ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN

phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp Năm học 2014 - 2015 Đề thức Môn thi : Toán Thời gian làm : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Cõu 1: (6,0 điểm) 27.4500 + 135.550.2 + + + + 18 b) Chứng minh rằng: 1028 + chia hết cho 72 c) Khi chia số tự nhiên a cho ta số dư Còn chia a cho ta số dư Hãy tìm số dư phép chia a cho 36 a) Tính tổng: S = Câu 2: (4,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y cho: 7x + 12y = 50 18n + Tìm tất số tự nhiên n để phân số rút gọn 21n + Câu 3: ( 2,0 điểm) Tìm số nguyên tố x,y cho: x2 + 45 = y2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho góc kề bù Om tia phân giác ; On tia phân giác a) Tính b) Kẻ tia Om’ tia đối tia Om Nếu = có số đo độ c) Vẽ đường thẳng d không qua O Trên đường thẳng d lấy 2015 điểm phân biệt Tính số góc có đỉnh O cạnh qua điểm đường thẳng d Câu 5: ( 2,0 điểm) Tìm số tự nhiên a,b thoả mÃn điều kiện: 11 a 23 < < 17 b 29 vµ 8b - 9a = 31 - Hết (giám thị coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Hớng dẫn chấm thi olympic Năm học 2014 - 2015 Môn thi : Toán Cõu Cõu (6 đ) Líp Tóm tắt nội dung hướng dẫn Câu a (2 điểm) Xét tử: 27.4500+135.550.2 = 270.450+270.550 = 270.(450+550) = 270000 (2 + 18).9 = 90 Xét mẫu: 2+4+6+…+18 = Suy ra: S = 270000:90=3000 Câu b (2 điểm) Vì 1028 + có tổng chữ số chia hết tổng chia hết cho Lại có 1028 + có ba chữ số tận 008 chia hết tổng chia hết cho Mà (8,9) = Nên 1028 + chia hết cho 72 Câu c (2 điểm) Đặt a = 4q+3=9p+5 (p, q thương hai phép chia) => a + 13 = 4(q+4)=9(p+2) => a+13 bội Mà (4;9) = => a+13 ∈ BC(36) => a + 13 = 36k (k ∈ N * ) => a = 36k – 13 =36(k-1) + 23 Vậy a chia 36 dư 23 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu (4 đ) Ta có 122 = 144 > 50 y 73 > 50 x 0,5 N => ≤ y ≤ => y 0, 25 N => ≤ x ≤ Với y = => 7x + 121 = 50 => 7x = 38 => khơng tìm x Với y = => 7x + 120 = 50 => 7x = 49=72 => x = Vậy x = 2, y = Giả sử 18n + 21n + chia hết cho số nguyên tố d 0,5 0,5 0,25 0,25 => 18 n + M d, 21n + M d => 6( 21n + 7) – 7(18n + 3) M d 0,5 => 21M d => d ∈ Ư(21) = { ; 7} 0,5 Mà 21n + Không chia hết cho => d ≠ Ta lại có 21n + M => 18n + M => 18n + – 21 M => 18(n - 1) M mà (18; 7) = => n – 1M = > n = 7k + 1(k ∈ N) Vậy để phân số Câu ( 2đ) 18n + rút gọn n = 7k + 1(k ∈ N) 21n + x2 + 45 = y2 => y2 > 45 Do y số nguyên tố lẻ Suy x số nguyên tố chẵn nên x = Từ ta có: y2 = + 45 suy y2 = 49 => y = 0,5 0,25 0,5 0,5 1,0 Câu (6 đ) 0,5 a.Om tia phân giác => On tia phân giác => 0,5 0,5 => + = )= b) Om Om’ hai tia đối => +) < => => + = Mặt khác + Mà + 0,5 = nằm Om Om’ 0,5 (1) = Từ (1) (2) => +) Oz 1,0 = 0,5 (2) 0,5 = = = 0,5 = ( Om tia phân giác ) => = 150 c.Cứ điểm đường thẳng d nối với điểm O góc đỉnh O =>Có đoạn thẳng đường thẳng d có nhiêu góc đỉnh O => Số góc đỉnh O qua điểm