Phương trình hàm Cauchy cộng tính và tính ổn định

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THANH THẢO PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: PGS TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 161 Header Page of 161 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực đời phát triển mạnh mẽ lịch sử ngành Giải tích Toán học Trong đó, phương trình hàm Cauchy dạng phương trình hàm bản, đóng vai trò nòng cốt phương pháp luận phương pháp giải cho hầu hết dạng toán liên quan A.M Legendre xem người đưa lời giải phương trình hàm Cauchy, đồng thời người khởi nguồn cho việc nghiên cứu lớp hàm cộng tính Có thể thấy tính chất hàm cộng tính có mối liên hệ chặt chẽ đến cách xác định lời giải phương trình hàm Cauchy cộng tính Vì việc nghiên cứu tính chất hàm cộng tính có ý nghĩa quan trọng lý thuyết phương trình hàm Cauchy nói riêng phương trình hàm nói chung Bên cạnh số cách tiếp cận phương trình hàm như: nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định dạng nghiệm cụ thể), nghiên cứu nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xác định nghiệm liên tục hay gián đoạn tính ổn định nghiệm phương trình hàm số hướng nghiên cứu tiếp cận phương trình hàm Chính tất lí nêu trên, chọn đề tài: “Phương trình hàm Cauchy cộng tính tính ổn định” để nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu – Nghiên cứu tính chất hàm cộng tính mối liên hệ hàm cộng tính với phương trình hàm Cauchy cộng tính Footer Page of 161 Header Page of 161 – Nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm Cauchy cộng tính 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Tính chất hàm cộng tính tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính Phương pháp nghiên cứu – Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo khoa học tài liệu internet có liên quan đến đề tài luận văn) để thu thập thông tin nhằm phục vụ cho việc phân tích, làm rõ vấn đề có đề tài – Nghiên cứu tài liệu thu thập được, tổng hợp hệ thống lại, đồng thời trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến Thầy hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Nội dung Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn gồm hai chương Chương Phương trình hàm Cauchy cộng tính Chương Tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính Footer Page of 161 Header Page of 161 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 1.1 GIỚI THIỆU Sự nghiên cứu hàm cộng tính bắt nguồn từ A.M Legendre – người tìm cách xác định lời giải phương trình hàm Cauchy f ( x + y )= f ( x) + f ( y ) với x, y ∈  Đến năm 1821, A.L Cauchy bắt đầu đề xuất nghiên cứu có tính hệ thống phương trình hàm Cauchy cộng tính sách Cours d’Analyse Hàm cộng tính nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu Vì chương này, tập trung nghiên cứu hàm cộng tính Đầu tiên ta định nghĩa phương trình hàm Sau xem xét phương trình hàm Cauchy cộng tính hàm cộng tính liên tục khả tích địa phương tuyến