PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức hiện nay là một mảng đề tài toán học rất đặc sắc ngày càng được nhiều người quan tâm. Bất đẳng thức tỏ ra có sực hấp dẫn mạnh mẽ đối với các bạn học sinh nhờ vẻ đẹp tuyệt vời của nó. Bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó đặc biệt là trong các kì thi như: Olympic 304, kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, trại hè phương nam,...Các phương pháp và kỹ thuật giải chúng ngày càng được mở rộng và phát triển hơn, trong đó không thể không kể đến phương pháp phân tích bình phương S.O.S, một phương pháp tự nhiên và rất hiệu quả, đặc biệt vô cùng hiệu quả đối với các bất đẳng thức đối xứng chuẩn (bất đẳng thức đối xúng ba biến với dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau) . 2. Mục đích Tìm hiểu, học tập và thuần thục phương pháp. Nghiên cứu, phát triển và chia sẻ cho các bạn có cùng đam mê một phương pháp hiệu quả để chứng minh bất đẳng thức. 3. Đối tượng áp dụng phương pháp Phương pháp S.O.S có thể được sử dụng trong nhiều dạng bất đẳng thức khác nhau, nhưng trong phạm vi chuyên đề này chỉ nghiên cứu ứng dụng của phương pháp S.O.S trong bất đẳng thức đối xứng ba biến với dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau. 4. Phương pháp nghiên cứu Đầu tiên phải hiểu rõ bản chất của phương pháp S.O.S, từ đó mới có thể áp dụng, tìm tòi nghiên cứu kĩ hơn, sâu hơn thông qua các bài toán kinh điển hoặc các bất đẳng thức trong đề thi gần đây. 5. Ý nghĩa thực tiễn Về nhóm thực hiện, chúng em thông hiểu và vận dụng hiểu quả phương pháp để xử lí các bất đẳng thức. Chia sẻ cho các bạn đam mê Toán để các bạn biết thêm về một công cụ hữu ích để chứng minh bất đẳng thức.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG TỔ TOÁN CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG S.O.S ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giáo viên hướng dẫn: Thầy Huỳnh Bửu Tính THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S MỤC LỤC MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 2 Mục đích Đối tượng áp dụng phương pháp Phương pháp nghiên cứu .2 Ý nghĩa thực tiễn SƠ LƯỢC VỀ S.O.S .3 Bài toán mở đầu .3 Tư tưởng NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP S.O.S .5 Định lý Một số phân tích Các cách xử lý dạng chuẩn tắc .7 LUYỆN TẬP 11 LỜI GIẢI .13 KẾT LUẬN 21 Kết đạt đề tài 21 Hướng phát triển đề tài 21 QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức mảng đề tài toán học đặc sắc ngày nhiều người quan tâm Bất đẳng thức tỏ có sực hấp dẫn mạnh mẽ bạn học sinh nhờ vẻ đẹp tuyệt vời Bất đẳng thức dạng tốn hay khó đặc biệt kì thi như: Olympic 30/4, kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, trại hè phương nam, Các phương pháp kỹ thuật giải chúng ngày mở rộng phát triển hơn, khơng thể khơng kể đến phương pháp phân tích bình phương S.O.S, phương pháp tự nhiên hiệu quả, đặc biệt vô hiệu bất đẳng thức đối xứng chuẩn (bất đẳng thức đối xúng ba biến với dấu xảy ba biến nhau) Mục đích Tìm hiểu, học tập thục phương pháp Nghiên cứu, phát triển chia sẻ cho bạn có đam mê phương pháp hiệu để chứng minh bất