III PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT

Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: Định lý 1: Với < a  : aM = aN Định lý 2: Với < a N (nghịch biến) Định lý 3: Với a > : aM < aN  M < N (đồng biến ) Định lý 4: Với < a  M > 0;N > : Định lý 5: Với < a N (nghịch biến) Định lý 6: Với a > : loga M < loga N  M < N (đồng biến) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: Dạng bản: ax  m (1)  m  : phương trình (1) vô nghiệm  m  : ax  m  x  loga m Dạng bản: loga x  m  m  : loga x  m  x  am NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM = aN ; log a M  log a N (Phương pháp đưa số)  2 Ví dụ 1: Giải phương trình 0,125.42x 3        x (1) Bài giải ♥ Đưa hai vế số 2, ta được: x   52  3 x6 2   2     x  x9  2  x   x  x9  x 6 2 ♥ Vậy nghiệm phương trình x   Tự luyện: Giải phương trình sau x7 1) 1,5  2      x1 x 2) 1 4.2      x 3) 3x.23 x  576 4) 3x 3 x2   3 1 x Ví dụ 2: Giải phương trình log  x 1  log 3 x  2   (1) Bài giải  x    x 1  ♥ Điều kiện:     x 1 3 x    x   (*) ♥ Khi đó: 1  log  x 1  log 3x  2  2  log  x 1  2 3x  x 1  3x   x   3x   x  [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm phương trình x   Ví dụ 3: Giải phương trình log x  log3 x  log x  log36 x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bài giải ♥ Điều kiện: x  ♥ Áp du ̣ng công thứ c log a c  log a b  log b c ,   a, b, c; a  1; b  1 , ta có 1  log x  log  log x  log  log x  log 36  log x  log x  log  log   log 36   * Do log  log   log 36  nên *  log x   x  ♥ Vậy nghiệm phương trình x   Tự luyện: Giải phương trình sau 1) log x  log3  x  2  3) log  x  x  6  log  x 1 1 2) log  x 1  log  x  2  log 4) log2 2x    log  9x  1  5) log 32 x 1  log 3 (2  3x 1 ) 6) 7) log  x 12.log x  1 log  log  x  x  3 x 8) log  x  1  log  x  1  log 7  x  2 10) log  x    log 8  x   9) log  x  3  log  x     11) log  x    log  x  5  Ví dụ 4: Giải phương trình: log3 (x  1)2  log (2x  1)  (1) Bài giải  x    x 1  ♥ Điều kiện:    2 x 1   x   (*) 1  log x 1  log 2 x 1  ♥ Khi đó:  log x 1  log  x 1   log  x 1 2 x 1   x 1 2 x 1   Với  x 1 (2)  2  1 x  x 1   x  x   : phương trình vô nghiệm  x    Với x   2   x 1 x 1   x  x       x  2 loaïi [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm phương trình x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tự luyện: Giải phương trình sau 1) log x  log 3 x  4 2) log2 x  2  log4  x  5  log  2 3) log3  x  2  log  x  4  4) log2 x   log2 x   log  2 5) log 1 x  x   2log 3  x  b Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ 5: Giải phương trình 9x  4.3x  45  (1) Bài giải ♥ Đặt t  3x với t  , phương trình (1) trở thành t  4t  45   t  5  2   (2) loaïi  t   Với t  3x   x  ♥ Vậy nghiệm phương trình x   Tự luyện: Giải phương trình sau 1) 16 x 17.4x 16  2) 25x  6.5x   3) 32x+8  4.3x+5 + 27 = 4) 9x  x1 10.3x  x2 1  2 Ví dụ 6: Giải phương trình 3x1 18.3x  29 (1) Bài giải ♥ Biến đổi phương trình (1) ta 1  3.3x  18  29 3x (2) ♥ Đặt t  3x với t  , phương trình (1) trở thành 3t  29t 18  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (3) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  