tính Hơn nữa, nghiên cứu dáng điệu hàm cộng tính phi tuyến không liên tục, từ chúng biểu dáng điệu lạ: đồ thị chúng trù mật mặt phẳng Tiếp theo, đề cập cách ngắn gọn sở Hamel ứng dụng việc xây dựng lớp hàm cộng tính không liên tục Chúng ta xem xét tiêu chuẩn khác để nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính tuyến tính Bên cạnh đó, chương đề cập đến số hàm cộng tính phức tạp khác Kết thúc chương tập hợp nhận xét, nơi nêu số vấn đề mở rộng phát triển liên quan tới phương trình hàm Cauchy cộng tính 1.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM Footer Page of 161 Header Page of 161 Phương trình hàm phương trình mà yếu tố chưa biết hàm Giải phương trình hàm nghĩa tìm tất hàm thỏa mãn phương trình hàm cho Và để thu lời giải hoàn chỉnh, hàm phải hạn chế điều kiện tự nhiên đặc biệt (chẳng hạn giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo hay đơn điệu) 1.3 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH Trong phần này, giới thiệu phương trình hàm Cauchy cộng tính xác định nghiệm quy Định nghĩa 1.1 Một hàm f :  →  gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính f ( x + y )= f ( x) + f ( y ) (1.1) với x, y ∈  Định nghĩa 1.2 Một hàm f :  →  gọi hàm tuyến tính có dạng f ( x) = cx ( ∀x ∈  ) với c số tùy ý Đồ thị hàm tuyến tính f ( x) = cx đường thẳng (không thẳng đứng) qua gốc tọa độ gọi tuyến tính Dễ thấy rằng, hàm tuyến tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy Vậy câu hỏi nảy sinh là, hàm tuyến tính có hàm khác thỏa mãn phương trình hàm Cauchy hay không? Chúng ta bắt đầu với việc chứng minh rằng, nghiệm hàm liên tục phương trình hàm Cauchy hàm tuyến tính Kết Cauchy khẳng định vào năm 1821 Footer Page of 161 Header Page of 161 Định lý 1.1 Cho f :  →  hàm liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Khi f tuyến tính; vậy, f ( x) = cx với c số tùy ý Lưu ý Định lý 1.1, sử dụng tính liên tục hàm f để kết luận f khả tích Tính khả tích hàm f làm cho nghiệm hàm phương trình hàm Cauchy cộng tính trở nên tuyến tính Vì vậy, hàm cộng tính khả tích tuyến tính Định nghĩa 1.3 Một hàm f :  →  gọi khả tích địa phương khả tích khoảng hữu hạn Có thể kết luận nghiệm khả tích địa phương phương trình hàm Cauchy cộng tính tuyến tính thông qua chứng minh biết Shapiro (1973) Mặc dù chứng minh Định lý 1.1 ngắn gọn vận dụng tính toán thông thường, nhiên chưa làm sáng tỏ vấn đề liên quan tính cộng tính tính tuyến tính Bây đưa chứng minh khác để hiểu rõ dáng điệu nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính Trước tiên, ta bắt đầu với định nghĩa sau Định nghĩa 1.4 Một hàm f :  →  gọi hữu tỷ f (rx) = rf ( x) (1.5) với x ∈  với số hữu tỷ r Định lý sau nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính hữu tỷ Định lý 1.2 Cho f :  →  nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Khi f hàm hữu tỷ Hơn nữa, f tuyến tính tập hợp số hữu tỷ  Footer Page of 161 Header Page of 161 Định lý 1.3 Cho f nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Nếu