đẳng thức Đối tượng áp dụng phương pháp Phương pháp S.O.S sử dụng nhiều dạng bất đẳng thức khác nhau, phạm vi chuyên đề nghiên cứu ứng dụng phương pháp S.O.S bất đẳng thức đối xứng ba biến với dấu xảy ba biến Phương pháp nghiên cứu Đầu tiên phải hiểu rõ chất phương pháp S.O.S, từ áp dụng, tìm tịi nghiên cứu kĩ hơn, sâu thơng qua toán kinh điển bất đẳng thức đề thi gần Ý nghĩa thực tiễn Về nhóm thực hiện, chúng em thơng hiểu vận dụng hiểu phương pháp để xử lí bất đẳng thức Chia sẻ cho bạn đam mê Toán để bạn biết thêm cơng cụ hữu ích để chứng minh bất đẳng thức THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S SƠ LƯỢC VỀ S.O.S Bài toán mở đầu Chứng minh với số thực dương a, b, c ta ln có bất đẳng thức a b c � bc ac ab Đây bất đẳng thức Nesbit tiếng, hẳn tiếp cận từ bắt đầu học bất đẳng thức Đây bất đẳng thức khơng chặt có nhiều hướng để chứng minh Cách làm thông dụng ta nhân tử mẫu phân thức cho a, b, c để áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz a b c a2 b2 c2 S b c a c a b ab ac ab bc ac bc Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có a2 b2 c2 (a b c)2 S � ab ac ab bc ac bc 2(ab bc ca ) Tiếp tục, ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc (a b c)2 �3(ab bc ac) (bất đẳng thức Bunyakovsky) S� Từ dễ dàng chứng minh Để ý kỹ, để chứng minh tốn ta cần phải thơng qua hai bất đẳng thức trung gian Cauchy-Swarchz Bunyakovsky Tuy nhiên có cách làm sử dụng kiến thức x �0, x �� , hiển nhiên cách làm sẽngắn gọn đẹp mắt Đó phương pháp S.O.S Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 2a( a b)(a c) 2b(b c )(b a ) 2c(c a )(c b) �3(a b)(b c)(c a ) � a b c ab(a b) bc (b c ) ac (a c ) �0 � (a b)( a b) (b c)(b c) (c a)(c a )2 �0 Bất đẳng thức ln đại lượng ln khơng âm Đẳng thức xảy a b c Tư tưởng THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Với phương pháp phân tích bình phương S.O.S (Sums of Squares), phân tích biểu (a b) , (b c) , (c a) hàm số theo a, b, c thức thành dạng tổng bình phương kèm với bình phương đó, nghĩa đưa bất đẳng thức cho dạng tắc: 2 S Sa (b c) Sb (c a) S c (a b) �0 Việc sử dụng phương pháp S.O.S làm toán đơn giản hơn, lời giải đẹp ngắn gọn nhiều xét thêm số ví dụ để làm rõ điều Sau bất đẳng thức AM-GM bậc VD1 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta ln có bất đẳng thức a b3 c �3abc Giải Khi hỏi cách chứng minh cụ thể cho bất đẳng thức chưa biết đến S.O.S, ta cảm thấy chút bối rối Tuy nhiên lời giải thật ngắn gọn đơn giản đến bất ngờ VT VP a b3 c3 3abc ( a b c) � ( a b) (b c) ( c a) � � ��0 Đẳng thức xảy a b c VD2 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có bất đẳng thức 3(a3 b3 c3 ) �(a b c)(a b2 c ) Giải Chúng ta sử dụng phương pháp S.O.S để chứng minh bất đẳng thức Ta có VT VP 3( a b3 c3 ) (a b c)(a b c ) �(a b)(a b) �0 Đẳng thức xảy a b c THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Phương pháp phân tích bình phương S.O.S NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP S.O.S Khi ta áp dụng S.O.S vào việc chứng minh bất đẳng thức? Ta tiếp tục xét bất đẳng thức sau 1 � a bc b ac c ab ab bc ca (với a, b, c số thực không âm thỏa