t  3    t   Với t  3x   x   Với t  3 3x   x  log3 ♥ Vậy nghiệm phương trình x  2; x  log3  Tự luyện: Giải phương trình sau 1) 5x1  53x  26  2) 101 x 101x  99 2 Ví dụ 7: Giải phương trình 6.9 x  13.6x + 6.4 x = (1) Bài giải ♥ Chia hai vế phương trình (1) cho x ta x  x           13          2    3 t      (2) x ♥ Đặt với t  , phương trình (1) trở thành 6t 13t   (3)  t   3   3  t    Với t   Với 2 t  3     x  x  2       x  1   x ♥ Vậy nghiệm phương trình x  1; x   Tự luyện: Giải phương trình sau 1) 4.9 x 12 x  3.16 x 2) 3.16 x  2.81x  5.36 x 3) 32 x   45.6x  9.22 x   4) 5.2x  10 x  2.5x 5) 27 x 12 x  2.8x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 log 22 x  3log  x 1  Ví dụ 8: Giải phương trình (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x  1  log 22 x  3log x   ♥ Khi đó: Đặt t  log x , phương trình (1) trở thành t  3t   (3) t  1 3   t  2  Với t  1 log x  1  x  [thỏa (*)]  [thỏa (*)] Với t  2 log x  2  x  ♥ Vậy nghiệm phương trình x  ; x   2  1  log x  log x Ví dụ 9: Giải phương trình (1) Bài giải ♥ Điều kiện:  x   log x   log x  1 (*)  1  t 1 t t  3  1 t  25  t   5  t 1  t   t  5t     t  ♥ Đặt t  log x t  5, t  1 , phương trình (1) trở thành Với t  log x   x  100  Với t  log x   x  1000  (3) [thỏa (*)] [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm phương trình x  100; x  1000  Tự luyện: Giải phương trình sau 1) log 22 x  log x3   2)  3 log2 2x log2 x 3) log 3x 1.log 3 x1  3  Ví dụ 10: Giải phương trình 2log x1  2log x2  x 3 (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit ♥ Đặt t  log x  x  3t FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 phương trình (1) trở thành  2 2.2  2t  3t  2t  3t      t    4 t t Với t  x  (thỏa điều kiện) ♥ Vậy nghiệm phương trình x   Ví dụ 11: Giải phương trình  5.2 x   log  x   3 x    (1) Bài giải ♥ Điều kiện 5.2 x   (*) ♥ Ta có: 1  5.2 x   23 x x 2  x 5.2 x  8  2 x  2  5.22 x 16.2 x 16  (2) ♥ Đặt t  x với t  , phương trình (2) trở thành 5t 16t 16  (3) t   3   t     Với t  x   x  [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm phương trình x   Tự luyện: Giải phương trình sau log 3.2 x 1  x 1 c Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B=0, Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5x  25.2x  100 10 x (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  4.5x  x.5 x  25.2 x 100   x 4  x   25 2 x  4   4  x 5 x  25  5 x  25  x  x2 2   ♥ Vậy nghiệm phương trình x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tự luyện: Giải phương trình sau 1) 3.7 x  49.3x  147  21x 2) 32 x  x   x  x 1 3) log x  log x   log x.log x d Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo số thích hợp (Phương pháp lôgarít hóa) Ví dụ 13: Giải phương trình 3x.2 x  (1) Bài giải ♥ Lấy lôgarit hai vế với số 3, ta có 1  log 3x.2 x   log3  log3 3x  log3 2x   x  x log x   x 1  x log 2  x    x     log  log  ♥ Vậy nghiệm phương trình x  0, x   log  e Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm) ♥ Ta thường sử dụng tính chất sau:  Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) phương