f liên tục điểm liên tục điểm Định lý 1.4 Cho f nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Nếu f liên tục điểm f tuyến tính; vậy, f ( x) = cx với x ∈  1.4 NGHIỆM KHÔNG LIÊN TỤC CỦA PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY CỘNG TÍNH Trong phần trước, nghiệm liên tục phương trình Cauchy cộng tính tuyến tính Hay nói cách khác, hàm cộng tính liên tục tuyến tính Thậm chí, nới lỏng điều kiện liên tục thành liên tục điểm, hàm cộng tính tuyến tính Trong nhiều năm, tồn hàm cộng tính không liên tục vấn đề bỏ ngỏ Các nhà toán học chứng minh hàm cộng tính liên tục, ví dụ hàm cộng tính không liên tục Mãi đến năm 1905, nhà toán học người Đức G Hamel thành công việc minh chứng tồn hàm cộng tính không liên tục Bây tìm hiểu nghiệm phi tuyến phương trình Cauchy cộng tính Đầu tiên, chứng tỏ nghiệm phi tuyến phương trình Cauchy cộng tính biểu thị dáng điệu kì lạ Định nghĩa 1.5 Đồ thị hàm f :  →  tập hợp = G ,y {( x, y ) | x ∈ = f ( x)} Định lý 1.5 Đồ thị nghiệm hàm phi tuyến f :  →  phương trình Cauchy cộng tính trù mật khắp nơi mặt phẳng  Footer Page of 161 Header Page of 161 Vậy đồ thị hàm cộng tính liên tục đường thẳng qua gốc tọa độ Trong đó, đồ thị hàm cộng tính phi tuyến trù mật mặt phẳng  Tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm sở Hamel để xây dựng hàm cộng tính gián đoạn Xét tập hợp { } S =∈ s |s = u + v + w 3, u , v, w ∈  với phần tử tập hợp tổ hợp tuyến tính hữu tỷ 1, 2, Hơn nữa, tổ hợp hữu tỷ Vì vậy, giả sử phần tử s ∈ S có hai tổ hợp tuyến tính hữu tỷ khác nhau, ví dụ s= u + v + w =+ u ' v ' + w ' 3, u u= ', v v ' w = w ' Để chứng minh điều lưu ý thì= giả thuyết dẫn tới (u − u ') + (v − v ') + ( w − w ') = Đặt a= (u − u '), b= (v − v ') = c ( w − w ') , ta thấy biểu thức thu gọn thành a+b +c = Tiếp theo, a= 0= b= c Thật vậy, biểu thức cho ta b +c = − a, bình phương hai vế, ta 2bc =a − 2b − 3c Điều kéo theo b c phải không Thật vậy, b c đồng thời khác không, chia hai vế cho 2bc thu Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 6= a − 2b − 3c 2bc Điều mâu thuẫn với số vô tỷ Nếu b = , a a+c = ; suy c = (vì = − số hữu tỷ trái với thực c tế số vô tỷ) Tương tự, c = , ta có b = Vì b c không Điều dẫn đến a=0 Nếu đặt { } B = 1, 2, , phần tử S tổ hợp tuyến tính hữu tỷ phần tử thuộc tập hợp B Khi đó, tập hợp B gọi sở Hamel tập hợp S Về mặt hình thức sở Hamel định nghĩa sau Định nghĩa 1.6 Cho S tập số thực B tập hợp S Khi B gọi sở Hamel S phần tử S tổ hợp tuyến tính hữu tỷ (hữu hạn) B Nếu tập hợp S tập hợp số thực  , sử dụng tiên đề chọn tồn sở Hamel tập hợp  Chứng minh điều nằm phạm vi tài liệu Có thể nhận xét rằng, tồn mối liên kết khăng khít hàm cộng tính sở Hamel Để mô tả hàm cộng tính, ta cần cho giá trị sở Hamel, giá trị phân bố tùy ý Đây nội dung hai định lý Định lý 1.6 Cho B sở Hamel  Nếu hai hàm cộng tính có giá trị phần tử B , chúng Footer Page 10 of 161 10 Header Page 12 of 161 Định lý 1.8 Nếu hàm cộng tính thực bị chặn