Chuyên đề bất đẳng thức AM GM

Chuyên đề bất đẳng thức AM GM

CHUYÊN ĐỀ :BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (Nhóm 2) I Bất đẳng thức đại lượng trung bình Định nghĩa đại lượng trung bình số không âm • Với số không âm a, b kí hiệu: Lần lượt trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình toàn phương số a b • Nếu hai số a, b cho số dương kí hiệu Là trung bình điều hòa hai số Bất đẳng thức đại lượng trung bình lời chứng minh • Phát biểu bất đẳng thức • Với A, G, Q, H trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình toàn phương, trung bình điều hòa số dương a,b Chứng minh: • Xuất phát từ bất đẳng thức: Thay ta có • Hay Dấu xảy Cũng xuất phát từ bất đẳng thức: Thay ta có • Hay Dấu xảy Áp dụng bất đẳng thức cho số Hay Dấu xảy II Sử dụng BĐT AM-GM giải toán BĐT Điểm rơi BĐT AM-GM • Bắt đầu toán đơn giản sau: Cho , tìm GTNN biểu thức Nhiều học sinh bắt đầu hay quen với AM-GM thường có cách làm sau đây: P = x+ 1 ≥ x = x x Và kết luận GTNN P ⇔x= Cách làm sai dấu xảy =1 x (mâu thuẫn với việc x ≥3 ) Vậy cần chọn “điểm rơi” x cho tìm GTNN P mà • Trở toán đơn giản bên trên: Cho , tìm GTNN biểu thức o Lập bảng biến thiên Ta nhận thấy x=3 điểm rơi để P đạt GTNN Vậy cần dùng AM-GM để dấu xảy x=3 Mà lại có , ta không dùng AM-GM trực tiếp cho số x mà dùng cho số o Dấu “=” AM-GM xảy tất biến hay Ta có sơ đồ điểm rơi: Đây hệ số điểm rơi o Khi ta có cách làm sau Dấu xảy x=3 Cách làm cách để chọn điểm rơi • Một số ví dụ minh họa Bài toán a,b,c>0  Cho  a+b+c ≤ Tìm GTNN biểu thức 1 S=a+b+c+ + + a b c Sai lầm thường gặp: S = a +b +c +∑ cyc 1 ≥ 6 abc = ⇒ MinS = a abc Nguyên nhân sai lầm MinS = ⇔ a = b = c = 1 = = =1⇒ a + b + c = > a b c Phân tích tìm hướng giải : a =b=c = Sơ đồ điểm rơi trái với đề a=b=c=  a=b=c=   2 = ⇒ = ⇒α = 1 2  α = = =  α a α b α b α :Hệ số điểm rơi Ta có cách làm sau: S = a+b+c+∑ cyc 1 1 9 15 = a + b + c + ∑ + ∑ ≥ 6 abc + ≥ 3+ = a cyc a cyc a 64abc a + b + c 2 Bài tập 2[Macedonia 1999] Sai lầm thường gặp: Nguyên nhân sai lầm: Phân tích tìm tòi lời giải: Sơ đồ điểm rơi;  a=b=c=  1 3  a=b=c= ⇒ ⇒ = ⇒α =9 α 3  =3  α abc α : Hệ số điểm rơi Từ ta có cách làm sau: a+b+c+ 8 + ≥ 4 abc + 9abc 9abc 9abc  a + b2 + c 9   Dấu bàng xảy a=b=c= Bài toán 3: Lỗi sai thường hay gặp cách biến đổi  ÷ ÷  = + =4 3 Min S = Sai 64 2a 2b 2c 2d 2( a + b + c + d ) ⇔1= = = = = = 3b 3c 3d 3a 3(a + b + c + d ) Nên ta suy nghĩ theo chiều hướng khác Vì thấy biến có tính đối xừng nên ta dự đoán dấu xảy ⇔ a=b=c=d Khi P= >0 625 81 Ta có cách biến đổi sau 2 2a 1 a a  a 5 1  a  1+ = + + + + ≥ 55  ÷  ÷ =  ÷ 3b 3 3b 3b 3 b     3b  Tương tự cho nhân tử lại 625  a b c d  625 ⇒S≥  ÷ = 81  b c d a  81 Dấu xảy a=b=c=d>0 Bài toán 4:  a , b, c > Cho  a + b + c = Tìm GTNN biểu thức S = a(b + 2c) + b(c + 2a) + c (a + 2b) *Hướng dẫn: a (b + 2c ) = Ta có : 3a + (b + 2c ) + a ( b + c ).3 ≤ 3 9 Tương tự với số hạng lại Cộng vế với vế BĐT ta có S≤ 6(a + b + c) + = 3 3 Vậy S đạt GTLN 3 a=b=c=1 Bài toán 5: Cho 0 thỏa mãn a n + b n + c n = k ( n, k ∈ N * ) 28  ÷≥  Chứng minh an bn cn n k2 + + ≥ k − + n.b n +1 + n.c n +1 + n.a n +1 n +1 Bài tập 5( Đề dự bị khối B – 2010 ): Cho yz x + yz Bài tập 6: Cho > 0; i = 1, n + x, y , z > Chứng minh xy xz + ≥1 y + xz z + xy Chứng minh a1n ann a + a + a + + an + + ≥ n −1 n −1 n −1 n −1 a1 + ( n − ) a2 an + ( n − ) a1 n −1 Gợi ý lời