trình f(x) = C có không nghiệm khoảng (a;b) ( tồn x0  (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Tính chất : Nếu hàm f tăng khoảng (a;b) hàm g hàm hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a;b) (do tồn x0  (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ 14: Giải phương trình 3x  4x  5x (1) Bài giải ♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 5x 5x  0, x , ta có  3   1         5   x  3   f  x           x ♥ Xét hàm số x ( Dạng f  x  C ) (2) x  , ta có  3   f '  x    ln    ln  0, x    f  x      x ♥ Mặt khác f 2   x nghịch biến  (*) (2) có nghiệm x  (**) Từ (*) (**) ta suy phương trình (2) có nghiệm x  ♥ Vậy nghiệm phương trình (1) x    1 Ví dụ 15: Giải phương trình    x 1  3 x (1) (Dạng f  x  g  x ) Bài giải  1 f  x      x ♥ Xét hàm số f x g  x   x 1  , ta có nghịch biến  g  x đồng biến  (*) ♥ Mặt khác f 0  g 0  (1) có nghiệm x  (**) Từ (*) (**) ta suy phương trình (1) có nghiệm x  ♥ Vậy nghiệm phương trình x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bài tập: Giải phương trình sau x 1) 2x = 1+ 32 2) x   x 3) 3x  x  8x  14 4) 2.2 x  3.3x  x  5) 3.25x2   3x  10  5x 2   x  6) 9x   x 123 x 11 x  7) log 22 x   x 1 log x   x Ví dụ 16: Giải phương trình 2log  x3  x (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x  3 Khi đó: 1  log5  x  3  log x (2) ♥ Đặt t  log x  x  2t phương trình (2) trở thành  2  1 log 2  3  t        3       t t t t t (3)  2  1 ♥ Xét hàm số f t      3   , ta có  5  5 t t  2 1 f ' t     ln  3.  ln  0, t    f t      t ♥ Mặt khác f 1   t nghịch biến  (3) có nghiệm t  (*) (**) Từ (*) (**) ta suy phương trình (3) có nghiệm t  ♥ Vậy nghiệm phương trình (1) x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x x x Câu Giải phương trình sau: 8.3 + 3.2 = 24 + Phương trình cho tương đương (3x -3)(8-2x )= Từ tìm x=1 x=3 Câu 10 Giải phương trình 2e x  2e x   0, x  R 2e x  2e x    2e2 x  5e x   Đặt t  e x , t  Phương trình trở thành t  2 2t  5t     t   x e   x  ln   x 1 e   x  ln   2 Câu 11 Giải phương trình sau: x   x   Đặt t  3x  (1)   x  log ; x   log  x  x   5t  7t  3t   Câu 12 Giải phương trình (2  ) x  x 1  (2  ) x  x 1  2 Phương trình  (2  3) x 2 x  (2  3) x  x  +) Ta có: (2  ) x  x (2  ) x  x  (4  3) x 2 2 2x  1,  x  t đặt t  (2  3) x 2 x   (2  3) x 2 x  t   (TM ) t    t  4t     t t   (TM ) trở thành: x  1 t   , ta có: (2  3) x  x    x  x   x  x      x   t   , ta có: (2  3) x 2 x  (2  3) 1  x  x  1  x  x    x  +) KL: 2 2 Câu 13 Giải phương trình x 1  3x  3x 1  x  Tập xác định 2x 1  3x  3x 2   3 x 1  1  2x 2  2x 1 1  8  3x 1 1  3  x    x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 14 Giải phương trình:  2.7   1 x x Đặt t  x , t  Ta có phương trình: t  t  14    t  9t  14    t t  Với t  2, suy x   x  log Với t  7, suy x   x  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  log7 2;1 Câu 15 Giải phương trình: 34  x = 953 x  x Đưa số phương trình tương đương với x  x   nghiệm cần tìm x = x = -3 Câu 16 Giải phương trình x   26.5 x    Giải phương trình x   26.5 x    t  x  Đặt t = 5x >0 Phương trình t2–26t + 25 =     t  25 x  Câu 17 Giải phương trình 2.4 x  x  x Phương trình   x    1  Loai  x x 2x x 3 4 6  2 2         2.          