đường thẳng d : = 4058210 (góc) Vậy có 4058210 góc Bài (2,0đ) 0,5 0, 11 a 23 < < vµ 8b - 9a = 31 17 b 29 31 + 9a 32 − + 8a + a = 8b - 9a = 31 ⇒ b = ∈ N ⇒ (a-1) M 8 T×m a,b ∈ N cho ⇒ a = 8q + 1(q ∈ N) 31 + 9(8q + 1) = 9q + b= 11 8q + 23 ⇒ < < 17 9q + 29 11(9q+5) < 17(8q+1) ⇒ 37q > 38 29(8q+1) < 23(9q+5) ⇒ 25q < 86 q=2⇒ a 17 = b 23 1,0 ⇒q>1 ⇒ q < ⇒ q ∈ {2; 3} q=3 ⇒ a 25 = b 32 phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp Năm học 2014 - 2015 Đề thức Môn thi : Toán Thời gian làm : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) 1,0 Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết: 1  a  x −  = 2 243  b x − − x = c − x > 5 Câu 2: (4,0 điểm) a) Chứng minh đa thức x2 – 2x + vô nghiệm a c b = Với ≠ ± Chứng minh: b d d 2a + 3c 2a − 3c a + c ac = = 1) 2) 2b + 3d 2b − 3d b + d bd b) Cho tỉ lệ thức Câu 3: ( 4,0 điểm) a) Tìm x biết: x + − 2x = x − b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B = 8−x đạt giá trị nhỏ x −3 Câu 4: (5,0 điểm) Cho ∆ ABC nhọn, AD vng góc với BC D Xác định I; J cho AB trung trực DI, AC trung trực DJ ; IJ cắt AB ; AC L K Chứng minh : a) ∆ AIJ cân b) DA tia phân giác góc LDK c) BK ⊥ AC ; CL ⊥ AB d) Nếu D điểm tùy ý cạnh BC Chứng minh góc IAJ có số đo khơng đổi tìm vị trí điểm D cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ Câu 5: ( 1,0 điểm) Tìm x, y thuộc Z biết: 25 − y = 8( x − 2009) - Hết (giám thị coi thi khơng giải thích thờm) phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Hớng dẫn chấm thi olympic Năm học 2014 - 2015 Môn thi : To¸n Líp Câu Tóm tắt nội dung hướng dẫn Điểm 4 1   1 a  x −  =  ±  2   3 1 => x − = => x = 1 x − = − => x = 0,5 0,5 0,5 Vậy x = x = 6 0,5 b x − − x = Câu (6 đ) ta có 2x – – x = => x = (thoả mãn) Nếu x < ta có –2x + – x = => x =0 (thoả mãn) Nếu x ≥ Vậy x = x = c − x > 5  − x>  5 − x < −  5 Bài ( 4đ) 0,5 0,75 x>2 0,75 x > a) x2 – 2x + = x2 – 2x +1 + 1= ( x- )2 +1 Vì ( x- 1)2 ≥ với ∀ x nên ( x- 1)2 + ≥ với ∀ x Do đa thức cho vô nghiệm b a c 2a 2c 3a 3c 2a + 3c 2a − 3c = = = = = b) 1) Với ≠ ± ; = = d b d 2b 2d 3b 3d 2b + 3d 2b − 3d a c a2 c2 a2 + c2 2) = ⇒ = = (1) b d b d b +d2 a c a2 c2 ac ( ) = ⇒ = = b d bd b d Từ suy ĐPCM a 0,75 x< Vậy x < Bài ( 4đ ) 0,75 0,5 1,0 1,0 1,0 1,0 x + − 2x = x − (1) Lập bảng xét dấu: x x+3 x-4 - -3 + - + + 0,5đ Xét khoảng x < 3, ta có (1) trở thành: -2x = ⇔ x = -3,5 (thuộc khoảng xét) Xét khoảng −3 ≤ x ≤ ta có (1) trở thành: 0.x = (Khơng có giá trị x thoả mãn) Xét khoảng x > 4, ta có (1) trở thành: -2x = -7 ⇔ x = 3,5 (không thuộc khoảng xét) Kết luận: Vậy x = -3,5 b Biến đổi B = 1đ 0,5đ 8−x − ( x − 3) = = −1 x −3 x −3 x −3 0,5đ B đạt giá trị nhỏ ⇔ x − nhỏ 0,5đ Xét x > x < 3, ta x − có giá trị nhỏ -5 x = Kết luận: Giá trị nhỏ B -6 x = Câu : (5 điểm) Vẽ hình ghi giả thiết, kết luân: 0,5đ a) Do AB ; AC trung trực AB => AI = AD AD = AJ => AI = AJ => ∆AIJ cân A   I = D1 ∆ ALI = ∆ ALD (c.c.c) b) => (1đ) 0,5đ 0,5đ   => D2 = J ) ) => I1 = J (1đ)   => D1 = D  => DA tia p/g LDK c) + Chứng minh KC phân giác đỉnh K tam giác DLK + Chứng minh DC phân giác đỉnh D tam giác DLK Suy LC tia phân giác đỉnh L tam giác DLK Mà AB phân giác đỉnh L tam giác LDK Hay CL vng góc với AB L Chứng minh tương tự: BK vơng góc với AC K (1đ) ˆ ˆ d) CM IAJ = BAC (không đổi) (0, 75 đ) ˆ * ∆ AIJ cân A có IAJ khơng đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ cạnh bên AI nhỏ Ta có AI = AD ≥ AH (AH đường vng góc kẻ từ A đến BC) Xảy dấu đẳng thức D ≡ H (0, 75đ) Vậy D chân dường vng góc hạ từ A xuống BC IJ nhỏ TT : ∆ AKD = ∆ AKJ (c.c.c) Mà ∆ AIJ cân (câu a) Bài 5: (1 đ) Ta có 25 − y = 8(x − 2009) 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2+y2=25(*) Vì y2 ≥ nên (x-2009)2 ≤ (0.25đ) 25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 (0.25đ) Với (x -2009) =1 thay vào (*) ta có y = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ∈ ¥ ) (0.25đ) Từ tìm (0.25 ) (x=2009; y=5) phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp Năm học 2014 - 2015 Đề thức Môn thi : Toán Thời gian làm : 120 phút (không kể thời gian giao ®Ị ) Câu 1: (6,0 điểm)  − x3  − x2  : − x Cho biểu thức A =  với x ≠ -1; x ≠  1− x  1− x − x + x a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm giá trị x để A < Giải phương trình: x - 30x + 31x - 30 = Câu 2: (4,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x − xy = x − y − Chứng minh m ≠ m = a + không số nguyên tố Câu 3: ( 3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A, biết: A = (x-1)4 + (x - 3)4 + (x - 1)2 (x - 3)2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H a Tính tổng : HD HE HF + + AD BE CF b Chứng minh : BH.BE + CH.CF = BC c Chứng minh : H cách ba cạnh tam giác DEF d Trên đọan HB, HC lấy điểm M, N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạnn MN qua điểm cố định Câu 5: ( 1,0 điểm) Tìm số nguyên n cho : 2n3 + n2 + 7n + M (2n – 1) - Hết (giám thị coi thi không giải thớch gỡ thờm) phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Hớng dẫn chấm thi olympic Năm học 2014 - 2015 Môn thi : Toán Cõu (6) Ni dung trình bày a) Với x khác -1 : − x3 − x + x2 (1 − x)(1 + x) : A= 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) Líp Điểm 1,0 (1 − x)(1 + x + x − x) (1 − x)(1 + x) : = 1− x (1 + x)(1 − x + x ) = (1 + x ) : (1 − x) = (1 + x )(1 − x) 0,5 0,5 b)Với x khác -1 A với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > KL: x - 30x + 31x - 30 = ( x - x + 1) ( x - ) ( x + ) = (*) 2 ) + > ∀x (*) (x - 5)(x + 6) = x - = x = ⇔ ⇔ x + =  x = - Kết luận nghiệm Vì x2 - x + = (x - Câu (4đ) 0,75 0,75 0,5 x − xy = x − y − ⇔ x − x + = y ( x − 5) (2) x − 6x + (vì x=5 không nghiệm (2)) x−5 ⇔ y = ( x + 1) + x+5 x,y nguyên nên x-5 ước ⇔ x-5∈ {-1,1,3,-3} hay