phía đơn điệu tuyến tính Nhận xét 1.2 Lưu ý f bị chặn  f tuyến tính nên f ( x) = với x ∈  Thật vậy, giả sử x0 số cho f ( x0 ) ≠ Bằng phương pháp quy nạp chứng minh f ( nx0 ) = nf ( x0 ) với n ∈  Ta làm cho nf ( x0 ) lớn tùy ý ta tăng n Điều mâu thuẫn với tính bị chặn f ( x ) Vì f ( x ) = với x ∈  Trong định lý không giả sử f bị chặn  , ta giả sử f bị chặn khoảng đóng [ a, b ] với a, b ∈  Định lý 1.9 Nếu f hàm thực cộng tính bị chặn đoạn [ a, b] , f tuyến tính; vậy, tồn số f ( x ) = cx với x ∈  c cho Định nghĩa 1.7 Một hàm f gọi nhân tính f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) với x y Định lý 1.10 Nếu hàm cộng tính f hàm nhân tính, f tuyến tính Nhận xét 1.3 Từ nghiên cứu, thấy nghiệm liên tục, đơn điệu đo f :  →  phương trình hàm Cauchy cộng tính có dạng f ( x ) = cx , với c số thực tùy ý Vì chúng giải tích Chúng ta đồng thời biết phương trình hàm Cauchy cộng tính có nghiệm không quy Điều tùy thuộc vào thực tế nghiệm tổng quát phương trình hàm Cauchy cộng tính quy ước cách tùy ý sở Hamel cố định mở rộng  theo cách Vì vậy, tồn khả sau đây: Footer Page 12 of 161 11 Header Page 13 of 161 Nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính quy (trong trường hợp giải tích) không quy (trong trường hợp tính liên tục, không đơn điệu khoảng riêng không đo được) Một khả tương tự phát biểu cho nhiều phương trình hàm Tiêu biểu người ta giả sử tính chất quy yếu hàm chưa biết (chẳng hạn tính đo được, tính chất Baire, tính đơn điệu, tính liên tục) sử dụng phương trình hàm để dẫn tới tính chất quy bậc cao Kết trình gọi lý thuyết quy phương trình hàm Jarai (2005) đưa báo cáo tuyệt vời kết 1.6 HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG  Định lý 1.11 Nếu f :  →  hàm cộng tính mặt phẳng  tồn hàm cộng tính A1 , A2 :  →  cho f ( x= A1 ( x1 ) + A2 ( x2 ) , ∀x1 , x2 ∈  , x2 ) Định lý 1.12 Nếu f :  →  hàm cộng tính liên tục mặt phẳng  tồn số c1 , c2 cho f ( x1 , x= c1 x1 + c2 x2 , ∀x1 , x2 ∈  2) Kết làm mạnh việc làm yếu giả thiết tính liên tục hàm f :  →  Điều thể qua bổ đề sau Bổ đề 1.1 Nếu hàm cộng tính f :  →  liên tục theo biến liên tục điểm Theo kết này, thay tính tuyến tính hàm cộng tính giá trị thực mặt phẳng giả thiết tính liên tục theo biến Ngoài mở rộng Định lý hàm cộng tính n Footer Page 13 of 161 12 Header Page 14 of 161 Định lý 1.13 Nếu f :  n →  hàm cộng tính liên tục  n , tồn số c1 , c2 , , cn cho f ( x1 , x2 , , xn )= c1 x1 + c2 x2 + + cn xn , ∀x1 , x2 , , xn ∈  1.7 HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC Trong phần này, nêu số kết liên quan đến hàm cộng tính nhận giá trị phức mặt phẳng phức Định nghĩa 1.8 Hệ thống số phức  tập hợp cặp số thực có thứ tự ( x, y ) với phép cộng phép nhân định nghĩa ( x, y ) + ( u, v ) =( x + u, y + v ) ( x, y )( u, v ) =( xu − yv, xv + yu ) với x, y, u , v ∈  Như số thực viết thành x ( x,0 ) Cho i biểu thị số ảo ( 0,1) , viết lại biểu thức , y ) ( x,0 ) + ( 0,1)( y,0 ) ( x= thành ( x, y )= x + iy Nếu ta biểu thị