ab bc ca �0 ) a b3 c 3abc �2(2b c a )3 (với a, b, c số thực không âm thỏa a �b �c ) Khi làm bất đẳng thức phương pháp S.O.S, ta cảm thấy đưa dạng tắc bất khả thi Vậy câu hỏi đặt ta áp dụng S.O.S để chứng minh toán? Để giải đáp câu hỏi ta xét qua định lý sau Định lý Giả sử F (a, b, c) đa thức đối xứng ba biến chuẩn tồn đa thức nửa đối xứng ba biến G ( a, b, c ) cho đồng thức sau F (a, b, c) G (a, b, c)(b c) G (b, c, a)(c a) G (c, a, b)(a b) Phần chứng minh tham khảo [1] Định nghĩa + Hàm F ( a, b, c ) gọi hàm đối xứng ba biến chuẩn F (a, b, c ) F ( x, y , z ) với hoán vị ( x, y, z ) (a, b, c ) F ( x, x, x) + Hàm G ( a, b, c) gọi là nửa đối xứng ba biến đẳng thức sau G ( a , b, c ) G ( a , c, b ) Định lý khẳng định niềm tin tồn biểu diễn sở cho hàm phân thức đối xứng ba biến cho phép chứa số mũ hữu tỷ Từ nhận thấy có điều kiện sau áp dụng S.O.S Bất đẳng thức đối xứng ba biến Dấu bất đẳng thức xảy ba biến Lưu ý Bất đẳng thức không thỏa điều kiện áp dụng S.O.S (ví dụ số bất đẳng thức hoán vị) THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Khi bất đẳng thức thỏa điều kiện ta cần xem xét tử mẫu phân thức có phức tạp hay khơng đưa dạng tắc biểu thức khó xử lý S a , Sb , Sc phức tạp dẫn đến việc Một số phân tích Bước việc áp dụng phương pháp S.O.S đưa bất đẳng thức dạng tắc S Sa (b c) Sb (c a) S c (a b) �0 với Sa , Sb ,Sc hàm theo a, b, c Sau đẳng thức thường dùng phân tích * Đẳng thức với hai biến a 2ab b (a b) a b ( a b) 2 b a ab a b2 a b a b ab 2(a b) a3 b3 ab(a b) (a b)(a b) a b ab(a b2 ) (a ab b )(a b)2 2(a b ) (a b) (a b)2 a b 2(a b ) * Đẳng thức với ba biến a b c ab bc ca 1� 2 a b b c c a � � � 1 2 a b c (a b c) � �a b b c c a � � 3 a b3 c3 3abc 2 a b c � a b b c c a � � � (a b)(b c)(c a) 8abc a(b c) b(a c ) c(a b)2 a b3 c 3abc ab(a b) bc (b c) ac(a c) �(a b c)(a b)2 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Phương pháp phân tích bình phương S.O.S a b a b c � bc a c a b 2(a c)(b c) a b c �a b 7c � 27abc �� �(a b) � � a b c abc(a b c) � ( a b) a b c2 � � � � 3(a3 b3 c3 ) (a b c )(a b c ) �(a b)(a b)2 VD3 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta ln có bất đẳng thức a b b c c a 3(a b c ) � ab bc ca a bc Giải Trừ hai vế bất đẳng thức cho a b c ta 3( a b c ) a b2 a b (a b c ) ��( ) abc ab Ta sử dụng đẳng thức sau a b2 a b a b ab 2(a b) 3(a b c ) (a b) (a b c) � abc (a b c ) Bất đẳng thức cho tương đương � 1 � ��a b c 2(a b) �(a b) � ۳ � (a b c)(a b) � ab �0 Sau đưa bất đẳng thức dạng chuẩn tắc, ta nhận thấy đại lượng chưa hẳn dương, đến ta xử lý nào??!? Các cách xử lý dạng chuẩn tắc Sau đưa bất đẳng thức dạng chuẩn tắc S Sa (b c) Sb (c a) Sc (a b) �0 với Sa , Sb ,Sc , hàm theo a, b, c THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Ta có cách xử lý sau: Nếu S a , Sb ,Sc �0 với a, b, c dễ thấy S �0 đại lượng khơng âm S , S ,S Trong trường hợp số biểu thức a b c không dương, để tiện cho việc xử lí ta cần giả sử a �b �c (Trong trường hợp bất đẳng thức hoán vị cần giả sử thêm a �c �b ) Nếu Sb �0 , (a c)2 (a b)2 2(a b)(b c) (b c)2 �(a b)2 (b c) , nên S Sa (b c)2 Sb (a c) Sc (a b) � S a Sb (b c ) Sb S