bộ đề thi thử vào lớp 10 môn toán các tỉnh trong cả nước có đáp án

Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn O, gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.. Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau,

Phòng GD-ĐT Hải Hậu

Trờng THCS B Hải Minh đề dùng cho hs thi vào trờng chuyênĐề thi thử vào lớp10 thpt

(Thời gian làm bài 150 )’

Bài 1(1đ): Cho biểu thức

x

x x

x x

x

x x P

−

+++

)3(2323

265

=+

−++

−

04

0252

2 2

2 2

y x y x

x y xy y x

Bài 5(1đ): Chứng minh rằng:

6 8 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

zx

x z yz

z y xy

y x P

2 2 2

2 2

b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn nhất

Bài 8(1đ): Cho góc vuông x0y và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA >0), điểm M bất kỳ trên cạnh

Oy(M ≠ O) Đờng tròn (T) đờng kính AB cắt tia MA,MB lần lợt tại điểm thứ hai:

C , E Tia OE cắt đờng tròn (T) tại điểm thứ hai F

1 Chứng minh 4 điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đờng tròn

2 Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Bài 9(1đ): Cho tam giác ABC nhọn có 3 đờng cao: AA1, BB1, CC1 đồng quy tại H

Chứng minh rằng: 6

1 1

1

≥+

+

HC

HC HB

HB HA

HA

Dấu "=" xảy ra khi nào?

Bài 10(1đ): Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, đôi một vuông góc với nhau Lấy điểm A, B,

C bất kỳ trên Ox, Oy và Oz

a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng: OH vuông góc với mặt phẳng ABC

b) Chứng minh rằng: S2ABC = S2OAB + S2OBC + S2OAC

032

x x x

* Rót gän:

18

)3)(

1(

248

3

)3)(

1(

)1)(

3(

)3(

−+

−

=

−+

++

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x P

0.25

0.250.25

05

≥

−

x x

0372

025

372

0)45

45

()972672(

2 2

⇔

=

−

−+

−+

⇔

=+

−

−

−+++

−+

⇔

x x x

x x

x x

x x

=

−+

−

−+

)2(0

4

)1(025

2

2 2

2 2

y x y x

y x y xy x

)1(35

24

)1(35

)1(9)2(

8)5

y y

y x

y y

y x

y y

y y

x

0.25

0.250.250.25

0.25

* Với: x = 2 - y, ta có hệ:

10

122

042

2

2 2

−

=

y x y

y

y x

y x y x

y x

*Với

2

1+

+

=

513541

045

12

042

1

2

2 2

y x

y x

x x

x y

y x y x

y x

3 3 3 3

3 3

.1.13.3)11(3

36)(3)

(

1

6

a a

a y

x xy y x y x a

y x

y x

y

>

++

=

+

=++

+

=+

(vì: x > 1; y > 0 ⇒ a > 1)

⇒ a9 > 93.a ⇔ a8 > 36 (đpcm)

0.250.250.250.25

Bài 6

(1 điểm)

* áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1, 2 và

y x

2,1

)1(2

13

1122

212

1)21(

2 2

2 2

2 2

2

2 2

y xy

y x

y x y

13

12

)2(2

13

12

2 2

2 2

x z zx

x z

z y yz

z y

≥

⇒

z y x P

Suy ra: Pmin = 3 khi: x = y = z = 3

k y

* k = 0 suy ra (d) có dạng: y = -2, khi đó khoảng cách từ O đến (d) là 2

* Với k ≠ 0 và k ≠ 1 Gọi A = d ∩ Ox, suy ra A(1/k; 0)

Xét tam giác vuông AOB, ta có :

5522

5

45

15

21

25

2

11

1

2 2

2 2

2

=

≤+

k OH

OB OA

OH

Suy ra (OH)max = 5 khi: k = 1/5

Vậy k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất

0.250.25

b) Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra: M∧1 =E∧1

*Mặt khác: A, C, E, F cùng thuộc đờng tròn (T) suy ra: E∧1 =C∧1

Do đó: M∧1 =C∧1 ⇒OM//FC ⇒Tứ giác OCFM là hình thang.

