Bài Giảng Đại Số Hệ 30A Trường Đại Học Nông Lâm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN: TOÁN LÝ BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ HỆ 30A Người biên soạn: Trần Đức Toàn Thái Nguyên, năm 2015 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số MỤC LỤC Thái Nguyên, năm 2015 MỤC LỤC CHƯƠNG I TẬP HỢP VÀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I Tập hợp I.1 Khái niệm tập hợp .1 I.1.1.Khái niệm tập hợp I.1.2 Biểu diễn tập hợp I.1.3 So sánh tập hợp I.1.4 Các ký hiệu logic toán học I.1.5 Các phép toán tập hợp .2 II Đại số tổ hợp II.1.Qui tắc đếm II.1.1 Qui tắc cộng II.1.2 Qui tắc nhân II.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp II.2.1 Hoán vị II.2.2 Chỉnh hợp .3 II.2.3 Tổ hợp II.3 Nhị thức Newton II.3.1 Khai triển Newton .5 II.3.2 Tính chất .5 II.3.3 Tam giác Paxcan II.3.4 Một số ứng dụng: CHƯƠNG .7 PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH .7 I Bất đẳng thức Định nghĩa: Tính chất Các bất đẳng thức kinh điển Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức II Đại cương phương trình - Hệ phương trình Các định nghĩa: 1.1 Định nghĩa 1.2 Định nghĩa 1.3 Định nghĩa Các phép biến đổi tương đương .9 III Phương trình bậc hai Định nghĩa: Cách giải biện luận Định lý Viet ứng dụng .9 3.1 Định lý Viet: 3.2 Ứng dụng: .9 Một số phương trình quy phương trình bậc hai 10 4.1 Phương trình có chứa ẩn giá trị tuyệt đối 10 4.2 Phương trình bậc đối xứng 11 4.3 Phương trình bậc đối xứng 11 4.4 Tiêu chuẩn để phương trình đại số có nghiệm x = hay x = - 11 4.5 Tìm nghiệm hữu tỷ phương trình bậc cao có hệ số nguyên 11 IV Hệ phương trình 12 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 12 Biên soạn: Trần Đức Toàn Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Hệ phương trình bậc hai hai ẩn 13 2.1.Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai 13 2.2.Hệ phương trình đối xứng loại I .13 2.3 Hệđưa có phương trình đẳng cấp 14 V Bất phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai .14 Dấu nhị thức bậc nhất, bất phương trình bậc 14 1.2 Bất phương trình bậc .14 Dấu tam thức bậc hai 14 Bất phương trình bậc hai .15 Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu thức 16 VI Phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ .16 Căn thức tính chất thức 16 1.1 Căn bậc n 16 Định nghĩa phương pháp giải phương trình vô tỷ 16 2.2 Các dạng .17 2.3 Các phương pháp giải phương trình vô tỷ .17 2.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương .17 2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 17 Bất phương trình vô tỷ 17 3.2 Các định lý biến đổi tương đương 17 3.3 Cách giải bất phương trình vô tỷ .18 3.2.1 Biến đổi tương đương 18 3.2.2 Đặt ẩn phụ 18 VII Phương trình mũ, bất phương trình mũ 19 Hàm số mũ 19 1.1 Định nghĩa: 19 1.2 Các tính chất: 19 1.3 Các phép toán: 19 1.4 So sánh lũy thừa: 19 Phương trình mũ bản: 19 Phương pháp giải phương trình mũ 19 3.1 Phương pháp logarit hóa đưa số .19 3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: 20 Bất phương trình mũ 20 4.1 Bất phương trình mũ 20 4.2 Phương pháp giải bất phương trình mũ 20 4.2.1 Đưa số 20 4.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 21 VIII Phương trình logarit, bất phương trình logarit .21 Hàm số logarit 21 1.1 Định nghĩa: 21 1.2 Các tính chất: 21 1.3 Các phép toán: 21 Phương trình logarit 21 2.1 Phương trình 21 Phương pháp giải phương trình logarit 22 3.1 Phương pháp mũ hóa đưa số .22 3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: 22 Bất phương trình logarit 23 5.1 Bất phương trình logarit .23 5.2 Phương pháp giải bất phương trình logarit .23 5.2.1 Đưa số 23 5.