x   log 2  x 9 9  3 3        Vậy phương trình có nghiệm x   log 2 Câu 18 Giải phương trình: 312 x.27 x 1  81 Phương trình cho tương đương với : 312 x.3 x 1  81  31 x.3x 1  34 32  x  34   x   x  2 Câu 19 Giải phương trình 4x x 1   2 x 1  22 x 2 x x2  x 1   2 x 1 tập số thực  21 x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  3  17 x  x  x   x  x  3x      3  17 x   Câu 20 Giải phương trình 5.9 x  2.6 x  3.4 x (1) Phương trình cho xác định với x  Chia hai vế phương trình (1) cho x  ta : 2x x  3 3 5.9 x  2.6 x  3.4 x         2 2 2x x   x     x  3 3             1 5    3  2 2        (2) x x 3 Vì     x  nên phương trình (2) tương đương với     x  2 2 Vậy nghiệm phương trình là: x  Câu 21 Giải phương trình 2 x5  22 x3  52 x2  3.52 x+1 TXĐ D = Phương trình  2 x  (4  1)  52 x 1 (5  3)  2 x 3.5  52 x 1.8 2x 2    1 5  2x   x  Câu 22 Giải phương trình: x  x   1   x   x1 x  1  1  PT            x Đặt  1    t (t  0)   t    t 1 ta có phương trình: t x   1 Với t=1      x    Vậy phương trình có nghiệm x=0 Câu 23 Giải phương trình 2log x1  2log x2  x 3 (1) Điều kiện: x  Đặt t  log3 x  x  3t phương trình (1) trở thành NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  2 2.2t  2t  3t  2t  3t      t    4 t Với t  x  (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x  Câu 24 Giải phương trình sau: x 5x 3 x  625  x 3 x  3x  625  54  x  x  x   x  3x      x  4 Vậy phương trình có nghiệm x = x = -4 Câu 25 Giải phương trình sau: x 2x 3 x   16  x 3x 6 3x 6  16  24  x  3x   x   x  3x  10     x  2 Vậy phương trình có nghiệm x = x = -2 Câu 26 Giải phương trình sau: x 1.5x  200 x 1.5 x  200  2.2 x.5 x  200  10 x  100  x  Vậy phương trình có nghiệm x = 2 2 Câu 27 Giải phương trình: 23 x  x 10  x  x   x  x   16  Phương trình tương đương: 23 x  x 10  (2  22 x x  x 12  22 x  x 12  x 8  2x  1)(2  x2 x2  x   16   23 x  1)   2  x 14 x  x 12  22 x  x 12  2x  x2 1  1   x  2  20  x  x  12    x  Vậy phương trình có nghiệm x  2, x  Câu 28 Giải phương trình:   10  log x    10  log3 x  2x Điều kiện: x > NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ta có phương trinhg tương đương với:  10       log3 x  10       log x   10  log x  10    Đặt t         10  log x  3log3 x log3 x (t > 0)   10 t   Phương trình trỏ thành: t    3t  2t     10 (loại) t t   Với t =  10 ta giải x = 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x =3 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Phương trình logarith Câu Giải phương trình: 2log (x - 2) + log 0,5 (2x - 1) = log2 (x  2)  log 0,5 (2x  1)  (*) x  x      Điều kiện:    x 2 2x   x     Khi đó, (*)  log2 (x  2)  log2 (2x  1)   log2 (x  2)2  log2(2x  1) x  (loai)  (x  2)2  (2x  1)  x  6x     x  (nhan) Câu Giải phương trình: x  log (9  x )  Điều kiện:  x  Phương trình cho tương đương: log2 (9  2x )   x   2x  23x   2x  2x  x  2x x   9.2     (thỏa điều kiện)  x 2x 2  x  Câu Giải phương trình log 52 x  log 0,2 (5 x )   GPT: log 52 x  log 0,2 (5 x)   (1) Đk: x>0 PT (1)  log 52 x  log (5 x)    log 52 x  log x   log5 x   x  125    x  1/ 25 log5 x  2 KL: Vậy tập nghiệm PT (1) T  1/ 25;125 Câu Giải phương trình: log ( x  x  8)   log ( x  2) log ( x  x  8)   log ( x  2)  log ( x  x  8)  log 2  log ( x  2)  log ( x  x  8)  log 2( x  2) x20  x  x   2( x  2)   x20  x   x  x  12    NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Giải phương trình: log 3.log3  x  1  PT  log  x  1   x    x  Câu Giải phương trình: log  x  1  log   x   log3  x  3 Điều kiện x 1   3  x   1  x  (*) 2 x    Phương trình tương đương log  x  1  log   x   log  x    log  x  1 (3  x )  log  x     x  1 (3  x)  x    x2  x   2x    x2  x = , kết hợp với đk (*) phương trình có nghiệm x = Câu Giải phương trình: log  3x  1   log0,5  x  2 ĐK x  PT cho tương đương với log 3x   5x      3x  5 x    64 x   15 x  x  68     x   34 15  phương trình là: S  2 Kết hợp đk ta tập nghiệm Câu Giải phương trình: log x   log (2  x)  log 27 x3  + ĐK:  x  (*) +PT  log ( x  2)  log3 (2  x)  log x   log [( x  2)(2  x)]= log3 x  (2  x)(2  x)  x 1  17  x2  x    x  Kết hợp với (*) ta nghiệm phương trình x  1  17 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x 1 Câu Giải phương trình: log (4  4).log (4  1)  x   log (4 x 1  4).log (4 x  1)    log (4 x  1) log (4 x  1)  t   t  3 Đặt t  log (4 x  1) , phương trình trở thành:   t  t     t   log (4 x  1)   x    x  8  t  3  log (4 x  1)  3  x    x   : Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm: x  Câu 10 Giải phương trình log  x2  x  1  log2  x2  x  3 ĐK: x          PT  log x  x   log x  x   x  x   x  x    Đặt: t  x  x  1, t  t  1( L) t  2( N ) Ta phương trình : t  t     Với  1  x  t   x2  x 1     1  x   Vậy : x  1  1  x  nghiệm phương trình 2 Câu 11 Giải phương trình sau: 2log 32 x  5log (9 x)   Đk:x>0  log 32 x  5(log  log x)   Khi PT  log 32 x  5log x  12   x  81 log x     (t/m) x  log x  3   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit Câu 12 Giải phương trình FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 log2 (x  1)  log2 (3x  4)   (*) Với điều kiện (*), ta có (1)  log2 (x  1)(3x  4)   log2 (3x  7x  4)  log2 Điều kiện xác định: x   3x  7x    x  (do điều kiện (*)) Vâ ̣y phương trı̀nh đã cho có nghiê ̣m nhấ t x = Câu 13 log  x  5  log9  x  2  log  x  1  log   Tập xác định D  1;   \ 2    log3  x  5  log3 x   log3  x  1  log3  x  5 x  2     x   x    x  1  x  1 Với x  ta có:  x  5 x     x  1  x  3x  10  x  x  x   x  x  12    x  Với  x  ta có  x  5  x    x  12   x  3x  10  x  x   97 t / m x  1   3x  x      97  loai  x   1  97  ;3;    Vậy phương trình cho có ba nghiệm x   Câu 14 Giải phương trình: log ( x  5)  log ( x  2)  Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với log ( x  5)( x  2)   ( x  5)( x  2)   x  6(t / m)  x  x  18     x  3(l ) Vậy phương trình cho có nghiệm x  Câu 15 Giải phương trình: log 2 x  x  3  log x 3 0 x 3 Điều kiện: x  3  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Phương trình  log (x  2x  3)  log x 7 0 x 3 (x  2x  3).(x  3)  log 0 x 7 (x  2x  3).