Bài tập lớn sức bền vật liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA CÔNG NGHỆ BỘ MÔN KỸ THUẬT CƠ KHÍ Bài Tập Lớn SỨC BỀN VẬT LIỆU Cán Bộ Hướng Dẫn: Phạm Quốc Liệt Cần Thơ, tháng 11 năm 2015 Đề [12] số [3] Bài 1: Xác định moment quán tính trung tâm: ▪Xc= x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 A1 + A2 + A3 Hình Hình Hình X(cm) 14,6 5,66 26,99 ▪Yc= Y(cm) 20 25 y1 A1 + y2 A2 + y3 A3 A1 + A2 + A3 A(cm2) 408,8 153 26,7 Xc(cm) 12,84 Yc(cm) 11,19 Xác định phương trục quán tính trung tâm: Ix= Ix1+b21A1+Ix2+b22A2+Ix3+b23A3 Iy= Iy1+a21A1+Iy2+a22A2+Iy3+a23A3 Ixy= Ixy1+a1b1A1+Ixy2+a2b2A2+Ixy3+a3b3A3 Hình1 Hình2 Hình3 Ix(cm4) Iy(cm4) Ixy(cm3) A(cm2) a(cm) b(cm) 6677,06 2754 2110 29046,6 2456,5 151 -1300,5 408,8 153 26,7 1,76 -7,17 14,15 -4,19 8,804 13,8 IX IY IXY 35685,35 46140,67 -8767,7 ▪ tg2α = - I XY I X − IY = -1,68 2α = -59011’ α = -29035’ α = 60024’ ▪ Iu=Imax= ▪ Iv=Imin= I X + IY + ( I X − I Y ) + I XY 2 I X + IY − ( I X − I Y ) + I XY 2 = 51120,91 (cm)4 = 30705,11 (cm)4 Vòng tròn Mohr : Bài 2.1: Sơ đồ hình A +Xác định phản lực gối tựa: Thay liên kết phản lực liên kết hình vẽ: Hc=0 ∑M/F=0 -7qa2 + 27 qa2 + qa2 – 5aVc + 9qa2 + 3qa2 – 2qa2 =0 Vc = 7 140.1,7 qa= = 833 (KN) ∑F/y = Vc + VF +P1 – 3qa – P2 - qa = VF = 3qa= 3.140.1,7= 714 (KN) Khung chia thành đoạn AB, BC, CD, DE, EF : Đoạn EF : ▪ q1= qz 3a qz 6a ▪ Qy= - 3qa ▪Mx= 3qaz - qz 18a ▪ z=0 Qy= -3qa= -3.140.1,7= -714 (KN) Mx= ▪ z=a Qy= Mx= − 17 53 18 qa= -674,33 (KN) qa2= 1191,32 (KN.m) Đoạn ED : ▪ q2= qz 3a ▪ Qy= ▪ z=a Qy= Mx= ▪ z=3a qz 6a − 17 qa - 3qa ▪ Mx= 3qaz – M2 - qz 18a = -674,33(KN) 17 qa = 382 ,12( KN m) 18 Qy = −3 qa = −357( KN ) 11 qa = 2225,3( KN m) M x= Đoạn CD : Qy= q(z – 3a) + P2 + qa Mx= zVF – M2 - ▪ z=3a Qy= ▪ z=5a Qy = qa - VF (z – 2a) – P2(z – 3a) - q qa =357 (KN) qa = 833( KN ) M x= Mx = ( z − 3a ) 2 11 qa = 2225,3 (KN.m) qa = 202,3( KN m) Đoạn BC : Qy= q(z – 3a) + P2 + qa - Vc - VF Mx= M1 + Vc(z – 5a) + zVF - M2 - q - P2(z – 3a) - 3( z − 2a ) qa ▪ z=5a Qy= Mx= ( z − 3a) 2 qa ▪ z= 6a Qy= qa=238(KN) =606,9(KN.m) Mx= qa2= 404,6(KN.m) Đoạn AB : Qy= qa Mx= P1(7a – z) ▪ z= 6a Qy= qa=238(KN) Mx= qa2=404,6(KN.m) ▪ z= 7a Qy= qa=238(KN) M x= Bài 2.1: M=qa2 Sơ đồ hình b R1 C VB + Xác định phản lực gối tựa A B Thay liên kết phản lực liên kết hình vẽ D R2 HA E VA P=4qa M=qa2 ∑F/x=0 HA=0 ∑M/A=0 VB= ∑F/y=0 VA= 25 qa = 743,75( KN ) qa = 208,25( KN ) Khung chia thành đoạn BC, CD, DE, EA : Đoạn BC: (0≤φ1≤ π ) Nz= VB.Cosφ1=743,75.Cosφ1 Qy= VB.Sinφ1=743,75.Sinφ1 Mx = V B 5a (1 − Cosϕ1 ) =743,75 5.1,7 (1- Cosφ1) Bảng biến thiên theo φ1 ϕ1 π π (rad ) N(KN) 743, 644, 525, 75 11 91 π π 371, 87 Q(KN) M(KN m) 371, 525, 87 91 282, 617, 32 21 Đoạn CD: (0≤φ2≤ π 644, 743,7 11 1053 2107, ,65 29 ) Nz= P.Sinφ2 - VB.Sin φ2 = 4.140.1,7 Sinφ2 – 743,75 Sin φ2 Qy= VB.Cosφ2 – P Cosφ2 =743,75 Cosφ2 - 4.140.1,7 Cosφ2 Mx = V B a = 743,75 ϕ2 (1+ Sin φ2) - M - P 5.1,7 N(KN) Q(KN) M(KN.m) Sin φ2 (1+ Sin φ2) – 140.1,72 - 4.140.1,7 (rad) a π π 5.1,7 π 104,13 147,25 180,35 -208,25 -180,35 -147,25 -104,13 1702,6 1407,6 1285,4 1191,7 7 Đoạn AE: (0≤φ3≤ π Sin φ2 π 208,25 1112,6 Bảng biến thiên theo φ2 ) Nz= -VA.Cosφ3= -208,25 Cosφ3 Qy= -VA.Sin φ3= -208,25 Sin φ3 Mx= - VA.(a – a.Cosφ3)= -208,25.(1,7 – 1,7.Cosφ3) Bảng biến thiên theo φ3 ϕ3 π π π π -208,25 0 -180,35 -104,13 -47,43 -147,25 -147,25 -103,69 -104,13 -180,35 -177,01 -208,25 -354,03 (rad) N(KN) Q(KN) M(KN.m) Đoạn DE: (0≤φ4≤ π ) Nz= VA.Sinφ4= 208,25 Sinφ4 Qy= - VA.Cosφ4= -208,25 Cosφ4 Mx= -M - VA (a + a Sinφ4) = -140.1,72 - 208,25.(1,7+1,7 Sinφ4) Bảng biến thiên theo φ4 ϕ4 π π π π -208,25 -758,63 104,13 -180,35 -935,64 147,25 -147,25 -1008,96 180,35 -104,13 -1065,22 208,25 -1112,65 (rad) N(KN) Q(KN) M(KN.m) Bài 2.1: Sơ đồ hình c Do khung có phản lực liên kết nên ta tách khung thành khung nhỏ để tính phản lực liên kết hình vẽ: Tính phản lực liên kết : + Xét khung AD ∑M/D=0 VA= 3qa= 714(KN) ∑F/x=0 XD=4pa= 952(KN) ∑F/y=0 YD=qa= 238(KN) + Xét khung BDG ∑M/B=0 VG=6,578qa= 1565,56(KN) ∑F/x=0 HB=4qa= 952(KN) ∑F/y=0 VB=2,342qa= 557,4(KN) Khung AD chia thành đoạn: Đoạn AH: (0≤ Z1 ≤ a) Nz= -3qa= -714(KN) Qy=0 Mx=0 Đoạn HC: (0≤ Z2 ≤ a) Nz= -3qa= -714(KN) Qy= -4qa= -952(KN) Mx= -4qa.Z2 ▪Z2=0 Nz= -3qa= -714(KN) Qy= -4qa= -952(KN) Mx= ▪ Z2= a Nz= -3qa= -714(KN) Qy= -4qa= -952(KN) Mx= -1618,4(KN.m) Đoạn CD: (0≤ Z3 ≤ 2a) Nz= -4qa= -952(KN) Qy= 3qa – q.Z3 Mx= 3qa.Z3 – 4qa.a - q.Z 23 ▪Z3=0 Nz= -952(KN) Qy= 714(KN) Mx= -1618,4(KN.m) ▪Z3=2a Nz= -952(KN) Qy= 238(KN) Mx= Khung BDG chia thành đoạn : Đoạn DE : (0≤ Z4 ≤ a) Nz= -4qa= -952(KN) Qy= qa= 238(KN) Mx= qa.Z4 ▪Z4= Nz= -952(KN) Qy= 238(KN) 10 Mx= ▪Z4= a Nz= -952(KN) Qy= 238(KN) Mx= 404,6(KN.m) Đoạn BE : (0≤ Z5 ≤ 2a) Nz= 2,342qa= 557,39(KN) Qy= 4qa= 952(KN) Mx= 4qa.Z5 ▪Z5= Nz= 557,39(KN) Qy= 952(KN) Mx= ▪Z5= 2a Nz= 557,39(KN) Qy= 952(KN) Mx= 3236,8(KN.m) Đoạn FG : (0≤ Z6 ≤ a) N z= Qy= -6,578qa= -1565,56(KN) Mx= 6,578qa.Z6 ▪Z6= Nz= ▪Z6= a Nz= Qy= -1565,56(KN) Qy= -1565,56(KN) M x= Mx= 2661,46(KN.m) 11 Đoạn EF : (0≤ Z7 ≤ a ) Nz= 6,587qa.sinα – 3qa.sinα – q Z7 sinα Qy= q Z7.cosα + 3qa.cosα - 6,587qa cosα Mx= 6,587qa.( Z7+ a cos α – 3qa Z7 cosα – q 5 Với : sinα= ) cosα Z27 cosα= cosα 5 ▪Z7=0 Nz= 380,83(KN) Qy= -761,66(KN) Mx=2661,46(KN.m) ▪Z7= a Nz= 142,83(KN) Qy= -285,66(KN) Mx= 4652,06(KN.m) Bài 2.1: Sơ đồ hình d +Xác định phản lực ngàm A Thay liên kết phản lực liên kết hình vẽ : ▪Ta có : hợp lực lực phân bố đoạn ϕ F= 2qR.sin = 2.140.2.1,7 2 cong EH : = 673,17(KN) Tính phản lực liên kết : 12 ϕ ∑F/x=0 HA= F.cos = 673,17 2 = 476(KN) ϕ ∑F/y=0 VA=P+F sin =4.140.1,7 + 673,17 ∑M/A=0 MA= qa2 + F.2a.sin ϕ 2 = 1428(KN) - qa2 + 4qa.3a = 140.1,72 + 673,17.2.1,7 2 - 140.1,72 + 4.140.1,7.3.1,7 =6271,31(KN.m) Chia khung thành đoạn: Đoạn EH: (0≤ φ1 ≤ ϕ1 ▪ F1= 2qR.sin Nz= F1.sin ϕ1 Qy= -F1.cos π ) = 952.sin = 952.(sin ϕ1 ϕ1 = -952.sin Mx= -F1.2a.sin ϕ1 ϕ1 )2 = 476.(1 - cosφ1) ϕ1 cos = -952.sin ϕ1 ϕ1 = -476.sinφ1 2.1,7.sin ϕ1 = -1618,4.(1-cosφ1) Bảng biến thiên φ1 ϕ1 [Rad] Nz(KN) π π π π 63,77 139,42 238 476 13 Qy(KN) Mx(KN.m) Đoạn DE: (0≤ φ2 ≤ 0 π ϕ -238 -216,82 -336,58 -474,02 -412,23 -809,2 -476 -1618,4 ) π Nz= 673,17.sin(φ2+ )= 673,17.sin(φ2+ ) ϕ π Qy= -673,17.cos(φ2+ )= -673,17.cos(φ2+ ) 14 π Mx= -673,17.2.1,7 sin(φ2+ )Bảng biến thiên φ2 ϕ2 π π π π 476 -476 -1618,4 650,23 -174,23 -2210,79 673,17 -2288,78 650,23 174,23 -2210,79 476 476 -1618,4 [Rad] Nz(KN) Qy(KN) Mx(KN.m) Đoạn AB: (0≤ Z1 ≤ 2a) Nz= HA=476(KN) Qy= VA= 1428(KN) Mx= MA - VA.Z1 ▪ Z1=0 Nz=476(KN) Qy=1428(KN) Mx=6271,31(KN.m) ▪ Z1=2a Nz=476(KN) Qy=1428(KN) Mx=1416,11(KN.m) Đoạn BC: (0≤ Z2 ≤ a) Nz= HA=476(KN) Qy= VA= 1428(KN) Mx = M A - qa2 - VA.( Z2+2a) ▪ Z2=0 Nz=476(KN) Qy=1428(KN) Mx= 1213,8(KN.m) ▪ Z2= a Nz=476(KN) Qy=1428(KN) Mx= -1213,8(KN.m) Đoạn CD: (0≤ Z3 ≤ a) Nz= HA=476(KN) Qy= VA – P = 476(KN) 15 Mx= MA + qa2 + P.Z3 - qa2 - VA (Z3+3a) ▪Z3=0 Nz=476(KN) Qy= 476(KN) Mx= -809,19(KN.m) ▪Z3=a Nz=476(KN) Qy= 476(KN) Mx= -1618,39(KN.m) Bài 2.2: Mxmax = 2225,3(KN.m)= 222530(KN.cm) σ [ ]= 47( kg mm2 )= 47( KN cm ) + trạng thái ứng suất đơn: σ max= WX ≥ M xmax max M xmax Y = Ix WX M xmax [σ ] = 222530 47 σ ≤[ ] =4734,68(cm3) [1] ▪Giả sử chọn số hiệu mặt cắt cho dầm CN 0=33 ▪Ta ghép hình vẽ: Do hình đối xứng nên trọng tâm Xc , Yc nằm hình vẽ IX=Ix1+b12.A1+Ix2+b22.A2+Ix3+b32A3+Ix4+b42.A4 +Ix5+b52.A5+Ix6+b62.A6 Ykmax=Ynmax=49,5(cm) Hình1 Hình2 Hình3 Ix(cm4) 7980 7980 7980 b(cm) -33 -33 A(cm2) 46,5 46,5 46,5 IX(cm4) 250434 16 Hình4 Hình5 Hình6 7980 7980 7980 IX Y max W X= 33 33 46,5 46,5 46,5 = 5059,27(cm3) Từ [1] WX ≥ 4734,68(cm3) [2] Từ [2] ta chọn số hiệu mặt cắt cho dầm CN0=33 ghép hình vẽ + trạng thái ứng suất trược túy, theo thuyết bền 3: [σ ] = 47 τ [ ]= τ max = = 23,5(KN/cm2) Q ymax S Xc I X bc ≤ [τ ] ▪Qymax = 833(KN) ▪ bc= 1,4(cm) ▪SXc = Sx1 + Sx2 + Sx3 + Sx4 = y1.A1+y2.A2+y3.A3+y4.A4 =33.46,5+33.46,5+281+281= 3631(cm3) τ max = 833 3631 250434.1,4 = 8,63(KN/cm2) τ max = 8,63( KN / cm ) ≤ [τ ] = 23,5( KN / cm ) Do đủ bền trạng thái ứng suất trược túy + trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt : σz = Ta có : Mx yc Ix ▪yc= Ymax – t = 49,5 – 1,17 = 48,33(cm) ▪Mx= 222530(KN.cm) 17 ▪Ix= 250434(cm4) σ = 42,945( KN / cm ) τ zy = Ta có: Q y S xc I x bc t ) ▪Sxc = 2.b.t.(Ymax - ▪Ix=250434(cm4) ▪Qy= 833(KN) τ= = 2.10,5.1,17.(49,5 - 1,17 ) = 1201,84(cm3) ▪ bc=1,4(cm) 833 1201,84 = 2,86 ( KN / cm ) 250434.1,4 Theo thuyết bền 3: σ tt = σ z2 + 4.