0.25

0.25

0.250.25

Bài 9 b)* Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác

1 1 1

* Đặt S = S∆ ABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB A

Ta có: C1 B1

1 1

1 1

1 1

1

.21

21

HA

HA HA

AA BC HA

BC AA S

S = = = + H

Tơng tự:

1 2

1

HB

HB S

S = + B A1 C

1 3

1

HC

HC S

S

+

= Suy ra:

3 1 1 1 ) (

3 1 1 1

3 2 1 3 2 1

3 2 1 1

1 1

= +

+

S S S S S S

S S S

S HC

HC HB

HB HA

HA

Theo bất đẳng thức Côsy:

639

91

11)(

1 1

1

3 2 1 3 2 1

=

−

≥+

+

=

HC

HC HB

HB HA

HA

S S S S S S

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

0.25

0.25

0.250.25

Suy ra: AB ⊥ mp(ONC) ⇒ AB ⊥ OH (1)

Tơng tự: BC ⊥ AM; BC ⊥ OA, suy ra: BC ⊥ mp (OAM) ⇒ OH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OH ⊥ mp(ABC)

b) Đặt OA = a; OB = b; OC = c

4

1

4

1

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

4

14

14

1)(

41

1111

1

OAC OAB

OBC

ABC

S S

S

c a b c b a b

a b a

b a c S

b a

b a ON b

a OB OA ON

++

=

=+

+

=+

=+

=

∆

0.250.25

0.25

0.25

Đề 3

Bài 1: Cho biểu thức: ( ) ( x )( y)

xy x

y x

y y

y x

x P

−+

−++

−

−+

=

111

))

1)(

(a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P

b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2

Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt

b) Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung

=++

=++

27

1111

9

zx yz xy

z y x

z y x

Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng tròn (C ≠ A;C ≠ B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N

a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân

b) Khi MB = MQ , tính BC theo R

Bài 5: Cho x,y,z∈R thỏa mãn :

z y x z y

11

11

Hãy tính giá trị của biểu thức : M =

4

3 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10)

= +

−

⇔

= +

− +

⇔

y x

y y

x

Ta có: 1 + y ≥1 ⇒ x− ≤1 1 ⇔ ≤ ≤0 x 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn

Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng

b) A và B nằm về hai phía của trục tung ⇔ phơng trình : x2 + mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2

Bài 3 :

( ) ( )

=++

=++

327

)2(1111

19

xz yz xy

z y x

z y x

Từ :

z y x z y

11

1

1

=>1 1 1 1 =0

++

−++

z y x z y x

=> ( + + ) = 0

−+++

+

z y x z

z z y x

(

01

1

2

=++

++++

⇒

x z z y

y

x

z y x xyz

xy z zy zx

y

x

z y x z xy

2) Một hình trụ có chiều cao gấp đôi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình một hình cầu khi lấy ra mực nớc trong bình còn lại

3

2 bình Tỉ số giữa bán kính hình trụ và bán kính hình cầu là A.2 ; B.3 2 ; C 3 3 ; D một kết quả khác

Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0

2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A = x + y

Bài 3: 1) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức : (x + a)(x - 4) - 7

Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)

2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt là các điểm cố định trên tia Ax, Ay sao cho AB < AC,

điểm M di động trong góc xAy sao cho

MB

MA

= 2

1

Xác định vị trí điểm M để MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan

M D

N

M

I C

B A

21

Bài3 Câu 1Với mọi x ta có (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c)

Nên với x = 4 thì - 7 = (4 + b)(4 + c)

Có 2 trờng hợp: 4 + b = 1 và 4 + b = 7

4 + c = - 7 4 + c = - 1Trờng hợp thứ nhất cho b = - 3, c = - 11, a = - 10

Ta có (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11)Trờng hợp thứ hai cho b = 3, c = - 5, a = 2

1 Xét tam giác AMB và tam giác ADM có MâB (chung)

Dấu "=" xảy ra <=> M thuộc đoạn thẳng DC

Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC

* Cách dựng điểm M

- Dựng đờng tròn tâm A bán kính

2

1 AB

- Dựng D trên tia Ax sao cho AD =

Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC tại N

Bài 2) Cho biểu thức : M =x2−5x y+ 2+xy−4y+2014.

Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 4 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đờng

tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lợt tại C và D

a.Chứng minh : AC BD = R2

b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất

Bài 5.Cho a, b là các số thực dơng Chứng minh rằng :

u v uv

u v

 ;

( ) ( )



Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm của hệ là :

(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị

Bài 4 a.Ta có CA = CM; DB = DM

Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC ⊥ OD

Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên :

⇒ Chu vi VCOD≥ chu vi AMBV

Dấu = xảy ra ⇔ MH1 = OM ⇔ M≡O ⇒ M là điểm chính giữa của cung ằAB

02

⇒ + + ≥ + > Mặt khác a b+ ≥2 ab >0

Nhân từng vế ta có : ( ) ( ) 1 ( )

22

Bài 6 (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABCV

Gọi E là giao điểm của AD và (O)

Ta có:VABD:VCED (g.g)

11

oh

d

c

m

ba

b

a

2 −

x

x f

−

−+

=

−

)3)(

72()72)(

3(

)4)(

2()2(

y x y

x

y x y

11

1

x

x x

x

x x

x x

với x > 0 và x ≠ 1a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân

đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

2(

24

)(

x x

x f

A

Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra

2

1+

=

x A

Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra

2

1+

−

=

x A

11

1

x

x x

x

x x

x x

)1(:1

1)

1)(

1

(

)1)(

1

(

x

x x

x x x

x x

x

x x

11

1

x

x x x x

x x

11

−

−

+

−+

−

x

x x

x x

x

=

1

:1

EH

= ; (1)

Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)

=> ∠POB = ∠ACB (hai góc đồng vị)

=> ∆ AHC ∞ ∆ POB

Do đó:

OB

CHPB

AH

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH

b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) và do AH = 2EH ta có

.)

2(

2PB

AH.CB2PB

⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

d

Rd.2.R4R

)R4(d

Rd.8R

(2R)4PB

4R.2R.PBCB

4.PB

4R.CB.PBAH

−

=+

114x3x

2

1m.xx

2

12mx

x

2 1

2 1

2 1

77m47

4m-133

8m-26

77mx

7

4m-13x

1 1

Giải phơng trình 11

8m-26

77m47

4m-13

x

++ + -

11

x x

+

−a/ Rút gọn P

b/ Chứng minh: P < 1

3 với x ≥ 0 và x ≠1

Câu 2: Cho phơng trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m là tham số

a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia

Câu 3: a/ Giải phơng trình : 1

2 4 2 0

a b

Câu 4: Cho ABCV cân tại A với AB > BC Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp VBCD Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K

a/ Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp

b/ Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?

c/ Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành

++ + -

1( 1)( 1)

+

− +

11

x

++ + -

11

x− = 2 ( 1)( 1) ( 1)

m−)2 = m2 – 3

Dựng tia Cy sao cho ãBCy BAC=ã .Khi đó, D là giao điểm của ằAB và Cy.

Với giả thiết ằAB > ằBC thì ãBCA > ãBAC > ãBDC

⇒ D ∈ AB

Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm

Đề 8 Câu 1: a) Xác định x ∈R để biểu thức :A =

x x

x x

−+

21

+

z y

yz

y x

xy

x

Biết x.y.z = 4 , tính P

Câu 2:Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)

a.Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng

b Tính diện tích tam giác ABC

Câu3 Giải phơng trình: x−1−3 2−x =5

Câu 4 Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R 2 Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với

đ-ờng tròn Một góc ∠xOy = 450 cắt đoạn thẳng AB và AC lần lợt tại D và E

x x

x x

x x

x

)1).(

1(

1

2 2

2

++

−+

++

b.Điều kiện xác định: x,y,z ≥ 0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta đợc x, y, z > 0 và xyz =2

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với x ; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi xyz ta đợc:

2

22

(

22

++

++

=+

+

+++

++

xy x xy x

z

z x

xy

xy x

xy

x

(1đ)

⇒ P =1 vì P > 0

Câu 2: a.Đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b

Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = 2

Vậy đờng thẳng AB là y = 2x + 4

Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đờng thẳng AB ⇒ A, B, C không thẳng hàng.

Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đờng thẳng AB ⇒ A,B,D thẳng hànb.Ta có :

AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20

AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10

BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10

⇒AB2 = AC2 + BC2 ⇒ ∆ABC vuông tại C

Vậy S∆ ABC = 1/2AC.BC = 10 10 5

3

2R

Đề 9 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x2 −4x+4

2 −

x

x f

−

−+

=

−

)3)(

72()72)(

3(

)4)(

2()2(

y x y

x

y x y

x

Câu 3: Cho biểu thức

B

M A

O

C D

E

1

x

x x

x

x x

x x

với x > 0 và x ≠ 1a) Rút gọn A

2) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân

đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

2

10210

)

(

x

x x

x x

f

c)

)2)(

2(

24

)(

x x

x f

A

Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra

2

1+

=

x A

Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra

2

1+

−

=

x A

−

=

−+

−

−

−+

−

−+

=

−

2y

-2x

04

2167221762

8422

)3)(

72()72)(

3(

)4)(

2()2(

y x

y x

x y xy x

y xy

x y xy x xy

y x y

x

y x y

11

1

x

x x

x

x x

x x

−

+

−+

11

)1(:1

1)

1)(

1(

)1)(

1(

x

x x

x x x

x x

x

x x x

1

x

x x x x

x x

x x

=

1

:1

11

−

−

+

−+

−

x

x x

x x x

=

1

:1

x

=

x

x x

EH

= ; (1) Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)

=> POB = ACB (hai góc đồng vị)

=> ∆ AHC ∞ ∆ POB

Do đó:

OB

CHPB

AH

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trug điểm của AH

b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) và do AH = 2EH ta có

.)

2(

2PB

AH.CB2PB

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

d

Rd.2.R4R

)R4(d

Rd.8R

(2R)4PB

4R.2R.PBCB

4.PB

4R.CB.PBAH

−

=+

114x3x

2

1m.xx

2

12mx

x

2 1

2 1

2 1

77m47

4m-133

8m-26

77mx

7

4m-13x

1 1

Giải phơng trình 11

8m-26

77m47

4m-13

1+

B = 35 + 335 + 3335 + +     

3 99

35

2) áp dụng : cho x+4y = 5 Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x2 + 4y2

Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn

CI ( M khác C và I ) Đờng thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q

a) Chứng minh DM.AI= MP.IB

b) Tính tỉ số :

MQ MP

Câu 5:

Cho P =

x

x x

−

+

−1

34

2

Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.

đáp án Câu 1 :

1) A =

53

1+ =

3 99

35

17

5 , y =17

20 (2đ)

Câu 4 : 5đ

Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=>

∆ MPD đồng dạng với ∆ ICA =>

IA

MP CI

DM = => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1)

2

x

x x

)3)(

1(

Đề 11

Câu 1 : a Rút gọn biểu thức 2 ( 1)2

11

1

+++

=

a a

b Tính giá trị của tổng 2 2 2 2 2 2

100

199

11

3

12

112

11

a Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với ∀m

b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tìm GTLN, GTNN của bt

( 1)

2

32

2 1

2 2

2 1

2 1

++

+

+

=

x x x

x

x x P

Câu 3 : Cho x≥1, y≥1 Chứng minh.

xy y

x + + ≥ +

21

11

1

2 2

Câu 4 Cho đờng tròn tâm o và dây AB M là điểm chuyển động trên đờng tròn, từM kẻ MH ⊥

AB (H ∈ AB) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB tại D

1 Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đờng tròn

2 Chứng minh

BH

AD BD

AH MB

MA

2 2

=

H ớng dẫn

=

⇒

a a

a a

1100

1

111

=

B

a a A

x

2

12

22

1

12

m GTLN

−+

++

−

⇔

xy y

y x y xy

x

x y x

2

2 1

MB h HF

MA h HE BH

AH MB

−

+

ab

b a ab

b a

1

+++

ab

ab b a

1

21

a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D

M

o E'

