Phương trình hàm với một biến số

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ KIM HOA THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Đà Nẵng, Năm 2012 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Người cam đoan Nguyễn Thị Kim Hoa MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài .6 Mục tiêu nghiên cứu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Bố cục luận văn CHƯƠNG 1: THUẬT TOÁN 1.1 Khái niệm thuật toán 1.2 Khái niệm độ phức tạp thuật toán 10 1.3 Số nguyên thuật toán .18 1.4 Thuật toán đệ quy 24 CHƯƠNG 2: MÁY TURING 29 2.1 Sơ lược ngơn ngữ hình thức văn phạm sinh 29 2.2 Các toán bất khả 39 2.3 Máy Turing ngôn ngữ máy Turing 53 2.4 Tính bất khả 57 CHƯƠNG 3: CÁC BÀI TOÁN NAN GIẢI 63 3.1 Lớp P NP 65 3.2 Một toán NP - đầy đủ 70 KẾT LUẬN 77 DANH MỤC TÀ I LIỆU THAM KHẢO .78 QUYẾT ĐINH GIAO ĐỀ TÀ I LUẬN VĂN (BẢN SAO) ̣ DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu bảng Tên bảng Trang 1.1 Các thuật ngữ thường dùng cho độ phức tạp thuật tốn 17 1.2 Thời gian máy tính dùng thuật toán 18 DANH MỤC CÁC HÌNH Số hiệu hình 2.1 2.2 2.3 Tên hình Mơ hình máy Turing Đồ thị chuyển máy Turing đốn nhận ngôn ngữ {0n1n | n1} Đồ thị chuyển máy Turing kiểm nhận ω{0, 1}* Trang 45 52 53 2.4 Đồ thị chuyển máy Turing xác định hàm f()=B 54 2.5 Đồ thị chuyển máy Turing xác định hàm f(n1, n2)=n1+n2 55 2.6 Đồ thị chuyển máy Turing xác định f(n1, n2)=n2-n1 56 2.7 Bao hàm thức lớp ngôn ngữ 62 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình hàm lĩnh vực quan trọng giải tích Bài tốn giải phương trình hàm có lẽ tốn lâu đời giải tích Nhu cầu giải phương trình hàm xuất bắt đầu có lý thuyết hàm số Nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế Toán học ngành khoa học khác Phương trình hàm chuyên đề quan trọng thuộc chương trình chuyên toán trường THPT chuyên Trong kỳ thi olympic toán quốc gia quốc tế, olympic toán khu vực, thường xuất dạng toán khác có liên quan đến phương trình hàm Tuy nhiên, nay, học sinh lớp chuyên, lớp chọn biết phương pháp thống để giải phương trình hàm Đặc biệt, cịn sách chuyên đề phương trình hàm ứng dụng chúng [4] Các dạng toán phương trình hàm phong phú đa dạng, bao gồm loại phương trình tuyến tính phi tuyến tính, phương trình ẩn hàm phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình hàm với biến số phương trình hàm với hai nhiều biến số,… Các bài toán về phương triǹ h hàm nói chung là các bài toán khó, phương trình hàm với mô ̣t biế n nói riêng la ̣i càng khó Viê ̣c giải quyế t các phương trình hàm với mô ̣t biế n số phức ta ̣p viê ̣c giải quyế t các phương trin ̀ h hàm có nhiề u biế n số gấ p nhiề u lầ n Do đó, để viê ̣c tiế p câ ̣n các phương trình hàm mô ̣t biến đươ ̣c đơn giản hơn, cho ̣n đề tài: “Phương trin ̀ h hàm với mô ̣t biế n số ” nhằ m nêu mô ̣t số ki ̃ thuâ ̣t và phương pháp bản thường đươ ̣c sử du ̣ng để giải quyế t các bài toán phương trình hàm mô ̣t biế n số MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận văn tập trung nghiên cứu số phương trình hàm biến đơn giản phương pháp để giải