0

tổng hợp đề thii học sinh giỏi toán 12 các tỉnh có đáp án

62 1,108 2
  • tổng hợp đề thii học sinh giỏi toán 12 các tỉnh có đáp án

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 26/02/2017, 01:24

S GD&T QUNG BèNH THI CHNH THC S BO DANH: K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT NM HC 2012 - 2013 Mụn thi: Toỏn - Vũng I (Khúa ngy 11 thỏng 10 nm 2012) Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cõu (2.5 im): Giai phng trinh: x 4n + x 2n + 2012 = 2012 (n Ơ * ) Cõu (2.5 im): Cho day sụ (u n ) xac inh bi cụng thc: u1 = * u = u + n+1 n u ữ; (n Ơ ) n Tinh: lim un ? Cõu (1.5 im): Cho cac sụ thc dng x, y, z Chng minh rng: 1 36 + + 2 x y z + x y + y z + z x2 Cõu (2.0 im): Cho tam giỏc ABC cú M l trung im cnh BC, N l chõn ng ã phõn giỏc gúc BAC ng thng vuụng gúc vi NA ti N ct cỏc ng thng AB, AM ln lt ti P, Q theo th t ú ng thng vuụng gúc vi AB ti P ct AN ti O Chng minh OQ vuụng BC Cõu (1.5 im): Tim nghim nguyờn dng ca phng trinh: x+2 = y + z HT S GD&T QUNG BèNH K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT NM HC 2012 - 2013 Mụn thi: Toỏn - Vũng I (Khúa ngy 11 thỏng 10 nm 2012) HNG DN CHM (ỏp ỏn, hng dn ny cú trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trỡnh by mt li gii cho mi bi Trong bi lm ca hc sinh yờu cu phi lp lun lụ gic cht ch, y , chi tit v rừ rng * Trong mi bi, nu hc sinh gii sai bc gii trc thỡ cho im i vi nhng bc gii sau cú liờn quan * im thnh phn ca mi bi núi chung phõn chia n 0,25 im i vi im thnh phn l 0,5 im thỡ tu t giỏm kho thng nht chit thnh tng 0,25 im * Hc sinh cú li gii khỏc ỏp ỏn (nu ỳng) cho im ti a tu theo mc im ca tng bi * im ca ton bi l tng (khụng lm trũn s) ca im tt c cỏc bi Cõu Ni dung im 2,5 im Phng trinh: x + x + 2012 = 2012 (n N*) t t = x2n 0, phng trinh (1) tr thanh: t + t + 2012 = 2012 1 t + t + = t + 2012 t + 2012 + 4 4n 2n (1) 0,25 0,5 t + ữ = t + 2012 0,5 0,25 t + = t + 2012 t + t 2011 = Giai phng trinh (2) ta c: t = Phng trinh co nghim: x1 = 2n (2) + 8045 thoa man iờu kin + 8045 va + 8045 , n Ơ * x = 2n 2 0,25 0,25 0,5 2,5 im Theo cụng thc xac inh day (un ) , ta co un > 0; n Ơ * p dung bõt ng thc Cụsi, ta co: 3 un+1 = 2un + ữ = un + un + ữ un2 = 3 ; n Ơ * un un un Do o: un 3 ; n Ơ * 0,5 0,5 un3 1 Mt khac: un+1 un = un + un = un ữ = un un un Võy (un ) la day sụ giam va bi chn di nờn no co gii han Gia s, lim un = a Ta co: a = a + a = a = 3 a a Võy: lim un = 3 Ta co: ( xyz ) Do o: 0,5 0,5 1.5 im 1 36 + + x y z + x2 y2 + y2 z + z x2 1 (9 + x y + y z + z x ) + + ữ 36 x y z 0,5 0,25 xy + yz + zx = ( xy ) ( yz ) ( zx ) 0,25 1 xy + yz+zx 27 ( xy + yz+zx ) x + y + zữ = ữ xyz ( xy + yz+zx ) 2 27 = xy + yz+zx 0,25 Mt khac: + x y + y z + z x = + ( x y + 1) + ( y z + 1) + ( z x + 1) ( + xy + yz + zx ) 0,25 1 (9 + x y + y z + z x ) + + ữ x y z 27 + ( xy + yz+zx ) xy + yz+zx = 108 + + ( xy + yz + zx ) xy + yz + zx 108 + ( xy + yz + zx ) ữ = 1296 xy + yz + zx A 1 2 2 2 Suy ra: (9 + x y + y z + z x ) + + ữ 36 x y z y Dõu = xay va ch khi: x = y = z = B P Q N M O x 0,25 0,25 2.0 im C 0,25 Chn h truc ta Nxy cho A, N nm trờn truc hoanh Vi AB khụng song song vi cac truc ta nờn phng trinh ca no co b dang : y = ax + b (a 0) Khi o : A = ;0 ữ, P = (0; b) a AC i qua A va ụi xng vi AB qua truc hoanh nờn co phng trinh : y = -ax b PO i qua P, vuụng goc vi AB nờn co phng trinh : y = x + b a O la giao im ca PO va truc hoanh nờn O = (ab,0) BC i qua gục ta nờn : +) Nu BC khụng nm trờn truc tung thi phng trinh BC co dang y = cx vi c 0,c a (vi B, C khụng thuc truc hoanh, BC khụng song song vi AB va AC) B la giao im ca BC va AB nờn ta B la nghim ca h : y = ax + b bc b B= ; ữ ca ca y = cx C la giao im ca BC va AC nờn ta C la nghim ca h : y = ax b b bc C = ; c+a c+a y = cx uuuu r bc abc ab AM = c; a ) M = ; Do o : 2 ( 2 ữ, suy : a (c a ) c a c a a2 ab T o ta co phng trinh ca AM la : y = x + c c Q la giao im ca AM vi truc tung nờn ab uuur Q = 0; ữ QO = ab 1; ữ c c uuur Do o QO la mt vect phap tuyn ca BC nờn QO vuụng goc BC +) Nu BC nm trờn truc tung thi tam giac ABC cõn tai A nờn M N, o O thuc AN nờn QO vuụng goc BC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Gia s ( x, y, z ) la nghim nguyờn dng ca phng trinh Ta co: 1,5 im x+2 = y + z + yz x ( y + z ) = yz [ x ( y + z ) ] = yz yz + 12 0,25 = yz [ x ( y + z ) ] 12 [ x ( y + z ) ] + [ x ( y + z ) ] + 12 = yz [ x ( y + z ) ] + yz + 12 Ô (vụ lý) x ( y + z) y =1 z = x = Nu x = y + z thi yz = y = z = Th lai, ta thõy: (4; 3; 1) va (4; 1; 3) la nghim ca phng trinh Võy: nghim nguyờn dng ca phng trinh a cho la (4; 3; 1) va (4; 1; 3) Nu x ( y + z ) thi = 0,25 0,25 0,5 0,25 S GIO DC V O TO HI DNG THI CHNH THC Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 10 THPT NM HC 2011 2012 MễN THI : TON - Vũng Thi gian lam bai: 180 phỳt ( thi gm 01 trang) Cõu (2 im) a) Cho ham sụ y = x + 2mx 3m va ham sụ y = x + Tim m thi cac ham sụ o ct tai hai im phõn bit va hoanh ca chỳng ờu dng b) Giai bõt phng trinh: x + x 12 > 10 x Cõu (2 im) a) Giai phng trinh: (4 x3 x + 3)3 x3 = b) Giai phng trinh: x 11x + 23 = x + Cõu (2 im) a) Trong mt phng ta Oxy cho im M (1;4) ng thng d qua M, d ct truc hoanh tai A(hoanh ca A dng), d ct truc tung tai B(tung ca B dng) Tim gia tri nho nhõt ca din tich tam giac OAB b) Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn (C): ( x 2) + ( y + 3) = va im A(1; 2) ng thng qua A, ct (C) tai M va N Tim gia tri nho nhõt ca dai oan thng MN Cõu (3 im) a) Chng minh rng t giac li ABCD la hinh binh hanh va ch AB + BC + CD + DA2 = AC + BD b) Tim tõt ca cac tam giac ABC thoa man: 1 = + (trong o AB=c; AC=b; ng ha2 b c cao qua A la ) Cõu (1 im) Cho a, b, c la cac sụ thc dng Chng minh rng: 2 a b) + ( b c) + ( c a) 2a 2b 2c ( + + 3+ b+c c+a a+b ( a + b + c) Ht H va tờn thi sinh:Sụ bao danh: Ch ký ca giam thi 1:.Ch ký ca giam thi 2: P N V HNG DN CHM MễN TON Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 10 THPT NM HC 2011 2012 Cõu í Ni dung Tim m: y = x + 2mx 3m va y = x + ct tai hai im a phõn bit va hoanh dng Yờu cu bai toan PT sau co hai nghim dng phõn bit x + 2mx 3m = x + x + 2( m + 1) x 3m = ' > 3(m + 1) > 2(m + 1) > im 1,00 0,25 0,25 m > ' > m < Kt hp nghim, kt luõn m < Giai bõt phng trinh: x + x 12 > 10 x b 0,25 0,25 1,00 TX: x + x 12 x Nu < x thi x + x 12 > 10 x , bõt phng trinh nghim ỳng vi mi x: < x 10 x x Nu bõt pt a cho x + x 12 x + x 12 > x 40 x + 100 x 48 x + 112 < < x < Kt hp nghim, trng hp ta co: < x Tõp nghim ca bpt a cho: (4;6] 3 3 (4 x x + 3) x = Giai phng trinh: (1) a 0,25 0,25 28 0,25 0,25 1,00 y x3 = ( I ) Khi o nghim t y = x x + (1) co dang: x x + = y ca (1) la x ng vi (x;y) la nghim ca (I) 3 3 y x = 3(2) y x = (I) 3 2 x + y ( x + y ) = ( x + y )(2 x xy + y 1) = 0(3) TH1: y = -x kt hp(2), co nghim ca (1): x = TH2: x xy + y = 0; ' x = y Nu co nghim thi y 0,25 0,25 0,25 2 < Tng t cng co x Khi o