τ zy2 = 42,9452 + 4.2,86 = 43,32( KN / cm ) ≤ [σ ] = 47( KN / cm ) ▪ Vậy đủ bền Bài 3: Bảng thông số ban đầu: cắt từ phải qua trái Các thông số ∆Y Đoạn FE Z=0 Đoạn ED Z=a Đoạn DC Z=3a Đoạn CB Z=5a Đoạn BA Z=6a ∆ϕ ϕ0 0 0 ∆M -2qa2 qa2 18 ∆Q -3qa 3qa − qa ∆q 0 0 -q ∆q ' q 3a q 3a 0 − Phương trình độ võng: Y1= φ0.Z + Y2= φ0.Z + Y3=φ0.Z+ (0≤ Z ≤ a) + + 3qa.Z q.Z − E.I x 3! 3a.E.I x 5! + 2qa ( Z − a) E.I x 2! 2qa ( Z − a ) E.I x 2! 2qa ( Z − a ) E.I x 2! qa ( Z − 5a) qa.( Z − 5a ) + E.I x 2! 2.E.I x 3! Y5= φ0.Z+ − 3qa.Z q.Z − E.I x 3! 3a.E.I x 5! 3qa.Z q.Z − E.I x 3! 3a.E.I x 5! Y4= φ0.Z+ − 3qa.Z q.Z − E.I x 3! 3a.E.I x 5! 3qa.Z q.Z − E.I x 3! 3a.E.I x 5! + - - 3qa.( Z − 3a ) q.( Z − 3a )5 + E.I x 3! 3a.E.I x 5! (3a≤ Z ≤ 5a) 3qa.( Z − 3a ) q.( Z − 3a )5 + E.I x 3! 3a.E.I x 5! (5a≤ Z ≤ 6a) 2qa ( Z − a ) E.I x 2! qa ( Z − 5a) qa.( Z − 5a ) + E.I x 2! 2.E.I x 3! (a≤ Z ≤ 3a) + - 3qa.( Z − 3a ) q.( Z − 3a )5 + E.I x 3! 3a.E.I x 5! q.( Z − 6a ) E.I x 4! (6a≤ Z ≤ 7a) Từ điều kiện : Z=5a y3=0 − φ0 = 7909.qa 7909.140.1,7 =− 600.E.I x 600.E.I x − = 9066,61 E.I x (Rad) Phương trình góc xoay φ1 , φ4 : φ = y’ 19 − φ1= q.Z 9066,61 3qa.Z − E.I x 2.E.I x 72.a.E.I x + − φ4= 9066,61 3qa.Z q.Z − E.I x 2.E.I x 72.a.E.I x + − (0≤ Z ≤ a) + qa ( Z − 5a ) 7qa.( Z − 5a ) + E I x E I x 2qa ( Z − a ) 3qa.( Z − 3a ) q.( Z − 3a ) − + E I x E I x 72.a.E.I x (5a≤ Z ≤ 6a) ▪Xác định độ võng góc xoay E B : − φE = φ1 Z=a φE= φB= φ4 Z=6a φB= − yE= y1 Z=a yE= yB= y4 Z=6a yB= 8044,44 E.I x 820 ,798 E.I x 14831,85 E.I x 22881 ,135 E.I x (Rad) (Rad) (m) (m) Bài 4: M1=140(KN.m) M2=280(KN.m) M3=200(KN.m) m=15(KN) α= d D = 0,6 20 a= 1,5(m) Chia làm đoạn: Đoạn CF: (0≤ Z ≤ a) Mz=M1=140(KN.m) Đoạn FB: (a≤ Z ≤ 2a) Mz=M1 – M2= - 140(KN.m) Đoạn BE: (2a≤ Z ≤ 3a) Mz= M1 – M2 – m.(Z-2a) ▪Z=2a Mz= - 140(KN.m) ▪Z=3a Mz= - 162,5(KN.m) Đoạn EA: (3a≤ Z ≤ 4a) Mz= M1 – M2 – M3 – m.a = - 362,5(KN.m) Biểu đồ nội lực: 21 Trường hợp 1: Tròn đặc τ max + Điều kiện bền: Với ▪Wz= 0,2.D3 ▪ 362,5 ≤ 5.10 0.2 D M zmax = max ≤ [τ ] Wz [τ ] = 5.107 ( N / m ) = 5.104 ( KN / m ) D ≥ 0,331(m) [1] θ max = + Điều kiện cứng: Với ▪ M zmax ≤ [θ ] G.I ρmax [θ ] = 0,5( / m) = 8,73.10 −3 ( Rad / m) ▪ Iρ max = 0,1.D ▪G=8.104(MN/m2)=8.107(KN/m2) 362,5 ≤ 8,73.10 −3 8.107.0,1.D D ≥ 0,268(m) [2] Từ [1] [2] ta chọn D ≥ 0,331(m) Trường hợp : rỗng hình vành khăn τ max = + Điều kiện bền : M zmax ≤ [τ ] Wzmax Với ▪Wzmax = 0,2.D3.