chúng ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu luận văn phương trình hàm biến số Phạm vi nghiên cứu luận văn số phương trình hàm biến với phương pháp giải thông thường PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu tài liệu liên quan để sưu tầm, chọn lọc, phân loại nêu phương pháp giải, phương pháp sáng tác toán liên quan Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Luận văn cung cấp tài liệu lý thuyết phương trình hàm biến số tập cách giải quyết, cho ta nhìn nhận qn tốn phương trình hàm chứa biến số CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Lịch sử phát triển phương trình hàm Chương Kiến thức Chương Phương trình hàm với biến số CHƯƠNG 1: LICH SỬ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌ NH HÀ M ̣ 1.1 Giới thiệu Trong đại số trường trung học, tìm hiểu phương trình đại số liên quan đến nhiều ẩn số thực chưa biết Phương trình hàm giống phương trình đại số, nhiên ẩn vài hàm số Bài toán phương trình hàm xuất thường xuyên thi tốn Vì vậy, luận văn hi vọng tài liê ̣u hữu ích cho học sinh, sinh viên muốn giải số vấn đề liên quan đến phương trình hàm bậc phổ thơng đại học Trong chương này, chủ yếu xem xét đôi nét lịch sử phát triển của phương trình hàm phát triển chung Tốn ho ̣c 1.2 Nicole Oresme Các nhà toán học làm việc với phương trình hàm từ sớm Ngay từ kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme (1323 - 1382) xác định hàm số bậc nghiệm phương trình hàm Cụ thể, theo ngơn ngữ tốn học đại, ơng đặt tốn tìm hàm số f  x  thỏa mãn với x, y, z  ¡ , đôi phân biệt, phương trình hàm sau y  x f  y  f  x  z  y f  z  f  y (1.1) f  x  a x  b (1.2) Oresme tìm nghiệm với a, b số thực [4] 1.3 Gregory of Saint-Vincent Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm biết đến nhiều khơng có lý thuyết chung cho phương trình loại Đáng ý số đó, nhà tốn học Gregory of Saint-Vincent (1584-1667), người tiên phong lí thuyết Logarithm xét tốn tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đường y  ; x  1; x  t ; t  x Ơng kí hiệu diện tích f  t  chứng tỏ f  t  thỏa mãn phương trình hàm f  x   f  y   f  xy  ,  x, y ¡  Ngày ta biết hàm f  x   loga x với a  0, a  Tuy nhiên, việc giải nghiên cứu nghiệm phương trình f  x   f  y   f  xy  ,  x, y ¡  phải chờ đến gần 200 năm sau, nhờ công Augusstin-louis Cauchy (1789-1857) [4] 1.4 Augustin-Louis Cauchy Mặc dù định nghĩa Nicole Oresme tuyến tính hiểu ví dụ phương trình hàm, khơng đại diện cho điểm khởi đầu cho lý thuyết phương trình hàm Các chủ đề phương trình hàm đánh dấu mô ̣t cách chiń h xác từ công việc Augustin-Louis Cauchy Một phương trình hàm tiếng mà ta hay gọi phương trình Cauchy có dạng f  x  y   f  x   f  y  ,  x, y¡ Nghiệm f: ¡ ¡ f: ¤ ¡ phương trình (1.3) có dạng (1.3) f  x   a x Nghiệm thỏa mãn thêm số điều kiện phụ có dạng f  x  a x Phương trình (1.3) trước Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Legandre nghiên cứu tìm định lí hình học xạ ảnh nghiên cứu định luật Gauss phân bố xác xuất G Darbour nghiên cứu phương trình (1.3) cần f  x  liên tục điểm, bị chặn (hoặc dưới) khoảng đủ nhỏ nghiệm phương trình (1.3) f  x   k x Sau nhà tốn học cịn đưa nhiều hạn chế nữa, việc hàm số không liên tục thỏa điều kiện (1.3) đến năm 1905 thực 10 nhà toán học người Đức Georg Hamel (1877-1954) với việc đưa hệ cở sở Hamel tập số thực ¡ Thật bất ngờ phương trình hàm lại có liên quan chặt chẽ đến nhị thức Newton [4] Từ hàng kỷ trước Newton, nhà tốn học biết đến cơng thức 1  x n   Cn1 x  Cn2 x2   Cnn1 xn1  xn (1.4) với n¥ với x¡ , tổ hợp Cnk xác định từ tam giác Pascal tính theo cơng thức Cni  n  n  1 n    n  i  1 i! (1.5) 1.5 Việc tính tốn Những người đọc biết số tính tốn tự hỏi phương trình hàm Cauchy f  x  y   f  x   f  y  giải cách sử dụng phép lấy vi phân? Thay y  c , số, lấy vi phân x , ta f ' x  c  f ' x với số thực c Suy f ' hàm f hàm tuyến tính có dạng f  x   a x  b Thay ngược trở lại vào phương trình Cauchy, ta b  Đây kết Tuy nhiên, vấn đề lớn đặt ta phải giả định hàm f lấy vi phân Mặc dù có nhiều người sử dụng giả định điều tất nhiên, ta chứng minh kết Cũng có hàm số mà khơng có đạo hàm vài điểm, chẳng hạn hàm số f  x   x có đạo hàm điểm không tồn đạo hàm x  Trong tốn cao cấp, khơng có bất bình thường ta xét hàm số mà khơng có đạo hàm giá trị x Một ví dụ điển hình cho điều hàm số 82 3.5.3 Một thuật toán giải phương trình Bottcher Nếu f  x  nghiệm phương trình Bottcher hàm số  f  x  q nghiệm Phương trình Bottcher cách tự nhiên cho việc trình bày cách có hệ thống phương trình tuyến tính hàm số   x  xấp xỉ hàm lũy thừa Một nghiệm phương trình Bottcher tìm giới hạn f  x   lim  n  x  p n n (3.36) tồn Ta kiểm tra cách vào phương trình (3.27) 3.5.4 Phương pháp giải phương trình giao hốn Dễ thấy hàm số fn  x    n  x  thỏa mãn phương trình giao hốn f   x     f  x  với n  0,1, 2, Tuy nhiên, có nhiều nghiệm khác Một cách thường dùng để giải phương trình giao hốn đưa phương trình Schroder, Abel Bottcher Ví dụ, giả sử g thỏa mãn phương trình Schroder: g   x   s g  x  Hơn nữa, giả sử g song ánh với hàm ngược g 1 với số c , hàm số f  x   g 1 c g  x  (3.37) phải thỏa mãn phương trình giao hốn Từ suy g 1 thỏa mãn phương trình Poincaré Ta có 83 f   x   g 1 c g   x    g 1 c s g  x     g 1  c g  x      f  x  Tương tự, g thỏa mãn phương trình Abel g   x   g  x   a với số c , hàm số f  x   g 1  g  x   c  (3.38) thỏa mãn phương trình giao hốn Cuối cùng, g   x    g  x  p hàm số  f  x   g 1  g  x  c  (3.39) thỏa mãn phương trình giao hốn với c Nói tóm lại, f nghiệm phương trình liên hợp f   x     f  x  ta tìm nghiệm phương trình giao hốn f   x     f  x  cách mở rộng hàm số  3.6 Tổng qt hóa phương trình Abel phương trình Schroder Trong phần ta xem xét trường hợp tổng quát phương trình Abel phương trình Schroder, trường hợp khơng liên quan đến phương trình liên hợp Phương trình f   x   f  x   h  x  (3.40) với h  x  hàm cho trước, tường hợp tổng quát phương trình Abel Giống phương trình Abel, ta thêm vào số nghiệm phương trình để nghiệm khác Ta kiểm tra được, với x0 , hàm số 84    f  x    h  n  x0   h  n  x  n 0 (3.41) nghiệm phương trình với điều kiện tổng