vế trái phép biểu diễn z , ta có z= x + iy Số thực x gọi phần thực z kí hiệu Re z Tương tự, số thực y gọi phần ảo z kí hiệu Im z Nếu z số phức có dạng x + iy , số phức x − iy gọi liên hợp z kí hiệu z Một hàm tùy ý f :  →  viết thành f= ( z ) f1 ( z ) + if ( z ) , (1.9) với f1 :  →  f :  →  cho f1 ( z ) = Re f ( z ) f ( z ) = Im f ( z ) Nếu f hàm cộng tính, kết hợp (1.9) (1.10) ta có Footer Page 14 of 161 (1.10) 13 Header Page 15 of 161 f1 ( z1 + z= Re f ( z1 + z2 ) 2) = Re  f ( z1 ) + f ( z2 )  = Re f ( z1 ) + Re f ( z2 ) = f1 ( z1 ) + f1 ( z2 ) , f ( z1 + z= Im f ( z1 + z2 ) 2) = Im  f ( z1 ) + f ( z2 )  = f ( z1 ) + f ( z2 ) Im f ( z1 ) + Im f ( z2 ) = Định lý 1.14 Nếu f :  →  hàm cộng tính, tồn hàm cộng tính f kj :  →  ( k , j = 1, ) cho f ( z ) = f11 ( Re z ) + f12 ( Im z ) + if 21 ( Re z ) + if 22 ( Im z ) Định lý liên quan đến dạng hàm cộng tính liên tục giá trị phức mặt phẳng phức Định lý 1.15 Giả sử f :  →  hàm cộng tính liên tục, tồn số phức c1 c2 cho f ( z= ) c1 z + c2 z, (1.11) z biểu thị cho số phức liên hợp z Lưu ý rằng, không giống với hàm cộng tính liên tục nhận giá trị thực tập số thực, hàm cộng tính liên tục nhận giá trị phức mặt phẳng phức không tuyến tính Tính chất tuyến tính khôi phục có giả thiết điều kiện quy mạnh chẳng hạn tính giải tích khả vi thay cho tính liên tục Định nghĩa 1.9 Một hàm f :  →  gọi giải tích f khả vi  Định lý 1.16 Nếu f :  →  hàm cộng tính giải tích, tồn số phức c cho f ( z ) = cz vậy, f tuyến tính Footer Page 15 of 161 14 Header Page 16 of 161 CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 2.1 GIỚI THIỆU Một công thức phương trình biết áp dụng để làm mô hình cho tiến trình vật lý thay đổi nhỏ công thức phương trình gây nên thay đổi nhỏ kết tương ứng Khi điều xảy ra, nói công thức hay phương trình ổn định Ứng dụng điều Toán học, phương trình hàm phương trình hàm Cauchy cộng tính f ( x + y) − f ( x) − f ( y) = không với x, y ∈  xấp xỉ đúng, nghĩa f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≈ với x, y ∈  Điều phát biểu sau f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ ε (2.1) với ε số dương nhỏ tùy ý với x, y ∈  Chúng ta có thay đổi nhỏ phương trình cụ thể phương trình hàm Cauchy cộng tính có tác động nhỏ đến nghiệm Đây chất lý thuyết ổn định Trong chương này, đưa kết Hyers với định lý Th.M Rassias – định lý tổng quát hóa kết Hyers Chúng ta đồng thời số tổng quát hóa liên quan đến tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính 2.2 DÃY CAUCHY VÀ CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa 2.1 Một dãy { xn } số thực gọi dãy Cauchy với ε > , tồn số tự nhiên N cho với số tự nhiên n, m ≥ N , số hạng xn xm thỏa mãn Footer Page 16 of 161 15 Header Page 17 of 161 xn − xm < ε Định lý 2.1 Một dãy số thực hội tụ dãy Cauchy Ví dụ 2.1 Các dãy sau dãy Cauchy: ∞  n + 1 (a)   ,  n n=1 ∞ 1  1 (b) 1 + + + +  n ! n=1  2! 