Chuyên đề bất đẳng thức AM GM

Chuyên đề bất đẳng thức AM GM

CHUYÊN ĐỀ :BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (Nhóm 2)

I Bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình

1. Định nghĩa các đại lượng trung bình của 2 số không âm

• Với 2 số không âm a, b kí hiệu:

Lần lượt là trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình toàn phương

của 2 số a và b

• Nếu cả hai số a, b đã cho đều là số dương thì kí hiệu

Là trung bình điều hòa của hai số đó

2. Bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình và lời chứng minh

• Phát biểu bất đẳng thứcVới A, G, Q, H lần lượt là trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình toàn phương, trung bình điều hòa của 2 số dương a,b

• Chứng minh:

• Xuất phát từ bất đẳng thức:

Thay ta có

Hay Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

• Cũng xuất phát từ bất đẳng thức:

Thay ta có

Hay Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

• Áp dụng bất đẳng thức cho 2 số và

Hay Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

II Sử dụng BĐT AM-GM trong giải toán BĐT

1. Điểm rơi trong BĐT AM-GM

• Bắt đầu bằng 1 bài toán đơn giản sau:

Cho , tìm GTNN của biểu thức

Nhiều học sinh khi mới bắt đầu hay đã quen với AM-GM thường sẽ có cách làm sau đây:

x x

⇔ = =

(mâu thuẫn với việc x≥3

)Vậy cần chọn “điểm rơi” của x sao cho tìm được GTNN của P mà trong

đó

• Trở về bài toán đơn giản bên trên:

Cho , tìm GTNN của biểu thức

o Lập bảng biến thiên của

Ta nhận thấy x=3 là điểm rơi để P đạt GTNN

Vậy cần dùng AM-GM làm sao đó để dấu bằng xảy ra khi x=3

Mà lại có , vì vậy ta không dùng AM-GM trực tiếp cho 2 số x và

mà dùng cho bộ 2 số

o Dấu “=” của AM-GM xảy ra khi tất cả các biến bằng nhau hay

Ta có sơ đồ điểm rơi:

Đây là hệ số điểm rơi

o Khi đó ta có cách làm sau

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=3

Cách làm trên là một trong những cách cơ bản để chọn điểm rơi

trái với đề bài

Phân tích và tìm hướng giải :

1 2

a b c= = =

Nguyên nhân sai lầm:

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Sơ đồ điểm rơi;

Bài toán 3 :

Lỗi sai thường hay gặp là ở cách biến đổi

Nên ta suy nghĩ theo chiều hướng khác

Vì thấy các biến có tính đối xừng nhau nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra

3 9

Không mất tính tổng quát ,giả sử 0 a b c 1≤ ≤ ≤ ≤

Khi đó bất đẳng thức tương đương với

Do 1-a 1-b 1-c 0 ≥ ≥ ≥

nên VT(2)

3(1-c) 1-c 3(a+b+c) a+b+c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

2.ÁP DỤNG AM-GM TRONG CHỨNG MINH BĐT

VD1: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 1 + 3 abc ≤ 3 (1 +a)(1 +b)(1 +c)

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 3 1

1 1

1 3

1 1

1 1

1 1

1 3 1

1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

3 3

+ + +

+ + +

+ +

≤

+ +

+

+ + +

+

= + + +

+

c

c b

b a

a

c

c b

b a

a c

b a

c

c b

b a

a c

b a

c b a

2b c a

A=

Giải:

Ta có:

337500 5

3 2 1

5

3

2

1 5

3

2

5

3

2

10 5 5 5 5 5 3 3 3 2 2 10

5 3 2 5 3 2 5

3 2 10

5 3 2

10

5 3 2

= + +

=

c b a c

b a c

b a

c b a c

c c c c b b b a a c b a

=

=

⇔

5 3

2 1

10 5

3 2 10

5 3 2

c b

a c

b a c b a c

b a

c b a

y x z x x z z

x z y z z y y

z y x A

2 2

2

2 2

2

+

+ +

+

+ +

y y x x

z z x

x z z

y y z

z y y

x x

y y x x

zxy z z x x z z

yzx y y z z y y

xyz x x

y y x x

xy z

x x z z

zx y

z z y y

yz x

A

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

+ +

≥

+

+ +

+ +

≥

+

+ +

+ +

≥

Đặt:

( ) ( )

z

c b a y y

c b a x

x

y y x x c

x x z z b

z z y y a

2 4

9 1

4 2 9 1

4 2 9 1

2 2 2

Khi đó

( 6 12 3) 2 9

2

3 3 4 6 9

2

4 6 9 2

2 4

4 2 4

2 9 2

a a

c b

c c

a a b

c

b b

a a

c b

c c

a a b

c

c b a b

c b a a

c b a A

Tương tự ta có:

Cộng theo vế các bđt trên ta có đpcm Dấu bằng xảy ra  a=b=c= VD6: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=6 CMR: (1)

Giải: Đặt

1 Được viết lại như sau: Theo bđt AM-GM : Suy ra ta sẽ chứng minh: Hay: Thật vậy, theo bđt AM-GM:

Cộng từng vế các bđt trên ta được

Phép chứng minh hoàn tất

Dấu bằng xảy ra  a=b=c  x=y=z.

VD7: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn

VD9: Cho a,b,c>0; ab12; bc8 CMR:

Giải: Áp dụng bđt AM-GM ta có:

Cộng theo vế các bđt trên thu được:

Chứng minh hoàn tất Dấu bằng xảy ra  a=3, b=4, c=2

VD10:

Cho x,y,z 0, xy+yz+xz=3 CMR

P

xyz x y y z z x

≥

2 3

3 3

Áp dụng AM-GM cho

4 12

ta có

( ) ( )

Chứng minh hoàn tất Dấu bằng xảy ra  a=b=c=1.

Bài 8 :Cho a,b,c,d Tìm min của A=

Lời giải:Có

1 1 1 1

b d C

Do đó A≥4Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=c, b=d

Bài 9 : Cho a,b,c là các số không âm, không có hai số nào đồng thời bằng 0

III.Kĩ thuật AM – GM ngược dấu

Chúng ta sẽ cùng xem xét bất đẳng thức AM – GM và 1 kĩ thuật đặc biệt AM – GM

ngược dấu Đây là 1 trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ và ấn tượng nhấtcủa bất đẳng thức AM – GM Cùng xem các ví dụ sau:

Ví dụ 1 Các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c+ + =3

Ta không thể dung trực tiếp bất đẳng thức AM – GM với số mẫu vì bất đẳng thức

đẳng thức AM – GM , 1 kĩ thuật rất ấn tượng và bất ngờ Nếu không sử dụng

phương pháp này thì bất đẳng thức trên sẽ rất khó và dài

Từ bất đẳng thức trên xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b, c rồi cộng cả 3 bất

Với cách làm trên ta có thể xây dựng bất đẳng thức với n số ( xem ở phần Bài tập)

Ví dụ 2 (Trần Quốc Anh): Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c+ + =3

Nhìn hình thức vế trái ta nghĩ ngay đến kĩ thuật AM – GM ngược dấu.

2 3

≥ − +

Cộng từng vế các bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

2 a b ≥ − 9 a +ab ab+ +

Tương tự, ta có

2 2

2 2

1

9 2

, ( 1) n 1 ( 1)c 1 (n 1) n 1

Gợi ý lời giải

Bài tập 1: Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a b c+ + =3

Chứng minh rằng

* 3

, ( 1) n 1 ( 1)c 1 (n 1) n 1

≥

−

Chứng minh tương tự với a c, rồi cộng ừng vế các bất đẳng thức lại, ta có ĐPCM.

.

1

n n n

n cyc cyc

n a b a

n b

+ +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3

n n

n n

n k n