vơ hạn hội tụ Ví dụ 3.6 Để tìm nghiệm phương trình f  2x   f  x   x1, x0 thuật toán đưa  f  x     2 n x01  2 n x1  (3.42)  c  x1 (3.43) n 0 với c  2x01 tùy ý Phương trình f   x   g  x  f  x  (3.44) với g  x  hàm số cho trước, trường hợp tổng qt phương trình Schroder Ta kiểm tra với x0 nào, n   g   x0    f  x    n   x   n 0  g       (3.45) nghiệm phương trình với điều kiện tích vơ hạn hội tụ Ví dụ 3.7 Để minh họa cho cơng thức này, ta tìm nghiệm phương trình f  x 2  cos x f  x  (3.46) Áp dụng kết ta n   cos  x0    f  x    n n 0  cos  x       d x csc x (3.47) (3.48) với số d  x01 cos x0 sin x0 tùy ý Cần lưu ý  sin x  cos  x   x n 1 n (3.49) 85 3.7 Các tính chất nghiệm lặp Trong phần này, ta trở lại vấn đề nghiệm lặp hàm số mà Babbage đề cập đến chương Ta nghiên cứu số tính chất chung khái niệm nghiệm lặp xem dựa vào phương trình liên hợp Abel Schroder tìm nghiệm lặp Đầu tiên ta điểm sơ lại số định nghĩa Cho trước hàm số h  x  Bất kì nghiệm f  x  phương trình f  f  x   h  x  (3.50) Được gọi nghiệm lặp hàm số h  x  Định nghĩa f  x   f  x  f n1  x   f  f n  x  (3.51) với n  Ta gọi nghiệm phương trình f n  x  h  x nghiệm lặp bậc n hàm số (3.52) h  x  Trường hợp h  x   x với x ta nói phương trình (3.52) phương trình Babbage Khi f nghiệm phương trình Babbage với n  ta nói f lũy thừa Nói chung, phương trình hàm (3.52) vơ nghiệm, có nghiệm có vơ số nghiệm tùy theo dạng hàm số h  x  theo tập giá trị đối số x mà xác định hàm số f  x  cần tìm Chẳng hạn, phương trình hàm f  f  x   x có vơ số nghiệm dạng f  x   a  x với a số thực mà cịn có vơ số nghiệm dạng f  x   g 1  g  x  g  x  song ánh tùy ý (3.53) 86 Định lí 3.8 Cho hàm số liên tục h song ánh Giả sử n số chẵn tồn cặp số thực x, y cho x  y h  x   h  y  khơng tồn nghiệm lặp bậc n liên tục h Giả sử n số lẻ f nghiệm lặp bậc n liên tục h h phải liên tục có tính đơn điệu với f Chứng minh Giả sử f n  x   h  x  với f hàm liên tục trình bày trên, hàm số f hàm tăng nghiêm ngặt hàm giảm nghiêm ngặt Điều có nghĩa f hàm tăng nghiêm ngặt, h  f n tăng nghiêm ngặt với n Điều mâu thuẫn với giả thiết phần h hàm giảm nghiêm ngặt Vậy phần không tồn hàm f liên tục Mặt khác, giả sử n số lẻ f đơn điệu n  chẵn f n1 tăng nghiêm ngặt (bao gồm f  x   x ) Do h  x   f n  x   f  f n1  x  (3.54) tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt Sử dụng định lí 3.8 ta tìm nghiệm tốn A2 thi tốn Putnam năm 1979 Ví dụ 3.9 Nêu điều kiện cần đủ số k cho tồn hàm số thực liên tục xác định f  f  x   k x9 với số thực x Giải Phương trình cho viết lại dạng f n  x   h  x  với n  h  x   k x9 Nếu k  hàm số h  x   k x9 hàm giảm nghiêm ngặt Theo định lí 3.8, khơng tồn hàm số liên tục f  x  n  số chẵn Vì vậy, điều kiện cần k  Dễ thấy f  x   k1 x3 thỏa mãn phương trình hàm cho Vậy điều kiện cần đủ k  Có nhiều cách tìm nghiệm lặp hàm số cho Chẳng hạn 87 Nếu g  x  nghiệm song ánh phương trình hàm Abel g h  x   g  x   hàm số h  x  cho hàm số 1  f  x   g 1  g  x    n  (3.55) nghiệm lặp bậc n h  x  Nếu g  x  nghiệm song ánh phương trình hàm Schoroder g h  x   s g  x  , ( s  ) hàm số h  x  cho hàm số f  x   g 1  s1 n g  x  (3.56) nghiệm lặp bậc n hàm số h  x  Có thể tìm nghiệm lặp bậc n h  x  cách lấy f hai vế phương trình f n  x   h  x  ta f h  x   f  f n  x   f n  f  x   h  f  x  (3.57) Phương trình (3.57) phương trình giao hốn mà ta xét Ví dụ 3.10 Tìm tất hàm số f : ¢  ¢ thỏa mãn điều kiện f  f  n   n  với số nguyên n Giải Giả sử tồn hàm số f  n  thỏa mãn yêu cầu toán Lấy f hai vế ta   f  n 1  f f  f  n  f  n 1 suy f  n  n  m ( m số nguyên) Nhưng đó, f  f  n   n  2m  n  suy 2m  điều vơ lí Vậy khơng tồn hàm số thỏa mãn u cầu tốn Cách làm cịn áp dụng cho trường hợp hai hay nhiều hàm số khác Ví dụ, ta có hệ phương trình dạng f  g  x   h1  x  g  f  x   h2  x  (3.58) với h1 , h2 hai hàm số cho trước f g hai hàm số cần tìm Ta lấy g hai vế phương trình thứ ta   g h1  x  g f  g  x   h2  g  x  (3.59) 88 lấy f hai vế phương trình thứ hai ta   f h2  x   f g  f  x   h1  f  x  (3.60) Kết tốn cặp phương trình liên hợp Để kết thúc phần ta xét tốn kì thi Olympic toán Quốc tế năm 1997 mà ta nêu ví dụ 3.1 Ví dụ 3.11 Tồn hay không hàm số f : ¡  ¡ g : ¡  ¡ f  g  x   x g  f  x   x3 cho (3.61) với x¡ ? Giải Câu trả lời không Thật vậy, giả sử tồn hàm số f g thỏa mãn yêu cầu toán Do h2  x   x3 song ánh nên từ phương trình thứ hai suy f phải song ánh Vì f 1 , f  1 f  0 đôi khác Mặt khác, ta có     f  x3   f g  f  x   f g  f  x    f  x  Trong đẳng thức cho x  1, 0, ta số f  1 , f  0 , f 1 bình phương Nói cách khác, f  1 , f  0 f 1  0; 1 nên ba số f  1 , f  0 f 1 có hai số Điều mâu thuẫn với mệnh đề f 1 , f  1 f  0 đôi khác chứng tỏ điều giả sử sai Vậy không tồn hàm số f g thỏa mãn yêu cầu tốn 3.8 Phương trình hàm lý thuyết lồng Chúng ta quay trở lại vấn đề lồng đề xuất Rumanujan trình bày chương1 Hãy tính    (3.62) Ta tổng quát hóa cách tính f  x    x   x  1 (3.63) 89 Bình phương hai vế , ta thấy f  x  phải thỏa mãn phương trình  f  x   1 x f  x 1 (3.64) với f  x   Cho x  ta f  0  Tuy nhiên ta khơng thể tính f 1 cách tương tự Phương trình khơng giống phương trình trước Làm để tìm nghiệm ta nghiệm mà ta tìm u cầu tốn? Ta dự đốn nghiệm thử Ta tìm đa thức f  x  để giải Nếu f  x  đa thức bậc n vế trái phương trình đa thức có bậc 2n vế phải phương trình đa thức có bậc n  Vì vậy, đa thức ta cần tìm phải có bậc Cho f  x   ax  b ta có  ax  b 2   x  a x  a  b  (3.65) a2 x2   2ab  x  b2  a x2   a  b  x  Nếu phương trình với x (3.66) hệ số tương ứng vế phương trình phải Từ suy a  b  Vì f  x   x  nghiệm Nhưng có thỏa mãn phương trình ban đầu hay khơng? Tức x    x   x  1 (3.67) có hay khơng? Ta chứng minh điều Chú ý f  x  xác định phương trình (3.63), với x  1, ta có f  x   x x x (3.68)  x1 21 41 8 (3.69) x (3.70)   x  1 (3.71) 90 Mặt khác, ta có f  x    x  1  x  2  x  3  x  1  x    x  3 (3.72) (3.73)   x  1 (3.74)   x  1 (3.75)   x  1 (3.76) Vì x 1  f  x    x 1 (3.77) Kết đưa ta tới đích cuối Bài toán 3.12 Cho hàm số f  x  thỏa mãn phương trình  f  x   1 x f  x 1 (3.78) x 1  f  x    x 1 (3.79) hệ bất phương trình với x  Chứng minh Chứng minh f  x  x 1 Thay x x  phương trình (3.79) ta x2  f  x  1   x  2 (3.80) Từ (3.78) ta có  x f  x  1   f  x    x f  x  1 (3.81) Áp dụng (3.80) vào (3.81) ta thấy  x  x  2   f  x   1  x  x  2 (3.82) 21 1  x   f  x   21 1  x  (3.83) Lấy bậc hai hai vế ta có 91 So sánh (3.83) với (3.79) và thực hiê ̣n k lầ n ta 21 1  x   f  x   21 1  x  k k (3.84) Cho k   ta  x  f  x    x , từ đó suy điề u phải chứng minh 3.9 Bài tập Tìm chứng minh tất hàm số liên tục f : ¡  ¡ thỏa mãn f (2 x)  f ( x) với số thực x Cho ví dụ hàm số liên tục f : ¡  ¡ thỏa mãn f  x  2  f  x   với số thực x mà không Tìm chứng minh tất hàm số liên tục f :¡ ¡ thỏa mãn f  x   f  cos x  với số thực x Hàm số gamma   x  , x  xác định sau: n !n x   x   lim n  x  x  1 x    x  n  (So sánh công thức với cơng thức phần 3.5 ta thừa nhận giới hạn tồn tại) Tìm phương trình hàm bao gồm   x    x  1 Cho hàm số f : ¡  ¡ đơn hàm số liên tục Chứng minh f hàm số tăng nghiêm ngặt (với x  y ta có f  x   f  y  ) hàm giảm nghiêm ngặt (với x  y ta có f  x   f  y  ) Sử dụng thuật toán Koening tìm hàm số f khác hàm tầm thường mà thỏa mãn phương trình  sx  f   s f  x  1 x  với  s  Chỉ rõ miền xác định hàm số f Tìm tất hàm số f thỏa mãn phương trình giao hoán f  x  x  f    x 1  f  x 1 92 Liên hệ nghiệm tương ứng phương trình Abel  x  g   g  x 1  x 1  Hồn thành phần chứng minh ví dụ 3.1 Cho hàm số f : ¡  ¡ hàm liên tục thỏa mãn hệ bất phương trình hàm f  x  a  f  x  f  x  b a) Cho a  b  Chứng minh f hàm b) Nêu rõ điều kiện a b chứng minh để bảo đảm f hằ ng số 10 Xem đa thức với hệ số thực f  x  có đặc tính f  g  x   g  f  x  với đa thức g  x  có hệ số thực Xác định tính chất f  x  11 Cho f  x  hàm số thực xác định với số thực x ngoại trừ x  x  đồng thời thỏa mãn phương trình hàm f  x   f  x  1 x    x Tìm tất hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện 12 Có tồn hàm số f : ¡  ¡ mà đồng thời thỏa mãn điều kiện sau hay khơng? a) Có số thực dương M cho M  f  x   M với x b) f 1  c) Nếu x  1     f  x    f  x    f   x     x  13 Tìm tất hàm số phức f với biến số phức cho f  z   z f 1  z    z với z 93 14 Cho hàm số f : ¡  ¡ thỏa mãn tính chất sau: a) f  x   với số thực x 13   b) f  x    f  x   42   1  f x  6  1  f x  7  Chứng minh f hàm tuần hồn Nói cách khác, chứng minh tồn số thực khác không t cho với số thực x , ta có f  x  t   f  x  15 Chỉ tồn hàm số khác hàm số không f : ¡  ¡ liên tục thỏa mãn phương trình f  x   f  2x   f 3x   với x 16 Chứng minh phương trình f n  x   x1 xác định với số thực khác khơng có vơ số nghiệm với số nguyên n  17 Chỉ có hàm số f : ¡  ¡ cho f  x  dương, xác định với số thực x , a) f  2x    f  x  b) f  x   f  x  1 c) f  x    x 18 Chứng tỏ bác bỏ: tồn hàm số f  n  xác định với số nguyên dương n , lấy giá trị nguyên dương cho f Trong đó, f f  n f  n  n  biểu diễn  n  n 1 f áp dụng f  n  lần với số nguyên dương n 19 Cho hàm số f : ¡  ¡ hàm liên tục xác định phương trình f  x  f  f  x   94 với số thực x Cho f 1000  999 , tìm f 500 20 Tìm tất hàm liên tục f : ¡  ¡ thỏa mãn phương trình f  x  y   f  x  f  y  với số thực x y 21 Như 20, cho ví dụ hàm số