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 23 CHƯƠNG III 24 Biên soạn: Trần Đức Toàn Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 24 Công thức lượng giác 24 1.1 Hệ thức lượng giác 24 1.2 Hàm số lượng giác góc đặc biệt 24 1.3 Công thức cộng góc 24 1.4 Công thức góc nhân đôi - nhân ba 24 1.5 Công thức góc hạ bậc .24 1.6 Công thức biến đổi qua 25 1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng 25 1.8 Công thức biến đổi tổng thành tích 25 Phương trình lượng giác 25 2.1 Phương trình: 25 2.2 Phương trình: 25 2.3 Phương trình: 25 2.4 Phương trình: 26 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác 26 Phương trình bậc sinx cosx .26 Phương trình đối xứng sinx cosx .27 Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx 28 Phương trình bậc cao 28 CHƯƠNG IV 30 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG .30 I Đại cương hàm số 30 I.1 Định nghĩa hàm số 30 I.2 Tập xác định, tập giá trị hàm số 30 I.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn .30 I.4 Giới hạn hàm số 30 I.4.2 Các tính chất 31 I.4.3, Giới hạn phía 32 I.5 SỰLIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ .32 I.5.1 Định nghĩa: 32 I.5.2 Một số tính chất hàm số liên tục 33 II ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 34 II.1 Các định nghĩa đạo hàm 34 II.2 Liên hệ tính liên tục hàm số đạo hàm hàm số 34 II.3 Ý nghĩa thực tiễn đạo hàm 35 II.3.1, Ý nghĩa hình học đạo hàm 35 II.4 Các qui tắc tính đạo hàm 35 II.5 Định nghĩa đạo hàm cấp cao: 36 III Ứng dụng đạo hàm .36 III.1 Sự đồng biến nghịch biến hàm số .36 III.2 Cực trị hàm số 36 III.2.2 Điều kiện để hàm số có cực trị 37 III.3 Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số 37 III.3.2 Qui tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số khoảng, đoạn .38 III.4 Tiệm cận 38 III.4.1.Định nghĩa tiệm cận 38 III.4.2 Các loại tiệm cận 38 III.5 Khảo sát hàm số 39 III.5.1 Sơ đồ khảo sát hàm số .39 III.5.2 Khảo sát số hàm đa thức phân thức hữu tỷ 39 III.5.2.3 Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị hàm số 42 III.6 Phương trình tiếp tuyến 43 Biên soạn: Trần Đức Toàn Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số III.6.1 Khái niệm tiếp tuyến .43 III.6.2 Các toán phương trình tiếp tuyến .43 CHƯƠNG V 46 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 46 I Nguyên hàm 46 Định nghĩa: 46 Tính chất: .46 Bảng nguyên hàm .46 Các phương pháp tính nguyên hàm 47 4.1 Tính trực tiếp 47 4.2 Phương pháp đổi biến số: 47 4.3 Phương pháp lấy nguyên hàm phần: .48 II Tích phân 49 Định nghĩa: 49 Tính chất tích phân xác định .49 Các phương pháp tính tích phân xác định 50 3.1 Công thức đổi biến số .50 3.2 Công thức tích phân phần 51 III Ứng dụng tích phân xác định hình học 51 Tính diện tích hình phẳng: 51 Tính thể tích vật thể tròn xoay 53 Biên soạn: Trần Đức Toàn Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số CHƯƠNG I TẬP HỢP VÀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I Tập hợp I.1 Khái niệm tập hợp I.1.1.Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm toán học, không định nghĩa xác, hình thành từ khái niệm thực tiễn đời sống hàng ngày khái niệm toán học Chẳng hạn: Trong toán học ta thường gặp cụm từ: Tập hợp số tự nhiên, tập hợp điểm, tập hợp nghiệm phương trình… Trong đời sống sinh hoạt hàng ngày ta hay nói, tập hợp học sinh lớp học, tập hợp người dân sống thành phố, v.v… Khi coi học sinh lớp học tập hợp học sinh lớp học phần tử tập hợp Trong trường hợp tổng quát, cho tập hợp ta phải nêu nên dấu hiệu, nhờ với đối tượng cụ thể ta khẳng định đối tượng có phải phần tử tập hợp cho hay không? * Tập hợp thường ký hiệu chữ in A, B, C, X, Y, Z, Vật tạo nên tập hợp gọi phần tử tập Nếu x phần tử tập hợp X ta viết x ∈ X đọc “ x thuộc X” Ngược lại ta viết x ∉ X đọc “ x không thuộc X” I.1.2 Biểu diễn tập hợp Ta hay dùng phương pháp sau để biểu diễn tập hợp: • Liệt kê: A = { a, b, c, d , e} ; B = {1,2,3,4, ,30} • Chỉ thuộc tính đặc trưng: A = {x ∈ N: x số phương} Chú ý tập hợp biểu diễn nhiều cách, chẳng hạn A = {1, 4, 9, 16, } = { x ∈ N: x số phương} * Một số tập hợp quen biết chúng có ký hiệu riêng, ví dụ: N = tập hợp số tự nhiên = { 0, 1, 2, 3, 4, } Z+ = tập hợp số nguyên dương = {1, 2, 3, 4, } Z = tập hợp số nguyên = { ,−3,−2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, } Q = tập hợp hữu tỷ = { a / b : a, b ∈ Z , b ≠ 0} R = tập hợp số thực I.1.3 So sánh tập hợp * Tập A gọi tập tập B, ta viết A ⊆ B, phần tử A phần tử B Hai tập A B gọi nhau, ta viết A = B, phần tử A phần tử B ngược lại * Tập rỗng, ký hiệu φ , tập phần tử Chẳng hạn x ∈ N : x = −1 { tập rỗng Ta qui ước tập φ tập tập hợp Biên soạn: Trần Đức Toàn } Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số I.1.4 Các ký hiệu logic toán học * Toán học có ký hiệu riêng, ngắn gọn chấp nhận rộng rãi toàn cầu Ký hiệu ∃ nghĩa “tồn tại”, ∃ ! nghĩa “tồn nhất”, ∀ nghĩa “với mỗi”, ⇒ nghĩa “suy ra”, ⇔ nghĩa “nếu nếu” * Mỗi từ “Bổ đề”, “Mệnh đề”, “Định lý”, “Hệ quả” có nghĩa phát biểu I.1.5 Các phép toán tập hợp * Cho A B tập hợp Hợp A B, ký hiệu A ∪ B , tập phần tử thuộc A thuộc B Giao A B, ký hiệu A ∩ B , tập phần tử thuộc A thuộc B Hiệu A B, ký hiệu A \ B, phần tử A không thuộc B Nếu B ⊆ A A \ B ký hiệu C A (B ) ,gọi phần bù B A Như A ∪ B = {x : x ∈ A x ∈ B}; A ∩ B = {x : x ∈ A x ∈ B}; A \ B = {x : x ∈ A x ∉ B}; * Định lý ( Công thức De Morgan ) Với A, B hai tập tập X ta có: a) C X ( A ∩ B ) = C X ( A) ∪ C X ( B ) ; b) C X ( A ∪ B ) = C X ( A) ∩ C X ( B ) II Đại số tổ hợp II.1.Qui tắc đếm II.1.1 Qui tắc cộng Nếu công việc chia thành k trường hợp để thực hiện, trường hợp có n1 cách thực xong công việc, trường hợp hai có n cách thực xong công việc, , trường hợp k có n k cách thực xong công việc cách thực trường hợp lại trùng với cách thực trường hợp khác Khi ta có: n = n1 + n2 +  + nk cách thực công việc II.1.2 Qui tắc nhân Giả sử công việc chia thành k giai đoạn Có n cách thực giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực giai đoạn thứ hai, , n k cách thực giai đoạn thứ k Khi ta có: n = n1.n2 nk cách thực công việc Ví dụ Giả sử để từ A đến C ta bắt buộc phải qua điểm B Có đường khác để từ A đến B có đường khác để từ B đến C Vậy có n = 3.2 = cách khác để từ A đến C II.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp II.2.1 Hoán vị Định nghĩa: Hoán vị n phần tử nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử cho (Hoán vị chỉnh hợp không lặp chập n n phần tử) Vậy hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp phần tử Kí hiệu công thức: Pn = n(n − 1)(n − 2) = n ! Ví dụ 1: Có cách xếp người ngồi vào ghế dài gồm chỗ Giải: Số cách xếp người vào ghế dài gồm chỗ hoán vị phần tử, nên ta có P5 = 5!