(x  3)  1 x 7  x  5x  2x    (x  1)(x  4x  2)   x  1  x  1     x  4x    x  2   x  2  So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  2  Câu 16 Giải phương trình log8  x   log8  x  x  1  Điều kiện x  0, x  Với điều kiện đó, PT cho tương đương với : 2 log8  x   x  1   x  x  1  4   x  x  1   16   x2  x  x  1  4 Câu 17   log x  log x  1  log x Giải phương trình   log x  log x  ĐKXĐ:  (1)  log x  x    x  (*)  x   Với ĐK (*), ta có : (1)    log3 x   log x  1   1 log x  log x  log3 x  log3 x (2) t  Đặt: t  log3 x ( ĐK:  (**) ) Khi phương trình (2) trở thành: t  2 t  1  t  1  x  2t    t  2     t 1t t  t  3t    x  81  So sánh điều kiện nghiệm x  ; x  81 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 18 Giải phương trình: log  x  1  3log  x     Điều kiện: x  Khi phương trình cho tương đương với phương trình log  x  1  log  3x  2    log  x    log  3x  2  x   3x   x  Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm x  Câu 19 Giải phương trình: log3 x  x   log x    x   4  x  Điều kiện:            log x  x  log x    log x  x  log x   log 3      log x  x  log 3 x    x  x  x    x  2  x  4x  12    (thoả mãn) x  Vậy phương trình có hai nghiệm x  2; x  Câu 20 Giải phương trình: log ( x  x)  log (2 x  2)  ; ( x  ) Đk: x>0 (*) Với Đk(*) ta có: (1)  log3 ( x  x)  log (2 x  2)  x  1(t / m) Vậy nghiệm  x2  x      x  2(loai) PT x = Câu 21 Giải phương trình: log 22 x  log 4 x  Đk: x>0, log 22 x  log 4x    log 22 x  log x   x  log x   Đối chiếu điều log x  3   x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 kiện ta nghiệm PT x  x  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 22 Giải phương trình: log 32 x  log32 x    Điều kiện: x  Đặt t  log32 x  1, t  t  Phương trình trở thành t  t –     t  3  loai   x 3 (tmđk)   l o g x     x   log x  Với t = log32 x    log 32 x    Vậy phương trình có hai nghiệm x  3 x  3 Câu 23 Giải phương trình:   log3 x  log x  1  log x Điều kiện x  0, x  3, x  1/ Phương trình    log3 x   log x  1  1 log x  log x  log x  log x Câu 24 Giải phương trình sau log x  log x  log8 x  11 log x  log x  log8 x  11 (1) Điều kiện: x > (1)  log x  log 22 x  log 23 x  11 1  log x  log x  log x  11 11  log x  11  log x   x   64 ( nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = 64 Câu 25 Giải phương trình sau log x  log 25 x  log 0,2 log x  log 25 x  log 0,2 (1) Điều kiện: x > NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit  log x  log x  log 2  log x  log5 3 (1)  log x  log 52 x  log 51  log x  log  log x  log FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  3  3 1  log x  log 3 x33 Vậy phương trình có nghiệm x  3 Câu 26 Giải phương trình sau log 22 x  log x   log 22 x  log x   (1) Điều kiện: x > t  t  Đặt t  log x PT (1) trở thành t  t     t   log x   x  23  (thỏa mãn) t   log x   x  22  (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = x = Câu 27 Giải phương trình sau log 22 x  log x  log 22 x  log x  (1) Điều kiện x > (1)  log 22 x  log 22 x   log 22 x  log x   (1’)  t  1 Đặt t  log x PT (1’) trở thành 4t  2t     t   t  1  log x  1  x  1  (t / m) 1 t   log