VT (2) ữ = 3 3 Chng to TH2 vụ nghim KL (1) co nghim x = b 0,25 Giai phng trinh: x 11x + 23 = x + K: x (1) 2( x x + 9) + ( x + x + + 4) = 1,00 0,25 2( x 3) + ( x + 2) = (*) x = Do a 0(a) nờn pt(*) x + = x = Võy pt a cho co nghim x=3 M (1;4) g thng d qua M, d ct truc hoanh tai A; d ct truc tung tai a B Tim gia tri nho nhõt ca din tich tam giac OAB( x A ; yB > ) x y Gia s A(a;0); B(0;b), a>0; b>0 PT ng thng AB: + = a b 4 16 Vi AB qua M nờn + = a b ab ab a = ab 8;" = " = = a b b = 2 Din tich tam giac vuụng OAB( vuụng O)la S = OA.OB = ab Võy S nho nhõt bng d qua A(2;0), B(0;8) b (C): ( x 2) + ( y + 3) = ; A(1; 2) qua A, ct (C) tai M va N Tim gia tri nho nhõt ca dai oan thng MN (C) co tõm I(2;-3), ban kinh R=3 Co A nm ng trũn(C) vi IA2 = (1 2) + (2 + 3) = < K IH vuụng goc vi MN tai H ta co IH + HN = IN = MN = 4HN = 4(9 IH ) Ma IH AH IH IA = MN 4(9 2) = 28 MN Võy MN nho nhõt bng H trựng A hay MN vuụng goc vi IA tai A Chng minh rng t giac li ABCD la hinh binh hanh va ch a AB + BC + CD + DA2 = AC + BD uuu r uuur uuu r uuur r T giac li ABCD la hinh binh hanh AB = DC AB DC = uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB DC = AB + DC AB.DC = uuu r uuur uuur 2 AB + DC AB.( AC AD ) = AB + DC ( AB + AC BC ) + ( AB + AD BD ) = (*) r r r2 r r r2 r r r2 r2 r r ( vi a b = a 2a.b + b 2a.b = a + b a b ) ( ) ( ) ( ) 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (*) AB + BC + CD + DA2 = AC + BD (pcm) ( Chỳ ý: nu ch lm c chiu thỡ cho 0,75 ) 1 b Tim tõt ca cac tam giac ABC thoa man: = + (1) b c Co a.ha = S = bc sin A 0,25 1,5 0,25 a2 4R = = ha2 b 2c sin A b 2c 0,25 (1) b + c = R sin B + sin C = cos B + cos 2C = cos B + cos 2C = 2cos( B + C )cos( B C ) = 0,25 0,25 0,25 B + C = hay A = ( < B + C < ;0 B C < ) B C = 0,25 2 2 ( a b) + ( b c) + ( c a ) Võy tam giac ABC vuụng A hoc co B C = CMR : 2a 2b 2c + + 3+ b+c c+a a+b ( a + b + c) 2a 2b 2c 1+ + 1= b+c c+a a+b a b+ a c bc +ba c a +c b + + b+c c+a a+b ; a , b, c > 1,00 XộtM= 1 1 1 ) + (b c)( ) + (c a)( ) b+c c+a c+a a+b a+b b+c 1 = ( a b) + (b c) + (c a ) (b + c)(c + a ) (c + a)(a + b) ( a + b)(b + c) 4 > = Vi ; (b + c)(c + a ) (a + b + 2c) (2a + 2b + 2c) ( a + b + c) ( a b) 2 ( a b ) ;" = " a = b ( a b) (b + c)(c + a ) (a + b + c ) Lam hoan toan tng t vi hai biu thc cũn lai 2 a b) + ( b c) + ( c a ) ( Suy M (pcm); = a = b = c ( a + b + c) 0,25 = (a b)( 0,25 0,25 0,25 Hinh v cõu 3b: I A M N H Lu ý: Hc sinh lm theo cỏch khỏc ỳng cho im ti a S GIO DC V O TO LONG AN K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT NM 2011 (VềNG 1) Mụn: TON ( BNG A ) Thi gian: 180 phỳt (khụng k giao ) Ngay thi: 06/10/2011 CHNH THC Cõu 1: ( 5,0 im ) a Giai phng trinh sau: x + x + = + x + x x x vi x R ( ) b Giai phng trinh: 2sin x + sin x + = cos x + sin x Cõu 2: ( 5,0 im ) a Cho tam giac ABC vuụng cõn tai B , canh AB = Trong mt phng cha tam giac ABC lõy im M thoa MA2 + MB = MC Tim qu tich ca im M b Cho tam giac ABC co hai trung tuyn BM va CN hp vi mt goc bng 600 , BM = 6, CN = Tinh dai trung tuyn cũn lai ca tam giac ABC Cõu 3: ( 4,0 im ) Cho day sụ ( un ) xac inh bi u1 = va un+1 = 3un + vi mi n a Xac inh sụ hang tng quat ca day sụ ( un ) 2 2 b Tinh tng S = u1 + u2 + u3 + + u2011 Cõu 4: ( 3,0 im ) Cho a, b, c la ba sụ thc khụng õm va thoa man iờu kin a + b + c = Tim gia tri ln nhõt ca biu thc: M = ( a + b + c ) ( a + b + c ) + 6abc Cõu 5: ( 3,0 im ) x + ( y + ) x + xy = 2m Tim m h