E A

F F' B I

D H

b) Tính giá trị của D với a =

32

2

−c) Tìm giá trị lớn nhất của D

Câu 2: Cho phơng trình

32

2

− x2- mx + 2 3

2

− m2 + 4m - 1 = 0 (1)a) Giải phơng trình (1) với m = -1

b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn 1 2

2 1

11

x x x

Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, Aˆ =α(α =900)Chứng minh

rằng AI =

c b

Cos bc

(Cho Sin2α =2SinαCosα )

Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và một điểm N di động trên một nửa đờng tròn sao cho

B

N

A

N ≤  Vễ vào trong đờng tròn hình vuông ANMP

a) Chứng minh rằng đờng thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q

b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp

c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1

Hãy tính giá trị của:

B =

x

xyz y

zx z

ab b a

ab

ab b a

2

2

32

2

−

−

=++

c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có

11

2 a ≤a+ ⇒D≤

1 2

1 2

1

I

Q P

N

M

B A

c

b a

I

C B

101

28

⇔

234

234

0142

1

2 1 2

m m

m m

⇔

=

−+

⇔+

=

+

01

00

)1)(

(1

1

2 1

2 1 2

1 2 1 2

1 2

x x x

x x x x

=

⇔

194

194

00

38

0

2

2

m m

m m

cSin AI

S∆ABI =

2

.2

S∆ = ∆ + ∆

c b

bcCos c

b Sin

bcSin

AI

c b AISin

bcSin

+

=+

)(2

)(2

α

αα

Câu 4: a) Nˆ1 =Nˆ2Gọi Q = NP ∩(O)

QA QB

⇒ ) = ) Suy ra Q cố định

b) Aˆ1 =Mˆ1(= Aˆ2)

⇒Tứ giác ABMI nội tiếp

c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định

Tam giác ABF có: AQ = QB = QF

⇒ ∆ABF vuông tại A ⇒ Bˆ =450 ⇒ A FˆB=450

Câu 5: Biến đổi B = xyz

111

z y

2 =

=

xyz xyz



Đề 13 Bài 1: Cho biểu thức A =

2

1

14( 1)

b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M

Bài 3 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:

x2 - m2x + m + 1 = 0

có nghiệm nguyên

Bài 4 : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D ∈ BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp

xúc với BC tại D Đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F Chứng minh

a) Điều kiện x thỏa mãn

2

1 04( 1) 04( 1) 04( 1) 0

x x x x

x x

B

C D

⇒ AE AD

AD = AC hay AD2 = AE.AC (1)+ ADF ~ ABD ⇒ AD AF

b/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình

x2-(m+5)x-m+6 =0

Có 2 nghiệm x1 và x2 thoã mãn một trong 2 điều kiện sau:

a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị

Câu 5: Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450 Một tia cắt cạnh

BC tại E cắt đờng chéo BD tại P Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q

a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn

b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP

c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CPD=CM

h ớng dẫn

Câu 1: a/ Biểu thức A xác định khi x 2 và x>1≠

1 1

Q

P M

F

E

B A

( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2

A= ( ) (x-2)2 x-1

vậy với x = 5 thì A nhận giá trị nguyên bằng 1

Câu 2: Ta có x = (m+5)∆ 2-4(-m+6) = m2+14m+1 0 để ph≥ ơng trìnhcó hai nghiệmphân biệt khi vàchỉ khi m≤-7-4 3 và m -7+4 3 (*) ≥

a/ Giả sử x2>x1 ta có hệ x2-x1=1 (1)

x1+x2=m+5 (2)

x1x2 =-m+6 (3)

Giải hệ tađợc m=0 và m=-14 thoã mãn (*)

b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)