c (a b) Từ bất đẳng thức trên, ta hồn tất tốn thơng qua việc chứng minh Sa Sb �0 Sb Sc �0 Nếu nên Sb �0 , (a c) ( a b) 2( a b)(b c) (b c) �2( a b) 2(b c) , S Sa (b c)2 Sb (a c) Sc (a b) � Sa 2Sb (b c) 2Sb Sc (a b) Sau có đánh giá trên, việc cịn lại chứng minh hai bất đẳng thức đơn giản Sa 2Sb �0 2Sb Sc �0 Trong nhiều trường hợp, ta cần thêm số ước lượng mạnh hơn, chẳng hạn ước ac a � lượng hay dùng đến b c b Khi có Sb , Sc �0 , 2 � �a c � � � a� 2� � Sa (b c) Sb ( a c) b c � Sb � � Sa �� b c � Sb � � Sa � � �b c � � � �b � � 2 a Sb b S a �0 Và toán chứng minh Tuy nhiên làm bài, b � c ta cần ý để có đánh giá Nên sử dụng đánh giá cần b c b c chia hai trường hợp Ngoài Sa Sb Sc �0 Sa Sb Sb Sc S c S a �0 thức bậc hai dễ dàng suy Trở lại toán ban đầu a b b c c a 3(a b c ) � ab bc ca abc (a b c )(a b) ۳ � ab Ta tìm Sc , theo định lý dấu tam S Sa (b c) Sb (c a) Sc (a b) �0 abc acb bca Sb Sa ab , ac , bc THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Do tính đối xứng nên giả sử a �b �c , dễ thấy a Sb b S a �0 lại ta cần chứng minh a Sb b S a Sb , Sc �0 Từ việc a (a c b) b (b c a) ab(a b)2 b3c b 2c a 3c a 2c �0 ac bc (a c )(b c ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c a b, c hoán vị tương ứng THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Phương pháp phân tích bình phương S.O.S LUYỆN TẬP Bài Cho tam giác ABC Kí hiệu a BC , b AC , c AB Chứng minh sin sin A B C sin 2 sin sin B A C sin 2 sin C (a b c) 3� A B 3abc sin sin 2 Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa ab bc ca �0 Chứng minh ab bc ca ab bc ca � 2 2 2 (a b) (b c) (c a) a b c Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa ab bc ca �0 Chứng minh 3ab 3bc 3ca ab bc ca � 2 2 2 (a b) (b c) (c a) a b c Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa ab bc ca �0 Chứng minh a3 b3 c3 ab bc ca � (a b c ) bc ca a b Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa ab bc ca �0 Chứng minh 2ab 2bc 2ca a b2 c2 � (a b) (b c) (c a) ab bc ca Bài (Iran TST 1996) Chứng minh với số thực không âm x, y, z ta có bất đẳng thức: x y y z � ( z x) xy yz zx Bài (VMO 2015) Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh 3(a b c ) �(a b c)( ab bc ca ) (a b) (b c) (c a) �(a b c )2 Bài Cho số thực a, b, c dương Tìm số k tốt cho bất đẳng thức sau đúng: a b3 c k (ab bc ca ) k � ( a b)(b c)(c a ) ( a b c) Bài tập tự luyện không đáp án Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh 13 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S ab bc ac � ab bc ac Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c 4a 2b c (a b c)( 2 2 2 ) �4 2 2 b c a c a b (a b )(b c )(c a ) Bài Tìm số thực dương k nhỏ cho bất đẳng thức sau với a, b, c số thực không âm tùy ý: ab bc ac a2 b2 c2 k k � (a b) (b c )2 (a c ) (a b c ) Bài Tìm số thực dương k nhỏ cho bất đẳng thức sau với a, b, c số thực không âm tùy ý: 8abc a b2 c k k �1 ( a b)(b c)(c a) (a b c) Bài Chứng minh với a, b, c số thực không âm thỏa mãn ab bc ca , ta có bất đẳng thức: 1 abc � ab bc ac abc Bài Chứng minh với a, b, c số thực không âm thỏa mãn ab bc ca �0 , ta có bất đẳng thức: 1 � 2 4b bc 4c 4a ac 