khơng liên tục thỏa mãn phương trình f  x  y   f  x  f  y  22 Tìm tất hàm số f : ¡  ¡ thỏa mãn f  x  f  x   f  x  với số thực x 23 Cho u , f g hàm số, xác định với số thực x cho u  x  1  u  x  1  f  x u  x  4  u  x  4  g  x Xác định u  x  theo số hạng f g 24 Tìm tất hàm số liên tục thỏa mãn đồng thời phương trình f  f  x   x f  x  1  f  x f  x 1 với x  25 Cho f : ¡   ¡  hàm liên tục, giảm nghiêm ngặt xác định phương trình  f  x  y   f  f  x   f  y   f f  x  f  y   f  y  f  x  với x y số dương Chứng minh rằng: f  f  x   x  95 KẾT LUẬN Luâ ̣n văn “Phương trình hàm với mô ̣t biế n số ” đã đa ̣t đươ ̣c các kế t quả sau Luâ ̣n văn đã trình bày mô ̣t cách khái quát lich ̣ sử phát triể n của phương trình hàm nói riêng sự phát triể n chung của Toán ho ̣c Luâ ̣n văn cũng đã nêu lên mô ̣t số khái niê ̣m liên quan đế n các bài toán về phương trình hàm; Nêu mô ̣t số ki ̃ thuâ ̣t giải phương triǹ h hàm và mô ̣t số bài toán bản cùng với cách phân tích đề bài để tìm lời giải Luâ ̣n văn trình bày mô ̣t số phương pháp thường dùng viê ̣c giải bài toán phương trình hàm, từ đó có thể giúp sáng tác các bài tâ ̣p giải phương trình hàm khác Luâ ̣n văn đã trình bày mô ̣t vài phương pháp và ki ̃ thuâ ̣t giải quyế t các bài toán phương trình hàm mô ̣t biế n bản như: phương trình hàm Schroder, phương trình hàm Poincaré, phương trình hàm Abel, phương triǹ h hàm Bottcher hay phương trình hàm giao hoán Ngoài luâ ̣n văn còn giới thiê ̣u mô ̣t số bài toán các kì thi toán quốc gia, quố c tế cùng với hướng dẫn giải Tuy nhiên, khuôn khổ của mô ̣t luâ ̣n văn tha ̣c si,̃ vẫn còn nhiề u vấ n đề mà tác giả chưa nghiên cứu 96 DANH MỤC TÀ I LIỆU THAM KHẢO Tiế ng viêṭ [1] Nguyễn Văn Mâ ̣u (2003), Phương trình hàm, NXB Giáo Du ̣c, Quảng Nam [2] Nguyễn Văn Mâ ̣u, Lê Ngo ̣c Lăng, Pha ̣m Thế Long, Nguyễn Minh Tuấ n (2006), Các đề thi OLYMPIC Toán sinh viên toàn quố c, NXB Giáo Du ̣c, Thái Nguyên [3] Nguyễn Văn Mâ ̣u, Trầ n Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấ n (2007), Chuyên đề chọn lọc Dãy số và áp dụng, NXB Giáo Du ̣c, Hà Tây [4] Nguyễn Văn Mâ ̣u, Nguyễn Văn Tiế n (2009), Một số chuyên đề Giải Tích bồ i dưỡng học sinh giỏi , NXBGDVN, Viñ h Phúc [5] Lê Minh Thắ ng (2004), Các dạng toán phương trình hàm bản, vận dụng phương trình hàm Cauchy để giải một số phương trình hàm, Đề tài nghiên cứu khoa ho ̣c, Trường Đa ̣i Ho ̣c An Giang Tiế ng Anh [6] Chritopher G.Small (2007), Function Equations and How to Solve Them, Department of Statistics & Actuarial Science, New York ... về phương triǹ h hàm nói chung là các bài toán khó, phương trình hàm với mô ̣t biế n nói riêng la ̣i càng khó Viê ̣c giải quyế t các phương trình hàm với mô ̣t biế n số. .. các phương trin ̀ h hàm có nhiề u biế n số gấ p nhiề u lầ n Do đó, để viê ̣c tiế p câ ̣n các phương trình hàm mô ̣t biến đươ ̣c đơn giản hơn, cho ̣n đề tài: ? ?Phương trin ̀ h hàm. .. ? ?Phương trin ̀ h hàm với mô ̣t biế n số ” nhằ m nêu mô ̣t số ki ̃ thuâ ̣t và phương pháp bản thường đươ ̣c sử du ̣ng để giải quyế t các bài toán phương trình hàm mô ̣t biế n sớ