3! Ví dụ 2.2 Các dãy sau dãy Cauchy: (a) {( −1) } n ∞ n =1 , ∞ n  ( −1)  (b) n +  n   n =1 Bây ta nhắc lại cách tính tổng cấp số nhân Định lý 2.2 Cho r ∈ [ 0,1) , S n =1 + r + r + + r n−1 = 1− rn 1− r S =1 + r + r + + r n + = Hơn n −1 1− r ∞ Sn = ∑ r k < ∑ r k = S 2.3 ĐỊNH LÝ HYERS = k 0= k Năm 1942, Hyers thu kết quan trọng lý thuyết ổn định bắt nguồn từ toán Ulam Chúng ta nêu kết gốc Hyers định lý Footer Page 17 of 161 16 Header Page 18 of 161 Định lý 2.3 Nếu f :  →  hàm thực thỏa mãn f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) ≤ δ , ∀x, y ∈  với δ số dương đó, tồn hàm cộng tính A :  →  cho f ( x) − A( x) ≤ δ với x ∈  Để chứng minh định lý này, cần chứng tỏ (i) (ii) ( )   f 2n x  2n  x∈ ; ∞  dãy Cauchy với giá trị cố định n=1 Nếu A ( x ) = lim ( ), f 2n x 2n A hàm cộng tính  ; n→∞ (iii) Hơn nữa, A thỏa mãn f ( x) − A( x) ≤ δ với x ∈  ; (iv) A Nhận xét 2.1 Nói chung, chứng minh Định lý 2.3 với hàm f : E1 → E2 với E1 E2 không gian Banach Kết tiên phong D.H Hyers mô tả theo cách đây: phương trình hàm Cauchy f ( x + y = ) f ( x ) + f ( y ) ổn định với cặp không gian Banach Hàm ( x, y )  f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) gọi sai phân Cauchy hàm f Hàm với sai phân Cauchy bị chặn gọi gần cộng Footer Page 18 of 161 17 Header Page 19 of 161 tính (xấp xỉ cộng tính) (hay 𝜖 – cộng tính sai phân Cauchy bị  f 2n x  chặn số 𝜖) Dãy   gọi dãy Hyers-Ulam n   ( ) Nhận xét 2.2 2.4 TỔNG QUÁT HÓA CỦA ĐỊNH LÝ HYERS Có thể chứng minh kết ổn định tương tự Định lý Hyers (Định lý 2.3) hàm sai phân Cauchy bị chặn Aoki (1950) lần chứng minh kết hàm cộng tính Sau Rassias (1978) chứng minh kết tương tự cho ánh xạ tuyến tính không gian Banach Trong định lý đây, đưa kết Rassias khái quát hóa nhiều hoạt động lý thuyết tính ổn định phương trình hàm Định lý 2.4 Nếu f :  →  hàm thực thỏa mãn ( f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ δ x + y p p ) với số δ > đó, p ∈ [ 0,1) với x, y ∈  , tồn hàm cộng tính A :  →  cho 2δ p f ( x) − A( x) ≤ x − 2p với x ∈  Nhận xét 2.3 Nếu p = Định lí 2.4 trở thành Định lí 2.3 Nhận xét 2.4 Định lí 2.4 với p ∈  \ {1} Nếu p < , ta có A ( x ) = lim n→∞ ( ) f 2n x 2n  x Nếu p > , ta có A ( x ) = lim 2n f  n n→∞ 2 Footer Page 19 of 161    18 Header Page 20 of 161 Gajda (1991) đưa ví dụ để chứng tỏ Định lí 2.4 không với p = Ông thành công việc xây dựng ví dụ hàm liên tục bị chặn g :  →  thỏa mãn g ( x + y) − g ( x) − g ( y) ≤ x + y với x, y ∈  , với lim x →0 g ( x) = ∞ x Hàm g tiến gần Cụ thể, Gajda (1991) xây dựng hàm g sau Với số cố định θ > , cho g :  →  định nghĩa ∞ ( ) g ( x ) = ∑ − n φ n x , x ∈ , n =0 với hàm φ :  →  cho ≤ x < ∞ ⎧ 𝜃 ⎪6 𝜙(x) = 𝜃x − < x < ⎨6 ⎪ ⎩− 𝜃 − ∞ < x ≤ −1 (2.22) Cách xây dựng hàm g cho ta thấy Định lí 2.4 không p = Cụ thể, điều chứng minh thông qua Định lý sau Định lí 2.5 Hàm g định nghĩa thỏa mãn g ( x + y) − g ( x) − g ( y) ≤ θ ( x + y ) (2.23) với x, y ∈  Nhưng không tồn số δ ∈ [ 0, ∞ ) hàm cộng tính A :  →  thỏa mãn g ( x) − A( x) < δ x Footer Page 20 of 161 (2.24) 19 Header Page 21 of 161 với x ∈  Định lý 