4c 4a ab 4b 7(a b c) 2 14 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S LỜI GIẢI Bài Cho tam giác ABC Kí hiệu a BC , b AC , c AB Chứng minh sin sin A B C sin 2 sin sin B A C sin 2 sin C ( a b c) 3� A B 3abc sin sin 2 Giải Để chứng minh bất đẳng thức ta cần đổi sin Xin nêu khơng chứng minh biểu thức đó: A B C , sin , sin 2 biểu thức theo a, b, c sin A ( p b)( p c) bc Từ biến đổi bất đẳng thức thành a b c ( a b c) 3� pa pb p c 3abc �a � ( a b c) � �� 1�� 3abc �p a � ۳ � p � ( a b c)3 ��2 p 2a � 3abc � � � 1 ( a b c) � abc acb bca 3abc Để việc áp dụng phương pháp S.O.S, ta cần làm biến mẫu số a b c, a c b, b c a nhằm làm biểu thức sau đưa dạng tắc khơng q phức tạp Ta quy đồng mẫu phân thức chuyển tích mẫu số sang vế bên 2ab 2bc 2ac a b c (a b c )2 � (a b c )(a c b )(b c a ) 3abc ۳ 2ab 2bc 2ac a b c ( a b c) (a b c)(a c b)(b c a ) 3abc 2ab 2bc 2ac a b c (a b c)(a c b)(b c a ) � � 3abc ( a b c) ۳ 2� a b 3( a b c) a b c ( a b) � 3abc � � abc 2 � �� �a b �0 2abc � a b c � � � Ta tìm 15 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Sc abc 2abc a b c Sb a c b 2abc a b c Sa bca 2abc a b c Giả sử a �b �c Ta chứng minh a �b a b c b �c a b c 2 Sb , Sc �0 �4ab bcb Sb � 0 2abc 4ab nên �4bc acc Sc � 0 2abc 4bc nên Từ việc cịn lại ta cần chứng minh S a Sb Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Sa Sb �0 Ta có 4 � 0 ab (a b c) ab 4ab Sa Sb �0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy Vậy ta kết a b c Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa ab bc ca �0 Chứng minh ab bc ca ab bc ca � 2 2 2 (a b) (b c) (c a) a b c Giải Bất đẳng thức cho trở thành: 1 � ab bc ca bc � ��� 2 (b c) � a b c � � (b c) ۳ 2� 2 a b c (b c ) �(b c)2 � a b2 c � � �(b c) � 2 �0 (b c) � � � Mặt khác a2 b2 c2 2bc a �a � 2 �1 � � 2 (b c) (b c) �b c � Mà ta phải đưa bất đẳng thức dạng 16 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Phương pháp phân tích bình phương S.O.S (b c)2 Sa (c a)Sb (a b)2 Sc �0 Khi 2 �a � �b � �c � Sa � � Sb � � Sc � � �b c �, �c a �, �a b � S �0 Khơng tính tổng qt, ta giả sử a �b �c Khi b Ta cần chứng minh Sc �0 b Sa a Sb �0 Thật vậy, 2 �ab � � ab � b S a a Sb a b � � � � �b c � �c a � 2 2 2 � �b � � 2� �a � � a � � �� b � 1 � ���0 � �b c �� � �c a �� Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c với a b c hoán vị tương ứng Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa ab bc ca �0 Chứng minh 3ab 3bc 3ca ab bc ca � 2 2 (a b) (b c) (c a ) a b c Giải Bất đẳng thức cho tương đương với � bc � ab bc ca 3�� �1 2 � (b c ) � a b2 c2 � � b c Sa c a Sb a b Sc �0 (b c) ۳ 3� (b c) 2 (b c ) 2� * a b2 c i Với Sa 3(a b c ) 2 (b c) , 3( a b c ) 3(a b c ) Sb Sc 2 (c a ) (a b) , S Không tính tổng quát, giả sử a �b �c Khi dễ thấy a 17 0 , có THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Phương pháp phân tích bình phương S.O.S a 3b c 4ac (a 2c) 3(b c ) Sb 0 (c a ) (c a ) Ta cần chứng minh Sb Sc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta � 1 � Sb Sc 3(a b c ) � � (c a ) ( a b) � � 12(a b c ) 4(a b c) 4(b c) � �0 (c a ) ( a b) ( c a ) ( a b) a bc Đẳng thức xảy a b c hoặc hoán vị