật ngữ tính chất không nhớ Trong mục 7, ta sẽ tìm hiểu các đặc tính của xác suất phân phối chuẩn rời rạc Mục 8, một trong các đặc tính đầu tiên của xác suất phân phối chuẩn Chúng ta kết thúc chương này với một số nhận xét về các ứng dụng khác của phương trình hàm

2.2 DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT

Năm 1791, Legendre đã đưa ra công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng cách sử dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính Để đi đến được công thức tính diện tích hình chữ nhật, chúng ta cần các định lí sau:

Định lí 2.1 Hàm :[0, ) f  [0, ) thỏa mãn phương trình Cauchy cộng tính

( ) ( ) ( ) , [0, )

f xy  f x  f y x y 

Khi và chỉ khi ( ) f x cx , trong đó c là một hằng số thực không âm

2.3 XÁC ĐỊNH LOGARIT

Trong một giáo trình tính toán sơ cấp, logarit được xác định thông qua công thức tích phân Anton (H Anton 1992, p.469) định nghĩa logarit tự nhiên như sau:

1

1ln

 thực sự là lnx và ta không phải

công nhận nó như một định nghĩa Nó chỉ là một tính chất của tích phân Ta chỉ ra rằng tích phân trên là một hàm của x thỏa mãn phương trình hàm logarit Cauchy

Cho

1

:

1 ( ) , 0

y x

xy x x xy

2.4 CÔNG THỨC LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP

Tiếp theo ta xây dựng công thức lãi đơn bằng cách sử dụng hàm Cauchy cộng tính Cho f x t   , là giá trị tương lai của vốn x đã

được đầu tư với một khoảng chu kỳ lãi t Thì theo công thức lãi đơn, hàm f x t   , thỏa mãn

f x  y t  f x t  f y t

Và f x t s ( ,   ) f x t ( , )  f x s ( , )  x y t s , , ,  

Do đó ( , )f x t kxt

với k là một hằng số dương tùy ý có đơn vị

Bây giờ ta hình thành công thức lãi kép Cho f x t , là giá trị tương lai của vốn x đã được đầu tư với một khoảng chu kỳ thời gian Thì theo công thức lãi kép, hàm f x t , thỏa mãn phương trình

f x( y t, ) f x t( , )f y t( , ) (2.9)

ta giá trị tương lai của vốn x đầu tư với chu kỳ lãi t s tương đương với giá trị tương lai của vốn f x t đầu tư với chu kỳ lãi s Một cách  ,

tự nhiên ta có f x t liên tục trên mỗi biến Vì thế, hàm (2.9) được  ,cho bởi:

f x t ( , )  c t x ( ) (2.11) trong đó c :  

Cho m g0  là khối lượng ban đầu của một nguyên tố phóng xạ Cho m t là khối lượng hiện tại ở thời điểm t Ta giả định rằng tốc  

độ thay đổi của m t tỉ lệ thuận với   m t  

0 ( ) 0 ( ) ( ) ,

m f t   h m f t f h   t h 

Do đó f t (  h )  f t f h ( ) ( )

Từ áp dụng tại một điểm ta có thể xem như f là liên tục Thì tính

liên tục của phương trình hàm trên được cho bởi:

( ) t

f t e , trong đó α là hằng số thực

Hằng số α được gọi là hằng số phân rã

2.6 ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI BỘI

Trong phần này bằng cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy ta hình thành các đặc tính của phân phối bội theo thuật ngữ tính chất không nhớ

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối bội (hay biến ngẫu nhiên bội) nếu hàm mật độ xác suất của nó được cho bởi