(1-α4) 362,5 ≤ 5.10 4 0,2.D (1 − 0,6 ) θ max = + Điều kiện cứng : ▪ [τ ] = 5.107 ( N / m ) = 5.104 ( KN / m ) D ≥ 0,347(m) [3] M zmax ≤ [θ ] G.I ρmax 22 Với ▪ [θ ] = 0,5( / m) = 8,73.10 −3 ( Rad / m) ▪ Iρ max = 0,1.D (1 − α ) ▪ G=8.104(MN/m2)=8.107(KN/m2) 362,5 ≤ 8,73.10 −3 4 8.10 0,1.D (1 − 0,6 ) D ≥ 0,278(m) [4] Từ [3] [4] ta chọn D ≥ 0,347(m) + Tính diện tích tiếp diện A1 trường hợp tròn đặc : ▪ A1= π D π 0,3312 = = 0,086 (m ) 4 [5] + Tính diện tích tiếp diện A2 trường hợp rỗng hình vành khăn: ▪A2= π ( D − d ) π ( 0,3472 − (0,6.0,347) ) = = 0,06(m ) 4 Mức độ tiết kiệm vật liệu : [6] 0,086 − 0,06 100 = 30,23 0 0,086 Từ [5] [6] ta chọn trường hợp rỗng hình vành khăn tiết kiệm vật liệu trường hợp tiết kiệm 30,23% + Tính góc xoắn B C : Do trường hợp tiết kiệm vật liệu tói ưu mà đảm bảo độ cứng độ bền nên ta chọn D=0,347(m) l ▪Ta có : φ= Mà Mz ∫ G.I ρ dz G.I ρ = const ϕ =∑ đoạn Li Li S M zi Gi I ρi Góc xoắn C: 23 (140 + 162,5).1,5 + 362,5.1,5) 140.1,5 − 140.1,5 − 8.107.0,1.0,3474.(1 − 0,6 ) 8.10 7.0,1.0,694 4.(1 − 0,6 ) ( ▪φC=φAC = = - 4,77.10-4 (Rad) Góc xoắn B: (140 + 162,5).1,5 + 362,5.1,5) − ) 8.10 7.0,1.0,694 4.(1 − 0,6 ) ( ▪φB=φAB= φBE + φEA = = - 4,77.10-4 (Rad) 24 ... (0,6.0,347) ) = = 0,06(m ) 4 Mức độ tiết kiệm vật liệu : [6] 0,086 − 0,06 100 = 30,23 0 0,086 Từ [5] [6] ta chọn trường hợp rỗng hình vành khăn tiết kiệm vật liệu trường hợp tiết kiệm 30,23% + Tính... = 2,86 ( KN / cm ) 250434.1,4 Theo thuyết bền 3: σ tt = σ z2 + 4.τ zy2 = 42,9452 + 4.2,86 = 43,32( KN / cm ) ≤ [σ ] = 47( KN / cm ) ▪ Vậy đủ bền Bài 3: Bảng thông số ban đầu: cắt từ phải qua... liệu trường hợp tiết kiệm 30,23% + Tính góc xoắn B C : Do trường hợp tiết kiệm vật liệu tói ưu mà đảm bảo độ cứng độ bền nên ta chọn D=0,347(m) l ▪Ta có : φ= Mà Mz ∫ G.I ρ dz G.I ρ = const ϕ =∑