phng trinh sau co nghim: vi x, y la x + x + y = m cac sụ thc Ht S GD&T NGH AN K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2011 - 2012 CHNH THC Mụn thi: TON LP 12 THPT - BNG B Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ờ) Cõu I (6,0 im) Giai phng trinh: x + x = (x Ă ) Giai bõt phng trinh: x 3x + ( x + 2) 6x (x Ă ) Cõu II (3,0 im) Tim tõt ca cac gia tri ca tham sụ m h phng trinh sau co nghim: x 12x y3 + 6y 16 = (x, y Ă ) 2 4x + x 4y y + m = Cõu III (5,5 im) Cho hinh chop S.ABCD co ay ABCD la hinh thoi canh 2a; SA = SB = SC = 2a Gi M la trung im ca canh SA; N la giao im ca ng thng SD va mt phng (MBC) Gi V, V1 ln lt la th tich ca cac khụi chop S.ABCD va S.BCNM V1 V b) Chng minh V 2a a) Tinh t sụ Cõu IV (3,0 im) Trong mt phng ta Oxy, cho tam giac ABC co A(2; -1) ng phõn giac ca cac goc B va C ln lt co phng trinh x 2y + = ; x + y + = Vit phng trinh ng thng BC Cõu V (2,5 im) Cho x, y, z la cac sụ thc dng thoa man xyz = Tim gia tri ln nhõt ca biu thc: P= 1 + x2 + 1 + y2 + 1 + z2 - - - Ht - - - H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: S GD& T NGH AN thi chớnh thc K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2012 - 2013 ( thi gm 01 trang) Mụn thi: TON - THPT BNG A Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cõu I: (3,0 im) 2x co thi (C) va im P ( 2;5 ) x +1 Tim cac gia tri ca tham sụ m ng thng d : y = x + m ct thi ( C ) tai hai im phõn bit A va B cho tam giac PAB ờu Cho ham sụ y = Cõu II: (6,0 im) x +1 = ( xĂ 2x + x + 1 2 x + y + + =5 2 x y Giai h phng trinh ( xy 1) = x y + Giai phng trinh ) ( x, y Ă ) Cõu III: (6,0 im) Cho lng tru ABC.A 'B'C' co ay la tam giac ờu canh a Hinh chiu vuụng goc ca im A ' lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm tam giac ABC Bit khoang cach gia hai a ng thng AA ' va BC bng Tinh theo a th tich khụi lng tru ABC.A 'B'C' Cho t din ABCD co G la trng tõm tam giac BCD Mt phng ( ) i qua trung im I ca oan thng AG va ct cac canh AB, AC, AD tai cac im (khac A ) Gi h A , h B , h C , h D ln lt la khoang cach t cac im A, B, C, D n mt phng ( ) h 2B + h C2 + h 2D Chng minh rng: h 2A Cõu IV: (2,5 im) Trong mt phng vi h truc ta Oxy , cho im A ( 1; 1) va ng trũn 2 ( T ) : ( x 3) + ( y ) = 25 Gi B, C la hai im phõn bit thuc ng trũn ( T ) ( B, C khac A ) Vit phng trinh ng thng BC , bit I ( 1;1) la tõm ng trũn ni tip tam giac ABC Cõu V: (2,5 im) Cho cac sụ thc dng a, b, c Tim gia tri nho nhõt ca biu thc sau: P= a + ab + abc a+b+c - - Ht - H tờn thớ sinh: S bỏo danh: S GD& T NGH AN K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2012 - 2013 HNG DN CHM CHNH THC Mụn: TON THPT- BNG A (Hng dn chõm gm 05 trang) Cõu Ni dung I Phng trinh hoanh giao im ca ng thng d va thi (C) la: (3,0) 2x = x + m x (m 3)x m = ( 1) , vi x x +1 ng thng d ct thi (C) tai hai im phõn bit va ch phng trinh ( 1) co hai nghim phõn bit khac m 2m + 13 > (ỳng m ) 0.m x1 + x = m Gi x1 , x la cac nghim ca phng trinh (1), ta co: x1 x = m Gia s A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x ; x + m ) Khi o ta co: AB = ( x1 x ) PA = PB = ( x1 ) ( x 2) 2 im 0,5 0,5 0,5 + ( x1 + m ) = ( x1 ) + ( x + m 5) = ( x 2) 2 + ( x2 2) , + ( x1 ) Suy PAB cõn tai P Do o PAB ờu PA = AB2 2 2 ( x1 ) + ( x ) = ( x1 x ) ( x1 + x ) + ( x1 + x ) 6x1x = m =1 m + 4m = Võy gia tri cn tim la m = 1, m = m = II x KX: 1, x 13 (3,0) Phng trinh a cho tng ng vi ( x + ) x + = 2x + ( 0,5 ) ( x + 1) x + + x + = 2x + + 2x + (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 Xột ham sụ f ( t ) = t + t ; f ' ( t ) = 3t + > 0, t Suy ham sụ f ( t ) liờn tuc va ng bin trờn Ă 0,5 Khi o: Pt(1) f 0,5 ( ) ( x +1 = f ) 2x + x + = 2x + D x x = x x x = x = + ( x + 1) = ( 2x + 1) x3 x2 x = x = ụi chiu KX c nghim ca phng trinh a cho la: 1+ va x = x= II x 2, KX: y (3,0) 2 x + ữ + y ữ = x y Ta co h phng trinh a cho tng ng vi: 2 ( x + 1) ( y 1) = 2xy 2 1 x + ữ + y ữ = u=x+ x y x ( *) , t v = y y ữ = y x + x ữ y u + v = ( u + v ) = H phng trinh ( *) tr uv = uv = u + v = u + v = (I) hoc (II) uv = uv = Ta co: u = u = hoc v = v = u = u = ( II ) hoc v = v = 0,5 0,5 0,5 0,5 ( I) u = u = u nờn ch co va thoa man x v = v = 1 x + = x = u = x ta co (thoa man KX) y = v = y = y x + = x = u = x ta co (thoa man KX) v = y = y = y Võy h phng trinh a cho co nghim ( x; y ) la: 0,5 Vi u = x + 0,5 0,5 0,5 1+ + 1; ữ, 1; ữ, 1; ữ, 1; ữ 2 III a2 Din tich ay la SABC = 1, (3,0) Gi G la trng tõm tam giac ABC 0,5 BC AE BC ( AA'E ) Gi E la trung im BC Ta co BC A 'G Gi D la hinh chiu vuụng goc ca E lờn ng thng AA ' Do o BC DE, AA' DE Suy DE la khoang cach gia hai ng thng AA ' va BC DE ã ã = = DAE = 300 Tam giac ADE vuụng tai D suy sin DAE AE a Xột tam giac A 'AG vuụng tai G ta co A 'G = AG.tan 30 = 3 a Võy VABC.A 'B'C ' = A 'G.SABC = 12 III Gi B', C', D' ln lt giao im ca mp 2, ( ) vi cac canh AB, AC, AD (3,0) Ta co VAGBC = VAGCD = VAGDB = VABCD (*) Vi VAB'C ' D' = VAIB'C' + VAIC 'D' + VAID'B' va (*) nờn VAB'C ' D' VAIB'C ' V V = + AIC ' D' + AID' B' VABCD 3VAGBC 3VAGCD 3VAGDB AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB' = + + AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB AB AC AD AG BB' CC' DD' + + = =6 + + =3 AB' AC' AD' AI AB' AC' AD' BB' h B CC' h C DD' h D = , = , = Mt khac ta co AB' h A AC' h A AD' h A hB hC hD + + = h B + h C + h D = 3h A (**) Suy hA hA hA 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ( h B + h C + h D ) ( h B2 + h C2 + h D2 ) 2 ( h B h C ) + ( h C h D ) + ( h D h B ) ( luụn ỳng ) 2 2 Kt hp vi (**) ta c ( 3h A ) ( h B + h C + h D ) Ta co: h 2B + h C2 + h 2D Hay h 2A IV ng trũn ( T ) co tõm K ( 3;2 ) ban kinh la R = (2,5) Ta co AI :x y = , o ng thng AI ct ng trũn ( T ) tai A '( A' khac A ) co ta la nghim ca h ( x 3) + ( y ) = 25 x = (loai) y = x y = x = hoc y = Võy A ' ( 6;6 ) ẳ ' = CA ẳ ') Ta co: A 'B = A 'C (*) (Do BA ã 'BC = BAI ã ã (1) (Vi cựng bng IAC ) A ã ã Mt khac ta co ABI (2) = IBC ã ' = ABI ã ã ã ã 'BC = IBA ã ' T (1) va (2) ta co: BIA + BAI = IBC +A Suy tam giac BA 'I cõn tai A ' o A 'B = A 'I (**) T ( *) , ( **) ta co A 'B = A 'C = A 'I Do o B,I,C thuc ng trũn tõm A ' ban kinh A 'I co phng trinh la ( x 6) + ( y ) = 50 ( x 3) + ( y ) = 25 Suy ta B, C la nghim ca h 2 ( x ) + ( y ) = 50 Nờn ta cac im B,C la : (7; 1),(1;5) Khi o I nm tam giac ABC (TM) Võy phng trinh ng thng BC : 3x + 4y 17 = V p dung bõt ng thc Cụsi ta co (2,5) a + 4b a + 4b + 16c a + ab + abc a + + = ( a + b + c) 2 3 ng thc xay va ch a = 4b = 16c 3 Suy P 2( a + b + c) a+b+c 3 t t = a + b + c, t > Khi o ta co: P 2t t 3 3 Xột ham sụ f ( t ) = vi t > ta co f ' ( t ) = 2t t 2t t 2t 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 f '( t ) = 3 = t =1 2t t 2t Bang bin thiờn t f '( t ) f ( t) + + + 0,5 Do o ta co f ( t ) = t >0 3 va ch t = Võy ta co P , ng thc xay va ch 16 a = 21 a + b + c = b = 21 a = 4b = 16c c = 21 16 Võy