chúng Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa ab bc ca �0 Chứng minh a3 b3 c3 ab bc ca � (a b c ) bc ca a b Giải Bất đẳng thức cho tương đương với �2a � ��b c a ���(a b)2 * � � Mặt khác, ta có �2a a (a b ) a ( a c ) a (a b ) b (b a ) 2� a ��b c � � � bc � ca bc � � (a b) (a b ab bc ca ) � (b c)(c a) S a b c b c a Sb c a c a b S c a b a b c Đặt , , Khi * tương đương với b c S a c a Sb a b S c �0 S Khơng tính tổng qt, giả sử a �b �c Dễ thấy b �0 Sc �0 , S a Sb a b a b c a b 2c �0 Ta � b c S a � b c S a a c Sb � b c 2 18 S a Sb �0 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Đẳng thức xảy a b c a b c hoán vị chúng 19 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa ab bc ca �0 Chứng minh 2ab 2bc 2ca a b2 c2 � (a b) (b c) (c a) ab bc ca Giải Ta viết bất đẳng thức cho dạng �1 a b2 c 2bc ��� �2 b c ab bc ca � b c b c � b c * �ab bc ca ۳ � � � � Đặt Sa Khi ab bc ca b c * Sb , ab bc ca c a biết dạng b c ab bc ca Sc a b , S a c a Sb a b S c �0 Khơng tính tổng qt, giả sử a �b �c Với Sb �1 c a c b c a 2 Sc a b �0 ca Lại có � b c b c 2 Sa � b c Sa c a Sb � b c S a b S 2 a a Sb b2 2 a2 b c Sb b �0 Mặt khác 2 � � b � � a �� b Sa a Sb a b ab bc ca � � � � �� �b c � �c a �� � 2 2 2 � � b � � a �� �a b b c c a � � � � �� �b c � �c a �� � 2 20 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S � bc � 2� ca� a2 � 1 1 � b � � � ca� � bc � a b ab bc ca �0 b c c a Đẳng thức xảy a b c a b, c hốn vị chúng Ta có đpcm Bài (Iran TST 1996) Chứng minh với số thực khơng âm x, y, z ta có bất đẳng thức x y y z � ( z x) xy yz zx Giải Đặt a x y; b y z; c z x Ta phải chứng minh 2ab 2bc 2ca a �1 1 � b c � ��9 �a b c � Bằng biến đổi đơn giản, ta chuyển bất đẳng thức dạng 1� 1� 2 �2 � b c � a c � � 2� � 2� � �(a b) �0 �bc a � �ca b � �ab c � Đặt: Sa 2 Sb Sc bc a , ca b , ab c Gỉa sử a �b �c Sb �0 b S b c Sc �0 � b3 c3 �abc Việc lại cần chứng minh Từ cách đặt ban đầu a x y; b y z; c z x , dễ thấy a �b c Vậy ta b3 c3 �bc (b c) �abc Đẳng thức xảy a b c a b, c hoán vị Bài (VMO 2015) Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh 3(a b c ) �(a b c)( ab bc ca ) (a b)2 (b c ) (c a ) �(a b c ) Giải Vế trái bất đẳng thức đơn giản, ta dễ dàng chứng minh cách biến đổi tương đương đưa dạng tổng bình phương 21 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S 3( a b c ) �( a b c)( ab bc ca ) (a b) (b c) (c a ) � 3( a b c ) �( a b c)( ab bc ca ) 2(a b c ) 2(ab bc ac) � (a b c ) 2( ab bc ac) �( a b c )( ab bc ca ) � a b c � ab bc ca � ( a b ) ( b c )2 ( c a ) �0 Bất đẳng thức hiển nhiên với a, b, c số thực không âm Vế phải bất đẳng thức bất đẳng thức chặt khó Chúng ta chứng minh phương pháp S.O.S Để đơn giản hóa biểu thức Sa , Sb ,Sc khơng cịn chứa thức, ta cần đặt ẩn khử Đặt x a ; y b ; z c ( x, y, z �0) Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( x y z )( xy yz zx) �( x y ) �( x y z ) � ( x y z )( xy yz zx x y z ) �( x y ) �0 � ( x y z )�( x y ) �( x y ) ( x y ) �0 � �� 2( x y ) ( x y z ) � ( x y ) �0 � � � �( x y xy z )( x y ) �0 Ta tìm S x y z yz x S y x z xz y S z x y xy z S , S �0 Do tính đối xứng nên giả sử x �y �z , dễ thấy y