x   x   (t / m) 2 Vậy phương trình có nghiệm x  x  2 Câu 28 Giải phương trình sau NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 3log 32 x  10 log3 x  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3log x  10 log3 x  (1) Điều kiện x > t  Đặt t  log x ta 3t  10t   3t  10t     t   2 t   log3 x   x  33  27 (nhận) t 1  log x   x  3  3 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 x  3 Câu 29 Giải phương trình sau ln( x  x  7)  ln( x  3) ln( x  x  7)  ln( x  3) (1)  x2  6x   Điều kiện  x    x  (loai ) (1)  x  x   x   x  x  10     x  (nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = Câu 30 Giải phương trình: log  x  1   log  x  log8   x  (1) x    4  x   Điều kiện:   x     x  1 4  x   (1)  log x    log   x   log   x   log x    log 16  x   log x   log 16  x   x   16  x + Với 1  x  ta có phương trình x  x  12  (2) ; x  (2)    x  6  lo¹i  + Với 4  x  1 ta có phương trình x  x  20  (3);  x   24  3    x   24  lo¹i    Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 log x x  14log16 x x3  40.log x x  Câu 31 Giải phương trình: log x x  14log16 x x3  40.log x x  (1) Đk: x  0, x  1/ 4, x  1/16, x  (*) Khi đó, phương trình tương đương với 2.log x x  42.log16 x x  20.log x x  (2) Nhận thấy x =1 nghiệm PT Với < x ≠ 1, PT (2)  log x x  42 20  0 log x 16 x log x x Đặt t = logx2, phương trình trở thành 42 20   0  t  4t  2t (3) (3)  2t2 + 3t – =  t = 1/2 t = -2(tmđk) * Với t = -2 logx2 = -2  x   * Với t = 1/2 logx2 = 1/2  x = Kết hợp đk ta nghiệm phương trình x = 4, x = Câu 32 Giải phương trình log3 x2  x   x  3x  2 x  2x  Đặt u  x  x  1; v  x  x   u  0, v   suy v – u  x  3x 2 u v hàm đặc trưng: f  t   log3 t  t , t  PT cho trở thành log  v  u  log u  log v  v  u  log u  u  log v  v (1) Xét Ta có f ' (t )    0, t  nên hàm số đồng biến t > t ln Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy u = v hay v-u=0, tức x2-3x+2=0 Phương trình có nghiệm x  1, x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ [...]... LỰC  0 933 .168 .30 9 3log 32 x  10 log3 x  3 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 3 3log x  10 log3 x  3 (1) Điều kiện x > 0 t  3 Đặt t  log 3 x ta được 3t  10t  3  3t  10t  3  0   1 t   3 2 2 t  3  log3 x  3  x  33  27 (nhận) 1 t 1 1  log 3 x   x  3 3  3 3 3 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và x  3 3 Câu 29... log 2 3. log3  2 x  1  1 PT  log 2  2 x  1  1  2 x  1  2  x  3 2 Câu 6 Giải phương trình: log 3  x  1  log 3  3  x   log3  2 x  3 Điều kiện x 1  0  3  x  0  1  x  3 (*) 2 x  3  0  Phương trình tương đương log 3  x  1  log 3  3  x   log 3  2 x  3   log 3  x  1 (3  x )  log 3  2 x  3    x  1 (3  x)  2 x  3   x2  2 x  3  2x  3  ...   3  log3 x  10  1     3  log 3 x   10  1 log 3 x  10  1  2  Đặt t    3  3     10  1 log 3 x 2  3log3 x 3 log3 x (t > 0)  1  10 t  3  1 2 Phương trình trỏ thành: t    3t 2  2t  3  0  1  10 (loại) t 3 t  3  Với t = 1  10 ta giải được x = 3 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3 NGUYỄN VĂN LỰC  0 933 .168 .30 9 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ –... log 32 x  log32 x  1  5  0 Điều kiện: x  0 Đặt t  log32 x  1, t  1 t  2 Phương trình trở thành t 2  t – 6  0    t  3  loai   x 3 3 (tmđk)   3 l o g x   3   3 x  3  log 3 x  3 Với t = 2 thì log32 x  1  2  log 32 x  3   Vậy phương trình có hai nghiệm x  3 3 và x  3 Câu 23 Giải phương trình:  2  log3 x  log 9 x 3  3 4 1 1  log 3 x Điều kiện x  0, x  3, ... 