x ∈ { 4,6,8,2} ⇔ y= x y Bài 1,0 1,0 8 Vậy nghiệm phương trình (x,y)=(2,0);(4,0);(6,8);(8,8) m = a + = (a + 4a + 4) − (2a) = (a + + 2a)(a + − 2a) =[( a + 2a + 1) + 1][(a − 2a + 1) + 1] =[( a + 1) + 1][(a − 1) + 1] (a + 1) ≥ 1∀a, (a − 1) ≥ 0∀a nên giá trị nhỏ thừa số thứ a=-1 giá trị nhỏ thừa số thứ hai a=1 cịn trường hợp khác tích >1 Vậy ngồi a=1 a=-1 m=5 phân tích thành tích hai thừa số lớn nên m số nguyên tố Đặt a = x - 1, b =3-x ta có a + b = A = a4 + b4 + 6(ab)2 = (a2+b2)2 + 4a2b2 1đ 1đ 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2 = ( a + b ) − 2ab  + 4a 2b   = ( − 2ab ) + 4a 2b 2 = 8a 2b − 16ab + 16 0,5đ = 8(ab − 1) + ≥ Dấu “=” xảy a + b = ab =  a = b = Suy x = Vậy giá trị nhỏ A x = Bài IV A E F H M I B K N D C O a) (2đ) b) (1,5) c) (1,5đ) d) S ( HBC ) HD Trước hết chứng minh: AD = S ( ABC ) HE S ( HCA) HF S ( HAB ) = = Tương tự có: BE S ( ABC ) ; CF S ( ABC ) S ( HBC ) + S ( HCA) + S ( HAB ) HD HE HF + + S ( ABC ) Nên AD BE CF = HD HE HF + + ⇒ AD BE CF = Trước hết chứng minh ∆ BDH : ∆ BEC ⇒ BH.BE = BD.BC Vµ ∆ CDH : ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB ⇒ BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (đpcm) · · Trước hết chứng minh ∆ AEF : ∆ ABC ⇒ AEF = ABC · · ⇒ CED = CBA ∆ : ∆ Và CDE CAB · ⇒ · AEF = CED mà EB ⊥ AC nên EB phân giác góc DEF Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đường phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) Gọi O giao điểm đường trung trực hai đọan MN 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 · (1đ) · HC, ta có ∆ OMH = ∆ ONC (c.c.c) ⇒ OHM = OCN (1) · · Mặt khác ta có ∆ OCH cân O nên: OHC = OCH (2) · · Từ (1) (2) ta có: OHC = OHB ⇒ HO phân giác góc BHC Vậy O giao điểm trung trực đọan HC phân giác góc BHC nên O điểmm có định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O 2n3 + n2 + 7n + = (n2 + n + 4) (2n - 1) + Câu Để 2n3 + n2 + 7n + M 2n - M 2n - hay 2n - Ư(5)  2n  2n ⇔   2n   2n − − − − 0,25 0,25 O,25 0,25 0,5 1=-5 n = - n = = -1 ⇔ n = 1=1  1=5 n = Vậy: n ∈ { − 2; 0; 1; } 2n3 + n2 + 7n + M 2n – 0,5 ******************** Các bạn tham khảo tài liệu khác đây: (GIỮ PHÍM CTRL VÀ CLICK VÀO ĐƯỜNG LINH MÀU XANH NÀY): http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm ... thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ∈ ¥ ) (0.25đ) Từ tìm (0.25đ ) (x=2009; y=5) phßng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp Năm học 2014 - 2015 Đề thức Môn thi : Toán Thời gian làm... ⇒ q ∈ {2; 3} q=3 ⇒ a 25 = b 32 phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp Năm học 2014 - 2015 Đề thức Môn thi : Toán Thời gian làm : 120 phút (không kể thời gian giao ®Ị ) 1,0 Câu... – 1) - Hết (giám th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Hớng dẫn chấm thi olympic Năm học 2014 - 2015 Môn thi : Toán Câu (6đ) Nội dung trình bày a) Với