2.6 Tồn hàm liên tục f :  →  thỏa mãn f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ x + y với x, y ∈  , với lim x →∞ (2.25) f ( x) = ∞ x Nhận xét 2.5 Bất kì kết tương tự với Định lí 2.4 biết đến tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias phương trình hàm tương ứng Tính ổn định phương trình hàm cộng tính làm rõ toán Bài toán 2.1 Tính ổn định phương trình hàm Jensen Giả sử hàm f thỏa mãn  x + y  f ( x) + f ( y) ≤ε f −   (2.30) với ε số dương tùy ý cho trước với x, y ∈  Khi tồn hàm cộng tính A :  →  cho f ( x ) − A ( x ) − f ( ) ≤ 4ε , ∀x ∈  Lời giải Cho y = (2.30) ta  x  f ( x ) + f (0) f  − ≤ε 2 Tiếp tục thay x x + y vào (2.31), ta  x + y  f ( x + y ) + f ( 0) f ≤ ε , ∀x, y ∈  −   Ta có Footer Page 21 of 161 (2.31) 20 Header Page 22 of 161 f ( x ) + f ( y ) f ( x + y ) + f (0) f ( x) + f ( y)  x+ y − ≤ −f  2    x + y  f ( x + y ) + f (0) + f −   ≤ 2ε Suy f ( x ) + f ( y ) − f ( x + y ) − f ( ) ≤ 4ε hay f ( y ) − f ( x + y ) + f ( x ) − f ( ) ≤ 4ε (2.32) Đặt g= ( x ) f ( x ) − f ( ) , thay vào (2.32) ta g ( x + y ) − g ( x ) − g ( y ) ≤ 4ε Theo tính ổn định hàm cộng tính, tồn hàm cộng tính A :  →  cho g ( x ) − A ( x ) ≤ 4ε Suy f ( x ) − f ( ) − A ( x ) ≤ 4ε hay f ( x ) − A ( x ) − f ( ) ≤ 4ε Vì vậy, phương trình hàm Jensen có tính ổn định Bài toán 2.2 Tìm cặp hàm f , g :  →  thỏa mãn phương trình f ( x + y )= g ( x ) + g ( y ) , ∀x, y ∈  (2.33) Bài toán 2.3 Giả sử f , g :  →  hàm thỏa mãn f ( x + y) − g ( x) − g ( y) ≤ ε (2.35) với ε số dương tùy ý cho trước với x, y ∈  Khi tồn hàm cộng tính A :  →  cho f ( x ) − A ( x ) − f ( ) ≤ 4ε g ( x ) − A ( x ) − g ( ) ≤ 2ε Footer Page 22 of 161 21 Header Page 23 of 161 với x, y ∈  2.5 MỘT SỐ VẤN ĐỀ MỞ RỘNG Vào năm 1941, Hyers phát biểu lý thuyết tính ổn định phương trình hàm không gian Banach Đây nội dung định lý Định lý 2.7 Cho E1 , E2 hai không gian Banach hàm f : E1 → E2 thỏa mãn f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ δ (2.42) với δ > với x, y ∈ E1 Khi giới hạn ( ) A ( x ) = lim 2− n f 2n x n→∞ (2.43) tồn với x ∈ E1 A : E1 → E2 hàm cộng tính thỏa mãn f ( x) − A( x) ≤ δ (2.44) với x ∈ E1 Hơn nữa, f ( tx ) liên tục t với giá trị cố định x ∈ E1 , A tuyến tính Để chứng minh kết này, Hyers xây dựng ánh xạ cộng tính A từ hàm cho f Phương pháp ông gọi phương pháp trực tiếp sử dụng rộng rãi việc nghiên cứu tính ổn định nhiều phương trình hàm Ngay sau Hyers nêu khẳng định trả lời cho câu hỏi Ulam, số lượng lớn báo đưa bàn câu hỏi Ulam định lý Hyers Không có lí để sai phân Cauchy f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) bị chặn phát biểu Định lý 2.7 Và dựa vào quan điểm này, Th M Rassias cố gắng làm yếu điều kiện sai phân Cauchy chứng minh thành công Kết biết đến tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias phương trình hàm Cauchy cộng tính Footer Page 23 of 161 22 Header Page 24 of 161 Định lí 2.8 Cho X , Y hai không gian Banach, hàm f : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức ( ) f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ θ x + y (2.46) với θ ≥ đó, p ∈ [0;1) với x, y ∈ X , tồn hàm cộng tính A : X → Y cho 2θ p f ( x) − A( x) ≤ x (2.47) − 2p p p với x ∈ X Hơn nữa, f ( tx ) liên tục t với giá trị cố định x ∈ X , A tuyến tính Một mở rộng khác Định lí 2.3 2.4 đề xướng việc xem xét bất đẳng thức f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) ≤ φ ( x, y ) với φ : X →  + , với X không gian Banach Vào năm 1951, D.G Bourgin lần xem xét bất đẳng thức phát biểu mà không chứng minh, rằng: Nếu φ phụ thuộc vào x y ; hàm đơn điệu, không tăng, đối xứng x y , chuỗi k ∞ 1 ∑   φ k x, k y k =0   ( ) hội tụ với x ∈  , f ( x ) − A( x ) ≤ ψ ( x ) với k ∞ 1 ψ ( x ) = ∑   φ k x, k x k =0   Định lí 2.9 Cho G E nhóm abel không gian Banach riêng biệt với nhau, ϕ : G × G → [ 0, ∞ ) hàm thỏa mãn Footer Page 24 of 161 ( ) 23 Header Page 25 of 161 ∞ ∑2 = Φ ( x, y ) k =0 − ( k +1) ϕ ( k x, k y ) < ∞ (2.51) với x, y ∈ G Nếu hàm f : G → E thỏa mãn bất đẳng thức f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) ≤ ϕ ( x, y ) (2.52) với x, y ∈ G Khi tồn hàm cộng tính A : G → E cho f ( x ) − A ( x ) ≤ Φ ( x, x ) (2.53) với x ∈ G Hơn nữa, f ( tx ) liên tục t với x ∈ G cố định, A tuyến tính Footer Page 25 of 161 24 Header Page 26 of 161 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu nghiên cứu phương trình hàm Cauchy cộng tính tính ổn định, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau Tổng quan hệ thống định nghĩa tính chất hàm cộng tính liên tục, gián đoạn, hàm cộng tính mặt phẳng thực mặt phẳng phức, mối liên hệ hàm cộng tính hàm tuyến tính Trình bày tổng quan • Định lý Hyers – kết quan trọng lý thuyết ổn định bắt nguồn từ toán Ulam • Tổng quát hóa Định lý Hyers (hay Định lý Hyers suy rộng) • Một số vấn đề mở rộng tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính phát biểu không gian Banach Với khảo sát được, luận văn tài liệu hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu lĩnh vực này, hy vọng nguồn tư liệu cho quan tâm đến phương trình hàm Cauchy cộng tính tính ổn định Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa sâu nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính theo số tiêu chuẩn khác, nhiều không gian khác Đó hướng phát triển luận văn Footer Page 26 of 161 ... thuyết phương trình hàm lĩnh vực đời phát triển mạnh mẽ lịch sử ngành Giải tích Toán học Trong đó, phương trình hàm Cauchy dạng phương trình hàm bản, đóng vai trò nòng cốt phương pháp luận phương. .. gồm hai chương Chương Phương trình hàm Cauchy cộng tính Chương Tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính Footer Page of 161 3 Header Page of 161 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 1.1... triển liên quan tới phương trình hàm Cauchy cộng tính 1.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM Footer Page of 161 4 Header Page of 161 Phương trình hàm phương trình mà yếu tố chưa biết hàm Giải phương trình hàm nghĩa