⇒ tứ giác ABEQ nội tiếp đợc

⇒ ∠FQE = ∠ABE =1v

chứng minh tơng tự ta có ∠FBE = 1v

⇒ Q, P, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kinh EF

b/ Từ câu a suy ra AQE vuông cân ∆

AQP

S

S = ( 2 )2 hay SAEF = 2SAQP

c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD và ∠APD=∠CPD

x x

x

x

−

++

−

++

1265

92

a Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M

y

1+

z

1 = 4

Chứng ming rằng:

z y

x+ +2

1 +

z y

x+2 +

1 +

z y

1+

Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay sao cho x ˆ A y = 450

Tia Ax cắt CB và BD lần lợt tại E và P, tia Ay cắt CD và BD lần lợt tại F và Q

a Chứng minh 5 điểm E; P; Q; F; C cùng nằm trên một đờng tròn

c b

a ; Hãy tính P = 2 2 2

b

ac a

bc c

x x

x

x

−

++

−

++

1265

92

a.ĐK x≥0;x≠4;x≠9 0,5đ

Rút gọn M = ( )( ) ( )( )

21

233

92

−

−

−+

+

−+

−

−

x x

x x

x x

x x

M = ( )( )

12

3

21

x

x M x

x

x x

( )

164

416

416

155

1

35

1

53

15

M b

⇔

−

=+

x

x x

x x

x x

c M =

3

413

433

1

−+

x x

Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y > x + 2y ≥3

mà 96 = 25 3 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6 16 = 8 12

=+

2443

62

y x

y x

=+

1643

62

y x

y x

=+

1243

82

y x

y x

Hệ PT vô nghiệmVậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm là (x, y) = (4, 1)

b ta có /A/ = /-A/ ≥A∀A

Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ ≥ /x−2005+2008−x/ ≥ /3/ = 3 (1)

/2007/

0/2006/

y

x y

x

Bài 3

a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ

b Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có 2 2 ( )2 (*)

y x

b a y

b x

a

+

+

≥+

< >(a2y + b2x)(x + y)≥(a+b)2xy

⇔a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy ≥ a2xy + 2abxy + b2xy

⇔a2y2 + b2x2 ≥ 2abxy

⇔a2y2 – 2abxy + b2x2 ≥ 0

⇔(ay - bx)2 ≥ 0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0

Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay a b

B x

x x

B

2006

20062006

.220062006

−

( ) ( )

2006

20052006

20052006

20052006

2

2 2

2 2

++

−

⇔+

x x

à Tứ giác FDAP nội tiếp góc D = 900 à góc APF = 900 à góc EPF = 900…… 0,25đ

Các điểm Q, P,C luôn nhìn dới 1góc900 nên 5 điểm E, P, Q, F, C cùng nằm trên 1 đờng tròn

đờng kính EF ………0,25đ

b Ta có góc APQ + góc QPE = 1800 (2 góc kề bù) ⇒góc APQ = góc AFE

Góc AFE + góc EPQ = 1800 àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)

à

2

222

APQ

APQ AEE AEF

góc MCD = góc MDC (do M thuộc trung trực của DC)

à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD à tam giác MDC đều à góc CMD = 600

à tam giác DMA cân tại D (vì AD = DC = DM)

à x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz

à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz 0 = 0

Từ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 à x3 + y3 + z3 = 3xyz

à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

Do đó P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3

nếu 1/a + 1/b + 1/c =o thì P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3

Đề 16

Bài 1Cho biểu thức A = ( 2 3)22 12 2

a Chứng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m

c Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + x2 (với x1, x2 là nghiệm của phơng trình (1))

Bài 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho

AC>AB và AC > BC Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB với CD; AD và CE

a Chứng minh rằng DE// BC

b Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp

c Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F

Chứng minh hệ thức:

CE

1 =

CQ

1 +

++

<

a c

c c b

b b a a

đáp án Bài 1: - Điều kiện : x ≠0

2

2 4

+

−+

++

x

x x

A

3 2

2

−+

01

1

y x

Vậy N(-1; 2) là điểm cố định mà (d3) đi qua

b Gọi M là giao điểm (d1) và (d2) Tọa độ M là nghiệm của hệ

2

x y

x y

2

y x

Vậy M (2; 0)

Nếu (d3) đi qua M(2,0) thì M(2,0) là nghiệm (d3)