gia tri nho nhõt ca P la va ch ( a,b,c ) = , , ữ 21 21 21 - - Ht - Chỳ ý: - Hc sinh gii cỏch khỏc ỳng cho im phn tng ng - Khi chm giỏm kho khụng lm trũn im 0,5 S GD & T NGH AN thi chớnh thc K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2012 - 2013 ( thi gm 01 trang) Mụn thi: TON - BT THPT Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cõu I (5,0 im) Cho ham sụ y = x mx + m , vi m la tham sụ Tim cac gia tri ca m ham sụ co ba im cc tri Tim gia tri ln nhõt, gia tri nho nhõt ca ham sụ f ( x ) = x x trờn oan [ 0; 1] Cõu II (5,0 im) Giai bõt phng trinh 2x 5x + x x + y 4xy = Giai h phng trinh x + y xy = ( x Ă ) ( x, y Ă ) Cõu III (5,0 im) n Tim h sụ ca x khai trin nhi thc Niutn ca + x ữ , x x 15 Bit C0n + C1n + + C nn + C nn = 1024 (vi n Ơ * , C nk la sụ cac t hp chõp k ca n ) Giai phng trinh : ( 2sin x 1) ( sin x + 2cosx ) = sin 2x cosx Cõu IV (5,0 im) Cho hinh chop S.ABC co ng cao SA , ay la tam giac vuụng tai B Gi B' la hinh chiu vuụng goc ca im A lờn ng thng SB Qua im B' k ng thng song song vi ng thng BC ct SC tai C' Chng minh rng: SB vuụng goc vi mt phng ( AB'C') Tinh theo a th tich khụi chop S.AB'C' , bit SA = AB = a va BC = 2a - - Ht - - H tờn thớ sinh: S bỏo danh: S GD& T NGH AN K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2012 - 2013 HNG DN CHM CHNH THC Mụn: TON - BT THPT (Hng dn chõm gm 03 trang) Cõu Ni dung I TX: D = Ă 1, Ta co y' = 4x 2mx (2,5) y' = 4x 2mx = x ( 2x m ) = im 0,5 0,5 x = 2x m = ( 1) Ham sụ co ba im cc tri va ch phng trinh ( 1) co hai nghim phõn bit khac m > m > Võy gia tri cn tim la: m > m I Ham sụ f ( x ) = x x liờn tuc trờn oan [ 0; 1] 2, 2x (2,5) Ta co f ' ( x ) = x x = x2 x2 2x f '( x ) = = 2x = x ( 0; 1) x = ( 0; 1) x = Ta co f ( ) = 0, f ( 1) = 0, f ữ= f ( x ) = f ( ) = f ( 1) = , Max f ( x ) = f ữ = Võy Min [ 0;1] [ 0;1] II x 1, 2x 5x + (2,5) Bõt phng trinh a cho tng ngS vi x 1> 2 2xC 5x + x ( ) B C A B 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ( 1) 0,5 ( 2) x x x H BPT ( 1) x x > H BPT ( ) x 3x + 0,5 0,5 x > x x x 0,5 Võy tõp nghim ca bõt phng trinh a cho la: S = ( ;1] [ 2; + ) II ( x + y ) 6xy = 2, H phng trinh a cho tng ng vi x + y xy = (2,5) ( x + y ) 6xy + = xy = x + y ( x + y ) ( x + y ) + = x + y = xy = xy = x + y 0,5 0,5 0,5 0,5 x = y = x = y = 0,5 Võy nghim ( x; y ) ca h phng trinh a cho la: ( 1; ) , ( 2; 1) 0,5 III Ta co ( + 1) n = C0 + C1 + + C n + C n n n n n 1, n n n (2,5) Cn + Cn + + Cn + Cn = T gia thit ta suy 2n = 1024 2n = 210 n = 10 0,5 0,5 10 Ta co sụ hang tng quat khai trin nhi thc Niutn ca + x ữ x 2( 10 k ) k 5k k 7k 20 x = C10 x la C10 x Suy x15 ng vi 7k 20 = 15 k = 5 = 252 Võy h sụ ca x15 la C10 III PT ( 2sin x 1) ( sinx+2cosx ) = 2sin x cos x cosx 2, 2sin x sinx+2cosx cosx 2sin x = ( )( ) ( ) (2,5) 2sin x = (1) ( 2sin x 1) ( sinx+cosx ) = sinx+cosx = (2) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 IV 1, (2,5) x = + k2 PT ( 1) sinx = ( k Â) x = + k2 PT ( ) sin x + ữ= x + = k x = + k 4 Võy nghim ca phng trinh la x = + k2, x = + k2, x = + k ( k  ) 6 Ta co SA ( ABC ) SA BC (1) Mt khac BC AB (2) 0,5 ( k Â) 0,5 0,5 T ( 1) va ( ) suy BC ( SAB ) Do o BC SB B'C' SB ( ) (vi B'C'// BC ) Theo gia thit ta co SB AB' (4) T ( 3) va ( ) suy SB ( AB'C' ) IV Ta thõy tam giac SAB cõn tai A suy B' la trung im ca SB , o 2, SB' = SB (2,5) a SB = SA + AB2 = a SB' = a Vi SAB vuụng tai A nờn ta co AB' = SB' = Do BC ( SAB ) B'C' ( SAB ) B'C' AB' Ta co B'C' la ng trung binh ca tam giac SBC suy B'C' = BC = a a Th tich ca khụi chop S.AB'C' la V = SB'.AB'.B'C' = 12 Ht -Chỳ ý: - Hc sinh gii cỏch khỏc ỳng cho im phn tng ng - Khi chm giỏm kho khụng lm trũn im 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 S GIO DC V O TO H TNH CHNH THC K THI CHN HC SINH GII TNH LP 12 NM HC 2010 2011 MễN TON Thi gian lm bi: 180 phỳt 2y x + y + x = Bi a) Giai h phng trinh: x + y 2x = y b) Trong mt phng, vi h toa Oxy, chng minh thi ham sụ sau ct truc hoanh tai it nhõt x x im: y = log ( 2x + 1) log ( 2x + 1) + Bi Tim tham sụ m ham sụ y = x + 3mx + ( m + 1) x + nghich bin trờn mt oan co dai ln hn Bi Hai sụ thc x, y thoa man: x + 4y2 = Tim gia tri ln nhõt va gia tri nho nhõt ca biu thc: A = x + 4y3 3xy ã ã ã Bi Hinh chop A.BCD co ACB = ADB = 900 AB = 2a ay BCD la tam giac cõn tai B, co CBD = va CD = a Tinh th tich khụi chop A.BCD theo a va Bi Tam giac ABC khụng nhn co cac goc thoa man ng thc: sin B sin A sin C + ữ1 + ữ + ữ= + sin A sin C sin B Hoi tam giac ABC la tam giac gi? _ Ht _ S GD&T QUNG BèNH K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11 THPT NM HC 2010 - 2011 Mụn thi: Toỏn THI CHNH THC (Khúa ngy 30 thỏng nm 2011) S BO DANH: Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cõu 1:(3.0 im) a) Giai phng trinh: sin x + cos3 x 2cos x + ữ+ = 1 16 x + + = x+ y x y b) Giai h phng trinh: 1 100 2( x + y ) + + = ( x + y )2 ( x y )2 Cõu 2:(2.0 im) Cho day sụ ( xn ) xac inh nh sau: x1 = 30 * xn+1 = 30 xn + 3xn + 2011, n Ơ xn+1 xn Cõu 3:(3.0 im) Cho din ờu ABCD canh a Gi I, J ln lt la trng tõm cac tam giac ABC va tCHNH THC DBC Mt phng ( ) qua IJ ct cac canh AB, AC, DC, DB ln lt tai cac im M, N, P, Q vi AM = x , AN = y ( < x, y < a ) a) Chng minh MN, PQ, BC ng qui hoc song song v MNPQ l hỡnh thang cõn Tim lim b) Chng minh rng: a( x + y ) = 3xy Suy ra: 4a 3a x+y< c) Tớnh din tớch t giỏc MNPQ theo a v s = x + y Cõu 4:(1.0 im) Cho phng trinh: ax + ( 2b + c ) x + ( 2d + e ) = co mt nghim khụng nho hn Chng minh rng phng trinh ax + bx3 + cx + dx + e = co nghim Cõu 5:(1.0 im) Cho x, y, z > Chng minh rng: xy yz 3zx P= + + ( z + x)( z + y ) ( x + y )( x + z ) ( y + z )( y + x) HT UBND TNH BC NINH S GIO DC V O TO THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2010 2011 MễN THI: TON LP 12 THPT Thi gian lm bi: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Ngay thi 22 thang nm 2011 ================ Cõu 1:(5 im) 1/ Cho ham sụ y = x 3x + co thi la (T) Gia s A, B, C la ba im thng hang trờn (T), tip tuyn ca (T) tai cac im A, B, C ln lt ct (T) tai cac im A, B, C (tng ng khac A, B, C) Chng minh rng A, B, C thng hang 2/ Cho ham sụ y = x 2n +1 + 2011x + 2012 (1) , chng minh rng vi mi sụ nguyờn dng n thi ham sụ (1) luụn ct truc hoanh tai ỳng mt im Cõu 2:(5 im) 1/ Giai phng trinh: log x + log x + log x = log x + log x + log x ( x Ă ) 2/ Giai phng trinh: ( 5x ) 1 = x2 5x x ( xĂ ) Cõu 3:(3 im) k Ki hiu C n la t hp chõp k ca n phn t ( k n; k, n  ) , tinh tng sau: 2009 2010 S = C02010 + 2C12010 + 3C2010 + + 2010C 2010 + 2011C 2010 Cõu 4:(5 im) 1/ Cho hinh chop t giac S.ABCD, co ay ABCD la hinh binh hanh, AD = 4a ( a > ) , cac canh bờn ca hinh chop bng va bng a Tim cosin ca goc gia hai mt phng (SBC) va (SCD) th tich ca khụi chop S.ABCD la ln nhõt ã ã 2/ Cho t din ABCD co BAC = 600 , CAD = 1200 Gi E la chõn ng phõn giac goc A ca tam giac ABD Chng minh rng tam giac ACE vuụng