= 5.4.3.2.1 = 120 (cách) Biên soạn: Trần Đức Toàn Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Ví dụ 2: Có cách xếp n đại biểu ngồi quanh bàn tròn Giải: Do chỗ ngồi quanh bàn tròn phần tử thứ phần tử cuối nên đại biểu thứ ngồi tự Các đại biểu lại có số cách chọn vị trí ngồi là: (n-1),(n-2), ,1 Vậy cách xếp n đại biểu ngồi quanh bàn tròn là: (n − 1)! (cách) II.2.2 Chỉnh hợp * Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k n phần tử nhóm thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho ( k ≤ n ) Ký hiệu công thức: Ank = n! = n(n − 1) (n − k + 1) (n − k ) ! Như vậy: Hai chỉnh hợp chập k n phần tử khác nếu: - Hoặc chúng có phần tử khác nhau; - Hoặc chúng gồm k phần tử xếp theo thứ tự khác Ví dụ: Một lớp phải học 10 môn, ngày phải học môn Hỏi có cách xếp thời khóa biểu ngày Giải: Vì cách xếp thời khóa biểu ngày việc ghép hai môn số 10 môn, cách xếp khác có môn khác thứ tự xếp trước sau hai môn Vì cách xếp ứng với chỉnh hợp chập từ 10 phần tử Tức có: A10 = 10.9 = 90 (cách) ** Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa: Một chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử nhóm thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho phần tử có mặt đến k lần nhóm tạo thành Ký hiệu công thức: Ank = n k Ví dụ 1: Để đăng ký xe máy người ta dùng chữ số từ 0,1, ,9 cho sêri Hỏi sêri đăng ký xe Giải: Số xe máy đăng ký sêri chỉnh hợp có lặp chập 10 (trừ thực tế không dùng chữ số 0) A10 − = 10 − = 9999 (xe) Ví dụ 2: Để truyền tin tín hiệu mooc-xơ gồm hai kí hiệu chấm (.) vạch (-), người ta mã hóa chữ bảng chữ thành nhóm có thứ tự gồm không kí hiệu Biết kí hiệu có mặt nhiều lần nhóm có thứ tự tạo thành Hỏi mã hóa chữ ? Giải: Một nhóm có thứ tự gồm k kí hiệu (1 ≤ k ≤ 4) tạo nên chỉnh hợp lặp chập k từ phần tử cho Vì số chữ mã hóa là: A12 + A22 + A23 + A24 = 12 + 2 + 23 + = 30 Như bảng chữ thứ tiếng gồm không 30 chữ ta mã hóa theo cách Biên soạn: Trần Đức Toàn Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Nhận xét: Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Ví dụ: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 − x + (C) 3 Giải: * TXĐ: R * Chiều biến thiên: y ' = x − = ⇔ x = ±1 Dấu y’ x −∞ -1 y’ + - +∞ + 4  Hàm số đồng biến (−∞; 1) (1; + ∞) ; nghịch biến (−1; 1) ;CĐ  −1; ÷; CT 3  ( 1; )  2 Điểm uốn: y '' = x = ⇔ x = ⇒ điểm uốn U  0; ÷  3 2  1 1 x − x + ÷ = lim x3  − + ÷ = ±∞ Giới hạn: xlim  →±∞ 3  x →±∞  x x   • Bảng biến thiên: x y’ y −∞ + −∞ -1 +∞ + * Đồ thị:  2 Đồ thị nhận điểm uốn U  0; ÷ làm tâm đối xứng  3 III.5.2.2 Hàm phân thức: y = Biên soạn: Trần Đức Toàn ax + b (c ≠ 0; D = ad − bc ≠ 0) cx + d 40 +∞ Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Các dạng đồ thị D = ad - bc > D = ad - bc < Nhận xét: Đồ thị nhân giao hai tiệm cân làm tâm đối xứng Ví dụ: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x +1 x −1 (C) Giải: * TXĐ: R \ {1} * Chiều biến thiên: y ' = − < ∀x ≠ ( x − 1) Hàm số nghịch biến (−∞; 1) (1; + ∞) Giới hạn: x +1 = ⇒ tiệm cân ngang y = , x →±∞ x − lim lim+ x →1 x +1 x +1 = +∞; lim− = −∞ ⇒ tiệm cận đứng x = x →1 x − x −1 * Bảng biến thiên: x y’ −∞ +∞ - +∞ - y −∞ * Đồ thị: Biên soạn: Trần Đức Toàn 41 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Đồ thị nhận giao điểm I (1; 1) hai tiệm cận III.5.2.3 Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) hàm số y = g(x) có đồ thị (G) + Điều kiện cần đủ để (C) (G) cắt n điểm phương trình f(x) = g(x) có n nghiệm phân biệt  f ( x) = g ( x ) + Điều kiện cần đủ để (C) (G) tiếp xúc hệ  có nghiệm  f ′( x) = g ′( x) + Điều kiện cần đủ để (C) (G) điểm chung phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm Ví dụ: Cho hàm số y = x − 3x + (C ) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận số nghiệm phương trình log m = x3 − 3x + (1) theo m 1)* TXĐ: R x = * Sự biến thiên: y ' = x − x = ⇔  x = Hàm số đồng biến (−∞;0) (2; +∞) , nghịch biến (0; 2).CĐ(0; 2), CT(2; –2)  2 ( x3 − x + 2) = lim x 1 − + ÷ = ±∞ Giới hạn: xlim →±∞ x →±∞  x x  Biên soạn: Trần Đức Toàn 42 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Điểm uốn: y '' = x − = ⇔ x = suy điểm uốn U(1; 0) * Bảng biến thiên: −∞ x y’ + – +∞ + +∞ y −∞ –2 * Đồ thị: Giao với Ox (1; 0), (1 ± 3;0) Giao với Oy (0; 2) Đồ thị nhận điểm uốn U(1; 0) làm tâm đối xứng 2) Biện luận số nghiệm phương trình log m = x3 − 3x + (1) theo m Giải: Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đường thẳng y = log3 m + với đồ thị hàm số (C) Từ đồ thị (C) hàm số ta có:  < m < log m < −3 ⇔ 27 phương trình (1) có nghiệm * Nếu   log m >   m>3  m = log m = −3 ⇔ 27 phương trình (1) có nghiệm * Nếu   log m =   m=3 < m < phương trình (1) có nghiệm * Nếu −3 < log m < ⇔ 27 III.6 Phương trình tiếp tuyến III.6.1 Khái niệm tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) đường thẳng y = ax + b có đồ thị (d) (d) (C) có mối quan hệ: + Đường thẳng (d) cắt đường cong (C) + Đường thẳng (d) không cắt đường cong (C) + Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường cong (C) hay gọi đường thẳng (d) tiếp tuyến đường cong (C) III.6.2 Các toán phương trình tiếp tuyến Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) điểm M( x0 , y ) đường cong (C) Biên soạn: Trần Đức Toàn 43 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Cách giải: Tính f ′(x) , suy f ′( x0 ) Lập phương trình tiếp tuyến theo công thức: y = f ′( x0 )( x − x0 ) + y0 Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x − x điểm M (1,−3) Giải: y ′ = x − ⇒ y ′(1) = −1 Phương trình tiếp tuyến điểm M (1,−3) là: y = −1( x − 1) − ⇔ y = − x − Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Cách giải: Cách 1: Đường thẳng với hệ số góc k có phương trình dạng: y = kx + m  f ( x) = kx + m Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số hệ phương trình  có  f ′( x) = k nghiệm Giải hệ ta tìm m Cách 2: Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc M( x0 , y ) Khi ta có hệ số góc k = f ′( x0 ) Giải phương trình ta tìm x0 , suy y lập phương trình tiếp tuyến y = k ( x − x0 ) + y Chú ý: Hệ số góc cho trực tiếp cho gián tiếp: + Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b hệ số góc tiếp tuyến k = a + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b hệ số góc tiếp tuyến k = -1/a + Tiếp tuyến hợp với đường thẳng y = ax + b góc α hệ số góc tiếp tuyến k −a thỏa mãn tan α = + ka 2x + (C) x −1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −3x + Giải:* Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −3x + nên có hệ số góc k = -3 −3 * Ta có y ' = ; ∀x ≠ ( x − 1) −3 = −3 Tương đương với Hoành độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình ( x0 − 1)  x0 = ( x0 − 1) = ⇔   x0 = * Với x0 = ⇒ y0 = y (0) = −1 , phương trình tiếp tuyến cần lập y = −3x − * Với x0 = y0 = y (2) = , phương trình tiếp tuyến cần lập y = −3x + 11 Ví dụ: Cho hàm số y = Biên soạn: Trần Đức Toàn 44 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm Cách giải: Cách 1: Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, đường thẳng (d) qua điểm M ( x1 , y1 ) nên phương trình có dạng y = k ( x − x1 ) + y1 Xác định k nhờ điều kiện tiếp  f ( x) = k ( x − x1 ) + y1 xúc hệ  Giải hệ phương trình ta tìm k, thay k tìm  f ′( x) = k vào phương trình đường thẳng (d) ta tìm phương trình tiếp tuyến Cách 2: Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với với đồ thị hàm số điểm M ( x0 , y ) , phương trình tiếp tuyến có dạng y = f ′( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) Hoành độ x0 xác định nhờ điều kiện đường thẳng qua M ( x1 , y1 ) hay x0 nghiệm phương trình y1 = f ′( x0 )( x1 − x0 ) + f ( x0 ) Ví dụ: Cho hàm số y = −4 x + x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(1, 3) Giải: Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, đường thẳng (d) qua điểm M(1, 3) nên phương trình có dạng y = k ( x − 1) + Muốn đường thẳng (d) tiếp tuyến − x + x = k ( x − 1) + đường cong hệ  phải có nghiệm − 12 x + = k Giải hệ ta k = k = - 24 Kết luận: có hai phương trình tiếp tuyến y = 3x y = - 24x + 27 Biên soạn: Trần Đức Toàn 45 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số CHƯƠNG V NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I Nguyên hàm Định nghĩa: Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm f(x) khoảng điểm khoảng ta có F ′(x ) = f(x) Định lý: Giả sử F(x) khả vi (a; b) F(x) nguyên hàm f(x) với x ∈ (a; b) Khi i) Với số C, F(x) + C nguyên hàm f(x), ∀x ∈(a; b) ii) Ngược lại nguyên hàm f(x), ∀x ∈(a; b) có dạng F(x) +C Người ta ký hiệu biểu thức F(x) + C là: ∫ f ( x)dx Vậy: ∫ f ( x)dx = F(x) + C Tính chất: + Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a, b] có nguyên hàm đoạn + ( ∫ f ( x)dx ) ′ = f ( x) + ∫ a f ( x)dx = a.∫ f ( x)dx (a ≠ 0; a ∈ R) + ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Bảng nguyên hàm Biên soạn: Trần Đức Toàn 46 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số ∫ 0dx = c ; 1) 2) 3) 4) 5) xα +1 ∫ x dx = α + + c (α ≠ −1) ; ∫ xdx = ln x + c ; ∫ 11) ∫ 13) ∫ f ( x) dx = ln f ( x) + c α ax ∫ a dx = ln a + c ; 6) ∫ sin xdx = − cos x + c ; 7) ∫ 8) gx + c ;+ c = arcsin ∫ sin22 x =2− cot a 9) ∫ + x2 dx cos x dxdx = tgx + c ; = arcsin x + C dx = a+x ln +c 2a a − x f ′( x) 14) ∫ 15) ∫ dx x2 + a = ln( x + x + a ) + c dx x = arctg + c a a2 + x2 a x a −x dx − x2 a2 − x2 f ′( x) dx = f ( x) + c 12) ∫ f ( x) x ∫ cos xdx = sin x + c ; dx 10) 16) = arctan x + C ; Các phương pháp tính nguyên hàm 4.1 Tính trực tiếp Sử dụng tính chất bảng tích phân bất định số hàm để tính trực tiếp số tích phân đơn giản Ví dụ: Tính nguyên hàm sau: −1   x +1  2  x   2 dx = ∫  +  dx = ∫  x + x dx = x + x + C ; 1) ∫ x x  x   1  dx x+9 + x  2 dx  = =∫ dx = ( x + ) dx + x ∫  27 9  ∫ x+9 − x  2) ∫ 3) ∫ ( ) ( x + 9) + x + C    x2 + x2 − + dx 1− x +1+ x   =  x − ∫ dx = dx =  ∫ dx − ∫ dx  ∫ 2 ( − x )( x + ) ( − x )( + x ) x −1 x −1     dx dx   =  x − 2∫ − 2∫  = ( x − ln + x + ln − x ) + C 1+ x 1− x   4.2 Phương pháp đổi biến số: * Cách : Giả sử cần tính tích phân ∫ f ( x)dx Đặt x = ϕ(t) với ϕ(t) hàm đơn điệu, ta có: Biên soạn: Trần Đức Toàn 47 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx Ví dụ: Tìm nguyên hàm: I = ∫ Giải: (1), xdx 1+ x đặt x = t ⇒ dx = 2tdt  t3 t  2t dt   = 2∫  t − t + − I= ∫ dt = 2 − + t − ln(1 + t )  + C 1+ t 1+ t   3   x3 x  − + x − ln(1 + x )  + C I = 2    * Cách : Giả sử cần tính tích phân ∫ f (ψ ( x))ψ ' ( x)dx Đặt t = ψ(x) với ψ(x) khả vi, t biến mới, đó: ∫ f [ψ ( x)]ψ ′( x)dx = ∫ f (t )dt (2) Ví dụ: Tính I = ∫ e sin x cos xdx Giải: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx I = ∫ e t dt = e t + C ⇒ I = e sin x + C Chú ý: Sau tìm nguyên hàm ta phải trả lại vai trò cho biến cũ ban đầu 4.3 Phương pháp lấy nguyên hàm phần: * Định lý: Giả sử u = u(x); v = v(x) hàm số có đạo hàm khoảng D, ta có: ∫ udv = uv − ∫ vdu Chú ý: Công thức