Ta có : 0 = 2m + (m+2) => m=

-32

Vậy m =

-3

2 thì (d1); (d2); (d3) đồng quy

Bài 3: a ∆'= m2 –3m + 4 = (m -

2

3)2 + 4

3

)1(2

2 1

2 1

m x x

m x

622

22

2 1

2 1

m x x

m x x

4

154

15

VậyPmin =

Bài 4: Vẽ hình đúng – viết giả thiết – kết luận

a Sđ∠CDE =

2

1Sđ DC =

∠CAQ = ∠ CDE (cùng chắn cung DC)

Suy ra ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ

QE CE FC

DE PQ DE

=>

DE FC PQ

11

1 + = (3)

ED = EC (t/c tiếp tuyến) từ (1) suy ra PQ = CQ

Thay vào (3) :

CE CF CQ

111

=

Bµi 5:Ta cã:

c b a

a

++ < b a

a

+ < a b c

c a

++

+ (1)

c b a

b

++ < b c

b

+ <a b c

a b

++

+ (2)

c b a

c

++ < c a

c

+ < a b c

b c

++

+ (3) Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :

1 <

b a

-đề I.Trắc nghiệm:(2 điểm)

3 Hãy ghi lại một chữ cái đứng trớc khẳng định đúng nhất

Câu 1: Kết quả của phép tính (8 18 2 98− + 72 : 2) là :

Câu 4 : Một hình nón có bán kính đờng tròn đáy là 3cm, chiều cao là 4cm thì diện tích xung

quanh hình nón là:

A 9π(cm 2 ) B 12π(cm 2 ) C 15π(cm 2 ) D 18π(cm 2 )

II Tự Luận: (8 điểm)

Câu 5 : Cho biểu thức A= 1 2

c) Với giá trị nào của x thì A<1.

Câu 6 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì đầy bể sau 2 giờ 24 phút Nếu chảy riêng từng

vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể?

Câu 7 : Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AB>BC)

Vẽ đờng tròn tâm (O ' ) đờng kính BC.Gọi I là trung điểm của AC Vẽ dây MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đờng tròn tâm O ' tại D.

a) Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp?

c) Xác định vị trí tơng đối của ID và đờng tròn tâm (O) với đờng tròn tâm (O ' )

Đáp án

x x

0.25 Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: x+2 (giờ)

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy đợc : 1

0.25

Giaỉ phơng trình ta đợc x1=4; x2=-6

Vậy: Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là:4 giờ

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: 4+2 =6(giờ) 0.25

A

C B

0.5

a) Đờng kính AB⊥MN (gt) ⇒I là trung điểm của MN (Đờng kính và dây

IA=IC (gt) ⇒Tứ giác AMCN có đơng chéo AC và MN cắt nhau tại trung

điểm của mỗi đờng và vuông góc với nhau nên là hình thoi 0.5 b) ãANB=900 (góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O) )

Từ (3) và (4) ⇒N,I,D,C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính NC

c) O∈BA O '∈BC mà BA vafBC là hai tia đối nhau ⇒B nằm giữa O và O ' do

đó ta có OO ' =OB + O ' B ⇒ đờng tròn (O) và đờng tròn (O ' ) tiếp xúc ngoài tại

A=

2

)1(:1

11

1

2

2 2 3

x x x

x

Với x≠ 2 ;±1 .a, Ruý gọn biểu thức A

.b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x= 6+2 2

c Tìm giá trị của x để A=3

=

−+

−

1232

4)(3)

y x

y x y

2

2 3

++

−

−

−

x x

x x

Câu3 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)

K

F E

D

C B

A

Câu 4 Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó Dng hình vuông

ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi Flà giao điểm của Aevà nửa đờng tròn

(O) Gọi Klà giao điểm của CFvà ED

a chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K nằm trên một đờng tròn

b Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao ?

224++

=

−+

−

1232

4)(3)

y x

y x y

=

−

123

−

=

−

123

∆ = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m≠ 1/2 pt còn có nghiệm x=

12

=

12

0112

0122

m m

mặt khác ∠BFC= 900( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)

do CF kéo dài cắt ED tại D

=> ∠BFK= 900 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK

hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK

b ∠BCF= ∠BAF

Mà ∠ BAF= ∠BAE=450=> ∠ BCF= 450

Ta có ∠BKF= ∠ BEF