Cõu 5:(2 im) Cho hai sụ thc x, y thoa man: x + y Chng minh rng: cos x + cos y + cos ( xy ) HT ( thi gm cú 01 trang) S GIO DC & O TO C MAU THI HC SINH GII VềNG TNH LP 12 THPT NM HC 2009-2010 CHNH THC Mụn thi: Toỏn Ngay thi: 20 12 2009 Thi gian: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bi 1: (3 im) Giai phng trinh : ln(sin x + 1) = esin x Bi 2: (3 im) Cho t giac ABCD ni tip ng trũn Gi a, b, c, d ln lt la dai cac canh va S la din tich ca t giac ABCD Chng minh rng : S = (p a)(p b)(p c)(p d) , vi p = a +b+c+d Bi 3: (2 im) Tim cac sụ x, y, z thoa man phng trinh : 2x 4x + y y 2xz + z + 13 = Bi 4: (3 im) Chng minh rng vi mi x thuc khoang (0 ; cosx > x2 ln( ) Ta co : ) cosx Bi 5: (3 im) Cho mt bang hinh vuụng chia ụ : x = 16 ụ va tõp hp gm 16 sụ t nhiờn liờn tip : n, n + 1, ., n + 14, n + 15; n > Ngi ta iờn cac sụ o vao cac ụ ca bang, mi ụ iờn mt sụ va tụ o cacco sụ iờn trờn o la bi ca n Gia s co k ụ c tụ mau o Xac inh gia tri n sụ k la nghim phng 3 3 trinh: (A k ) 138Ck 24 = ; o A k , C k ln lt la chnh hp, t hp chõp ca tõp k phn t Bi 6: (3,5 im) Cho hinh chop S.MNPQ, tr canh bờn SP, cac canh cũn lai ờu bng a 1) Tinh th tich ln nhõt ca khụi chop a3 2) Goc NMQ phai bng bao nhiờu th tich ca hinh chop bng Bi : (2,5 im) Xac inh m trờn cựng h toa Oxy, thi hai ham sụ sau õy co it nhõt mt ng tim cõn chung : y = mx x m vi m la tham sụ khac x 4x + ; y = x +1 S GIO DC V O TO C MAU D B Bi : Giai h phng trinh : HT K THI CHN HC SINH GII LP 12 THPT Nm hc 2009 2010 Mụn thi : TON Thi gian : 180 phỳt (khụng k thi gian giao ờ) Ngay thi : x y = y z =1 z x = Bi : Trong tam giac ABC, hay tim mt im M cho : MA2 + MB + MC la nho nhõt Bi : Cho a, b, c la ba canh ca mt tam giac vuụng, c la canh huyờn; x, y la hai sụ thoa man h thc ax + by = c Chng minh rng x2 + y2 Khi nao xay dõu ng thc Bi : Tim mi ham sụ f( x ) thoa : x f ( + x ) f ( x ) = x + x + x Bi : Cho tam giac ABC Ngi ta lõy trờn cac canh AB, BC va CA, mi canh gm n im phõn bit va khac A, B, C ; n > Lõp cac tam giac vi cac nh la cac im 3n im noi trờn Cac tinh toan sau õy khụng k n tam giac ABC 1) Gi s la sụ cac tam giac nh võy Tinh s theo n 2)Gi a la sụ cac tam giac lõp c nh trờn nhng co ba nh nm trờn ba canh khac ca tam giac s ABC Co hay khụng sụ n la sụ nguyờn dng ? sa Bi : Trờn mt phng co h toa Oxy, cho hypebol ( H ) co phng trinh : x y2 = va ng trũn ( T ) co phng trinh : x2 + ( y 1)2 = 1) Tim im trờn ( H ) co tng cac khoang cach t o n hai tim cõn at gia tri nho nhõt ? 2) Chng minh rng ( H ) va ( T ) ct tai im phõn bit va im o cựng nm trờn mt ng parabol dang y = a x2 + b x +c ( a khac ) Tim phng trinh ca parabol o Bi : Tim gia tri a phng trinh : 43 x 3.22 x 2 + a = co mt nghim thuc khoang ( ; ) HT ... 0, phng trinh (1) tr thanh: t + t + 2 012 = 2 012 1 t + t + = t + 2 012 t + 2 012 + 4 4n 2n (1) 0,25 0,5 t + ữ = t + 2 012 ữ 0,5 0,25 t + = t + 2 012 t + t 2011 = Giai phng trinh (2) ta... trinh: x + x 12 > 10 x b 0,25 0,25 1,00 TX: x + x 12 x Nu < x thi x + x 12 > 10 x , bõt phng trinh nghim ỳng vi mi x: < x 10 x x Nu bõt pt a cho x + x 12 x + x 12 > x 40... y + z ) = yz [ x ( y + z ) ] = yz yz + 12 0,25 = yz [ x ( y + z ) ] 12 [ x ( y + z ) ] + [ x ( y + z ) ] + 12 = yz [ x ( y + z ) ] + yz + 12 Ô (vụ lý) x ( y + z) y =1 z = x =
- Xem thêm -

Xem thêm: tổng hợp đề thii học sinh giỏi toán 12 các tỉnh có đáp án , tổng hợp đề thii học sinh giỏi toán 12 các tỉnh có đáp án ,