nguyên hàm phần dùng để tính nguyên hàm tích hàm số Để tính nguyên hàm hàm số ta phải khéo léo lựa chọn hàm u dv + Nếu gặp nguyên hàm dạng: ∫ p ( x) ln xdx ; p(x) đa thức ta đặt p(x)dx = dv; lượng lại u + Nếu gặp nguyên hàm dạng: ∫ p( x)a x dx ; ∫ p( x) sin xdx ta đặt u = p(x), lượng lại dv với lưu ý sau lần đặt bậc p(x) hạ xuống bậc Ví dụ: Tính I = Giải: ∫ x sin xdx đặt u = x ⇒ du = dx; dv = sinxdx ⇒ v = - cosx I = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + c Ví dụ : Tính I = Giải: ∫ x ln xdx dx  du =  u = ln x x  x2 xdx x x2 ⇒ Đặt  ⇒ I = ln x − ∫ = ln x − + C  2 2 dv = xdx v = x  Biên soạn: Trần Đức Toàn 48 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số II Tích phân Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân xác định f từ a đến b kí hiệu b ∫ f ( x)dx a b Người ta dùng kí hiệu: b ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a) a a, b gọi cận lấy tích phân, a cận dưới, b cận trên, f hàm số dấu tích phân, f ( x)dx biểu thức dấu tích phân, x biến số lấy tích phân b Chú ý: i) ∫ f ( x)dx số không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm F (x) a họ nguyên hàm f Thật vậy, b ∫ f ( x)dx = [ F ( x) + C ] a = [ F (b) + C ] − [ F (a) + C ] = F (b) − F (a) b a ii) Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân mà phụ thuộc vào hàm số dấu tích phân cận lấy tích phân, tức b b a a ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt Tính chất tích phân xác định b b a a ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx; k ∈ R; b b b ∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a a a b Với số a< b < c ta có: c a a ∫ f ( x)dx = 0; a b ∫ a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b Ví dụ: Tính: ∫ x − dx Biên soạn: Trần Đức Toàn b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a ; 49 c ; Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số  x≥ 2 x − 1, Ta có x − =  − (2 x − 1), x <  2 Nên ∫ 2 x − dx = ∫ − (2 x − 1)dx + ∫ (2 x − 1)dx = (− x + x) 12 + ( x − x) 12 = Các phương pháp tính tích phân xác định 3.1 Công thức đổi biến số * Cách 1: Đổi biến x = ϕ (t ) Xét I = b ∫ f ( x)dx với f(x) liên tục [a; b] a * Định lý 1: Giả sử phép đổi biến x = ϕ (t ) thỏa mãn điều kiện: + ϕ (t ) có đạo hàm liên tục [ α ; β ] + ϕ (α ) = a ; ϕ ( β ) = b + Khi t biến thiên [ α ; β ] x biến thiên [a; b] Khi β b ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt a α a Ví dụ: Tính I = ∫ x a − x dx (a > 0) Đặt x = asint ⇒ dx = acostdt; x → t → 0; x → a t → π π a4 π ; π a4 Vậy 2 =a π I = ∫ ( a sin t ) (a cos t ) dt = sin tdt = ( t − sin t ) ∫ 16 0 * Cách 2: Đổi biến t = ϕ (x ) * Định lý 2: Nếu phép đổi biến t = ϕ (x) thỏa mãn điều kiện: + ϕ (x) biến thiên đơn điệu [a; b] có đạo hàm liên tục + f(x)dx trở thành g(t)dt với g(t) liên tục [ϕ ( a ); ϕ (b)] ϕ (b ) b Khi ∫ f ( x )dx = ∫ g (t )dt a ϕ (a) Chú ý: i) Khi dùng công thức cần lưu ý tính đơn điệu ϕ (x) [a; b], không xẩy ϕ (a ) = ϕ (b) a ≠ b ii) Khi tính tích phân xác định phương pháp đổi biến ta phải đổi cận lấy tích phân theo biến Biên soạn: Trần Đức Toàn 50 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Ví dụ: Tính I = π ∫ cos x + sin x dx  π Đặt t = sinx sinx biến thiên đơn điệu 0;  ; dt = cos xdx;  2 x = ⇒ t = 0; x = π ⇒ t = Vậy I = ∫ dt 01 + t = arctg t = π 3.2 Công thức tích phân phần Giả sử u = u(x); v = v(x) có đạo hàm liên tục [a; b] Khi b b b ∫ udv = uv a − ∫ vdu a a Ví dụ : Tính I = ∫ ln(1 + x) dx Đặt u = ln(1+x) ⇒ du = dx ; dv = dx ⇒ v = x; 1+ x 1 xdx   = ln − ∫ 1 − dx = ln − ( x − ln(1 + x) ) = −1 + ln 1+ x 1+ x  0 I = x ln(1 + x) − ∫ III Ứng dụng tích phân xác định hình học Tính diện tích hình phẳng: TH1: Nếu hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a, b] diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ f ( x)dx (1) a Ví dụ: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − 1, đường thẳng x = 2, trục tung trục hoành Hình 1.1 Biên soạn: Trần Đức Toàn 51 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Giải: Nhìn hình vẽ 4.6 ta thấy, f ( x) = x − ≤ 0, ∀x ∈ [0,1]; f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [1, 2] 2 3 Ta có S = ∫ x − dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x − 1)dx = 0 TH2: Để tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x); y = g ( x) liên tục đoạn [a, b] hai đường thẳng x = a, x = b ta có công b thức S = ∫ f ( x) − g ( x) dx (2) a Hình 1.2 Chú ý: i) Tương tự cách coi x hàm số biến y , diện tích S hình phẳng giới hạn đường cong x = g ( y ), x = h( y ) ( g, h hàm liên tục đoạn [c, d]) hai đường thẳng y = c; y = d d S = ∫ g ( y ) − h( y ) dy (3) c 2) Để tính diện tích hình phức tạp ta phải chia thành hình đơn giản biết cách tính diện tích Ví dụ: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x ; y = − x Biên soạn: Trần Đức Toàn 52 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Giải: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: − x = − x ⇔ x = −1 ∨ x = 2 Ta có S = ∫ (2 + x − x )dx = −1 Tính thể tích vật thể tròn xoay 2.1 Tính thể tích V vật thể tròn xoay nằm hai mặt phẳng x = a, x = b biết S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox x ∈ [ a, b ] S(x) liên tục [ a, b] là: b V = ∫ S ( x)dx a Ví dụ: Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x = -1 x = 1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ (−1 ≤ x ≤ 1) hình vuông cạnh − x Giải: Diện tích thiết diện S ( x) =  − x  = 4(1 − x ) với (−1 ≤ x ≤ 1)    x  16  = Thể tích vật thể V = ∫ S ( x)dx = ∫ (1 − x )dx = ∫ (1 − x )dx = x − (đvtt)    −1 −1  1 2 2.2 Thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành cho hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b (b > a) quay xung quanh trục Ox là: b V = π ∫ f ( x)dx a Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng xác định đường sau quanh trục Ox: y = x − 1; y = 0; x = Giải: Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng quanh trục Ox: V =π ∫ (  x2 x  55π x − dx = π ∫ x − x + dx = π  − + x = (đvtt)    1 ) ( ) 2.3 Thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành cho hình phẳng giới hạn đường x = g(y), x = 0, y = a, y = b (b > a) quay xung quanh trục Oy là: b V = π ∫ g ( y )dy a Biên soạn: Trần Đức Toàn 53 Toán sơ cấp – Hệ 30A – Phần đại số Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng xác định đường sau quanh trục Oy: x = y ; x = 0; y = −1; y = Giải: Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng quanh trục Oy: V =π ∫ ( 5y −1 ) 2 dy = π ∫ y dy = 10π ∫ y dy = 10π y −1 1 4 = 2π (đvtt) 2.4 Thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành cho hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b (f(x) ≥ g(x) ≥ 0∀x ∈ [ a, b ] ) quay xung quanh b 2 trục Ox là: V = ∫ f ( x) − g ( x) dx a Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng xác định đường sau quanh trục Ox: y = x3 y = x Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x3 = x ⇔ x ( x − 3) = ⇔ x = 0; x = 3 Thể tích vật thể tròn xoay: 3 x6 π3 π  x  486π 4 x V =π ∫ − x dx = π ∫ x − dx = ∫ x (9 − x )dx = x − =   90 5  35 0 (đvtt) Biên soạn: Trần Đức Toàn 54