giải Bài tập 1: Cho a , b, c số dương thỏa mãn a+b+c = Chứng minh a b c + + ≥ , ∀n ∈ N * n n n (n − 1)b + ( n − 1)c + (n − 1) a + n Lời giải Ta có Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho n số không âm, ta có ( n − 1) b n + ≥ nbn−1 29 ( n − 1) ab ≥ a − ( n − 1) ab a = a− n n ( n − 1) b + ( n − 1) bn + n Do Chứng minh tương tự cộng vế bất đẳng thức, ta có a b c n −1 n −1 ( a + b + c ) + + ≥ ( a + b + c) − ( ab + bc + ca ) ≥ ( a + b + c ) − n n n (n − 1)b + ( n − 1) c + ( n − 1)a + n n Mà a +b+c = ≥ 3− nên VT = Đẳng thức xảy Bài tập : Cho a, b, c a = b = c =1 n n − 32 n ( ĐPCM) số thực dương nhỏ Chứng minh 1 a2 + b2 + c2 + + ≥ + 2−a 2−b 2−c 2 Lời giải Áp dụng kĩ thuật AM – GM ngược dấu bất đẳng thức AM – GM, ta có b2 b 2−b = − ≥ 1− = >0 2 b +1 b +1 2 Do b2 + ≥ 2−b 30 Chứng minh tương tự với a, c cộng ừng vế bất đẳng thức lại, ta có ĐPCM Đẳng thức xảy chẳng hạn Bài tập : Cho a, b, c ≥ a = b = c =1 Chứng minh 1   a ( b + c) + b ( a + c) + c ( a + b) + 2 + + ≥9 2 ÷ 1+ a 1+ b 1+ c  Lời giải Đặt Áp dụng kĩ thuật AM – GM ngược dấu, ta có 1  a +b+c  Q = 2 + + ≥ 3− 2 ÷  1+ a 1+ b 1+ c  Do VT ≥ a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) + − a − b − c = a ( b + c − 1) + b ( a + c − 1) + c ( a + b − 1) + Vì a , b, c ≥ nên b + c −1 ≥ a>0 31 Nên a ( b + c − 1) ≥ VT ≥ Chứng minh tương tự cộng vế bất đẳng thúc , ta có (ĐPCM) Đẳng thức xảy chẳng hạn Bài tập 4: Cho a, b, c > = thỏa mãn a = b = c =1 a n + b n + c n = k ( n, k ∈ N * ) Chứng minh a1 + a2 + + an an bn cn n k2 + + ≥ k − S = + n.b n +1 + n.c n +1 + n.a n +1 n −1 n +1 Lời giải  n n.a n b n +1  an = ∑ a − ÷ n +1 + n.b n +1  cyc + n.b cyc  S =∑ Ta có n.a n b n +1 n +1 cyc + n.b = ∑ an − ∑ cyc ⇒ S ≥ k −∑ cyc ∑ a b n Mà n n.a n bn +1 n =k− ∑ a n b n n + cyc ( n + 1) b (a ≤ n + bn + c n ) cyc ⇒S≥k− = (sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho k2 n k2 n +1 32 n +1 số ) Đẳng thức xảy k a n = bn = cn = Bài tập 5( Đề dự bị khối B – 2010 ): Cho yz P = x + yz + x, y , z > Chứng minh xy xz + ≤1 y + xz z + xy Lời giải yz Ta có x + yz = 1− x x ≤ 1− x+ y+z x + yz Chứng minh tương tự cộng vế bất đẳng thức, ta có 2P ≤ − Bài tập 6: Cho > 0; i = 1, n x+ y+z = ⇒ P ≤1 x+ y+z Chứng minh ann a + a + a + + an a1n + + n −1 ≥ n −1 n −1 n −1 a1 + ( n − ) a2 an + ( n − ) a1 n −1 Lời giải Đặt a1 + a2 + + an = k Ta có a1 ( n − ) a2n −1 a1 ( n − ) a2n −1 a1n n−2 = a − ≥ a − = a1 − a2 1 n −1 n −1 n−2 n−2 a1 + ( n − ) a2 n −1 ( n − 1) a1.a2 ( n − 1) a1.a2 33 ( Bất đẳng thức AM – GM cho Chứng minh tương tự với a2 , a3 , a4 , , an n −1 số mẫu) , ta có   a1n n−2   ≥ ∑  a1 − a2 ÷ n −1 n −1 ÷ ÷ n −1    + ( n − ) a2  ∑  a = ∑ a1 − ∑ = k −− = = n−2 k n −1 k n −1 a1 + a2 + + an n −1 34 n−2 a2 n −1 ( ĐPCM) 35 ... dung ngược bất đẳng thức AM – GM , kĩ thuật ấn tượng bất ngờ Nếu không sử dụng phương pháp bất đẳng thức khó dài Từ bất đẳng thức xây dựng bất đẳng thức tương tự với b, c cộng bất đẳng thức lại... đẳng thức (1), (2), (3) ta đpcm III.Kĩ thuật AM – GM ngược dấu Chúng ta xem xét bất đẳng thức AM – GM kĩ thuật đặc biệt AM – GM ngược dấu Đây kĩ thuật hay, khéo léo, mẻ ấn tượng bất đẳng thức AM. .. lại bất đẳng thức theo cách khác a ab ab ab a ab ab ab = a − ≥ a − = a − = a − ≥ a − = a− 2 2 1+ b 1+ b 2b 1+ b 1+ b 2b + b ≥ 2b Ta sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số mẫu lại có bất đẳng thức