0,2 1 3 log 5 x  log 25 x  log 0,2 1 3 (1) Điều kiện: x > 0 NGUYỄN VĂN LỰC  0 933 .168 .30 9 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit 1  log 5 x  log 5 x  log 5 3 2 2 3  log 5 x  log5 3 3 (1)  log 5 x  log 52 x  log 51  3 log 5 x  log 5 2  log 5 x  log 5 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  3 2 3  3 1  log 5 x  log 5 3 3 x 33 Vậy phương trình có nghiệm x  3 3 Câu... Phương trình  2  x    1  Loai  x x 2x x 3 4 6  2 2  2       1  2.      1  0    x   log 2 2  2 x 1 9 9  3 3 3      2  3  Vậy phương trình có nghiệm x   log 2 2 3 Câu 18 Giải phương trình: 31 2 x.27 x 1 3  81 3 Phương trình đã cho tương đương với : 31 2 x .3 x 1 3  81  31  2 x.3x 1  34 32  x  34  2  x  4  x  2 Câu 19 Giải phương trình...  3x  0 (1)   x  log 3 ; x   log 5 3 1  6 3 x  9 x  1  0 5t 2  7t  3 3t  1  0 3 5 Câu 12 Giải phương trình (2  3 ) x 2  2 x 1 2  (2  3 ) x 2  2 x 1  4 2 3 2 Phương trình  (2  3) x 2 x  (2  3) x  2 x  4 +) Ta có: (2  3 ) x  2 x (2  3 ) x  2 x  (4  3) x 2 2 2 2 2x  1,  x  1 t 2 đặt t  (2  3) x 2 x  0  (2  3) x 2 x  t  2  3 (TM ) 1 t   4  t 2 ... Câu 15 Giải phương trình: 1 log 2 2 x 2  2 x  3  log 2 x 3 0 x 3 Điều kiện: x  3  x  7 NGUYỄN VĂN LỰC  0 933 .168 .30 9 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Phương trình  log 2 (x 2  2x  3)  log 2 x 7 0 x 3 (x 2  2x  3) .(x  3)  log 2 0 x 7 (x 2  2x  3) .(x  3)  1 x 7  x 3  5x 2  2x  2  0  (x  1)(x 2  4x  2)  0...  3 (TM ) trở thành: x  1 2 t  2  3 , ta có: (2  3) x  2 x  2  3  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1  0   2  x  1  2 t  2  3 , ta có: (2  3) x 2 2 x  (2  3) 1  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1  0  x  1 +) KL: 2 2 2 2 Câu 13 Giải phương trình 2 x 1  3x  3x 1  2 x  2 Tập xác định 2x 2 1 2  3x  3x 2   3 x 2 1  2 1  2x 2 2  2x 2 1 2 1  8  3x 1 1  3 ... 2  1)2 x  2( 2  1) x  3  0  ( 2  1 )3 x  3( 2  1) x  2  0  ( 2  1) x  2  x  log 2 1 2 2x 2  6x 6 Câu 4 Giải phương trình:  2  2x 2  6x  6  2 1  2.4x 1  2 2 (2 x 2  6 x 6)  2.4x 1 2  2.22(x 1)  2x x  3 2 2  x  3x  3  2x  3  x  x  6  0   x  2 NGUYỄN VĂN LỰC  0 933 .168 .30 9  3x 3  22x  3 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ... log x3   2)  3 log2 2x log2 x 3) log 3x 1.log 3 x1  3  Ví dụ 10: Giải phương trình 2log x1  2log x2  x 3 (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x  NGUYỄN VĂN LỰC  0 933 .168 .30 9 SP Toán K35... 0 933 .168 .30 9 3log 32 x  10 log3 x  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3log x  10 log3 x  (1) Điều kiện x > t  Đặt t  log x ta 3t...   3) 32 x+8  4.3x+5 + 27 = 4) 9x  x1 10.3x  x2 1  2 Ví dụ 6: Giải phương trình 3x1 18 .3 x  29 (1) Bài giải ♥ Biến đổi phương trình (1) ta 1  3. 3x  18  29 3x (2) ♥ Đặt t  3x với