z Từ việc cịn lại ta cần chứng minh S y S x �0; S y S z �0 Ta có S x S y z yz xz �0 S y S z x xz xy �0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c a b, c hoán vị tương ứng Bài Cho số thực a, b, c dương Tìm số k tốt cho bất đẳng thức đúng: a3 b3 c3 k (ab bc ca) k � (a b)(b c)(c a) (a b c) 22 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Giải Ta sử dụng biến đổi sau a b3 c 3 4a 4b c � ( a b) (a b)(b c )(c a ) 8(a b)(b c )(c a ) (ab bc ca ) (a b ) �6(a b c)2 (a b c)2 Bất đẳng thức cho viết thành � � 4a 4b c k ��8(a b)(b c)(c a) 6(a b c) � a b � � �0 Cho b c , k phải thỏa mãn điều kiện sau với a, b không âm 6(4a 5b)(a 2b) k� 16b(a b)2 Có thể dễ dàng tìm với a, b �0 f ( a, b ) 6(4a 5b)( a 2b) 9(3 3) 16b(a b) Ta chứng minh giá trị tốt k Với k 9(3 3) Khơng tính tổng qt giả sử a �b �c Sa 4b 4c a k 8(a b)(b c)(c a ) 6(a b c )2 Sb a 4c b k 8(a b)(b c)(c a ) 6(a b c) Sc a 4b c k 8(a b)(b c)(c a) 6( a b c) Khi dễ thấy S a Sb Sc �Sb �Sa Sb , Sc �0 Đặt t ab Suy 5a 5b 8c k 10t 8c k � �0 2 8(a b)(b c )(c a ) 3(a b c ) 16t (t c) 3(2t c) 3(2t c) (10t 8c) 9(3 3) k 16t (t c )2 (do ) Nên 23 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S S �Sc (a b) � Sa Sb (b c)2 Sb Sc (a b) �0 Vậy ta có điều phải chứng minh 24 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S KẾT LUẬN Kết đạt đề tài Đề tài tài liệu tham khảo vơ hữu ích dành cho bạn học sinh chuyên Toán giáo viên dạy Tốn S.O.S phương pháp vơ hữu dụng áp dụng với tất bất đẳng thức đối xứng ba biến chuẩn số dạng bất đẳng thức khác Chuyên đề tài liệu giúp bạn dễ dàng tham khảo, tra cứu, tìm hiểu để áp dụng vào nhiều tập từ có thêm nhiều kiến thức để dễ dàng xử lý toán bất đẳng thức phức tạp hơn, tốn kì thi học sinh giỏi, … Hướng phát triển đề tài Đề tài khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót hi vọng với kiến thức mang đến cho bạn đọc, chuyên đề ý tưởng, tảng cho bạn phát triển thành đề tài, công trình tốn học ý nghĩa Hơn nữa, tác giả mong muốn bạn tìm nhiều cách xử lí bất đẳng thức dạng chuẩn tắc chuyên đề để áp dụng phương pháp phân tích bình phương S.O.S cách hiệu Chúc bạn gặt hái nhiều thành công! 25 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Q TRÌNH NGHIÊN CỨU Thời gian thực đề tài 26 THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kim Hùng - Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Hà Nội, 2006 [2] Vasile Cỵrtoaje - Discrete Inequalities volume II [3] Diễn đàn tốn học - https://diendantoanhoc.net [4] Tạp chí tốn học tuổi trẻ 27 ... thục phương pháp Nghiên cứu, phát triển chia sẻ cho bạn có đam mê phương pháp hiệu để chứng minh bất đẳng thức Đối tượng áp dụng phương pháp Phương pháp S.O.S sử dụng nhiều dạng bất đẳng thức. .. Đây bất đẳng thức Schur bậc 3, bất đẳng thức mạnh có nhiều ứng dụng Có nhiều cách chứng minh khác đơn giản cho bất đẳng thức Tuy nhiên chứng minh phương pháp S.O.S để bạn hiểu rõ phương pháp. .. )2 �0 Bất đẳng thức ln đại lượng không âm Đẳng thức xảy a b c Tư tưởng THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Tốn Phương pháp phân tích bình phương S.O.S Với phương pháp phân tích bình phương S.O.S